Hors programme lycée / Probabilité conditionnelle 23 exercices corrigés

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1. Introduction aux probabilités conditionnelles E.7127 Dans une expérience aléatoire, on con-sidère deux événements A et B qui réalise la partition de l’univers représentée ci-dessous : 1 Déterminer les probabilités suivantes : a P A b P B c P A ∩ B 2 On modifie l’expérience aléatoire en ne considérant que l’univers constitué de l’événement A . On note P la nou-velle probabilité sur A . Déterminer la probabilité suiv-ante : P B 3 De même, on ne considère que les événements issus de B et on note P  la probabilité sur cet univers. Déterminer la probabilité suivante : P  A 2. Calcul de probabilité conditionnelle E.7134 Un serveur, travaillant dans une pizzeria, remarque qu’en moyenne, 40 % des clients sont des familles, 25 % des clients sont des personnes seules et 35 % des clients sont des couples. Il note aussi que : 70 % des familles laissent un pourboire; 90 % des personnes seules laissent un pourboire; 40 % des couples laissent un pourboire. Un soir donné, ce serveur prend au hasard une table occupée dans la pizzeria. On s’intéresse aux événements suivants : F : ˇ la table est occupée par une famille ı S : ˇ la table est occupée par une personne seule ı C : ˇ la table est occupée par un couple ı R : ˇ le serveur reçoit un pourboire ı On note A l’événement contraire de A et p B ( A ) la probabilité de A , sachant B . 1 D’après les données de l’énoncé, préciser les probabilités p ( F ) et p S ( R ) . 2 Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant : 3 Calculer p F ∩ R E.7157 La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre à l’Ouest. Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l’une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0 ; 8 . Pour t =1 ou t =2 , on note E t l’événement : ˇ Le touriste se dirige vers l’Est le t -ème jour ı et O t l’événement : ˇ Le touriste se dirige vers l’Ouest le t -ème jour ı. 1 Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation. 2 Déterminer les probabilités suivantes : P ( E 1 ) ; P E 1 ( O 2 ) ; P ( E 1 ∩ E 2 ) . 3 Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage deux jours consécutifs. E.7124 Dans une expérience aléatoire, on con-sidère les deux événements A et B . L’étude de cette expéri-ence aléatoire a permis de produire l’arbre de probabilité ci-dessous : Donner, si possible, par lecture de l’arbre les probabilités suiv-antes : a P A b P A ∩ B c P A ∩ B d P B A e P A B f P A B 3. Probabilité conditionnelle et construction d’abre https://chingmath.fr chapExoCorrec/7127 sacados/7127 ABE∑ectifs:81ABE∑ectifs:54ABE∑ectifs:27ABE∑ectifs:18 chapExoCorrec/7134 sacados/7134 Extrait Liban Mai 2014 0;70RRF0;35RRCRRS chapExoCorrec/7157 sacados/7157 Extrait France Septembre 2006 chapExoCorrec/7124 sacados/7124 0;60;2B0;120;8B0;48A0;40;7B0;280;3B0;12A
E.7125 Une agence de location de voitures dispose de trois types de véhicules : berline, utilitaire ou luxe, et propose, au moment de la location, une option d’assurance sans franchise. Une étude statistique a permis d’établir que : 30 % des clients ont loué une berline et 10 % ont loué un véhicule de luxe. 40 % des clients qui ont loué une berline ont choisi l’option d’assurance sans franchise. 9 % des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l’option d’assurance sans franchise. 21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l’option d’assurance sans franchise. On prélève au hasard la fiche d’un client et on considère les événements suivants : B : le client a loué une berline. L : le client a loué un véhicule de luxe. U : le client a loué un véhicule utilitaire. A : le client a choisi l’option d’assurance sans franchise. Produire un arbre de probabilités représentant la situation ci-dessus et intégrant les données de l’énoncé. E.7126 Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires. La totalité de la production est réalisée par deux machines M A et M B . La machine M A fournit 40 % de la production totale et M B le reste. La machine M A produit 2 % de médailles défectueuses et la machine M B produit 3 % de médailles défectueuses. On prélève au hasard une médaille produite par l’entreprise et on considère les événements suivants : A : ˇ la médaille provient de la machine M A ı ; B : ˇ la médaille provient de la machine M B ı ; D : ˇ la médaille est défectueuse ı ; D est l’événement contraire de l’événement D . Traduire cette situation par un arbre pondéré. 4. Formule des probabilités totales E.7135 Un investisseur souhaite acheter un appartement dans l’objectif est de le louer. Pour cela, il s’intéresse à la rentabilité locative de cet appartement. Les trois parties peuvent être traités indépendamment. