Hors programme lycée / Suites arithmétiques et géométriques 56 exercices corrigés

a
1. Suites arithmétiques: premiers termes E.4582 On considère la suite u n , où n ∈ N , définie par la relation de récurrence : u 0 = 5 ; u n +1 = u n − 2 1 Donner la nature de la suite u n et ses éléments carac- téristiques. 2 Donner la formule explicite donnant la valeur de u n en fonction de n . 3 Déterminer la valeur de u 20 . 2. Suites arithmétiques: éléments caractéristiques E.57 Soit ( u n ) une suite vérifiant pour tout entier naturel n : u n +1 − u n = r où r ∈ R Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N , on a: u n +1 = u 0 + n × r E.7593 On considère la suite u n définie pour tout entier positif ou nul ( n ∈ N ) arithmétique dont on connait la valeur des deux termes suivants : u 7 =3 ; u 22 =15 Déterminer les éléments caractéristiques des termes de la suite u n . E.7594 On considère la suite u n définie pour tout entier positif ou nul ( n ∈ N ) arithmétique dont on connait la valeur des deux termes suivants : u 9 =6 ; u 24 =8 ; 1 Déterminer les éléments caractéristiques des termes de la suite u n . E.4577 On considère la suite u n arithmétique, définie pour tout n ∈ N , dont on a les valeurs des deux termes : u 4 = 3 ; u 7 = 15 1 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite u n . 2 Donner la formule de récurrence, puis la formule explicite caractérisant la suite u n E.4618 On considère la suite u n arithmétique, définie pour tout n ∈ N , dont on connait les valeurs des deux termes : u 7 = 23 ; u 13 = − 1 1 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite u n . Justifier votre démarche. 2 Donner la formule explicite définissant un terme de la suite u n en fonction de son rang n . E.9494 On considère la suite v n arithmétique définie par : v 0 = 6 ; v n +1 = v n − 2 pour tout n ∈ N 1 Donner les éléments caractéristiques de la suite v n . 2 Déterminer la valeur des 6 premiers termes de la suite v n . 3. Suites arithmétiques: reconnaitre E.4574 On considère la suite u n , définie pour n ∈ N , dont les premiers termes sont : u 0 = 2 ; u 1 = 5 ; u 2 = 9 ; u 3 = 12 Justifier que la suite u n n’est pas une suite arithmétique. E.7596 On considère la suite u n , définie pour n ∈ N , dont les premiers termes sont : u 0 = 5 ; u 1 = 6 ; 5 ; u 2 = 7 ; u 3 = 8 ; 5 Justifier que la suite u n n’est pas une suite arithmétique. 4. Suites géométriques: premiers termes E.4573 On considère la suite u n géométrique, définie pour tout n ∈ N , de premier terme 2 et de raison 3 . Déterminer les cinq premiers termes de cette suite. 5. Suites géométriques: éléments caractéristiques E.48 Soit q ∈ R ∗ . Montrer par récurrence que si les termes de la suite ( u n ) véri- fie u n +1 u n = q pour tout entier naturel n , alors pour tout n ∈ N , on a: u n = u 0 × q n https://chingmath.fr chapExoCorrec/4582 sacados/4582 sacados/57 chapExoCorrec/7593 sacados/7593 chapExoCorrec/7594 sacados/7594 chapExoCorrec/4577 sacados/4577 chapExoCorrec/4618 sacados/4618 chapExoCorrec/9494 sacados/9494 chapExoCorrec/4574 sacados/4574 chapExoCorrec/7596 sacados/7596 chapExoCorrec/4573 sacados/4573 sacados/48
E.9490 On considère la suite v n définie ex-plicitement, pour tout n ∈ N , par la relation en fonction du rang n : v n = 2 × 3 n Justifier que la suite v n est une suite géométrique. Donner la raison de cette suite. E.7718 On considère la suite v n définie pour tout entier positif ou nul ( n ∈ N ) géométrique dont on connait la valeur des deux termes suivants : v 3 =256 ; v 8 =781 ; 25 Déterminer les éléments caractéristiques des termes de la suite v n . E.7749 On considère la suite v n définie pour tout entier positif ou nul ( n ∈ N ) géométrique dont on connait la valeur des deux termes suivants : v 2 =250 ; v 7 =81 ; 92 Déterminer les éléments caractéristiques des termes de la suite v n . E.9489 On considère la suite v n géométrique, définie pour tout n ∈ N , et dont on connait les valeurs des deux termes : v 2 = 2 ; v 5 = 54 1 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite v n . 2 Donner la formule de récurrence, puis la formule explicite caractérisant la suite v n E.9491 On considère la suite v n géométrique, où n ∈ N , dont on connait les valeurs des deux termes suiv-ants : v 3 = 4 ; v 8 = 243 8 1 Déterminer les éléments caractéristiques de la suite v n . Justifier votre démarche. 2 Donner la formule explicite définissant la valeur d’un terme de la suite v n en fonction de son rang. E.4608 On considère la suite u n définie pour tout n ∈ N et dont le terme de rang n est définie par : u n = 7 × 4 n − 2 × 3 n 1 Montrer que la suite u n vérifie la relation: u n +2 = 7 · u n +1 − 12 · u n 2 a Établir l’identité: u n +2 − 3 u n +1 = 4 · u n +1 − 3 u n b On définit la suite v n n ∈ N par la relation: v n = u n +1 − 3 · u n Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la suite v n . 