Hors programme lycée / Similitudes 43 exercices corrigés

a
1. Transformation et complexe E.3933 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . On considère le point M du plan d’affixe z . Pour chaque question, on associe au point M un point M dont l’affixe z est définie en fonction de z . Déterminer la nature et les caractéristiques de chacune de ces applications : a z = z − 1 + 2 · i b z = 2 · z + 3 − 2 · i c z = 1 2 − 3 2 · i · z + 1 + i E.3934 Dans le plan muni du repère O ; −→ u ; −→ v . On considère les trois similitudes du plan : h est l’homothétie de centre A d’affixe 1+i et de rapport 2 ; t est la translation dont le vecteur a pour affixe − 1+2 · i ; r est la rotation d’angle − 2 ı 3 et de centre B d’affixe 1 − 3 6 +i · − 1 2 − 3 3 . 1 Donner l’expression des applications complexes associés aux similitudes h , t et r . 2 Déterminer les expressions complexes des transforma-tions : a r ◦ h b h ◦ r c t ◦ r d r ◦ t 3 On considère la rotation r de centre C d’affixe 2 et d’angle ı 3 . a Déterminer l’expression complexe de la transformation r ◦ r . b Donner les caractéristiques de la transformation r ◦ r . E.3941 Dans le complexe rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v , on considère la simili-tude directe f d’écriture complexe: z ↦−→ 3 2 · (1 − i) · z + 4 − 2 · i Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et don-ner une démonstration de la réponse choisie : f = r ◦ h où h est l’homothétie de rapport 3 · 2 2 et de centre le point Ω d’affixe − 2 − 2 · i et où r est la rotation de centre Ω et d’angle − ı 4 . E.3935 On considère le plan O ; −→ u ; −→ v ; soit A et A les deux points du plan d’affixes respectives 1 2 − i et − 3+2 · i . 1 Placer les points A et A dans le repère ci-dessus. 2 a Déterminer le centre de l’homothétie h de rapport 2 transformant le point A en A . b Soit M un point du plan et z son affixe. On note M l’image de M par h et z son affixe. Montrer qu’on a la relation: z = 2 · z − 4 + 4 · i c Soit B et C les deux points d’affixes respectives 1 2 − 2 · i et 9 2 − i . Déterminer les affixes des points B et C im-ages des points B et C par l’homothétie h . Placer tous ces points sur le graphique. 3 On considère le point D d’affixe 3 . Soit h l’homothétie de centre D d’affixe 3 et de rapport − 3 2 . a Donner l’expression complexe de la similitude h . b Déterminer les affixes des images de A , B , C . c Tracer l’image du triangle ABC par l’homothétie h . E.4028 Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v . On désigne par m un nombre réel. On considère la transformation T m du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe z définie par : z = ( m + i) · z + m − 1 − i 1 Peut-on choisir m de telle sorte que T m soit une transla-tion? 2 Déterminer le réel m de telle sorte que T m soit une rota-tion. Préciser alors le centre et l’angle de cette rotation. 2. Similitude directe E.3970 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct d’unité graphique 1 cm , on considère les points A , B , C , M , N et P d’affixes respec- tives : a = 1 + i ; b = − 1 + 2 · i ß ; c = 2 + 3 · i m = 7 − 5 · i ; n = 5 − i ; p = 9 + i https://chingmath.fr chapExoCorrec/3933 sacados/3933 chapExoCorrec/3934 sacados/3934 sacados/3941 Extrait de Liban Juin 2008 chapExoCorrec/3935 sacados/3935 -3-2-101234567-4-3-2-1123uv sacados/4028 chapExoCorrec/3970 sacados/3970
1 a Placer les points A , B , C , M , N et P dans le repère. b Calculer les longueurs des côtés des triangles ABC et NMP . c En déduire que ces deux triangles sont semblables. Dans la suite de l’exercice, on se propose de mettre en évi-dence la similitude directe qui transforme le triangle ABC en le triangle MNP . 2 Soit s la similitude directe qui transforme le point A en N et le point B en P . a Montrer qu’une écriture complexe de la similitude s est : z = − 6 5 − 8 5 · i · z + 23 5 + 9 5 · i b Déterminer le rapport, la valeur de l’angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude s . c Vérifier que la similitude s transforme le point C en M . E.3971 Le plan complexe est rapporté à un repère A ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. L’unité graphique est 1 cm . On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument ı 2 . On considère les points B , C et H d’affixes respectives : b = 5 · i ; c = 10 ; h = 2 + 4 · i Construire une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. 1 Étude de la position du point H : a Démontrer que le point H appartient à la droite ( BC ) . b Calculer h h − c , et en déduire que : −−→ HC ; −−→ HA = − ı 2 [2 · ı ] 2 Étude d’une première similitude : a Calculer les rapports : BH AH ; BA AC ; AH CH b Démontrer qu’il existe une similitude directe S 1 qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB . c Déterminer l’écriture complexe de cette similitude S 1 ainsi que ses éléments caractéristiques. E.3972 Le plan est muni d’un repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v d’unité 1 cm . 1 Soient les points C et D d’affixes respectives c =3 et d =1 − 3 · i , et S 1 la similitude qui à tout point M du plan associe le point M 1 image de M par la symétrie d’axe O ; −→ u des réels. a Placer les points C et D puis leurs images respectives C 1 et D 1 par S 1 . On complétera la figure au fur et à mesure de l’exercice. b Donner l’expression complexe de S 1 . 