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10 − 4 . On considère deux types d’appartement : Les appartements d’une ou deux pièces, notés respective-ment T 1 et T 2 ; Les appartements de plus de deux pièces. Une étude des dossiers d’appartements loués dans un secteur ont montré que : 35 % des appartements loués sont de type T 1 et T 2 ; 45 % des appartements loués de type T 1 ou T 2 sont renta-bles ; 30 % des appartements loués, qui ne sont ni de type T 1 ni de type T 2 , sont rentables. On choisit un dossier au hasard et on considère les événements suivants : T : ˇ l’appartement est de type T 1 ou T 2 ı ; R : ˇ l’appartement loué est rentable ı ; T est l’événement contraire de T et R est l’événement contraire de R . 1 Traduire cette situation par un arbre pondéré. 2 Montrer que la probabilité qu’un appartement loué soit rentable est égale à 0 ; 3525 . E.7110 À une sortie d’autoroute, la gare de péage comporte trois voies. Une étude statistique a montré que : 28 % des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnées ; un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 sec-ondes ; 52 % des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75 % franchissent le péage en moins de 10 sec-ondes ; les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement (pièces ou billets) . On choisit un automobiliste au hasard et on considère les événements suivants : G : ˇ l’automobiliste emprunte la voie de gauche ı ; C : ˇ l’automobiliste emprunte la voie du centre ı ; D : ˇ l’automobiliste emprunte la voie de droite ı ; T : ˇ l’automobiliste franchit le péage en moins de 10 sec-ondes ı. On note T l’événement contraire de l’événement T . 1 Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l’exercice. 2 Calculer la probabilité p ( C ∩ T ) . 3 L’étude a aussi montré que 70 % des automobilistes passent le péage en moins de 10 secondes. a Justifier que p ( D ∩ T )=0 ; 03 . b Calculer la probabilité qu’un automobiliste emprun-tant la voie de droite passe le péage en moins de 10 secondes. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7125 sacados/7125 Extrait Liban Mai 2015 chapExoCorrec/7126 sacados/7126 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 chapExoCorrec/7135 sacados/7135 chapExoCorrec/7110 sacados/7110
E.7115 Une agence de location de voitures dispose de trois types de véhicules : berline, utilitaire ou luxe, et propose, au moment de la location, une option d’assurance sans franchise. Une étude statistique a permis d’établir que : 30 % des clients ont loué une berline et 10 % ont loué un véhicule de luxe. 40 % des clients qui ont loué une berline ont choisi l’option d’assurance sans franchise. 9 % des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l’option d’assurance sans franchise. 21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l’option d’assurance sans franchise. On prélève au hasard la fiche d’un client et on considère les événements suivants : B : le client a loué une berline. L : le client a loué un véhicule de luxe. U : le client a loué un véhicule utilitaire. A : le client a choisi l’option d’assurance sans franchise. 1 Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-contre avec les données de l’énoncé. 2 Quelle est la probabilité que le client ait loué une berline et ait choisi l’option d’assurance sans franchise? 3 Calculer la probabilité qu’un client ait choisi l’option d’assurance sans franchise. 4 Calculer P L ( A ) , la probabilité que le client ait souscrit une assurance sans franchise sachant qu’il a loué une voiture de luxe. 5. Inversion de la condition E.7138 D’après une étude ré-cente, il y a 216 762 médecins en France métropolitaine parmi lesquels 0 ; 6 % pratiquent l’ostéopathie et on compte 75 164 kinésithérapeutes parmi lesquels 8 ; 6 % pratiquent l’ostéopathie. On choisit une personne au hasard parmi les médecins et les kinésithérapeutes. On note les évènements suivants : M : ˇ la personne choisie est médecin ı ; K : ˇ la personne choisie est kinésithérapeute ı ; O : ˇ la personne choisie pratique l’ostéopathie ı. On représente la situation à l’aide de l’arbre pondéré suivant : 1 Reproduire l’arbre de probabilité puis le compléter. 2 Montrer que la probabilité P O est égale à 0 ; 0268 . 3 Un patient vient de suivre une séance d’ostéopathie chez un praticien d’une des deux catégories. Détermine la probabilité que le praticien soit un kinésithérapeute. Donner le résultat arrondi au cen-tième. E.7111 Un fabricant produit des pneus de deux catégories, la catégorie ˇ pneu neige ı et la catégorie ˇ pneu classique ı. Sur chacun d’eux, on effectue des tests de qualité pour améliorer la sécurité. On dispose des informations suivantes sur le stock de produc-tion : le stock contient 40 % de pneus neige ; parmi les pneus neige, 92 % ont réussi les tests de qualité. parmi les pneus classiques, 96 % ont réussi les tests de qualité. Un client choisit un pneu au hasard dans le stock de produc-tion. On note : N l’événement : ˇ Le pneu choisi est un pneu neige ı C l’événement : ˇ Le pneu choisi est un pneu classique ı Q l’événement : ˇ Le pneu choisi a réussi les tests de qual-ité ı. Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis au mil-lième. 1 Illustrer la situation à l’aide d’un arbre pondéré. 2 Calculer la probabilité de l’événement N ∩ Q et inter-préter ce résultat par une phrase. 3 Montrer que : p ( Q )=0 ; 944 4 Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, quelle est la probabilité que ce pneu soit un pneu neige? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7115 sacados/7115 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 ......AAB......AAL...AAC chapExoCorrec/7138 sacados/7138 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2014 0;74OOM0;26OOK chapExoCorrec/7111 sacados/7111
