Hors programme lycée / Racines carrés 63 exercices corrigés

a
1. Introduction E.5688 Construire un carré dont l’aire est égale à la somme des aires des deux carrés représentés ci-contre. Laisser apparentes toutes vos traces de recherche. Même si le travail n’est pas terminé, il en sera tenu compte dans la nota-tion . E.742 1 Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles définissent ou pas un nombre. Justifier votre réponse. a 1 3 2 − 9 b 2 c − 1 d 0 e ( − 1) 2 f 3 2 2 Un élève affirme que : 20 =10 En utilisant seulement la définition de la racine carrée, justifier que son affirmation est fausse. E.238 Donner l’inverse de chacun des nombres suivants sous la forme la mieux adaptée : a − 0 ; 8 b − 2 3 c 2 d 3 2 e − 0 ; 8 2 f 2 × 0 ; 15 g ( − 0 ; 8) 2 E.272 Simplifier l’écriture des expressions suiv-antes : a (2 + 3) 2 b 2 + 12 2 − 8 3 c ( ı − 3) 2 d 81 e ( − 2) 2 f ( 3 − 2) 2 E.237 1 Écrire A sous forme de fraction irréductible. A = 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 2 a Montrer que A est une valeur approchée de 7 à 10 − 1 près. b A est-il une valeur approchée de 7 à 10 − 2 près? E.769 Chercher des contre-exemples aux égalités suivantes : a a + b = a + b b a − b = a − b 2. Relations multiplicatives E.749 La définition du nombre a est l’unique nombre positif tel que son carré vaille a . Ainsi, par définition, la racine carrée d’un nombre vérifie: a 2 = a . 1 À partir de l’égalité 17 2 =289 . Compléter les phrases suivantes : a Le nombre dont le carré vaut 289 est . . . . . . Ainsi, on a 289 = : : : : : : b Le nombre dont le carré vaut 28 900 est . . . . . . Ainsi, on a 28 900 = : : : : : : c Le nombre dont le carré vaut 2 ; 89 est . . . . . . Ainsi, on a 2 ; 89 = : : : : : : 2 a Quelle est le nombre positif dont le carré vaut 5 2 ? En déduire la valeur de 5 2 ? b Donner l’écriture décimale des nombres suivants : A = 12 2 ; B = 1 ; 25 2 ; C = ( − 5) 2 3 a Élever au carré les deux nombres suivants : 6 ; 2 × 3 . Que pouvez-vous dire de ces deux nombres? b Pour chacun des couples, faire de même pour montrer l’égalité de ses deux nombres : 21 ; 3 × 7 ; 12 ; 2 3 c Faire apparaître des carrés en facteurs dans les nom-bres suivants : 36 ; 50 ; 20 d En déduire les formes simplifiées des nombres suivants : 36 ; 50 ; 20 E.755 Sachant que 196 = 14 , donner la valeur exacte des nombres suivants : a 1 ; 96 b 19600 c 0 ; 0196 d 1960000 E.726 Simplifier les radicaux suivants en les écrivant sous la forme a b avec a et b entier où b est le plus petit possible. a 3 5 × 2 6 b 5 2 × 2 2 c 3 6 × 4 3 d 24 × 6 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5688 sacados/5688 4cm2 chapExoCorrec/742 sacados/742 chapExoCorrec/238 sacados/238 chapExoCorrec/272 sacados/272 chapExoCorrec/237 sacados/237 chapExoCorrec/769 sacados/769 chapExoCorrec/749 sacados/749 chapExoCorrec/755 sacados/755 chapExoCorrec/726 sacados/726