2 Soit S 2 la similitude directe définie par : le point C 1 et son image C d’affixe : c =1+4 · i ; le point D 1 et son image D d’affixe : d = − 2+2 · i . a Montrer que l’expression complexe de S 2 est : z = i · z + 1 + i b En déduire les éléments caractéristiques de cette simil-itude. 3 Soit S la similitude définie par : S = S 2 ◦ S 1 . Déterminer l’expression complexe de S . E.3936 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On considère la transformation f du plan qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z définie par : z = 2 · e 3 · i · π 8 · z On définit une suite de points ( M n ) de la manière suivante : le point M 0 a pour affixe z 0 =i et pour tout entier naturel n : M n +1 = f M n . On note z n l’affixe du point M n . Les points M 0 , M 1 , M 2 et M 3 sont placés sur la figure donnée ci-dessous : 1 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2 On note g la transformation f ◦ f ◦ f ◦ f . a Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g . b En déduire que pour tout entier naturel n : OM n +4 = 4 · OM n ; −−−→ OM n ; −−−−−→ OM n +4 = − ı 2 [2 · ı ] c Compléter la figure en construisant les points M 4 , M 5 et M 6 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3971 sacados/3971 Extrait d'Asie Juin 2010 chapExoCorrec/3972 sacados/3972 Extrait d'Antilles Guyane Juin 2010 chapExoCorrec/3936 sacados/3936 -8-6-4-202468-6-4-2246uvM0M1M2M3M4M5M6
3 Démontrer que pour tout entier naturel : z n = 2 n · e i · π 2 + 3 · n · π 8 4 Soient deux entiers naturels n et p tels que p n . a Exprimer en fonction de n et p une mesure de : −−−→ OM p ; −−−→ OM n . b Démontrer que les points O , M p et M n sont alignés si, et seulement si, n − p est un multiple de 8 . E.4002 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On considère l’application f du plan qui, à tout point M d’affixe z , associe le point d’affixe z et g celle qui, à tout point M d’affixe z , associe le point d’affixe z  défini par : z = 1 + i · 3 2 · z ; z  = e i · π 5 · z 1 Préciser la nature et les éléments caractéristiques des ap-plications f et g . 2 On considère les points A 0 et B 0 d’affixes respectives : a 0 = 2 · e − 2 · i · π 3 ; b 0 = 4 · e − i · π 5 Soient A n et B n les suites de points définies par les relations de récurrences : A n +1 = f A n ; B n +1 = g B n On note a n et b n les affixes respectives de A n et B n . a Quelle est la nature de chacun des triangles OA n A n +1 ? b En déduire la nature du polygone A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . 3 a Montrer que les points B n sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. b Indiquer une mesure de l’angle −−→ OB n ; −−−−→ OB n +2 . c En déduire la nature du polygone B 0 B 2 B 4 B 6 B 8 . 4 Exprimer a n et b n en fonction de n . E.4116 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé. Soit A et C les points d’affixes respectives : a = 3 + 5 · i ; c = 1 + 4 · i Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z définie par : z = (2 − 2 · i) · z + 1 1 Soit M le point d’affixe z = x + i · y , où on suppose que x et y sont des entiers relatifs. Soit M l’image de M par f . Montrer que les vecteurs −−−→ CM et −→ CA sont orthogonaux si, et seulement si, x +3 · y =2 2 On considère l’équation ( E ): x +3 · y =2 , où x et y sont des entiers relatifs. a Vérifier que le couple ( − 4 ; 2) est une solution de ( E ) . b Résoudre l’équation ( E ) . c En déduire l’ensemble des points M dont les coordon-nées sont des entiers appartenant à l’intervalle − 5 ; 5 et tels que les vecteurs −−−→ CM et −→ CA sont orthogonaux. Placer ces points sur la figure. E.4711 Dans le plan complexe, on considère la fonction complexe f définie pour tout nombre z complexe par : f ( z ) = 1 2 · (1 + i) · z + 1 2 + 1 2 · i On définit la suite a n par les relations : a 0 = 4 + 2 · i ; a n +1 = f a n pour tout n ∈ N Pour tout entier n naturel, on définit le point A n d’affixe a n . On considère la similitude S définit par la relation: z = f ( z ) 1 Préciser la nature de S et déterminer ses éléments carac-téristiques. 2 En déduire la convergence de la suite a n . 3. Similitude indirecte E.4003 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . Soient A , B et C les points d’affixes respectives : z A = 2 + i ; z B = 5 + 2 · i ; z C = i s 1 désigne la symétrie d’axe ( AB ) . 1 Démontrer que s 1 transforme tout point M d’affixe z en un point M telle que : z = 4 5 + 3 5 · i · z + − 1 5 + 3 5 · i 2 En déduire l’affixe de C , image de C par la symétrie d’axe ( AB ) . 3 Démontrer que l’ensemble des points M tels que z est imaginaire pur est la droite ( D ) d’équation 4 x +3 y =1 4 Vérifier que le point C appartient à ( D ) . E.3969 Soit O ; −→ u ; −→ v un repère or-thonormé direct du plan complexe (unité graphique: 4 cm ) On désigne par A le point d’affixe : z A =1 . On considère la transformation T du plan qui, à tout point M d’affixe z , associe le point d’affixe − z +2 . 1 Déterminer les images respectives par la transformation T du point A et du point Ω d’affixe 1+i · 3 . 2 En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation T . 3 Déterminer l’image par la transformation T du cercle C de centre O et de rayon 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4002 sacados/4002 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2008 sacados/4116 Extrait d'Amerique du Nord Juin 2007 sacados/4711 chapExoCorrec/4003 sacados/4003 chapExoCorrec/3969 sacados/3969
