Hors programme lycée / Suite et limites 64 exercices corrigés

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1. Limites de suites E.43 la suite ( u n ) est définie sur N par la donnée de son premier terme u 0 =800 et la relation de récurrence : u n +1 =0 ; 6 · u n +400 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 On définit une autre suite ( v n ) sur N en posant pour tout entier naturel n : v n =1000 − u n . a Calculer les trois premiers termes de cette suite ( v n ) . b Montrer que cette suite ( v n ) est géométrique et en dé-duire l’expression de v n en fonction n . 3 a Déduire des résultats précédents que : u n = 1000 − 200 × (0 ; 6) n b Quelle est la limite de la suite ( u n ) ? E.59 On considère la suite ( u n ) définie par u 0 =8 et pour tout entier naturel n : u n +1 = 1 2 · u n − 5 . 1 a Calculer les termes u 1 et u 2 . b La suite ( u n ) est-elle arithmétique ? géométrique ? On justifiera les réponses. 2 On considère la suite ( v n ) définie pour tout entier naturel n par : v n = u n +10 . a Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique de raison 1 2 et calculer le premier terme v 0 . b Exprimer le terme général v n en fonction de n . 3 Déterminer la limite de la suite ( v n ) puis celle de la suite ( u n ) E.42 Partie A : étude d’une suite La suite ( u n ) est définie sur N par la donnée de son premier terme u 0 =800 et la relation de récurrence : u n +1 = 0 ; 6 · u n + 400 . 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 On définit une autre suite ( v n ) sur N en posant pour tout entier naturel n ,: v n =1000 − u n . a Calculer les trois premiers termes de cette suite ( v n ) . b Montrer que cette suite ( v n ) est géométrique et en dé-duire l’expression de v n en fonction de n . 3 a Déduire des résultats précédents que : u n = 1000 − 200 × (0 ; 6) n . b Quelle est la limite de la suite ( u n ) ? Partie B: application Le président d’une association culturelle constate que chaque année l’association garde 60 % de ses anciens adhérents et que 400 personnes nouvelles adhèrent. On suppose que ces don-nées chiffrées restent les mêmes au fil des ans. À la création de cette association, en janvier 2001 , il y avait 800 adhérents. 1 Calculer le nombre d’adhérents en janvier 2002 . 2 Quel sera le nombre d’adhérents en janvier 2003 ? 3 En quelle année verra-t-on pour la première fois l’effectif de l’association dépasser 990 ? E.86 Soit la suite ( u n ) définie par son pre-mier terme u 0 =6 et par la relation de récurrence : u n +1 = 1 4 · u n + 3 ( n entier naturel) 1 On pose : v n = u n − 4 . a Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b Montrer que v n =2 · 1 4 n . En déduire l’expression de u n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite ( v n ) , puis celle de la suite ( u n ) 2 On pose : a n =ln v n a Montrer que la suite ( a n ) est une suite arithmétique de raison − 2 · ln 2 . b Déterminer l’expression de a n en fonction de n . c Déterminer la valeur de n pour laquelle a n est égale à − 13 · ln 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/43 sacados/43 Liban - 2002 - au choix - 6 points chapExoCorrec/59 sacados/59 Antilles - 2002 - 6 points - obligatoire chapExoCorrec/42 sacados/42 Liban - Juin 2002 - 6 points - au choix sacados/86