E.729 Réduire les expressions suivantes sous la forme : a + b c avec c le plus petit possible : a 2 × 3 × 7 b 2 + 3 7 c 2 5 × 3 × 10 d 8 18 3 2 e 18 − 2 f 8 × 2 − 2 2 g 2 2 − 3 h 5 − 1 20 + 5 i 5 − 1 2 j 7 + 2 2 k 5 + 1 5 − 1 3. Simplifications additives E.3909 Écrire B et C sous la forme, a b , avec a et b nombres entiers ( b étant le plus petit possible) . B = 3 5 − 2 45 + 500 ; C = 3 + 4 2 − 19 4. Simplifications E.777 Simplifier au maximum l’écriture des cal-culs suivants : A = 63 + 4 28 − 9 175 ; B = 15 × 35 7 C = − 150 3 + 2 8 − 7 72 E.795 Écrire toutes les expressions sous la forme a b avec b entier le plus petit possible : a 75 b 48 16 c 3 + 5 3 d 2 + 8 e 5 2 × 4 18 f 7 6 − 3 24 g 27 + 3 12 − 5 75 E.796 Donner les résultats suivants sous la forme a b où a est un entier relatif et où b est un entier positif le plus petit possible. a 6 × 42 b 14 × 6 21 c 75 − 4 12 + 27 d 2 + 2 2 E.761 Écrire toutes les expressions sous la forme a b avec b entier le plus petit possible : a 75 b 48 16 c 3 + 5 3 d 2 + 8 e 5 2 × 4 18 f 27 + 3 12 − 5 75 g 7 6 − 3 24 h 10 × 18 + 3 5 5. Comparaison de nombres E.292 Comparer sans l’aide de la calculatrice: a 6 et 33 b 6 × 5 et 6 c 10 10 et 30 d 1 4 et 1 √ 15 e 5 + 3 et 5 + 3 f 2 2 − 3 et 17 − 12 2 E.1934 Sans l’aide de la calculatrice, effectuer la comparaison des couples de nombres proposées : a 2 19 et 5 3 b 1 35 et 1 6 c 1 2 − 3 et 3 + 2 d 12 − 7 et 5 e 3 5 + 2 et 47 + 6 10 f 6 11 × 3 × 4 7 3 12 et 2 50 https://chingmath.fr chapExoCorrec/729 sacados/729 chapExoCorrec/3909 sacados/3909 chapExoCorrec/777 sacados/777 chapExoCorrec/795 sacados/795 chapExoCorrec/796 sacados/796 chapExoCorrec/761 sacados/761 chapExoCorrec/292 sacados/292 chapExoCorrec/1934 sacados/1934
E.295 Comparer les réels suivants, et justifier votre résultat : a 32 5 et 15 14 b 1 2 3 et 1 3 2 c 3 + 2 et 2 6 + 4 d 3+ ı 3 et 4+ ı 4 e 3 − 12 et 19 − 12 3 f ( n − 1) 2 et n 2 − 1 pour n 1 g 2 n n + 1 et 3 n − 1 n pour n 1 E.325 Cet exercice doit être traité sans l’aide de la calculatrice: 1 On considère les deux nombres suivants : A = 2 3 ; B = 3 2 a Déterminer les valeurs exactes de A 2 et B 2 . b Comparer les deux nombres A et B . 2 Comparer chaque couple de nombres ci-dessous : a 6 et 3 6 b 1 2 3 et 1 3 2 c 3 2 et 3 d 2 3 et 2 − 8 E.342 Sans l’usage de la calculatrice, comparer les couples de nombres ci-dessous : a 45 et 7 b − 3 et − 57 c 2 3 et 3 2 d 10 5 et 5 10 e 1 4 et 1 ı f − 1 3 et − 1 3 E.345 Sans l’aide de la calculatrice, comparer les couples de nombres suivants en justifiant votre démarche : a 7 2 ; 9 b − 1 ı ; − 1 4 c 1 8 ; 1 3 d 2 7 ; 5+ 3 E.328 Au cours de cet exercice, l’usage de la calculatrice est interdit : 1 a Comparer les deux nombres 9 et 5 3 . b Laquelle de ces deux écritures définit un nombre : 5 3 − 9 ; 9 − 5 3 2 Parmi les écritures ci-dessous, lesquelles définissent un nombre? a 80 − 9 b 5 − 2 6 c 5 − 3 3 E.4866 Comparer les couples de nombres suiv-ants : a 2 √ 3 3 ; 3 √ 2 4 b 3 √ 5 5 ; 5 √ 3 6 c 5 2 ; 4 √ 10 5 d 5 √ 8 4 ; 8 √ 5 5 E.786 Cet exercice propose de comparer 5 et 3+ 2 . 