E.4029 Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v , on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A , B , C , D , E , F , G ont pour affixes respectives. z A = − 2 ; z B = − 2 + i ; z C = i ; z D = 1 z E = 1 + 3 · i ; z F = 5 2 + 3 · i ; z G = 5 2 On considère la similitude indirecte s d’écriture complexe: z = − 2 3 · i · z + 5 3 · i 1 Déterminer l’image du rectangle DEFG par la similitude s . 2 On considère la similitude g = s ◦ s . Déterminer l’image du rectangle OABC par la similitude g . 3 Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. La similitude g a-t-elle des points fixes? Que peut-on en conclure pour g ? E.4033 Dans le plan muni du repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v , on considère les points A d’affixe 3 · i et B d’affixe 6 . 1 Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B . Préciser ses éléments caractéristiques. 2 Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B . E.4113 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . 1 On considère la similitude s admettant l’écriture com-plexe: z = − 6 5 − 8 5 · i · z + 23 5 + 9 5 · i Déterminer l’ensemble des points invariants de la simili-tude s . 2 On considère la similitude ff admettant l’écriture com-plexe: z = i · z + 1 + i Déterminer l’ensemble des points invariants de la simili-tude ff . E.4115 Le plan complexe est rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère les points A et B d’affixes respectives 2 et 1 − i . Déterminer l’écriture complexe de la symétrie axiale d’axe ( AB ) . 4. Annales - Similitudes directes E.3949 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ OI ; −→ OJ orthonormé direct. On considère les points A et B d’affixes respectives : z A = 2 ; z B = 3 2 + i On considère les points M , N et P tels que les triangles AMB , BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous : On note s 1 la similitude directe de centre A qui transforme M en B . On note s 2 la similitude directe de centre O qui transforme B en N . On considère la transformation : r = s 2 ◦ s 1 Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites ( OM ) et ( PN ) sont perpen-diculaires. 1 À l’aide des transformations : a Donner l’angle et le rapport de s 1 et de s 2 . b Déterminer l’image du point M puis celle du point I par la transformation r . c Justifier que r est une rotation d’angle ı 2 dont on pré-cisera le centre. d Quelle est l’image du point O par r ? e En déduire que les droites ( OM ) et ( PN ) sont perpen-diculaires. 2 En utilisant les nombres complexes: a Donner les écritures complexes de s 1 et s 2 . On utilisera les résultats de la question 1 a . b En déduire les affixes z M et z N des points M et N . c Donner, sans justification, l’affixe z p du point P puis démontrer que les droites ( OM ) et ( PN ) sont perpen-diculaires. https://chingmath.fr sacados/4029 Extrait de Metropole Septembre 2010 chapExoCorrec/4033 sacados/4033 Extrait Liban Mai 2006 sacados/4113 sacados/4115 chapExoCorrec/3949 sacados/3949 -2-1234I-2-12JOABMNP
E.3171 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On prendra 5 cm pour unité graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z définie par : z = 1 2 + 1 2 i z + 1 1 Justifier que f est une similitude directe dont on précis-era le centre Ω (d’affixe ! ) , le rapport k et l’angle „ . 2 On note A 0 le point O et, pour tout entier naturel n , on pose : A n +1 = f ( A n ) . a Déterminer les affixes des points A 1 , A 2 , A 3 puis placer les points A 0 , A 1 , A 2 et A 3 . b Pour tout entier naturel n , on pose u n =Ω A n . Justifier que la suite ( u n ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n : u n = 2 · 1 2 n c À partir de quel rang n 0 tous les points A n appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0 ; 1 ? 3 a Quelle est la nature du triangle Ω A 0 A 1 ? En déduire, pour tout entier naturel n , la nature du triangle Ω A n A n +1 . b Pour tout entier naturel n , on note ‘ n la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 : : : A n − 1 A n . On a ainsi : ‘ n = A 0 A 1 + A 1 A 2 + · · · + A n +1 A n . Exprimer ‘ n en fonction de n . Quelle est la limite de la suite ( ‘ n ) ? E.3147 Le plan est muni d’un repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v (unité 1 cm ) . On construira une figure que l’on complétera au fur et à mesure. 1 Soit A le point d’affixe 3, et r la rotation de centre O et d’angle ı 3 . On note B , C , D , E et F les images re-spectives des points A , B , C , D et E par la rotation r . Montrer que B a pour affixe 3 2 + 3 3 2 i 2 Associer à chacun des points C , D , E et F l’une des af-fixes de l’ensemble suivant : − 3 ; − 3 2 + 3 √ 3 2 i ; 3 2 − 3 3 2 i ; − 3 2 − 3 3 2 i 3 a Déterminer r ( F ) . b Quelle est la nature du polygone ABCDEF ? 4 Soit s la similitude directe de centre A , de rapport 1 2 et d’angle ı 3 . Soit s la similitude directe de centre E transformant F en C . a Déterminer l’angle et le rapport de s ? En déduire l’angle et le rapport de s ◦ s . b Quelle est l’image du point D par s ◦ s ? c Déterminer l’écriture complexe de s . 5 Soit A l’image de A par la symétrie de centre C . a Sans utiliser les nombres complexes, déterminer s ( A ) puis l’image de A par s ◦ s . b Calculer l’affixe du point A . Retrouver alors le résul-tat de la question a en utilisant l’écriture complexe s ◦ s . https://chingmath.fr sacados/3171 sacados/3147