6. Suite géométrique: reconnaitre E.9485 On considère la suite v n définie pour tout n ∈ N et dont les premiers termes sont : v 0 = 8 ; v 1 = 4 ; v 2 = 2 ; v 3 = 1 2 Justifier que la suite v n n’est pas une suite géométrique. E.9487 On considère la suite v n définie pour tout n ∈ N et dont les premiers termes sont : v 0 = 108 ; v 1 = 36 ; v 2 = 12 ; v 3 = 2 Justifier que la suite v n n’est pas une suite géométrique. 7. Suites géométriques: modélisation E.7202 Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger. Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 % . On désigne par u n le nombre de films proposés où n désigne le nombre de mois depuis l’ouverture du site. 1 Calculer u 1 et u 2 et donner le résultat arrondi à l’unité. Dans la suite de l’exercice, on admet que la suite u n est une suite géométrique de premier 500 : 2 Exprimer u n en fonction de n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/9490 sacados/9490 chapExoCorrec/7718 sacados/7718 chapExoCorrec/7749 sacados/7749 chapExoCorrec/9489 sacados/9489 chapExoCorrec/9491 sacados/9491 chapExoCorrec/4608 sacados/4608 chapExoCorrec/9485 sacados/9485 chapExoCorrec/9487 sacados/9487 chapExoCorrec/7202 sacados/7202
E.2025 L’évolution d’une maladie en-tre 1987 et 2001 est modélisée par une fonction f , dont la représentation graphique est donnée ci-dessous : 1 Tracer le tableau de variations de cette fonction sur l’intervalle [1987 ; 2001] . 2 Sur quelle période y a-t-il une augmentation du nombre de nouveaux cas de maladie? 3 Quel est le nombre maximum de nouveaux cas déclarés? En quelle année? 4 On a relevé le nombre de nouveaux cas entre 1998 et 2001 dans le tableau suivant : Année 1998 1999 2000 2001 Nombre de nouveaux cas 1908 1777 1668 1552 De quel pourcentage le nombre de nouveaux cas varie-t-il entre 1998 et 1999, entre 1999 et 2000, puis entre 2000 et 2001? Arrondir les pourcentages à l’unité. 5 On suppose, qu’à partir de 2001, le nombre de nouveaux cas de maladie en l’année, 2001+ n a Exprimer u n +1 en fonction de u n . Quelle est la nature de la suite ( u n ) ? b Exprimer u n en fonction de n . c Quel est le nombre de nouveaux cas de maladie que l’on peut estimer pour 2003? Pour 2004? E.7567 Un demandeur d’emploi se voit proposer deux offres : Un salaire initial de 1150 euros par mois et une augmen-tation de 5 % par mois. On note a n la suite de ces revenus mensuels avec cette proposition. Un salaire initial de 1200 euros par mois et une augmen-tation de 3 % par mois. On note b n la suite de ces revenus mensuels avec cette proposition. 1 Donner la nature et les éléments caractéristiques de cha-cune des suites a n et b n . 2 Compléter le tableau ci-dessous en arrondissant les valeurs des termes au centième près. n 0 1 2 3 4 a n b n 3 a Au bout du 5 ième mois, quelle est la proposition ren-dant le salaire le plus avantageux? b À la vue de la somme reçue au terme des cinq mois, quelle est la proposition la plus avantageuse? https://chingmath.fr sacados/2025 Année019881990199219941996199820002002Nombre de cas100020003000400050006000 chapExoCorrec/7567 sacados/7567
E.1890 Partie A Sur la figure ci-dessous, ABCDEF est un hexagone régulier de centre O et A , B , C ’, D , E , F sont les milieux des côtés de cet hexagone. On admet que A B C D E F est également un hexagone de centre O . D’autre part, on rappelle que tout triangle formé par le cen-tre et deux sommets consécutifs d’un hexagone régulier est un triangle équilatéral. 1 On admet que : OA = 3 2 · OA . Montrer que : A B AB = 3 2 . 2 On note s , s , a et a les aires respectives du triangle OAB , du triangle OA B , de l’hexagone ABCDEF et de l’hexagone A B C D E F . a Prouver que : s s = 3 4 . b Exprimer a en fonction de a . Partie B Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats de la partie A même s’ils n’ont pas été démontrés. Sur la figure de l’annexe, A 0 B 0 C 0 D 0 E 0 F 0 est un hexagone régulier dont le côté A 0 B 0 mesure 8 cm et A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , E 1 , F 1 sont les milieux des côtés de cet hexagone. Plus généralement, pour tout entier naturel n , on note A n +1 , B n +1 , C n +1 , D n +1 , E n +1 , F n +1 les milieux des côtés [ A n B n ] , [ B n C n ] ,. . . , [ F n A n ] de l’hexagone A N B n C n D n E n F n . 1 Sur la figure de la feuille annexe à rendre avec la copie, tracer les hexagones A 3 B 3 C 3 D 3 E 3 F 3 et A 4 B 4 C 4 D 4 E 4 F 4 . 2 On note c n le côté en centimètres de l’hexagone A n B n C n D n E n F n . a Prouver que ( c n ) est une suite géométrique de raison 3 2 . b En déduire l’expression de c n en fonction de n . c Déterminer la valeur exacte de la longueur A 4 B 4 . 3 On note a n l’aire en cm 2 de l’hexagone A n B n C n D n E n F n . a Quelle est la nature de la suite ( a n ) ? Montrer que pour tout entier naturel n , on a: a n = a 0 · 3 4 n . b Vérifier que l’aire de A 4 B 4 C 4 D 4 E 4 F 4 est inférieure au tiers de celle de A 0 B 0 C 0 D 0 E 0 F 0 . 