1 a Tracer un triangle AIB rectangle isocèle en I tel que AI =3 cm . b Déterminer la longueur du segment [ AB ] . c Tracer le point C tel que ABC soit rectangle en B et BC =3 . Montrer que : AC =3 3 2 Tracer une demi-droite [ Ox ) et reporter les longueurs sur cette demi-droite de sorte que : le point G tel que : OG =3 √ 2 Le point H tel que : OH =3 3 Le point J tel que : OJ =3 2+3 3 3 En remarquant que : 9 × 5 = 9 × 4 + 9 × 1 . Tracer un triangle rectangle dont l’hypoténuse à une longueur de 3 5 . 4 a Sur la demi-droite [ Ox ) , placer le point K tel que : OK = 3 5 b Graphiquement, comparer les longueurs OK et OJ . En déduit une comparaison des nombres 5 et 3+ 2 ? 5 Développer puis simplifier: 3+ 2 2 . Cela concorde-t-il avec la question 4 c . E.2848 Comparer les nombres suivants en justi-fiant votre méthode : a 1 46 et 1 3 5 b 3 3 − 2 2 et 35 + 12 6 c 2 + 3 1 − 2 et 2 − 3 1 + 2 d 3 4 × 12 2 3 8 × 4 4 et 1 36 6. Simplifications E.741 On considère les nombres : C = 5 3 + 2 27 ; D = 3 2 × 6 Écrire les nombres C et D sous la forme a 3 , a étant un nombre entier. E.236 Effectuer les opérations suivantes en met-tant le résultat sous la forme suivante p √ q où p est un entier relatif et q est un entier naturel le plus petit possible : a 500 b 252 c 6 × 48 d 3 2 +4 2 e 5 3+2 75 − 3 12 f 10+ 2 · 5 5 https://chingmath.fr chapExoCorrec/295 sacados/295 chapExoCorrec/325 sacados/325 chapExoCorrec/342 sacados/342 chapExoCorrec/345 sacados/345 chapExoCorrec/328 sacados/328 chapExoCorrec/4866 sacados/4866 chapExoCorrec/786 sacados/786 chapExoCorrec/2848 sacados/2848 chapExoCorrec/741 sacados/741 Madagascar - Juin 2006 chapExoCorrec/236 sacados/236
E.4378 Donner la forme simplifiée de chacune des expressions suivantes : a 7 500 b 50 × 48 c 45+2 500 − 80 d 2 75 − 48 e 15 × 10 4 16 × 10 − 6 f 98 × 6 E.4420 Simplifier les calculs suivants : a 4 2 + 6 × 48 b 27 + 2 12 − 5 75 c 75 + 12 2 3 d 8 × 75 5 ×√ 90 + 24 × 12 7. Racine carré, fractions, puissance E.743 On donne : A = 7 3 − 2 3 ÷ 8 7 ; B = 12 − 7 3 − 75 C = 0 ; 3 × 10 2 × 5 × 10 − 3 4 × 10 − 4 1 Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une frac-tion irréductible. 2 Écrire B sous la forme a b , où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible. 3 Calculer C et donner son écriture scientifique E.767 Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie 1 Écrire sous la forme a 3 , a étant un entier, le nombre : A = 75 + 4 12 2 Prouver que : a 2 + 3 4 3 4 − 5 = − 11 17 b 35 × 10 22 × 2 × 10 − 2 6 42 × 10 10 = 5 3 E.2334 On donne les nombres : A = 3 7 − 2 7 × 21 8 ; B = 3 × 10 2 × 1 ; 8 × 10 − 3 6 × 10 4 C = 12 − 5 75 + 2 147 1 Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une frac-tion irréductible. Écrire toutes les étapes du calcul. 