E.3203 On complétera la figure donnée en annexe 2 au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie. ABCD est un carré tel que −−→ AB ; −−→ AD =+ ı 2 . Soit I le cen-tre du carré ABCD . Soit J le milieu du segment [ CD ] . On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J . Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de la similitude s . Dans la partie A , on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B , on utilisera les nombres com-plexes. Partie A 1 Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s . 2 On désigne par Ω le centre de cette similitude. Γ 1 est le cercle de diamètre [ AI ] , Γ 2 est le cercle de diamètre [ BJ ] . Démontrer que Ω est l’un des points d’intersection de Γ 1 et Γ 2 . Placer Ω sur la figure. 3 Donner l’image par s de la droite ( BC ) . En déduire le point image par s du point C , puis le point K image du s du point I . 4 On pose h = s ◦ s (composée de s avec elle-même) . a Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques) . b Trouver l’image du point A par h . En déduire que les points A , Ω et K sont alignés. Partie B Le plan complexe est rapporté à un repère A ; −→ u ; −→ v or-thonormé direct, choisi de manière que les points A , B , C et D aient comme affixes respectives 0 , 2 , 2 + 2i et 2i . 1 Démontrer que l’écriture complexe de la similitude est z = 1 2 i z + 1 + i . 2 Calculer l’affixe du point Ω . 3 Calculer l’affixe du point E tel que s ( E )=1 . Placer le point E sur la figure. E.3940 Partie A On suppose connu le résultat suivant : Une application f du plan muni d’un repère orthonormé di-rect dans lui-même est une similitude directe si, et seulement si, f admet une écriture complexe de la forme : z = a · z + b où a ∈ C ∗ et b ∈ C . Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe. Démontrer que si A , B , A et B sont quatre points tels que A est distinct de B et A est distinct de B , alors il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B . Partie B Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v , on considère les points A , B , C , D d’affixes respectives : z A = − 3 − i ; z B = 1 − i · 3 z C = 3 + i ; z D = − 1 + i · 3 1 a Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexes z A , z B , z C et z D . b Construire à la règle et au compas les points A , B , C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm ) . c Déterminer le milieu du segment [ AC ] , celui du seg-ment [ BD ] . Calculer le quotient z B z A . En déduire la nature du quadrilatère ABCD . 2 On considère la similitude directe g dont l’écriture com-plexe est : z = e − i · π 2 · z + 2 . a Déterminer les éléments caractéristiques de g . b Construire à la règle et au compas les images respec-tives E , F et J par g des points A , C et O . c Que constate-t-on concernant ces points E , F et J ? Le démontrer. https://chingmath.fr sacados/3203 ABCD sacados/3940 Pondichery Avril 2008
E.3183 Sur la figure donnée ci-dessous, on considère les carrés OABC et OCDE tels que : −→ OA ; −−→ OC = −−→ OC ; −−→ OE = ı 2 On désigne par I le milieu du segment [ CD ] , par J le milieu du segment [ OC ] et par H le point d’intersection des segments [ AD ] et [ IE ] : 1 Justifier l’existence d’une similitude directe s transfor-mant A en I et D en E . 2 Déterminer le rapport de cette similitude s . On admet que l’angle de la similitude s est égal à ı 2 . 3 Donner, sans justifier, l’image de B par s . 4 Déterminer et placer l’image de C par s . 5 Soit Ω le centre de la similitude s : a Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [ AI ] et à celui de diamètre [ DE ] . b Montrer que Ω ne peut être le point H . c Construire Ω . 6 On considère le repère orthonormé direct O ; −→ OA ; −−→ OC a Déterminer l’écriture complexe de la similitude s . b En déduire l’affixe du centre Ω de s . E.4031 On considère un carré direct ABCD (c’est-à-dire un carré ABCD tel que −−→ AB ; −−→ AD = ı 2 [2 ı ] ) de centre I . Soit J , K et L les milieux respectifs des segments [ AB ] , [ CD ] et [ DA ] . Γ 1 désigne le cercle de diamètre [ AI ] et Γ 2 désigne le cercle de diamètre [ BK ] . Partie A 1 Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe s telle que : s ( A ) = I ; s ( B ) = K 2 Montrer que les cercles Γ 1 et Γ 2 se coupent en deux points distincts : le point J et le centre Ω de la similitude directe s . 3 a Déterminer les images par s des droites ( AC ) et ( BC ) . En déduire l’image du point C par s . b Soit E l’image par s du point I . Démontrer que E est le milieu du segment [ ID ] . 4 Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que les points A , Ω et E sont alignés. (On pourra considérer la transformation t = s ◦ s ) Partie B Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct A ; 1 10 · −−→ AB ; 1 10 · −−→ AD . 1 Donner les affixes des points A , B , C et D . 2 Démontrer que la similitude directe s a pour écriture complexe: z = i 2 · z + 5 + 5 · i 3 Calculer l’affixe ! du centre Ω de s . 4 Calculer l’affixe z E du point E et retrouver l’alignement des points A , Ω et E . 5 Démontrer que les droites ( AE ) , ( CL ) et ( DJ ) sont con-courantes au point Ω . https://chingmath.fr sacados/3183 ABCDEOIJH chapExoCorrec/4031 sacados/4031 Amerique du Sud Novembre 2009 5 points