E.1891 Un robot miniature se déplace sur un cercle de centre O et de rayon 1 mètre. Il est déposé au point A 0 puis il parcourt le cercle en tournant dans le sens direct (sens de la flèche sur la figure) . Il est décidé que son trajet s’effectuera en plusieurs étapes (voir figure) . Étape 1 : il parcourt le demi-cercle de A 0 à A 1 , la dis-tance parcourue est notée d 1 . Étape 2 : il parcourt le quart de cercle de A 1 à A 2 , la distance parcourue est notée d 2 . Étape n , avec n 2 : il parcourt l’arc de cercle allant de A n − 1 à A n , la distance parcourue, notée d n , étant la moitié de celle parcourue à l’étape précédente. Rappels: Le périmètre d’un cercle de rayon 1 mètre est égal à 2 ı mètres. 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1 − q n +1 1 − q , pour tout nombre réel q =1 . 1 a Exprimer d 1 et d 2 en fonction de ı . b Reproduire la figure, puis placer le point A 3 . Justifier que : d 3 = ı 4 . 2 a Quelle est la nature de la suite ( d n ) ? Justifier la réponse donnée. b Montrer que, pour tout nombre entier n 1 : d n = ı 1 2 n − 1 . 3 On s’intéresse à la distance totale, notée D n , parcourue par le robot sur le cercle à la fin de l’étape n . a Calculer D 2 . b Démontrer que, pour tout nombre entier n 1 : D n = 2 ı 1 − 1 2 n . c Déterminer la limite de la suite ( D n ) . d Justifier que, pour tout nombre entier n 1 : D n < 2 ı Que peut-on en déduire pour le déplacement du robot sur le cercle? E.1889 Le service commercial d’un jour-nal a constaté que chaque année, il enregistre 1 000 nouveaux abonnés, mais 50 % des anciens abonnés environ ne renouvel-lent pas leur abonnement. L’objet de cet exercice est d’étudier l’évolution du nombre d’abonnés si cette situation perdure sachant qu’au cours de l’année écoulée, le journal comptait 4 000 abonnés. Dans ce but, on considère la suite ( U n ) définie par : u 0 =4 et, pour tout entier naturel n : u n +1 =0 ; 5 u n +1 1 Expliquer pourquoi, pour tout entier n 0 , u n est une approximation du nombre de milliers d’abonnés au bout de n années. 2 Reproduire et compléter le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 u n 3 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que : Pour tout entier naturel n : u n > 2 4 Soit ( v n ) la suite définie sur N par : v n = u n − 2 . a Démontrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser la valeur de v 0 . b En déduire l’expression de v n en fonction de n . 5 a En utilisant le résultat de la question précédente, dé-montrer que : Pour tout entier naturel n : u n =2 · 1+0 ; 5 n b Quelle est la limite de la suite ( u n ) ? c Donner une interprétation de cette limite. 2. Somme des termes E.56 L’unité est le centimètre On considère un triangle A 0 B 0 C 0 rectangle isocèle en A 0 tel que : A 0 B 0 = A 0 C 0 =20 . 1 Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure de l’exercice. 2 Soit A 1 le milieu du segment [ B 0 C 0 ] , B 1 le milieu du segment [ A 0 C 0 ] et C 1 le milieu du segment [ A 0 B 0 ] . a Tracer le triangle A 1 B 1 C 1 est un triangle rectangle isocèle en A 1 . b Montrer que le triangle A 1 B 1 C 1 est un triangle rectan-gle isocèle en A 1 . c Calculer l’aire de A 1 B 1 C 1 notée u 1 et l’aire de A 0 B 0 C 0 notée u 0 . d Exprimer u 1 en fonction de u 0 . 3 Soit A 2 le milieu du segment [ B 1 C 1 ] , B 2 le milieu du segment [ A 1 C 1 ] et C 2 le milieu de [ A 1 B 1 ] . a Calculer l’aire du triangle A 2 B 2 C 2 notée u 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/1891 sacados/1891 A0A1A2O chapExoCorrec/1889 sacados/1889 chapExoCorrec/56 sacados/56 Japon - 2003 - 7 points - obligatoire