8. Suites arithmétiques et géométriques E.4576 Les suites de cet exercice sont définies pour un rang n entier positif ou nul ( n ∈ N ) : 1 Déterminer la nature de chacune des suites ci-dessous et ses éléments caractéristiques : a a 0 =3 ; a n +1 = a n − 2 b b 0 =5 ; b n +1 =2 · b n c c 0 = 1 2 ; c n +1 = 3 4 · c n d d 0 = − 1 ; d n +1 = d n +1 2 Déterminer la nature de chacune des suites ci-dessous et ses éléments caractéristiques : a e n = 3 n − 2 b f n = 2 × 3 n c g n = 5 2 n d h n = 1 − n E.4710 On considère les deux suites u n et v n , définies pour des rangs n positifs ou nuls ( n ∈ N ) dont les premiers termes sont donnés ci-dessous : u n : (2 ; 6 ; 9 ; 12 ; : : : ) v n : 54 ; 6 ; 2 9 ; 2 81 ; : : : Justifier que chacune de ces suites ne peut être ni arithmé-tique, ni géométrique. https://chingmath.fr sacados/1890 France - Septembre 2006 - 9 points ABCDEFA0B0C0D0F0E0 ABCDEFA2B2C2D2E2F2A1B1C1D1F1E1 chapExoCorrec/4576 sacados/4576 chapExoCorrec/4710 sacados/4710
E.37 Voici les 7 premiers termes de quatre suites : 1 13 ; 14,5 ; 16 ; 17,5 ; 19 ; 20,5 ; 22 2 300 ; 278 ; 266 ; 254 ; 244 ; 232 ; 220 3 2 ; 6 ; 18 ; 44 ; 132 ; 396 ; 1188 4 0,0625 ; 0,125 ; 0,25 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 4 Déterminer parmi ces suites : celles qui peuvent être de nature arithmétique ou géométrique. celles qui ne sont ni arithmétique ni géométrique. E.187 On considère la suite ( u n ) n dont on connait les premiers termes : Rang n 0 1 2 3 Valeur du terme u n 2 4 8 10 1 Montrer que la suite ( u n ) n n’est pas une suite arithmé-tique. 2 Montrer que la suite ( u n ) n n’est pas une suite géométrique. E.4578 On considère les deux suites u n et v n définies par récurrence par les relations où les rangs n de leurs termes sont des entiers positifs ou nuls ( n ∈ N ) : u n +1 = u n + 0 ; 75 ; u 0 = 2 v n +1 = 2 · v n ; v 0 = 0 ; 125 1 Quelles sont les natures des suites u n et v n ? On précisera les éléments caractéristiques de ces deux suites. 2 Compléter le tableau suivant avec les valeurs de la suite arrondies au dixième près : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u n v n 3 Placer les points ( n ; u n ) et ( n ; v n ) représentant ces deux suites dans le repère O ; I ; J ci-dessous : E.9492 1 On considère la suite ( v n ) n arithmétique de premier terme u 0 =3 et de raison 1 ; 5 . Donner la valeur du terme v n en fonction du rang n . 2 On considère la suite ( w n ) n géométrique de premier terme w 0 =2 et de raison 2. Donner la valeur du terme w n en fonction du rang n . 9. Suites arithmétiques et géométriques: modélisation E.175 Dans le cadre de leurs T . P . E . (Travaux Personnels Encadrés) , deux lycéens de première souhaitent étudier l’évolution de la population de grenouilles de l’étang de la commune. Selon le club des écologistes de cette com-mune, cette population serait en voie de disparition et les membres du club s’inquiètent. Pour effectuer leur étude, les deux lycéens ne disposent d’abord que des deux relevés suiv-ants qui ont été effectués par le club : Date du relevé 1 er novembre 2002 1 er novembre 2003 Population de grenouilles 1000 950 Rang n de l’année 0 1 Pour pratiquer des prévisions, les deux lycéens modélisent l’évolution de la population de grenouilles à l’aide d’une suite. Partie A Les deux lycéens font l’hypothèse qu’une suite arithmé-tique permet de modéliser l’évolution de la population de grenouilles. Ils notent cette suite ( u n ) où u 0 est la popula-tion de grenouilles le 1 er novembre 2002 et plus généralement, u n est la population de grenouilles le 1 er novembre (2002+ n ) . 1 Calculer la raison r de la suite ( u n ) . 2 Selon ce modèle, quelle serait la population de grenouilles le 1 er novembre 2005? Le 1 er novembre 2012? Le 1 er novembre (2002+ n ) ? 3 Déterminer l’année où la population de grenouilles aura totalement disparu selon ce modèle. 4 Les deux lycéens reçoivent le relevé effectué le 1 er novem-bre 2004: 903 grenouilles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/37 sacados/37 sacados/187 chapExoCorrec/4578 sacados/4578 23456789I23456789JO sacados/9492 sacados/175