E.4127 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère la similitude indirecte f d’écriture complexe: z = 1 + i · 3 · z où z désigne le conjugué de z . Soient les points A et B d’affixes respectives : z A = 6 + i · 2 ; z B = − 2 + i · 6 On note A et B les images respectives des points A et B par f . Une figure fournie en ANNEXE du sujet, sera com-plétée et rendue avec la copie. Les différentes con-structions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement. 1 a Écrire les affixes des points A et B sous forme expo-nentielle. b Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle di-rect. c En déduire la nature du triangle OA B . d Montrer que l’affixe z A de A vérifie l’égalité: z A = 2 · z A En déduire la construction de A et B . 2 On note r la rotation de centre O et d’angle de mesure ı 3 et s la symétrie orthogonale d’axe O ; −→ u . On pose : g = r ◦ s . a Déterminer l’écriture complexe de la transformation g . b Montrer que les points O et A sont invariants par g . c En déduire la nature de la transformation g . 3 a Montrer que l’on peut écrire f = h ◦ g , où h est une homothétie de centre et de rapport à déterminer. b Sur la figure placée en ANNEXE , un point C est placé. Faire la construction de l’image C de C par la transformation f . 5. Annales - Similitudes indirectes E.3159 Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v (unité graphique 4 cm ) Partie I 1 Placer les points I , J , H , A , B , C , D d’affixes respec-tives : z I = 1 ; z J = i ; z H = 1 + i ; z A = 2 z B = 3 2 + i ; z C = 2i ; z D = − 1 2 Soit E l’image de B par la symétrie de centre H . La perpendiculaire à la droite ( AE ) passant par C et la par-allèle à la droite ( OC ) passant par D se coupent en F . Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe z F = − 1+ 1 2 · i . 3 Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques. Partie II On considère la transformation f du plan, d’écriture com-plexe: z = − i · z + 2i 1 Déterminer les images des points O , A , B par f . 2 a Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie? b Déterminer l’ensemble des points invariants par f . c La transformation f est-elle une symétrie axiale? 3 Soit t la translation de vecteur −→ IJ . Donner l’écriture complexe de t et celle de sa réciproque t − 1 . 4 On pose : s = f ◦ t − 1 a Montrer que l’écriture complexe de s est : z = − i · z + 1 + i b Montrer que I et J sont invariants par s . En déduire la nature de s . c En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4127 sacados/4127 -2-12345678I-6-5-4-3-2-1234JOABC chapExoCorrec/3159 sacados/3159
E.3938 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On fera une figure que l’on complétera avec les différents élé-ments intervenant dans l’exercice. 1 On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe 1 . On appelle S la réflexion (symétrie axiale) d’axe ( AB ) . Montrer que l’image M par S d’un point M d’affixe z a pour affixe : z = − i · z + 1 + i 2 On note H l’homothétie de centre A et de rapport − 2 . Donner l’écriture complexe de H . 3 On note f la composée H ◦ S . a Montrer que f est une similitude. b Déterminer l’écriture complexe de f . 4 On appelle M l’image d’un point M par f . a Démontrer que l’ensemble des points M du plan tels que −−→ AM = −−−→ AM est la droite ( AB ) . b Démontrer que l’ensemble des points M du plan tels que −−→ AM = −−→ AM est la perpendiculaire en A à la droite ( AB ) . E.3942 Le plan complexe est rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct l’unité graphique est 2 cm . On considère les points A , B , C , D et E d’affixes re-spectives : a = 2 ; b = 2 + 3 · i ; c = 3 · i d = − 5 2 ; e = − 5 2 1 Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice. 2 On admet que deux rectangles sont semblables si, et seulement si, le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles. Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu’ils sont semblables. 3 Étude d’une similitude directe transformant OABC en ABDE . a Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe s qui transforme O en A et A en B . b Démontrer que la similitude s transforme OABC en ABDE . c Quel est l’angle de la similitude s ? d Soit Ω le centre de cette similitude. En utilisant la composée s ◦ s , démontrer que le point Ω appartient aux droites ( OB ) et ( AD ) . En déduire la position du point Ω . 4 Étude d’une similitude indirecte transformant OABC en BAED . a Montrer que l’écriture complexe de la similitude indi-recte s qui transforme O en B et qui laisse A invariant est : z = 3 2 · i · z + 2 + 3 · i où z désigne le conjugué du nombre complexe z . b Montre que s transforme OABC en BAED . c Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que s est la composée de la réflexion d’axe ( OA ) suivie d’une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques. https://chingmath.fr sacados/3938 Amerique du Sud Novembre 2007 sacados/3942 Centres etrangers Juin 2008