b Exprimer u 2 en fonction de u 0 . 4 En réitérant cette construction, on définit un triangle A n B n C n rectangle isocèle en A n . On note u n l’aire de ce triangle A n B n C n . a Exprimer u n en fonction de u n − 1 et montrer que pour tout entier naturel n , on a: u n = 1 4 n × 200 . b Déterminer le plus petit entier p tel que u p < 10 − 3 . c Exprimer en fonction de n la somme u 0 + u 1 + · · · + u n . En déduire la limite de cette somme quand n tend vers + ∞ . Rappel: Suites arithmétiques de premier terme u 0 et de raison a : u n +1 = u n + a ; u n = u 0 + n · a 1+2+ ··· + n = n ( n +1) 2 Suites géométriques de premier terme u 0 et de raison b : u n +1 = b · u n ; u n = u 0 · b n Si b =1 : 1+ b + b 2 + b 3 + ··· + b n = 1 − b n +1 1 − b Si b =1 : 1+ b + b 2 + b 3 + ··· + b n = n +1 E.31 La population d’une ville augmente régulièrement de 10 % par an. En 2000, elle était de 8 000 habitants. 1 On désigne par u n le nombre théorique d’habitants es-timé pour l’année (2000+ n ) . On a donc u 0 =8000 . a Calculer les termes u 1 et u 2 . b Exprimer le terme u n +1 en fonction de u n . En déduire l’expression du terme u n en fonction de n . c Calculer le nombre d’habitants prévu pour l’année 2006, arrondie à l’unité près. d Déterminer en quelle année la population aura doublé 2 On note v n l’augmentation par rapport à l’année précé-dente du nombre d’habitants constatée l’année (2000+ n ) . On a donc, pour tout entier naturel n non nul : v n = u n − u n − 1 . a Calculer les termes v 1 et v 2 . b Exprimer le terme général v n en fonction de n . c Calculer la somme v 1 + v 2 + ··· + v n en fonction de n . Vérifier, pour le cas particulier n égal à 6, le résultat obtenu en 1 c E.45 1 On considère une suite arithmétique ( u n ) de premier terme 20 et de raison − 1 . a Exprimer u n en fonction de n . b Donner l’expression de la somme des n premiers ter-mes. c En déduire la limite suivante : lim n ↦→ + ∞ u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u n 2 On considère une suite géométrique ( v n ) de premier terme 20 et de raison 0 ; 6 . a Exprimer v n en fonction de n . b Donner l’expression de la somme des n premiers termes de la suite ( v n ) . c En déduire la limite suivante : lim n ↦→ + ∞ v 0 + v 1 + v 2 + · · · + v n E.60 Gaston hésite entre deux contrats d’embauche pour lesquels le salaire du premier mois est de 1600 euros. Contrat n o 1 : chaque mois à partir du deuxième mois le salaire mensuel augmente de 10 euros. Contrat n o 2 : chaque mois à partir du deuxième mois le salaire augmente de 0 ; 6% par rapport au mois précédent. 1 Pour chacun des deux contrats, déterminer la nature de la suite des salaires mensuels, préciser le premier terme et la raison. 2 Pour chacun des deux contrats, calculer le total des salaires perçus pendant la première année. 3 À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de quel mois le salaire mensuel correspondant au contrat n o 2 de-vient supérieur à celui du contrat n o 1 . Justifier correcte-ment la réponse. On rappelle: La somme S des n premiers termes d’une suite géométrique ( u n ) de raison q ( q =1) est : S = u 1 + u 2 + · · · + u n = u 0 · 1 − q n 1 − q La somme S des n premiers termes d’une suite arith-métique ( v n ) de raison r : S = v 1 + v 2 + · · · + v n = n · v 1 + r · n ( n − 1) 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/31 sacados/31 Antilles - 2003 - au choix - 6 points chapExoCorrec/45 sacados/45 chapExoCorrec/60 sacados/60