Est-ce que ce nouveau résultat confirme leur hypothèse? Partie B Poursuivant leur réflexion, les deux lycéens se demandent si une suite géométrique ( v n ) permettrait de modéliser l’évolution de la population de grenouilles. v 0 serait alors la population de grenouilles le 1 er novembre 2002 et plus généralement, v n la population de grenouilles le 1 er novem-bre (2002+ n ) . 1 a Vérifier que la suite ( v n ) a pour raison 0 ; 95 . b Expliquer pourquoi ce nouveau modèle semble mieux adapté. 2 a Quelle serait alors à l’entier près, la population de grenouilles le 1 er novembre 2005? b Pour tout entier naturel n , écrire v n en fonction de n . c En déduire, à l’entier près, quelle serait la population de grenouilles le 1 er novembre 2012? 3 Les deux lycéens se demandent aussi à partir de quelle date la population de grenouilles de l’étang serait réduite à moins de deux grenouilles. Répondre à cette question en s’aidant de la calculatrice et en donnant les résultats qui permettent de conclure. E.7499 Des scientifiques étudient une culture de bactéries contenant deux souches qu’on nommera A et B . Au début de l’expérience (au temps ˇ0ı) , on dénombre 200 de bactéries de souches A et 300 bactéries de souches B . Les scientifiques relèvent les évolutions suivantes : à chaque minute, la population des bactéries A augmente de 10 % , alors que celle de la souche B diminue de 20 bactéries. 1 Compléter le tableau ci-dessous : (On arrondira les données à l’unité près) . 2 Soit n un entier naturel ( n ∈ N ) , on note a n la population de bactéries de la souche A au temps ˇ n min ı ; Compléter les valeurs des termes a n : a 0 =200 ; a 1 = ::: ; a 2 = ::: ; a 3 = ::: 3 Soit n un entier naturel ( n ∈ N ) , on note b n la population de bactéries de la souche B au temps ˇ n min ı ; Compléter les valeurs des termes b n : b 0 =300 ; b 1 = ::: ; b 2 = ::: ; b 3 = ::: E.40 Un directeur de société engage un jeune technicien et lui propose deux types de rémunération à partir du premier janvier 2000. 1 Premier type de rémunération. Pour cette première année 2000, il percevra 22 400 eu-ros, puis une augmentation annuelle constante de 750 eu-ros. On note u 0 le salaire en euros pour l’année 2000, u 1 le salaire en euros pour l’année 2001, et d’une manière générale u n le salaire en euros pour l’année 2000+ n ( pour n entier naturel) . a Calculer les salaires annuels u 1 pour l’année 2001 et u 2 pour l’année 2002. b Préciser la nature de la suite ( u n ) en indiquant sa rai-son c Montrer que : u n =22 400+750 · n 2 Deuxième type de numération Pour l’année 2000 , il percevra aussi 22 400 euros, mais en-suite chaque année une augmentation de 3% par rapport à l’année précédente. Dans ce cas, on note v n le montant en euros de la rémunération pour l’année 2000+ n (pour n entier naturel) . a Calculer les salaires annuels v 1 pour l’année 2001 et v 2 pour l’année 2002 . b Montrer que v n +1 =1 ; 03 · v n pour tout n . En déduire la nature de la suite ( v n ) . c En déduire l’expression de v n en fonction de n . 3 Comparaison a Calculer dans chacun des deux cas le salaire annuel pour l’année 2008. b Pour cette année 2008, préciser le type de rémunéra-tion le plus avantageux. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7499 sacados/7499 1234567ABCTemps(enmin)PopulationdelasoucheAPopulationdelasoucheB020030012345 chapExoCorrec/40 sacados/40
E.49 Une entreprise propose à un futur employé deux types de contrats : Formule 1 : le salaire de départ sera de 1200 e et une augmentation de 50 e sera appliquée à son salaire chaque année. Formule 2 : le salaire de départ sera de 1100 e et une augmentation de 5 % sera appliquée à son salaire chaque année. On note u n votre salaire du premier type n année après votre commencement, u n votre salaire avec la formule 1 et v n avec la formule 2. 1 Déterminer la valeur de u n et v n en fonction de l’indice n . 2 Que peut-on dire de la croissance de ces deux suites? 3 a Compléter le tableau ci-dessous à l’aide des 10 pre-miers termes de chacune des suites. b Déterminer à partir de quand il est préférable de choisir la seconde formule. 4 À l’aide d’un logiciel tableur, tracer les courbes de ces deux suites et retrouver votre résultat 5 Toujours à l’aide du même logiciel, donner la formule avec laquelle le futur employé aura gagné le plus d’argent après 10 ans? 15 ans? 20 ans? E.4543 La société Mandine embauche Arthur au 1 er janvier 2009 avec un salaire de 1525 e et lui propose deux types d’avancement : Chaque 1 er janvier, son salaire se verra augmenter de 32 e . Chaque 1 er janvier, son salaire augmente de 2 % . 1 Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs au dixième près : Année 2009 2010 2011 2012 Avancement A Avancement B Année 2013 2014 2015 2016 Avancement A Avancement B 2 À partir de quelle année, Arthur aura un salaire plus important en choisissant l’avancement B ? E.4555 Dans un pays imaginaire noté I , il y a une capitale P et un ensemble de villages V . Au 1 er janvier 2002, P et V comptaient respectivement 200 000 et 300 000 habitants. Chaque année, la population de P augmente de 10 % , alors que celle de V diminue de 20 000 habitants. 1 a Au 1 er janvier 2002, quel pourcentage représente la population de P par rapport à celle de I ? b Calculer la population de P , celle de V , puis celle de I au 1 er janvier 2003. Quel pourcentage représente alors la population de P par rapport à celle de I ? c Compléter le tableau ci-dessous en arrondissant à l’unité près : 2 n désigne un nombre entier positif ou nul ( n ∈ N ) . On note p n la population de P au 1 er janvier (2002+ n ) ; ainsi : p 0 =200 000 . On note v n la population de V au 1 er janvier (2002+ n ) ; ainsi : v 0 =300 000 . a Exprimer p n +1 en fonction de p n . b Exprimer v n +1 en fonction de v n . 3 Compléter les deux diagrammes ci-dessous : a b https://chingmath.fr sacados/49 12345ABCnunvn1234 chapExoCorrec/4543 sacados/4543 chapExoCorrec/4555 sacados/4555 1234567ABCDAnnéePopulationdePau1janvierPopulationdeVau1janvierPopulationdeIau1janvier2002200000300000 p0×:::p1×:::p2×:::p3×:::p4×:::×:::×:::×::: v0−:::v1−:::v2−:::v3−:::v4−:::−:::−:::−:::