E.3945 Le plan est rapporté au repère or-thonormé O ; −→ u ; −→ v . Unité graphique : 4 cm . Partie I 1 Placer les points I , J , H , A , B , C , D d’affixes respec-tives : z I = 1 ; z J = i ; z H = 1 + i z A = 2 ; z B = 3 2 + i ; z C = 2 · i z D = − 1 2 Soit E l’image du point B par la symétrie de centre H . La perpendiculaire à la droite ( AE ) passant par C et la parallèle à la droite ( OC ) passant par D se coupent en F . Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe : z F = − 1 + 1 2 · i . 3 Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques. Partie II On considère la transformation f du plan, d’écriture com-plexe: z = − i · z + 2 · i 1 Déterminer les images des points O , A , B par f . 2 a Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie? b Déterminer l’ensemble des points invariants par f . c La transformation f est-elle une symétrie axiale? 3 Soit t la translation de vecteur −→ IJ . Donner l’écriture complexe de t et celle de sa réciproque t − 1 . 4 On pose s = f ◦ t − 1 : a Montrer que l’écriture complexe de s est : z = − i · z + 1 + i b Montrer que I et J sont invariants par s . En déduire la nature de s . c En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser. E.4032 Le plan P est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On fera une figure que l’on complétera avec les différents élé-ments intervenant dans l’exercice. 1 On considère les points A d’affixe 1 et B d’affixe i . On appelle S la réflexion (symétrie axiale) d’axe ( AB ) . Montrer que l’image M par S d’un point m d’affixe z a pour affixe : z = − i · z + 1 + i 2 On note H l’homothétie de centre A et de rapport − 2 . Donner l’écriture complexe de H . 3 On note f la composée H ◦ S . a Montrer que f est une similitude. b Déterminer l’écriture complexe de f . 4 On appelle M  l’image d’un point M par f . a Démontrer que l’ensemble des points M du plan tels que : −−−→ AM  = − 2 · −−→ AM est la droite ( AB ) . b Démontrer que l’ensemble des points M du plan tels que : −−−→ AM  = 2 · −−→ AM est la perpendiculaire en A à la droite ( AB ) . 6. Annales - Suites de points E.3176 Le plan est muni d’un repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v (unité graphique 4 cm ) . Soit Ω le point d’affixe 2. On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle ı 4 et h l’homothétie de centre Ω et de rapport 2 2 . 1 On pose ff = h ◦ r . a Quelle est la nature de la transformation ff ? Préciser ses éléments caractéristiques. b Montrer que l’écriture complexe de ff est : z ↦−→ 1 + i 2 z + 1 − i c Soit M un point quelconque du plan d’affixe z . On désigne par M son image par ff et on note z l’affixe de M . Montrer que : z − z = i · 2 − z 2 a Question de cours Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques modules et des arguments. Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a , alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle ı 2 est le point Q d’affixe q telle que : q − a =i( p − a ) . b Déduire des questions précédentes la nature du trian-gle Ω MM , pour M distinct de Ω . 3 Soit A 0 le point d’affixe 2+i . On considère la suite A n de points du plan définis par : pour tout entier naturel n : A n +1 = ff A n . a Montrer que, pour tout entier naturel n , l’affixe a n de A n est donnée par : a n = 2 2 e i ( n +2) π 4 + 2 b Déterminer l’affixe de A 5 . 4 Déterminer le plus petit entier n 0 tel que l’on ait: pour n n 0 , le point A n est dans le disque de centre Ω et de rayon 0 ; 01 . https://chingmath.fr sacados/3945 Nouvelle-Caledonie Novembre 2005 chapExoCorrec/4032 sacados/4032 Amerique du Sud Novembre 2007 5 points sacados/3176
E.3946 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On prendra 5 cm pour unité graphique. Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z , asso-cie le point M d’affixe z définie par : z = 1 2 + 1 2 · i · z + 1 1 Justifier que f est une similitude directe dont on précis-era le centre Ω (d’affixe ! ) , le rapport k et l’angle „ . 2 On note A 0 le point O et, pour tout entier naturel n , on pose : A n +1 = f A n a Déterminer les affixes des points A 1 , A 2 , A 3 puis placer les points A 0 , A 1 , A 2 et A 3 . b Pour tout entier naturel n , on pose u n =Ω A n . Justifier que la suite ( u n ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n : u n = 2 · 1 2 n c À partir de quel rang n 0 , tous les points A n appartiennent-ils au disque de centre Ω et de rayon 0 ; 1 ? 3 a Quelle est la nature du triangle Ω A 0 A 1 ? En déduire, pour tout entier naturel n , la nature du triangle Ω A n A n +1 . b Pour tout entier naturel n , on note ‘ n la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 : : : A n − 1 A n . On a ainsi : ‘ n = A 0 A 1 + A 1 A 2 + · · · + A n − 1 A n . Exprimer ‘ n en fonction de n . Quelle est la limite de la suite ( ‘ n ) ? E.3947 Le plan est muni d’un repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v (unité graphique: 4 cm ) . Soit Ω le point d’affixe 2 . On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle ı 4 et h l’homothétie de centre Ω et de rapport 2 2 . 1 On pose : ff = h ◦ r . a Quelle est la nature de la transformation ff ? Préciser ses éléments caractéristiques. b Montrer que l’écriture complexe de 4 ff est : z ↦−→ 1 + i 2 · z + 1 − i . c Soit M un point quelconque du plan d’affixe z . On désigne par M son image par ff et on note z l’affixe de M . Montrer que : z − z = i · (2 − z ) 2 a Question de cours : Prérequis : définitions géométriques du module d’un complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des argu-ments. Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a , alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle ı 2 est le point Q d’affixe q telle que : q − a = i · ( p − a ) . b Déduire des questions précédentes la nature du trian-gle Ω MM , pour M distinct de Ω . 