E.66 Un globe-trotter a parié de parcourir 5 000 km à pied. Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s’accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours. On notera d n la distance parcourue durant le n -ième jour. 1 Calculer les distances d 1 , d 2 , d 3 parcourues durant les trois premiers jours. 2 Expliquer pourquoi: d n +1 = 0 ; 99 · d n . En déduire la nature de la suite ( d n ) et l’expression de d n en fonction de n . a Calculer, en fonction de n , le nombre total L n de kilo-mètres parcourus au bout de n jours. L n = d 1 + d 2 + · · · + d n b En déduire la limite de L n lorsque n tend verse + ∞ . Le globe-trotter peut-il gagner? 3 À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre mini-mal de jours N qui lui seraient nécessaires pour parcourir 4 999 km On rappelle que : La somme S des n premiers termes d’une suite arith-métique ( u n ) de raison r est : S = u 1 + u 2 + · · · + u n = n · u 1 + u n 2 La somme S des n premiers termes d’une suite géométrique ( v n ) de raison q ( q = 1 ) est : S = v 1 + v 2 + · · · + v n = v 1 · 1 − q n 1 − q E.34 Partie A : Une retenue d’eau artificielle est alimentée par un ruisseau dont le débit diminue de 20 % d’un jour sur l’autre à cause de la chaleur. Pour la journée du 1 er juin le débit D 0 est égal à 300 m 3 par jour. 1 Calculer le débit D 1 pour le 2 juin. 2 Soit D n le débit pour le n ième jour après le 1 er juin. Ex-primer D n +1 en fonction de D n . Quelle est la nature de la suite ( D n ) ? 3 Exprimer D n en fonction de n . Calculer le débit D 29 pour la journée du 30 juin, arrondi au dixième de mètre cube près. 4 Calculer le volume d’eau apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin, arrondi au mètre cube près. On rappelle que : 1+ b + ··· + b n = 1 − b n +1 1 − b Partie B: À partir du 1 er juillet, le débit du ruisseau peut être considéré comme nul (inférieur à 0,5 m 3 = jour ) . La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l’eau par jour. De plus, on doit libérer de la retenue 500 m 3 d’eau chaque soir, après évaporation, à cause de la sécheresse. Le 1 er juillet au matin, la retenue contient V 0 =100 000 m 3 d’eau. 1 Soit V n le volume d’eau au n ième matin après le 1 er juillet. a Montrer que V 1 est égal à 95 500 m 3 . b Exprimer V n +1 en fonction de V n . 2 On considère la suite de terme général U n définie pour tout entier n par : U n = V n +12 500 . Montrer que la suite ( U n ) est une suite géométrique de raison 0 ; 96 dont on calculera le premier terme U 0 . 3 Exprimer le terme général U n en fonction de n . En dé-duire l’expression de V n en fonction de n . 4 Calculer V 31 le volume restant au matin du 1 er août. (On arrondira le résultat au mètre cube) 5 À quelle date la retenue sera-t-elle à ˇ sec ı? E.1838 Soit a un nombre réel, avec a =1 . Montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ N , on a: 1 + a + a 2 + · + a n = 1 − a n +1 1 − a https://chingmath.fr chapExoCorrec/66 sacados/66 chapExoCorrec/34 sacados/34 Japon - 2004 - Obligatoire - 7 points sacados/1838
E.44 Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes. Les résultats demandés seront arrondis au centième. Pour effectuer un achat dont le coût s’élève à 1 600 e , un client a le choix entre deux formes de paiement. On admettra que le dernier versement permet de dépasser le montant de l’achat, incluant les frais du crédit. Partie A Dans cette question, le premier versement s’élève à 150 e et on effectue une suite de versements notée ( a n ) qui vérifie a 0 =150 et, pour tout entier n : a n +1 = 0 ; 95 · a n + 100 1 Calculer le deuxième versement a 1 et le troisième a 2 . 2 Montrer qu’avec cinq versements, la somme de 1 600 e est remboursée. Partie B Dans cette question, le premier versement s’élève à 200 e , puis chaque versement est égal au précédent diminué de 5% . On note ( b n ) la suite des versements avec b 0 =200 . 