E.173 Une entreprise propose à un futur employé deux types de contrats : Formule 1 : son premier salaire sera de 1200 e par mois et une augmentation de 50 e sera appliquée sur son salaire chaque année. Formule 2 : son premier salaire sera de 1100 e par mois et une augmentation de 5 % sera appliquée sur son salaire chaque année. On note u n votre salaire du premier type n année après votre commencement, u n votre salaire avec la formule 1 et v n avec la formule 2. 1 Compléter le tableau ci-dessous : 2 a À partir du tableau précédent, placer, dans le repère ci-dessous, les points de coordonnées : ( n ; u n ) ; ( n ; v n ) b Relier ces points. 10. Sommes de termes E.32 Partie A La production d’une entreprise peut être modélisée par une suite arithmétique ( u n ) telle que, pour tout entier naturel non nul n , u n désigne le nombre d’appareils produits l’année n . La 1 re année, la production est de 7 500 appareils ; on a: u 1 = 7500 La 6 e année, la production est de 12 000 appareils ; on a: u 6 = 12 000 1 Montrer que la raison de la suite ( u n ) est 900 . 2 Pour tout entier naturel non nul n , exprimer u n en fonc-tion de n . 3 Au bout de combien d’années la production aura-t-elle dépassé le triple de la production initiale? Partie B Une autre entreprise produit la 1 re année 7 500 appareils. On notera, pour tout entier naturel non nul n , v n , le nombre d’appareils produits l’année n . On a donc v 1 =7500 . La pro-duction annuelle de cette entreprise augmente de 10 % chaque année. 1 Calculer v 2 et v 3 . 2 Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique. Don-ner sa raison. 3 Pour tout entier naturel non nul n , exprimer v n en fonc-tion de n . 4 Au bout de combien d’années la production aura-t-elle dépassé le triple de la production initiale? 5 Combien d’appareils l’entreprise aura-t-elle produit en 13 ans? Rappel: pour q =1 : 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1 − q n +1 1 − q 11. Etude de suites avec une suite intermédiaires E.50 On souhaite étudier la suite ( u n ) de premier terme u 0 =5 définie par la relation de récurrence suivante : u n +1 = 1 3 · u n + 4 On pose : v n = u n − 6 . 1 Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et sa raison. 2 Exprimer v n en fonction du rang n . 3 En déduire l’expression de u n en fonction de n . https://chingmath.fr sacados/173 123456789ABCnunvn12345678 01234567891011001300150017001900 chapExoCorrec/32 sacados/32 Liban - 2005 - Obligatoire - 7 points chapExoCorrec/50 sacados/50
E.61 On considère la suite ( u n ) définie par la relation de récurrence suivante : u 0 = 8 ; u n +1 = 1 2 · u n − 5 On souhaite déterminer l’expression de ( u n ) en fonction de son rang : 1 a On définit la suite ( v n ) par : v n = u n +10 . Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et sa raison. b Établir l’expression du terme v n en fonction du rang n . 2 En déduire une expression du terme u n en fonction de n . E.58 Au 1 er janvier 2004, j’ai une somme u 0 de 1 000 e sur mon compte rémunéré en intérêts composés à 2 % par an. On note : u 0 =1000 . Les intérêts sont versés chaque année le 31 décembre. Je décide qu’à partir de 2005 de retirer chaque année 100 e le 1 er janvier. J’appelle u n le solde au 1 er janvier de l’année (2004+ n ) après mon retrait de 100 e . 1 a Calculer les soldes u 1 et u 2 de ce compte. b La suite de terme général u n est-elle arithmétique? Est-elle géométrique? c Montrer que pour tout n entier naturel : u n +1 = 1 ; 02 · u n − 100 2 a On pose, pour tout n entier naturel, v n = u n − 5 000 . Calculer v 0 . b Montrer que pour tout n : v n +1 =1 ; 02 · v n c Exprimer le terme général v n de la suite ( v n ) en fonc-tion de n . 3 a En déduire l’expression de u n en fonction de n . b Calculer u 10 en arrondissant à 0 ; 01 près. c À partir du 1 er janvier de quelle année, mon compte aura-t-il un solde négatif pour la première fois? E.63 Soit ( u n ) définie par son premier terme u 0 = 6 et par la relation de récurrence : u n +1 = 1 4 · u n + 3 ( n est un entier naturel) 1 On pose : v n = u n − 4 . a Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b Montrer que v n =2 · 1 4 n . En déduire l’expression de u n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite ( v n ) , puis celle de la suite ( u n ) . 