3 Soit A 0 le point d’affixe 2 + i . On considère la suite ( A n ) de points du plan définis par : pour tout entier naturel n : A n +1 = ff ( A n ) . a Montrer que, pour tout entier naturel n , l’affixe a n de A n est donnée par : a n = 2 2 2 · e i · ( n +2) π 2 + 2 b Déterminer l’affixe de A 5 . 4 Déterminer le plus petit entier n 0 tel que l’on ait: pour n n 0 , le point A n est dans le disque de centre Ω et de rayon 0 ; 01 . 7. Annales - Arithmétiques E.3943 Le plan est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Soient A et B les points d’affixes respectives : z A = 1 − i ; z B = 7 + 7 2 · i 1 On considère la droite ( d ) d’équation : 4 · x +3 · y =1 . Démontrer que l’ensemble des points de ( d ) dont les coordonnées sont entières est l’ensemble des points M k (3 · k +1 ; − 4 · k − 1) lorsque k décrit l’ensemble des en-tiers relatifs. 2 Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en M − 1 ( − 2 ; 3) . 3 Soit s la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe : z = 2 3 · i · z + 1 3 − 5 3 · i Déterminer l’image de A par s , puis donner la nature et les éléments caractéristiques de s . 4 On note B 1 l’image de B par s et pour tout entier naturel n non nul, B n +1 l’image de B n par s : a Déterminer la longueur AB n +1 en fonction de AB n . b À partir de quel entier n le point B n , appartient-il au disque de centre A et de rayon 10 − 2 ? c Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels A , B 1 et B n sont alignés. https://chingmath.fr sacados/3946 Pondichery Avril 2006 sacados/3947 Amerique du Nord Mai 2006 sacados/3943 Metropoles Juin 2008
E.3944 1 Le plan complexe est rapporté à un repère à un repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v . Soient A , B et C les points d’affixes respectives : z A = 2 + i ; z B = 5 + 2 · i , z C = i s 1 désigne la symétrie d’axe ( AB ) . a Démontrer que s 1 transforme tout point M d’affixe z en un point M d’affixe z telle que : z = 4 5 + 3 5 · i · z + − 1 5 + 3 5 · i b En déduire l’affixe de C , image de C par la symétrie d’axe ( AB ) . c Démontrer que l’ensemble des points M tels que z est imaginaire pur est la droite ( D ) d’équation : 4 · x + 3 · y = 1 d Vérifier que le point C appartient à D . 2 a Démontrer que les droites ( D ) et ( AB ) sont sécantes en un point Ω dont on précisera l’affixe ! . b On désigne par s 2 la symétrie d’axe ( D ) et par f la transformation définie par f = s 2 ◦ s 1 . Justifier que f est une similitude directe et préciser son rapport. c Déterminer les images des points C et Ω par la trans-formation f . d Justifier que f est une rotation dont on donnera le centre. 3 Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n’aboutit pas. a Déterminer les couples d’entiers relatifs ( x ; y ) solutions de l’équation: 4 · x + 3 · y = 1 . b Déterminer les points de ( D ) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à 9 . E.4071 ABC est un triangle équilatéral tel que : −−→ AB ; −→ AC = ı 3 + 2 · k · ı où k ∈ Z Soit t un nombre réel fixe et soient les points M , N et P , deux à deux distincts, définis par : −−→ AM = t · −−→ AB ; −−→ BN = t · −−→ BC ; −−→ CP = t · −→ CA Le but de l’exercice est de démontrer l’existence d’une unique similitude directe ff qui transforme les points A , B et C en respectivement M , N et P , et d’en préciser les éléments car-actéristiques. On munit le plan d’un repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v direct. On note a , b , c , m , n et p , les affixes respectives des points A , B , C , M , N et P : 1 On rappelle que toute similitude conserve le barycentre. a Exprimer m , n et p en fonction de a , b , c et t . b En déduire que les deux triangles ABC et MNP ont le même centre de gravité. On notera G ce centre de gravité. c On suppose que ff existe. Déterminer l’image de G par ff . 2 On considère la rotation r de centre G et d’angle 2 · ı 3 . a Vérifier que M est le barycentre du système de points : ( A ; 1 − t ) ; ( B ; t ) et, en déduire que : r ( M )= N . On admet de même que : r ( N )= P ; r ( P )= M . b Soit ff 1 , la similitude directe de centre G de rapport GM GA et d’angle −→ GA ; −−→ GM . Montrer qu’elle transforme les points A , B et C en respectivement M , N et P . c Conclure sur l’existence et l’unicité de ff . https://chingmath.fr sacados/3944 La Reunion Juin 2008 sacados/4071 Guyane-Antilles Septembre 2007 5 points
E.3215 Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indi-quera sur la copie le numéro de la question et la lettre corre-spondant à la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0 ; 5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée. 1 On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation: x 2 − x + 4 ≡ 0 ( mod. 6) a Toutes les solutions sont des entiers pairs. b Il n’y a aucune solution. c Les solutions vérifient x ≡ 2 ( mod. 6) d Les solutions vérifient x ≡ 2 ( mod. 6) ou x ≡ 5 ( mod. 6) . 2 On se propose de résoudre l’équation ( E ) : 24 x +34 y = 2 , où x et y sont des entiers relatifs. a Les solutions de ( E ) sont toutes de la forme : ( x ; y ) =(34 k − 7 ; 5 − 24 k ) où k ∈ Z b L’équation ( E ) n’a aucune solution. c Les solutions de ( E ) sont toutes de la forme : ( x ; y ) =(17 k − 7 ; 5 − 12 k ) où k ∈ Z d Les solutions de ( E ) sont toutes de la forme : ( x ; y ) =( − 7 k ; 5 k ) où k ∈ Z 3 On considère les deux entiers n =1789 et p =1789 2005 . On a alors: a n ≡ 4 ( mod. 17) et p ≡ 0 ( mod. 17) . b p est un entier premier. c p ≡ 4 ( mod. 17) . d p ≡ 1 ( mod. 17) . 