Hors programme lycée / produit scalaire dans l'espace 3 exercices corrigés

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1. Formule de la médiane E.6807 Rappels: soient A et B deux points du plan et I le mi-lieu du segment [ AB ] . Pour tout point M du plan, on a la relation: AM 2 + BM 2 = 1 2 · AB 2 + 2 · MI 2 On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J et les trois points A , B et C de coordonnées respectives : A ( − 2 ; − 3) ; B ( − 1 ; 2) ; C (3 ; 1) 1 Déterminer les mesures AB , AC et BC . 2 a On note I le milieu du segment [ AB ] . Déterminer la mesure de la médiane dans le triangle ABC issue du sommet C . b On note J le milieu du segment [ AC ] . Déterminer la mesure de la médiane dans le triangle ABC issue du sommet B . E.2608 Soit A et B deux points du plan tel que AB =5 cm . On note I le milieu du segment [ AB ] . 1 On utilisera la relation suivante : −−→ MA · −−→ MB = MI 2 − 1 4 AB 2 Déterminer l’ensemble des points M vérifiant la relation suivante : a −−→ MA · −−→ MB = 0 b −−→ MA · −−→ MB = 5 c −−→ MA · −−→ MB = − 9 d −−→ MA · −−→ MB = − 25 e −−→ MA · −−→ MB = − 30 2 On utilisera la relation suivante : MA 2 − MB 2 = 2 −−→ IM · −−→ AB Déterminer l’ensemble des points M vérifiant la relation suivante : a MA 2 − MB 2 = 0 b MA 2 − MB 2 = 10 c MA 2 − MB 2 = − 30 3 On utilisera la relation suivante : MA 2 + MB 2 = 2 MI 2 + 1 2 AB 2 Déterminer l’ensemble des points M vérifiant la relation suivante : a MA 2 + MB 2 = 22 ; 5 b MA 2 + MB 2 = 12 ; 5 c MA 2 + MB 2 = 7 E.2663 On considère un triangle ABC rect-angle en A ayant les mesures suivantes : AB =6 ; AC = 3 On note I le milieu du segment [ AB ] et J le milieu de [ IC ] . On s’intéresse à l’ensemble E des points M vérifiant la rela-tion : MA 2 + MB 2 +2 · MC 2 =72 1 er méthode: 1 Montrer que tous points M vérifient la relation: MA 2 + MB 2 + 2 × MC 2 = 4 · MJ 2 + JA 2 + JB 2 + 2 × JC 2 2 En utilisant par deux fois le théorème de la médiane, dé-montrer la relation suivante : M ∈E ⇐⇒ 4 × MJ 2 + AB 2 2 + IC 2 =72 3 En déduire la nature de l’ensemble E . 2 ème méthode: On munit le plan du repère A ; 1 6 · −−→ AB ; 1 3 · −→ AC 4 Déterminer les coordonnées des points A , B , C dans ce repère. 5 En notant ( x ; y ) les coordonnées du point M , déterminer une équation de E dans ce repère. 6 En déduire la nature de l’ensemble E . E.2609 On considère le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé et les deux points du plan suiv-ants : A ( − 3 ; 2) ; B (3 ; − 6) 1 On désignera par M le point de coordonnées ( x ; y ) : a Déterminer les coordonnées du point I milieu de [ AB ] . b Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ IM et −−→ AB . c Déterminer la longueur AB . 2 a Déterminer l’équation cartésienne de l’ensemble des points vérifiant la relation: MA 2 − MB 2 = 40 b Donner la nature et les éléments caractéristiques des points M vérifiant cette relation. 3 a Déterminer l’équation de l’ensemble des points véri-fiant la relation: −−→ MA · −−→ MB = 34 b Donner la nature et les éléments caractéristiques des points M vérifiant cette relation. 4 a Déterminer l’équation de l’ensemble des points véri-fiant la relation: MA 2 + MB 2 = 150 b Donner la nature et les éléments caractéristiques des points M vérifiant cette relation. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6807 sacados/6807 chapExoCorrec/2608 sacados/2608 chapExoCorrec/2663 sacados/2663 chapExoCorrec/2609 sacados/2609