1 Vérifier que b 1 =190 et calculer b 2 et b 3 . 2 Exprimer le terme b n +1 en fonction de b n . En déduire la nature de la suite ( b n ) et donner l’expression du terme général b n en fonction de n . 3 Calculer en fonction de n la somme S n égale à: b 0 + b 1 + · · · + b n des ( n +1) premiers versements. Calculer les sommes S 8 et S 9 et interpréter le résultat. E.46 Soit OA 0 A 1 un triangle rectangle isocèle en A 1 . Extérieurement au triangle OA 0 A 1 , on construit sur le côté [ OA 1 ] un triangle OA 1 A 2 rectangle isocèle en A 2 . 1 On pose OA 0 =1 . Montrer que : OA 1 = A 0 A 1 = 1 2 2 On itère le procédé et on trace une suite de triangles rectangles isocèles. Si OA n − 1 A n est un triangle rectan-gle isocèle en A n , on trace alors extérieurement à celui-ci, le triangle OA n A n +1 rectangle isocèle en A n +1 . Établir que : OA n +1 = 1 2 OA n Dans la suite de l’exercice, on note ( u n ) , la suite telle que u 0 = OA 0 , u 1 = OA 1 , . . . , u n = OA n 3 a Déduire de la question précédente que la suite ( u n ) est une suite géométrique et la caractériser. b On note L n la longueur de la ligne brisée OA 0 A 1 · · · A n − 1 A n , c’est-à-dire : L n = OA 0 + A 0 A 1 + ··· + A n − 1 A n = u 0 + u 1 + ··· + u n Établir que : L n = 1 − 1 2 n +1 1 − 1 2 . En déduire la limite de la suite ( L n ) lorsque n tend vers + ∞ Formulaire Si 0 <b< 1 alors lim n → + ∞ b n =0 Si ( v n ) est une suite géométrique de raison q ( q =1 ) et de premier terme v 0 , alors: S n = v 0 + v 1 + · · · + v n = v 0 1 − q n 1 − q E.53 Urbain et Valérie ont obtenu le même diplôme la même année et ont été embauchés, tous les deux, le 1 er janvier 2000, dans deux entreprises différentes, sous deux contrats à durée indéterminée différents : la première année, le salaire annuel net d’Urbain s’élève à 14 000 e et ce salaire augmente de 4 % chaque année au 1 er janvier par rapport au salaire annuel précédent. Valérie débute avec un salaire annuel net de 14 500 e et ce salaire augmente de 500 e chaque année au 1 er janvier. On appelle u n le salaire annuel net d’Urbain en euros pour l’année (2000+ n ) et v n celui de Valérie. Avec ces notations, on a: u 0 =14 000 ; v 0 =14 500 . 1 a Calculer les termes u 1 et u 2 . b Montrer que la suite ( u n ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison c Exprimer le terme général u n en fonction de n . 2 a Calculer les termes v 1 et v 2 . b Montrer que ( v n ) est une suite arithmétique dont on donnera la raison. c Exprimer le terme général v n en fonction de n . 3 Calculer u 0 + u 1 + ··· + u 8 et v 0 + v 1 + ··· + v 8 . Interpréter ces résultats. La situation est-elle la même à la fin de l’année suivante? https://chingmath.fr chapExoCorrec/44 sacados/44 Antilles - 2002 - 3 points - au choix chapExoCorrec/46 sacados/46 chapExoCorrec/53 sacados/53 Japon - 2002 - 5 points - au choix
E.1837 1 Développer: ( n + 1)( n + 2) . 2 Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N , on a: 1 + 2 + 3 + · · · + n = n ( n + 1) 2 E.4627 On construit successivement une figure de la manière suivante : On part d’un carré dont le côté mesure 4 cm ; À l’étape suivante, on rajoute un nouveau carré dont le côté mesure la moitié du carré précédemment ajouté. Voici les trois premières étapes de cette construction représen-tées : On note u n l’aire totale de la figure construite à l’étape n : on vient de construite la suite u n de nombres réels. 