2 On pose : a n = ln v n . a Montrer que la suite ( a n ) est une suite arithmétique de raison − 2 · ln 2 . b Déterminer l’expression de a n en fonction de n . c Déterminer la valeur de n pour laquelle a n est égale à − 13 · ln 2 . E.47 Des chardons envahissent une pelouse de deux façons différentes. Ce dimanche 13 juin, ils couvrent 300 m 2 de la pelouse. Chaque semaine l’aire de la surface envahie par les chardons augmente d’une part de 4 % par la prolifération des racines, d’autre part de 13 m 2 dus aux graines envolées des jardins voisins. On appelle u n , l’aire de pelouse, en m 2 , envahie par les chardons au bout de n semaines. On a donc : u 0 =300 . 1 Calculer u 1 , u 2 et u 3 . 2 Justifier que pour tout entier naturel n : u n +1 = 1 ; 04 × u n + 13 . 3 On définit la suite ( v n ) n 0 par : v n = u n +325 . a Démontrer que : v n +1 =1 ; 04 · v n . b En déduire que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 4 Exprimer v n en fonction de n , en déduire que : u n = 625 × (1 ; 04) n − 325 . 5 Au bout de combien de semaines les chardons auront-ils envahi plus de 700 m 2 de la pelouse? E.55 Pierre opère un placement dans sa banque en versant sur un compte 200 euros, chaque pre-mier janvier à partir du 01/01/2003. La banque rémunère ce compte au taux annuel de 4 % . On note u 0 le montant initial du compte, donc u 0 =200 et u n le montant au 1 er janvier de l’année (2003+ n ) , n étant un entier naturel. 1 Calculer u 1 , u 2 et u 3 . On arrondira au centime d’euro. 2 Exprimer u n +1 en fonction de u n . 3 On définit une nouvelle suite ( v n ) en posant, pour tout entier naturel n : v n = u n +5000 . a Calculer les trois premiers termes de la suite ( v n ) . b Prouver que la suite ( v n ) est géométrique et préciser sa raison. c Exprimer alors v n en fonction de n , puis en déduire que : u n = 5200 × (1 ; 04) n − 5000 4 Combien d’années Pierre devra-t-il attendre, pour dis-poser d’au moins 3 000 d’euros sur ce compte? Pour cette question, on pourra faire appel à la fonction loga-rithme népérien notée ln https://chingmath.fr chapExoCorrec/61 sacados/61 chapExoCorrec/58 sacados/58 chapExoCorrec/63 sacados/63 chapExoCorrec/47 sacados/47 Liban - 2004 - 6 points - obligatoire chapExoCorrec/55 sacados/55
E.64 Deux amis, Agnès et Bénédicte gag-nent 2 000 e à un jeu. Elles partagent cette somme en deux parts égales. Partie A Agnès, qui a déjà 3 000 e d’économies, ajoute ses 1 000 e à ses économies et place le total sur un livret d’épargne qui rapporte 3 ; 5% d’intérêt par an (intérêt composé) . On note u 0 le capital placé ( u 0 =4000 ) , u 1 le capital acquis au bout d’un an, et plus généralement u n le capital acquis au bout de n années. 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 Exprimer u n +1 en fonction de u n . En déduire la nature de la suite ( u n ) . 3 Exprimer le terme général u n en fonction de n . 4 Quel sera le capital obtenu au bout de 6 ans ? (On ar-rondira le résultat au centime près) Partie B Bénédicte choisit un compte épargne dont le taux mensuel est de 0 ; 25 % et choisit d’y ajouter à la fin de chaque mois la somme de 50 e . Les intérêts acquis sont capitalisés à la fin de chaque mois. On note v 0 le capital placé ( v 0 =1000 ) , v 1 le capital acquis au bout d’un mois, et plus généralement v n le capital acquis au bout de n mois. 1 Calculer v 1 et v 2 (on arrondira le résultat au centime) . Vérifier que : v 3 =1157 ; 89 . 2 Pour tout entier naturel n , exprimer v n +1 en fonction de v n . 3 On considère la suite ( w n ) définie pour tout entier na-turel n par w n = v n +20000 . a Démontrer que la suite ( w n ) est une suite géométrique de raison 1 ; 0025 . Préciser w 0 et exprimer le terme général w n en fonction de n . En déduire v n en fonc-tion de n . b Calculer le capital acquis par Bénédicte au bout de 6 ans (soit 72 mois) . (On arrondira le résultat au cen-time près) E.51 On considère la suite définie pour tout entier naturel n par : u 0 = − 3 2 ; u n +1 = 2 3 · u n − 1 pour tout n ∈ N 1 a Calculer u 1 et u 2 . b La suite ( u n ) n ∈ N est-elle arithmétique? géométrique? 2 On pose v n = u n +3 . Démontrer que la suite ( v n ) n ∈ N est une suite géométrique; déterminer sa raison et son pre-mier terme. 3 Donner l’expression de v n , puis de u n en fonction de n . 4 En déduire la limite de la suite ( u n ) n ∈ N . 5 On pose : s n = v 0 + v 1 + · · · + v n − 1 Exprimer s n en fonction de n et en déduire lim n ↦→ + ∞ s n . E.38 Pierre opère un placement dans sa banque en versant sur un compte 200 euros, chaque pre-mier janvier à partir du 01 = 01 = 2003 . La banque rémunère ce compte au taux annuel de 4 % . On note u 0 le montant initial du compte, donc u 0 et u n le montant au 1 er janvier de l’année (2003+ n ) , n étant un entier naturel. 1 Calculer u 1 , u 2 et u 3 . On arrondira au centime d’euro. 2 Exprimer u n +1 en fonction de u n . 