Hors programme lycée / Géométrie dans l'espace : produit scalaire et plan 7 exercices corrigés

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1. Introduction (via les coordonnées) E.6647 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. On considère les points A , B et C définis par : A ( − 3 ; 1) ; B (4 ; − 1) ; C (1 ; 3) . 1 Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [ BC ] . 2 Soit J l’image du point A par la symétrie centrale de centre C . a Donner une relation vectorielle vérifiée par les points A , C et J . b Déterminer les coordonnées du point J . 3 Déterminer la norme du vecteur −−→ AB E.6646 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé. 1 On rappelle la formule de la distance entre deux points : PQ = x Q − x P 2 + y Q − y P 2 On considère les trois points du plan A , B et C de coor-données : A ( − 3 ; 2) ; B ( − 2 ; − 2) ; C (2 ; − 1) a Déterminer les distances AB , AC et BC . b Établir que le triangle ABC est un triangle rectangle. 2 Soit −→ u ( x ; y ) un vecteur, on définit la norme du vecteur −→ u comme le nombre −→ u défini par : −→ u = x 2 + y 2 On considère les deux points E et F de coordonnées : E ( − 1 ; 2) ; G (4 ; 3) et les deux vecteurs −→ u et −→ v de coordonnées : −→ u (4 ; − 1) ; −→ v (1 ; 2) a Déterminer les normes des vecteurs −→ u et −→ v . b Déterminer les coordonnées des points F et H vérifi-ant les deux égalités vectorielles: −−→ EF = −→ u ; −−→ HG = −→ v c Exprimer le vecteur −→ u + −→ v à l’aide des points E , F et G ? d Le triangle EFG est-il rectangle? E.2572 On considère le plan muni du repère orthonormé ( O ; I ; J ) et trois points A , B , C du plan. On ne connait pas les coordonnées des points A et B mais on note : −−→ AB x y ; −−→ BC x y 1 Déterminer les coordonnées du vecteur −→ AC . 2 Exprimer la longueur de chacun des vecteurs −−→ AB , −−→ BC , −→ AC en fonction de x , x , y , y . Elles se notent respective-ment −−→ AB , −−→ BC , −→ AC . 3 Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les droites ( AB ) et ( BC ) soient perpendiculaires. E.3007 Faire un exercice demandant l’invariance du produit scalaire sur deux repères de même norme et trouve la formule utilise en physique 2. Produit scalaire et coordonnées https://chingmath.fr chapExoCorrec/6647 sacados/6647 -3-2-12345I-12345JO chapExoCorrec/6646 sacados/6646 -4-3-2-12345I-2-1234JO chapExoCorrec/2572 sacados/2572 OIJABC sacados/3007 −i−jO
E.4091 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ j , on donne les points : A 2 ; 1 ; 3 ; B − 3 ; − 1 ; 7 ; C 3 ; 2 ; 4 1 Déterminer les coordonnées du point H barycentre du système : ( A ; − 2) ; ( B ; − 1) ; ( C ; 2) 2 Déterminer la nature de l’ensemble Γ 1 , des points M de l’espace tels que : − 2 −−→ MA − −−→ MB + 2 −−→ MC · −−→ MB − −−→ MC = 0 En préciser les éléments caractéristiques. 3 Déterminer la nature de l’ensemble Γ 2 , des points M de l’espace tels que : − 2 −−→ MA − −−→ MB + 2 −−→ MC = √ 29 En préciser les éléments caractéristiques. 3. Ensemble de points E.4104 On considère deux points A et D de l’espace et on désigne par I le milieu du segment [ AD ] . 1 Démontrer que, pour tout point M de l’espace : −−→ MD · −−→ MA = MI 2 − IA 2 2 En déduire l’ensemble ( E ) des points M de l’espace, tels que : −−→ MD · −−→ MA = 0 E.4107 Soit A et B deux points distincts du plan. 1 Caractériser l’ensemble des points tels que : a −−→ AB · −−→ AM = 0 b −−→ AB · −−→ AM = AB 2 c −−→ AB · −−→ AM = − AB 2 2 On suppose que AB =6 . Caractériser l’ensemble des points tels que : a −−→ AB · −−→ AM = 18 b −−→ AB · −−→ AM = − 1 E.4109 Dans l’espace, on considère deux points A et B distincts tels que AB =4 . On note I le milieu du segment [ AB ] : 1 Démontrer que pour tout point M de l’espace, on a l’égalité: MA 2 − MB 2 = 2 · −−→ IM · −−→ AB 2 Déterminer l’ensemble des points M vérifiant : MA 2 − MB 2 = 16 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4091 sacados/4091 Extrait de Liban Mai 2006 chapExoCorrec/4104 sacados/4104 chapExoCorrec/4107 sacados/4107 chapExoCorrec/4109 sacados/4109