2 a Donner l’écriture décimale de B . b Exprimer B en écriture scientifique. 3 Écrire C sous la forme a 3 , où a est un nombre entier. E.2335 1 Écrire A sous forme d’une fraction irréductible : A = 4 3 − 1 7 6 − 2 2 On donne : B = 4 × 10 − 2 × 9 × 10 6 6 × 10 7 × 10 2 × 10 3 2 Donner l’écriture scientifique de B . 3 Écrire C sous la forme a 6 où a est un nombre entier relatif: C = 96 + 5 6 − 3 150 E.787 Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d’un nombre entier. Les calculs intermédiaires figureront sur la copie A = 96 × 10 − 4 × 5 × 10 − 2 3 × 10 − 1 × 2 × 10 − 6 ; B = 11 ÷ 2 3 − 5 2 C = 2 3 − 3 2 3 + 3 E.790 1 On donne : A = 2 3 +3 1 3 +5 Écrire A sous la forme d’une fraction irréductible. 2 On donne : B =2 50 − 3 8+7 18 Écrire B sous la forme a 2 , avec a un nombre entier. 3 On donne : C = 2 ; 6 × 10 2 × 1 ; 7 × 10 2 0 ; 2 × 10 5 × 10 3 Donner l’écriture scientifique de C . E.797 1 En faisant apparaître les étapes, calculer et donner l’écriture scientifique de : D = 2 × 10 3 × 5 × (10 − 5 ) 2 2 + 18 2 a E = 2 ×√ 27 + √ 18 ×√ 6 Calculer et écrire E sous la forme a 3 (où a entier relatif) b F = 2 − 4 2 + 4 2 Calculer et écrire F sous la forme b 2 (où b entier relatif) E.627 1 On considère les deux expressions : A = 3 5 − 1 2 × 5 2 ; B = 16 × 10 − 1 × 2 10 3 2 × 10 − 8 × 80 a Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. b Vérifier que B est un nombre entier Écrire les étapes du calcul. c Brice affirme que ˇ A est l’opposé de B ı. Est-ce vrai? Justifier. 2 On considère les deux expressions : C = 2 24+ 96 − 600 ; D = 3 − 2 3+5 2 a Mettre C sous la forme a 6 , avec a entier relatif b Développer et réduire D . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4378 sacados/4378 chapExoCorrec/4420 sacados/4420 chapExoCorrec/743 sacados/743 Dijon - Juin 2006 chapExoCorrec/767 sacados/767 Groupe Ouest - Septembre 2002 - 4 points chapExoCorrec/2334 sacados/2334 Brevet 2008 chapExoCorrec/2335 sacados/2335 chapExoCorrec/787 sacados/787 Groupe Ouest - 2004 - 3 points chapExoCorrec/790 sacados/790 chapExoCorrec/797 sacados/797 chapExoCorrec/627 sacados/627
E.752 1 On considère le nombre : A = 1 7 + 6 7 ÷ 12 35 Calculer A en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 2 On considère les nombres : B = 17 − 1 17+1 ; C = 3 − 7 2 ; D = B − C a Développer et réduire B et C . b Écrire D sous la forme a 7 , où a désigne un nombre entier. E.753 1 On donne : A = 3 7 − 15 7 ÷ 5 24 . Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une frac-tion irréductible. 