1 On note ( v n ) la suite des aires des carrés rajoutés à chaque étape de cette construction. a Donner les cinq premiers termes de la suite v n . b Quelle est la nature de la suite v n ? c Donner la formule explicite associant chaque terme de la suite v n en fonction de son rang. 2 a Déterminer la valeur des cinq premiers termes de cette suite. b Montrer que la suite u n vérifie la relation de récur-rence : u n +1 = u n + 4 · 1 4 n pour tout n ∈ N 3 La formule explicite définissant la suite u n est de la forme : u n = ¸ · 1 − ˛ n +1 ¸ ∈ R et ˛ ∈ R . Déterminer la valeur de ¸ et ˛ . E.54 Il est assez curieux qu’une infinité de termes positifs que l’on ajoute au fur et à mesure puisse don-ner un résultat fini. Ainsi le Grec Zénon prétendait, au IV ème siècle avant J . C . , démontrer qu’il est impossible d’aller d’un point à un autre, car ˇ avant d’atteindre le but, il faut arriver au milieu de la route, puis atteindre le milieu du trajet à par-courir, et ainsi de suite: comme il y a une infinité d’étapes à observer, on ne peut arriver au bout de son voyage ı. Les nombres et leurs mystères - A. Warusfel . I- Construction de la figure Construire un segment [ AB ] puis 1 le milieu A 0 de [ AB ] , 2 le milieu A 1 de [ A 0 B ] , 3 le milieu de A 2 de [ A 1 B ] . II- Utilisation d’une suite numérique: On construit ainsi une suite de points A n tels que pour tout n entier supérieur ou égal à 1, A n est le milieu du segment [ A n − 1 B ] . On suppose que AB =2 . On pose : d 0 = AA 0 ; d 1 = A 0 A 1 ; d 2 = A 1 A 2 et pour tout entier n 1 : d n = A n − 1 A n . 1 On a d 0 =1 , calculer d 1 et d 2 . 2 On admet que, pour tout entier naturel n : d n +1 = 1 2 d n . a En déduire que la suite ( d n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. b Donner l’expression de d n en fonction de n . 3 On pose : S n = d 0 + d 1 + d 2 + ··· + d n . a Vérifier que : S n =2 · 1 − 1 2 n +1 . b Quelle est la limite de S n lorsque n tend vers l’infini? c En donner une interprétation géométrique. Formulaire : Somme des n +1 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q (avec q =1 ) : S n = u 0 + u 1 + u 2 + · · · + u n = u 0 · 1 − q n +1 1 − q https://chingmath.fr sacados/1837 chapExoCorrec/4627 sacados/4627 Etape no1 Etape no2 Etape no3 chapExoCorrec/54 sacados/54
E.30 Un paysagiste doit créer dans un jardin une spirale plantée d’arbustes. Il veut connaître la longueur de cette spirale pour évaluer le nombre d’arbustes à planter. Voici le schéma qu’il dresse : Cette spirale est constituée de demi-cercles construits de la manière suivante : le diamètre [ A 0 A 1 ] du demi-cercle C 0 a pour milieu A 2 ; le diamètre [ A 1 A 2 ] du demi-cercle C 1 a pour milieu A 3 ; Ainsi de suite, on construit les demi-cercles C n ( n est un en-tier naturel) . L’unité de longueur est le mètre. On donne A 0 A 1 =100 . 1 On note ‘ n la longueur du demi-cercle C n . a Calculer ‘ 0 , ‘ 1 , ‘ 2 et ‘ 3 , arrondies au centimètre près. b Exprimer ‘ n +1 en fonction de ‘ n . Indiquer la nature de la suite ( ‘ n ) en précisant sa raison. c Montrer que, pour tout entier n : ‘ n = 50 · ı · 1 2 n 2 Le paysagiste décide de ne tracer que les huit demi-cercles C 0 , C 1 , C 2 , C 3 , . . . , C 7 . On appelle L la longueur de la spirale obtenue avec ces huit demi-cercles. a Calculer: L = ‘ 0 + ‘ 1 + ‘ 2 + ··· + ‘ 7 . Donner l’arrondi de L à 10 − 1 . b Sachant que le paysagiste doit planter un arbuste tous les cinquante centimètres à partir de A 0 , en déduire le nombre d’arbustes à planter. Formule: 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1 − q n +1 1 − q ( q = 1) E.39 On divise un triangle équilatéral en quatre triangles équilatéraux obtenus en traçant les segments joignant les milieux des côtés et on noircit le triangle central. Chaque triangle non noirci est alors divisé en quatre triangles équilatéraux selon le même procédé et on noircit le triangle central comme précédemment. 