4 On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, les points A et B d’affixes respectives a et b . Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [ AB ] si, et seulement, si le point M d’affixe z est tel que : a z = b − i a 1 − i b a − z = i( b − z ) c z − a = e i π 4 ( b − a ) d b − z = ı 2 ( a − z ) 5 On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [ AB ] . Soit f la similitude directe de centre A , de rapport 2 et d’angle 2 ı 3 ; soit g la similitude directe de centre A , de rapport 1 2 et d’angle ı 3 ; soit h la symétrie centrale de centre I a h ◦ g ◦ f transforme A en B et c’est une rotation. b h ◦ g ◦ f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [ AB ] . c h ◦ g ◦ f n’est pas une similitude. d h ◦ g ◦ f est la translation de vecteur −−→ AB . E.3218 Pour chacune des six affirmations, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant le choix effectué. 1 Le PGCD de 2004 et 4002 est 6 . 2 Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, 2 pq − 1 est divisible par 2 p − 1 et 2 q − 1 . 3 Pour tout n ∈ N ∗ , 2 n − 1 n’est jamais divisible par 9 . 4 L’ensemble des couples d’entiers solutions de l’équation: 24 x + 35 y = 9 est l’ensemble des couples : ( − 144+70 k ; 99 − 24 k ) où k ∈ Z 5 Soient A et B deux points distincts du plan ; si on note f l’homothétie de centre A et de rapport 3 et g l’homothétie de centre B et de rapport 1 3 alors g ◦ f est la translation de vecteur −−→ AB . 6 Soit s la similitude d’écriture complexe z =i z +(1 − i) , l’ensemble des points invariants de s est une droite. 8. Similitudes E.3937 On démontrera sans démonstra-tion les deux propriétés suivantes : Propriété 1: Toute similitude indirecte qui transforme un point M d’affixe z en un point M d’affixe z admet une expression complexe de la forme : z = a · z + b où a ∈ C ∗ et b ∈ C . Propriété 2: Soit C un point d’affixe c . Pour tout point D , distinct de C , d’affixe d et pour tout point E , distinct de C , d’affixe e , on a: −−→ CD ; −−→ CE = arg e − c d − c [2 · ı ] Question: Montrer qu’une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé. E.3939 On suppose connu le résultat suiv-ant : Une application f du plan muni d’un repère orthonormé di-rect dans lui-même est une similitude directe si, et seulement si, f admet une écriture complexe de la forme : z = a · z + b où a ∈ C ∗ et b ∈ C . Démonstration de cours : on se place dans le plan complexe. Démontrer que si A , B , A et B sont quatre points tels que A est distinct de B et A est distinct de B , alors il existe une unique similitude directe transformant A en A et B en B . E.3948 Question de cours : Prérequis: définitions géométriques du module d’un com-plexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments. Démontrer que : si A est un point donné d’affixe a , alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle ı 2 est le point Q d’affixe q telle que : q − a =i · ( p − a ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3215 sacados/3215 France Septembre 2005 5 points chapExoCorrec/3218 sacados/3218 chapExoCorrec/3937 sacados/3937 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2010 chapExoCorrec/3939 sacados/3939 Extrait Pondichery Avril 2008 chapExoCorrec/3948 sacados/3948 Extrait d'Amerique du Nord Mai 2006
9. Exercices non-classés E.4315 On considère l’équation: ( E ) : 3 · x − 2 · y = 1 1 a Montrer que le couple ( − 1 ; − 2) est une solution de ( E ) . b Déterminer tous les couples ( x ; y ) d’entiers relatifs véri-fiant l’équation ( E ) . 2 Soient d et d les droites d’équations respectives : y = 2 · x + 4 ; 3 · x − 2 · y = 1 a Vérifier que pour tout entier relatif k , le point A k de coordonnées ( k − 3 ; 2 · k − 2) appartient à la droite d . On admettra que ce sont les seuls points de d à coor-données entières. b Montrer que les seuls points de d à coordonnées en-tières sont les points B k de coordonnées : ( 2 · k − 1 ; 3 · k − 2 ) où k ∈ Z . 3 a Existe-t-il deux entiers relatifs k et k tels que : A k = B k ? b Déterminer les entiers relatifs k et k tels que le seg-ment A k B k soit parallèle à l’axe des abscisses. c Trouver l’entier q tel que : −−−−→ A 3 q B 2 q =4 · −→ u 4 Soit Ω un point quelconque du plan dont l’affixe est notée ! . On note H le milieu du segment A 6 B 4 . On désigne par f la similitude directe de centre Ω , de rapport 1 2 et d’angle − ı 2 . a Donner l’écriture complexe de la similitude f . b Déterminer l’affixe du point Ω pour que l’image du point H soit l’origine O du repère. E.4653 Soit un triangle équilatéral direct ABC et soit D un point du segment [ BC ] . La parallèle à la droite ( AC ) menée par D coupe la droite ( AB ) en E et la parallèle à la droite ( AB ) menée par D coupe la droite ( AC ) en F . Soit le point G , centre de gravité du triangle ABC et les points H et A , images de G et A par la symétrie d’axe ( BC ) . On définit les points I et J centres de gravité respectifs des triangles BDE et CDF . On définit les similitudes directes S 1 , de centre C , de rapport 3 , d’angle ı 6 et S 2 , de centre B , de rapport 1 3 , d’angle ı 6 et leur composée : f = S 2 ◦ S 1 1 Déterminer les images de J et H par f . 2 Déterminer la nature et des éléments caractéristiques de f . 3 En déduire la nature du triangle HIJ . https://chingmath.fr sacados/4315 sacados/4653