2 On donne : B = 300 − 4 27 + 6 3 ; C = 5 + 3 2 D = 2 + 5 2 − 5 a Écrire B sous la forme b 3 , où b est un nombre entier. b Écrire C sous la forme e + f 3 , avec e et f entiers. c Montrer que D est un nombre entier. E.4393 Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme simplifiée : a 25 − 5 × 2 5 − 2 × 10 b 4 − 8 3 1 5 − 5 c 15 × 10 − 3 × 6 × 10 5 5 × 10 5 × 3 × 10 − 7 2 d 4 3 × 3 2 × 10 15 2 × 2 5 e 75 + 2 27 − 8 × 6 f 24 + 27 × 8 5 8 − 2 18 E.4426 Établir les égalités suivantes : a 3 − 2 3 3 2 − 4 12 = 2 b 3 − 3 × 2 1 + 1 2 − 5 − 4 × 2 2 7 − 2 = − 15 4 c 27 + 12 48 × 36 = 5 24 d (3 × 15) 10 × 6 4 5 8 × 12 12 × 3 3 =2 − 20 × 3 9 × 5 2 e 24 × 75+ 50=35 2 f 3 × 10 5 × 21 × 10 2 15 × 10 − 2 × 3 × 10 5 =1 ; 4 × 10 4 E.262 1 Effectuer le calcul suivant : A = 1 + 2 1 + 2 3 + 1 3 2 Donner l’écriture du quotient suivant sous la forme 2 m × 3 n × 5 p × 7 q où m , n , p , q sont des entiers relatifs : B = 3 × 15 2 × 2 × 5 3 ) − 2 7 3 × 12 4 3 Simplifier l’écriture des expressions suivantes : C = 3 2 + 5 2 3 6 − 2 2 ; D = 1 − 6 1 + 6 E.2328 On donne : E = 2 3 + 17 2 × 4 3 ; F = 6 × 3 × 16 2 1 Démontrer que les nombres E et F sont égaux. 2 On donne G = 10 − 1 + a × 10 2 . Calculer le nombre a pour que l’égalité E = G soit vraie. 8. Expressions conjuguées E.8362 1 Développer l’expression : 2+1 2 − 1 2 Utiliser la question précédente pour simplifier l’expression : 1 + 1 2 + 1 E.268 1 a Montrer que 2+ 3 2 − 3 est un nombre entier. b Pour simplifier l’écriture du quotient 2 3 2+ 3 , nous al-lons multiplier son numérateur et son dénominateur par 2 − 3 . On remarquera que le dénominateur prend alors une valeur entière. 2 a Montrer que 2+3 5 2 − 3 5 est un nombre en-tier relatif. b Utiliser ce résultat pour écrire 5 − 2 2 − 3 5 avec un dénom-inateur entier. 3 Écrire 4 5 − 1 avec un dénominateur entier. 4 Écrire 3 − 2 3+ 2 avec un dénominateur entier. https://chingmath.fr chapExoCorrec/752 sacados/752 chapExoCorrec/753 sacados/753 Groupe Sud - Juin 2004 - 4,5 points chapExoCorrec/4393 sacados/4393 chapExoCorrec/4426 sacados/4426 chapExoCorrec/262 sacados/262 chapExoCorrec/2328 sacados/2328 France - 2008 sacados/8362 chapExoCorrec/268 sacados/268
E.4980 Écrire les expressions ci-dessous sans racines carrées au dénominateur : a 2 2 − 1 b 3 3 + 1 c 2 2 6 − 4 d 2 2 − 3 E.4981 Écrire les expressions suivantes sans racines carrées au dénominateur : a 2 x x − 1 b x + x x − x c x 2 x + 2 x pour x =4 E.232 Démontrer les égalités suivantes : 1 3 + 2 3 − 2 + 3 − 2 3 + 2 = 10 2 4 − 2 3 = 3 − 1 Rechercher l’expression simplifiée de 3 − 1 2 . 