E.7112 On s’intéresse à l’ensemble des demandes de prêts immobiliers auprès de trois grandes ban-ques. Une étude montre que 42 % des demandes de prêts sont dé-posées auprès de la banque Karl, 35 % des demandes de prêts sont déposées auprès de la banque Lofa, alors que cette pro-portion est de 23 % pour la banque Miro. Par ailleurs: 76 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Karl sont acceptées ; 65 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Lofa sont acceptées ; 82 % des demandes de prêts déposées auprès de la banque Miro sont acceptées. On choisit au hasard une demande de prêt immobilier parmi celles déposées auprès des trois banques. On considère les événements suivants : K : ˇ la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Karl ı ; L : ˇ la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Lofa ı ; M : ˇ la demande de prêt a été déposée auprès de la banque Miro ı ; A : ˇ la demande de prêt est acceptée. ı Dans tout l’exercice, on donnera, si nécessaire, des valeurs arrondies au millième des résultats. 1 Construire un arbre pondéré illustrant la situation. 2 Calculer la probabilité que la demande de prêt soit dé-posée auprès de la banque Karl et soit acceptée. 3 Montrer que : P ( A ) ≈ 0 ; 735 4 La demande de prêt est acceptée. Calculer la probabilité qu’elle ait été déposée à la banque Miro. E.7113 Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories: rock, techno, rap, reggae. . . dont certaines sont interprétées en français. Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock. Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode ˇ lecture aléatoire ı : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l’ensemble du répertoire. Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du télé-phone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture. On note : R l’événement : ˇ la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock ı ; F l’événement : ˇ la chanson écoutée est interprétée en français ı. 1 Calculer p ( R ) , la probabilité de l’événement R . 2 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événe-ments R et F . 3 Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français. 4 Parmi toutes les chansons enregistrées 38 ; 5 % sont inter-prétées en français. Montrer que : p F ∩ R = 0 ; 28 5 En déduire p R F et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat. E.7109 Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60 % de collégiens et 40 % de lycéens. Le directeur a effectué une étude statistique sur la posses-sion de téléphones portables. Cette étude a montré que 80 % des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70 % en possèdent un. On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s’intéresse aux événements suivants : C : ˇ le jeune choisi est un collégien ı ; L : ˇ le jeune choisi est un lycéen ı ; T : ˇ le jeune choisi possède un téléphone portable ı. Rappels: si A et B sont deux événements, p ( A ) désigne la probabilité que l’événement A se réalise et p B ( A ) désigne la probabilité de A sachant que l’événement B est réalisé. On note aussi A l’événement contraire de A . 1 Donner les probabilités : p ( C ) , p ( L ) , p ( T ) , p C ( T ) . 2 Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à la renseigner avec les données de l’énoncé. 3 Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable. 4 Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu’il possède un téléphone portable. 5 a Calculer p T ∩ L , en déduire p L ( T ) . b Compléter l’arbre construit dans la question 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7112 sacados/7112 chapExoCorrec/7113 sacados/7113 chapExoCorrec/7109 sacados/7109 Extrait Liban Mai 2016
E.6829 Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s’entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabil-ité. Pour augmenter la difficulté, le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit ˇ liftées ı, soit ˇ coupées ı. La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Les réglages de l’appareil permettent d’affirmer que : Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats à 10 − 3 près. la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est 0 ; 24 ; la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est 0 ; 235 . Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la proba-bilité qu’elle soit envoyée à droite? E.5559 Lors d’une expérience aléatoire, on considère les deux événements A et B dont on dispose les informations ci-dessous : P A = 0 ; 7 ; P A B = 0 ; 2 ; P A B = 0 ; 9 1 À l’aide des informations de l’énoncé, compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : 2 Déterminer la probabilité P A ∩ B . 