3 On définit une nouvelle suite ( v n ) en posant, pour tout entier naturel n : v n = u n +5000 . a Calculer les trois premiers termes de la suite ( v n ) . b Prouver que la suite ( v n ) est géométrique et préciser sa raison. c Exprimer alors v n en fonction de n , puis en déduire que : u n =5200 × (1 ; 04) n − 5000 . 4 Combien d’années Pierre devra-t-il attendre, pour dis-poser d’au moins 3000 euros sur ce compte? Pour cette question, on pourra faire appel à la fonction logarithme népérien notée ln . E.41 Partie A : Étude d’une suite Soit la suite ( u n ) définie par : u 0 = 1 500 000 u n +1 = 1 ; 013 · u n + 1 300 pour tout entier naturel n 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 On pose pour tout entier naturel n : v n = u n +100 000 . a Calculer v 0 . b Démontrer que, pour tout entier naturel n ; v n +1 = 1 ; 013 · v n . En déduire la nature de la suite ( v n ) . c Déterminer v n en fonction de n . En déduire que : u n =1 600 000 · 1 ; 013 n − 100 000 . d Calculer u 18 . Le résultat sera arrondi à l’entier le plus proche. Partie B: Application Pour cette partie, tous les résultats numériques seront ar-rondis à l’entier le plus proche Une étude de la population d’un département laisse appa-raître les informations suivantes : la population est estimée à 1 500 000 habitants en 2002, le taux d’accroissement naturel est de 1 ; 3% par an, le flux migratoire (différence entre le nombre de person-nes entrant dans le département et le nombre de person-nes en sortant) est estimé à 1300 habitants par an. On estime que ces données resteront constantes au fil des ans 1 Déterminer la population estimée de ce département en 2003 et 2004 2 On pose w 0 =1 500 000 . Pour tout entier naturel n , on désigne par w n une estimation du nombre d’habitants de ce département durant l’année (2002+ n ) a Vérifier que w n +1 =1 ; 013 · w n +1300 pour tout entier naturel n . b En utilisant la partie A , déduire une estimation de la https://chingmath.fr chapExoCorrec/64 sacados/64 Antilles - 2004 - 7 points - obligatoire chapExoCorrec/51 sacados/51 France - Juin 2001 - 5 points chapExoCorrec/38 sacados/38 chapExoCorrec/41 sacados/41 Canada -- 2002 -- 5 points -- au choix
population de ce département en 2020. E.52 Partie A Soit ( u n ) la suite définie par son premier terme u 0 =0 ; 7 et par la relation de récurrence : u n +1 = 2 · u n − 0 ; 4 ( n entier naturel) 1 Calculer u 1 , u 2 , u 3 . 2 Soit ( v n ) la suite définie pour tout n entier naturel par : v n = u n − 0 ; 4 . a Calculer v 0 . b Montrer que : v n +1 =2 · v n c En déduire la nature de la suite. d Exprimer v n puis u n en fonction de n . Partie B La règle de Titius-Bose (connue vers 1770) permet de retrou-ver approximativement la distance au Soleil de la plupart des planètes du système solaire. Pour cela, on prend comme unité la distance de la Terre au Soleil qui vaut environ 150 millions de kilomètres. Cette distance est appelée unité astronomique (u.a.) . Ainsi, 1 u . a . ≈ 15 × 10 7 km . En écriture moderne, la loi de Titius-Bode s’exprime par la formule suivante : u n = 0 ; 4 + 0 ; 3 × 2 n où pour une planète donnée u n est la distance au Soleil de cette planète (en u.a.) et n est le rang de la planète, défini dans le tableau ci-dessous : Planète Vénus Terre Mars (Cérès)* Jupiter Saturne Uranus Rang n 0 1 2 3 4 5 6 (*) La lacune observée entre les orbites de Mars et Jupiter fut comblée en 1801 par la découverte de la planète Cérès, puis plus tard de milliers d’astéroïdes 1 Recopier et compléter le tableau suivant : n 0 1 2 3 4 5 6 u n 2 a Calculer la distance approximative au Soleil de la planète Uranus (on donnera le résultat en millions de kilomètres) . b Calculer le rang de la planète dont la distance approx-imative au Soleil est 780 millions de kilomètres. De quelle planète s’agit-il? 12. Partage E.9493 Paul place la somme de 500 e à la banque. Celle-ci lui donne 5 % d’intérêt par an : 1 Donner les caractéristiques de la suite symbolisant l’évolution de la somme placée à la banque. 2 Donner cette valeur en fonction du nombre d’années n après avoir déposé l’argent 3 Au bout de combien de temps aura-t-il plus de 700 e . 13. Exercices non-classés E.179 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 On imagine que l’on dispose, selon le modèle ci-dessus, en le poursuivant, la suite des nombres entiers jusqu’à 2 500 . Les lignes sont numérotées en partant du haut, les cases en par-tant de la gauche. Chaque nombre est ainsi repéré par son numéro de ligne, puis par son numéro de case sur cette ligne. Exemple : 15 est la 4 e ligne et 6 e case Partie A Dans cette partie, on va étudier quelques propriétés dues à la disposition utilisée. 1 Nombre de cases par ligne . On note u n le nombre de cases qui constituent la ligne n . a Donner u 1 , u 2 , u 3 , u 4 , u 5 et u 6 . b Exprimer u n +1 en fonction de u n . En déduire la nature de la suite ( u n ) . c Montrer que : u n =2 n − 1 . 