1 a Réaliser la 3 ème étape en partant d’un triangle équilatéral de côté 16 cm . Combien de triangles noircis ont-ils été rajoutés? b Combien de triangles noircis seront-ils rajoutés à la quatrième étape? 2 On note T n le nombre de triangles noircis rajoutés à la n -ième étape où n est un entier supérieur ou égal à 1. La suite ( T n ) , ainsi définie, est une suite géométrique de raison 3. a Donner la valeur de T 1 , T 2 , T 3 . b Exprimer T n en fonction de n . Vérifier les résultats trouvés à la question 1 . 3 Calculer le nombre total de triangles noircis après la dix-ième étape. E.7811 Le salaire minimum de croissance (SMIC) correspond au salaire horaire minimum légal que le salarié doit percevoir. Source : http://service-public.fr En 2018 , le montant net du SMIC est de 1187 e et l’augmentation est fixée à 0 ; 9 % par an. On note u n le mon-tant du SMIC à l’année 2018+ n . 1 Quelle est la nature de la suite u n ? Donner les éléments caractéristiques de la suite u n . 2 a Donner l’expression des termes de la suite u n en fonction n . b Déterminer le montant du SMIC en 2030 , arrondi au centime près. 3 À l’aide de la calculatrice, déterminer l’année pour laque-lle le SMIC dépassera pour la première fois le montant de 1400 e . 3. Suite homographique E.2413 On considère la suite u n n ∈ N est définie par la relation de récurrence suivante : u n +1 = 4 u n +4 − u n +8 et dont le premier terme vaut : u 0 = − 6 1 Le graphique ci-dessous, représente la courbe représenta-tive C f de la fonction f définie par : f ( x ) = 4 x + 4 − x + 8 https://chingmath.fr chapExoCorrec/30 sacados/30 C1C2C3C4A0A1A2A3 chapExoCorrec/39 sacados/39 chapExoCorrec/7811 sacados/7811 chapExoCorrec/2413 sacados/2413
a Placer sur l’axe des abscisses les quatre premiers ter-mes de cette suite. b Faire une conjecture quant à la limite de la suite lorsque n tend vers + ∞ . 2 Déterminer la valeur des trois premiers termes de la suite u n . 3 On considère la suite v n ) n ∈ N dont le terme de rang n est définie par : v n = 1 u n − 2 a Déterminer la valeur des trois premiers termes de la suite v n . b Établir la relation suivante pour tout n ∈ N : v n +1 − v n = − 1 6 c En déduire la nature de la suite v n ainsi que la for-mule explicite définissant le terme de rang n en fonc-tion de n . 4 a Établir la formule suivante : u n = 1+2 v n v n b En déduire la formule explicite définissant la suite u n . 5 Donner la limite de la suite u n . E.2416 On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation de récurrence : u n +1 = 8 u n + 1 − u n + 10 dont le premier terme a pour valeur: u 0 = − 5 1 Donner la valeur des trois premiers termes de la suite u n . 2 On considère la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = 1 u n − 1 a Déterminer les trois premiers termes de la suite v n . b Établir la relation suivante : v n +1 − v n = − 1 9 c Donner la nature de la suite v n et donner l’expression du terme v n en fonction de n . 3 a Établir la relation suivante : u n = 1 + v n v n b Exprimer le terme u n en fonction de n . 