3 Montrer que : P B )=0 ; 41 4 Montrer que : P B A )= 14 41 E.4257 Un réparateur de vélos a acheté 30 % de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40 % à un deuxième et le reste à un troisième. Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans défaut, le deuxième 95 % et le troisième 85 % . Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock. 1 Construire un arbre de probabilité traduisant la situa-tion, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0 ; 875 . 2 Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu’il provienne du deuxième fournisseur? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10 − 3 . E.5525 L’entreprise Fructidoux fab-rique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination ˇ com-pote allégée ı. La législation impose alors que la teneur en sucre, c’est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0 ; 16 et 0 ; 18 . On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme. L’entreprise possède deux chaînes de fabrication F 1 et F 2 . La chaîne de production F 2 semble plus fiable que la chaîne de production F 1 . Elle est cependant moins rapide. Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots provi-ennent de la chaîne F 1 et 30 % de la chaîne F 2 . La chaîne F 1 produit 5 % de compotes non conformes et la chaîne F 2 en produit 1 % . On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les événements : E : ˇ Le petit pot provient de la chaîne F 2 ı ; C : ˇ Le petit pot est conforme ı. 1 Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 2 Calculer la probabilité de l’événement : ˇ Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F 1 ı. 3 Déterminer la probabilité de l’événement C . 4 Déterminer, à 10 − 3 près, la probabilité de l’événement E sachant que l’événement C est réalisé. E.3729 Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25 % au premier fournisseur et 75 % au second. La proportion de composants défectueux est de 3 % chez le premier fournisseur et de 2 % chez le second. On note : D : l’événement ˇ le composant est défectueux ı ; F 1 : l’événement ˇ le composant provient du premier four-nisseur ı ; F 2 : l’événement ˇ le composant provient du second four-nisseur ı. 1 Dresser un arbre de probabilité correspondant à cette situation. 2 Calculer P ( D ∩ F 1 ) , puis démontrer : P ( D )=0 ; 022 5 3 Sachant qu’un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier fournisseur? On arrondira sa valeur au millième près. 6. Définition de l’indépendance E.3778 Prérequis: On rappelle que deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité p si, et seulement, si : P ( A ∩ B ) = P ( A ) ×P ( B ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/6829 sacados/6829 Extrait Liban Mai 2016 chapExoCorrec/5559 sacados/5559 Extrait de Liban Mai 2013 BBABBA chapExoCorrec/4257 sacados/4257 chapExoCorrec/5525 sacados/5525 Extrait Liban Mai 2013 chapExoCorrec/3729 sacados/3729 chapExoCorrec/3778 sacados/3778
Soient A et B deux événements associés à une expérience aléatoire: 1 Justifier que : P B = P B ∩ A + P B ∩ A 2 Démontrer que, si les événements A et B sont indépen-dants pour la probabilité p , alors les événements A et B le sont également. E.6362 Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse. Dans l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B . ˇ Si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépen-dants. ı 7. Répétitions indépendantes d’expériences aléatoires E.3746 Une urne contient 50 boules blanches, 25 boules noires et 25 boules rouges. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue 3 tirages indépendants et avec remise. 1 Déterminer la probabilité de l’événement : A : ˇ les trois boules tirées sont blanches ı. 2 Déterminer la probabilité de l’événement : B : ˇ aucune des boules tirées est blanche ı. 3 a Déterminer la probabilité de l’événement : C 1 : ˇ La première boule tirée est blanche ; les deux autres ne sont pas blanches ı. b En déduire la probabilité de l’événement : C : ˇ une seule des boules tirées est blanche ı. 4 En déduire la probabilité de l’événement : D : ˇ deux boules tirées sont blanches et une boule n’est n’est pas blanche ı. 5 Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nom-bre de boules blanches tirées : a Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . b Déterminer l’espérance de la variable X . E.3747 Un jeu consiste à lancer 3 fois un dé équilibré. On suppose les différents lancers indépendants et assimilables à des tirages avec remises. 1 a On considère les événements : A : ˇ Le joueur réalise trois fois le nombre 6 ı. B : ˇ Le joueur réalise deux fois le nombre 6 ı Déterminer les probabilités de ces événements. 2 La mise de ce jeu est fixé à 3 euros. Chaque gagnant remporte: 500 euros lorsque le joueur fait trois fois le nombre 6 . 5 euros lorsque le joueur fait deux fois le nombre 6 . On note X la variable aléatoire associée au gain d’une partie ; le gain est la différence de la somme gagnée par la mise. a Dans un tableau, donner la loi de probabilité de la variable X . b Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6362 sacados/6362 chapExoCorrec/3746 sacados/3746 chapExoCorrec/3747 sacados/3747