2 Dernier nombre de chaque ligne . On note d n le dernier nombre de la ligne n . Donner d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 et d 6 . On admettra, dans toute la suite du problème que pour n 1 , d n = n 2 . 3 Premier nombre de chaque ligne . On note o n le premier nombre de la ligne n . a Donner p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 et p 6 . b Exprimer p n en fonction de d n − 1 . c En déduire : p n = n 2 − 2 n + 2 . Partie B Dans cette partie, on cherche la place de 1 500 dans le tableau (ses numéros de ligne et de case) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/52 sacados/52 sacados/9493 sacados/179 Asie -- Juin 2005 - 11 points
1 On cherche d’abord le numéro de ligne dans laquelle fig-ure le nombre 1 500 . Déterminer un entier n tel que n 2 < 1 500 < ( n +1) 2 , et conclure. 2 Ci-dessous, on a extrait du tableau la ligne contenant 1 500 . Préciser les quatre valeurs manquantes, c’est-à-dire le numéro de ligne, les nombres des première et dernière cases ainsi que le numéro de la case contenant 1 500 . E.7810 L’indice de référence des loyers (IRL) sert de base pour réviser les loyers des logements vides ou meublés. Il fixe les plafonds des augmentations annuelles des loyers que peuvent exiger les propriétaires. Source : http://service-public.fr Un logement est loué en 2018 pour un loyer de 814 e et dont l’augmentation est fixé à 0 ; 5 % par an. On note u n le montant du loyer à l’année 2018+ n . 1 Quelle est la nature de la suite u n ? Donner les éléments caractéristiques de la suite u b . 2 a Donner l’expression des termes de la suite u n en fonction n . b Déterminer le montant du loyer en 2030 . 3 À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année pour laque-lle le loyer dépasse pour la première fois 900 e . E.6126 On considère les deux suites u n et v n définies par récurrence par les relations : u 0 =2 ; u n +1 = u n +0 ; 75 pour tout n ∈ N v 0 =0 ; 125 ; v n +1 =2 · v n pour tout n ∈ N 1 Quelles sont les natures des suites u n et v n ? 2 Compléter le tableau suivant avec les valeurs de la suite arrondies au dixième près : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u n v n 3 Placer les points ( n ; u n ) et ( n ; v n ) représentant ces deux suites dans le repère O ; I ; J ci-dessous : E.6127 1 On considère la suite u n définie explicitement par la relation en fonction du rang n : u n = 3 · n + 2 pour tout n ∈ N Justifier que la suite u n est une suite arithmétique. Donner la raison de cette suite. 2 On considère la suite v n définie explicitement par la relation en fonction du rang n : v n = 2 × 3 n pour tout n ∈ N Justifier que la suite v n est une suite géométrique. Don-ner la raison de cette suite. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7810 sacados/7810 chapExoCorrec/6126 sacados/6126 23456789I23456789JO chapExoCorrec/6127 sacados/6127
E.2835 À l’aide des nombres de Fi-bonacci, on construit le schéma ci-dessous : On part du carré ˇ grisé ı de côté 1; on construit sur ce carré un autre carré de côté 1; on se sert des deux carrés précédents pour construire un carré de côté 2. . . 1 Reconstruire une figure équivalente en vous servant du quadrillage de votre feuille. 2 Prolonger le début de spirale dont l’ébauche est présen-tée ci-dessous en traçant uniquement des quarts de cercle dont le centre est un sommet d’un carré. E.8356 On considère les deux suites u n et v n où : ( u n ) une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 0 ; 5 ; ( v n ) une suite géométrique de premier terme 1 et de rai-son 1 ; 3 . 1 Compléter, en arrondissant les valeurs au centième près, le tableau ci-dessous avec les termes de ces deux suites : n u n v n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Placer les points ( n ; u n ) et ( n ; v n ) dans le repère ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2835 sacados/2835 11235813 chapExoCorrec/8356 sacados/8356 23456789I234567891011JO
E.2387 On considère la suite u n n ∈ N définie par la formule explicite: u n = 5 + 2 × n pour tout entier naturel n . 1 Exprimer la valeur u n − 3 en fonction de n . 2 Donner la forme simplifiée de u n − 3 + u 3 . 3 Donner la forme simplifiée de u n − 5 + u 5 . 4 Soit k et n deux entiers tels que k n . Montrer que u k + u n − k a sa valeur indépendante de k . E.5106 On considère la fonction f définie par : f ( x )= 9 6 − x dont la courbe représentative C f est donnée dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : On définit la suite u n par : u 0 = − 3 ; u n +1 = 9 6 − u n pour tout n ∈ N 1 Déterminer algébriquement la valeur des quatre premiers termes de la suite u n . 2 Graphiquement, placer sur l’axe des abscisses les six pre-miers termes de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2387 sacados/2387 chapExoCorrec/5106 sacados/5106 -3-2-1234I234JOCf