3 x − y x − y = x − y x + y avec x ∈ R + ∗ et y ∈ R + ∗ tels que : x = y . E.5031 Établir l’égalité: 1 1 + 2 + 1 2 + 3 + 1 3 + 2 = 1 E.258 Simplifier l’écriture de chacun des expres-sions suivantes : a √ 63 − 5 7 + 2 √ 2800 b 2 3+4 2 2 − 3 c 2 + √ 24 6 d 5 − 2 1 − 2 E.1779 Effectuer les calculs suivants et donner le résultat sous forme simplifiée : a 4800 − 2 75 + 2 × 54 b 6 + 72 3 2 − 24 c 2 2 − 3 7 d 1 − 7 14 − 4 + 2 E.281 Effectuer les calculs suivants et donner leurs résultats sous forme simplifiée. a 150 + 3 600 − 7 294 b 2 18 3 − 2 c 2 − 3 3 3 + 2 2 d 28 − 3 7 e 2 + 5 1 − 5 f 1 + 3 3 − 2 E.239 Simplifier les écritures suivantes : a 175 − 10 112 + 7 b 2 2 − 2 200 + 98 + 18 c 3 3 − 6 3 d 27 − 5 3 − 2 e 3 − 2 3 + 2 E.261 1 Montrer que : 3+ 6 3 − 6 − 6 3 12 =0 2 Écrire 7 4 − 3 sans racine au dénominateur 3 Effectuer le calcul suivant : 6+2 3 − 2 4 Établir l’égalité suivante : 2 6 − 2 − 3= 2 E.294 Comparer sans l’aide de la calculatrice: a 152 240 et 110 b 7 21 et 1 3 c 23 15 et 23 13 d 12 25 et 77 125 e 3 + 2 3 et 2 + 2 2 f 2 − 1 et 1 2 + 1 g 2 + 3 et 5 + 2 6 E.355 Comparer les nombres suivants en justi-fiant votre méthode : a 8 2 et 7 3 7 b 3 + 5 et 8 + 2 15 c 1 1 + 2 et 2 − 1 d 15 − 2 14 et 14 − 2 15 E.327 Comparer les nombres suivants en justi-fiant votre raisonnement : a 7 8 et 8 7 b 1 3 5 et 1 5 3 c 11+ 2 12 et 12+ 2 13 d 4+ 2 et 6 + 2 8 e 3 − 2 et 11 − 6 2 f 1 1 − 6 et 1 + √ 6 9. Racine carré et PGCD E.5320 1 Déterminer le PGCD des deux entiers 1323 et 243 . 2 Donner la forme simplifiée de la fraction 1323 243 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4980 sacados/4980 chapExoCorrec/4981 sacados/4981 chapExoCorrec/232 sacados/232 chapExoCorrec/5031 sacados/5031 chapExoCorrec/258 sacados/258 chapExoCorrec/1779 sacados/1779 chapExoCorrec/281 sacados/281 chapExoCorrec/239 sacados/239 chapExoCorrec/261 sacados/261 chapExoCorrec/294 sacados/294 chapExoCorrec/355 sacados/355 chapExoCorrec/327 sacados/327 chapExoCorrec/5320 sacados/5320
E.5321 1 Déterminer le PGCD des deux entiers 343 et 175 . 2 Donner la forme simplifiée de la fraction 343 175 E.5322 1 Déterminer le PGCD des deux entiers 847 et 63 . 2 Écrire le nombre A sous la forme a b : A = 847 + 63 E.5323 1 Déterminer le PGCD des deux entiers 567 et 175 . 2 Écrire le nombre A sous la forme a b : A = 567 + 175 E.773 1 Sans calculer leur PGCD , dire pourquoi les entiers 648 et 972 ne sont pas premiers entre eux. 2 a Calculer pgcd (972 ; 648) . b Prouver que : 648+ 972=18 3+ 2 E.2131 1 Sans aucun calcul expliquer pourquoi on peut simplifier la fraction 4 114 7 650 . 2 Calculer le PGCD des entiers 4 114 et 7 650 avec la méth-ode de votre choix en détaillant les calculs. 3 Rendre irréductible la fraction 4 114 7 650 en précisant par quel nombre vous simplifiez. 4 En utilisant les résultats des questions précédentes, met-tre l’expression A suivante sous la forme n 34 , où n est un entier relatif, en détaillant les calculs : 5 4 114 − 4 7 650 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5321 sacados/5321 chapExoCorrec/5322 sacados/5322 chapExoCorrec/5323 sacados/5323 chapExoCorrec/773 sacados/773 Afrique - Juin 2006 chapExoCorrec/2131 sacados/2131 Asie - Juin 2008 - 3 points