4 Donner la limite de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . E.2983 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère la courbe C f représentative de la fonction f définie par la relation: f ( x ) = − 12 x + 36 x − 24 La droite (Δ) est la première bissectrice du plan. On considère la suite u n n ∈ N définie par récurrence par : u n +1 = f u n ; u 0 = − 2 1 Graphiquement, placer sur l’axe des abscisses les cinq premières valeurs de la suite u n . 2 Déterminer, par le calcul, la valeur des trois premiers termes de la suite u n . 3 On définit la suite w n n ∈ N définie par : w n = 1 u n − 6 a Établir l’égalité suivante : w n +1 − w n = − 1 18 b Donner la nature et les caractéristiques de la suite w n ainsi que l’expression du terme w n en fonction de n . c Déterminer l’expression du terme u n en fonction de n . 4 En déduire la limite de la suite u n 4. Suites adjacentes https://chingmath.fr IJO chapExoCorrec/2416 sacados/2416 chapExoCorrec/2983 sacados/2983 -2-123456I-1234567JOCf
E.654 On considère les deux suites ( u n ) et ( v n ) définies, pour tout entier naturel n , par : u 0 = 3 u n +1 = u n + v n 2 v 0 = 4 v n +1 = u n +1 + v n 2 1 Calculer u 1 , v 1 , u 2 et v 2 . 2 Soit la suite ( w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = v n − u n . a Montrer que la suite ( w n ) est une suite géométrique de raison 1 4 . b Exprimer w n en fonction de n et préciser la limite de la suite ( w n ) 3 Après avoir étudié le sens de variation des suites ( u n ) et ( v n ) , démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on déduire? E.3464 On considère les deux suites u n et v n définies pour tout entier naturel n par : u n = 1 n + 1 n + 1 + · · · + 1 2 n v n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + · · · + 1 2 n 1 a Établir que la suite u n est décroissante. b Établir que la suite v n est croissante. 2 a Montrer que les suites u n et v n sont deux suites adjacentes. b Que peut-on dire de la convergence de ces deux suites? E.3465 Parmi les suites suivantes, lesquelles définissent deux suites adjacentes : 1 u n = 3 n + 2 n + 1 et v n = 3 n + 7 n + 2 2 u n = 3 n + 4 n + 2 et v n = 4 n 2 + 1 n 2 + 1 E.2972 On considère les deux suites a n et b n définies par : a 0 = 1 ; b 0 = B ; a n +1 = 1 3 2 a n + b n b n +1 = 1 3 a n + 2 b n 1 Montrer que u n = b n − a n est une suite géométrique. 2 Montrer que : a n b n 3 sens de variation de a n et b n . 4 v n = a n + b n est constante? milieu de [ A n B n ] . 5 Quel est la convergence de ( a n ) et ( b n ) ? E.3466 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 3 x − 2 x 1 a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b En déduire que pour tout nombre x ∈ 3 2 ; 4 , on a: f ( x ) ∈ 3 2 ; 4 On considère les deux suites u n et v n définies par les re-lations : u 0 = 3 2 u n +1 = 3 · u n − 2 u n ; v 0 = 4 v n +1 = 3 · v n − 2 v n 2 Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n , on a: u n ∈ 3 2 ; 4 De même, on admet que pour tout n ∈ N : v n ∈ 3 2 ; 4 3 Déterminer la valeur des trois premiers termes de cha-cune de ces suites. 4 a Montrer que la suite u n est croissante. b Montrer que la suite v n est décroissante. c Établir l’encadrement suivant, par un raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel n : 0 v n − u n 3 · 8 9 n d Établir que les deux suites u n et v n sont adja-centes. 5 a Justifier que la limite ‘ vérifie: ‘ = 3 · ‘ − 2 ‘ b Justifier que la limite des deux suites u n et v n est 2 . E.3467 On considère les deux suites u n et v n définies par : u 0 = − 3 u n +1 = 1 2 · u n + 2 ; v 0 = 5 v n +1 = 1 2 · v n + 2 1 Montrer que u n est croissante. 2 Montrer que v n est décroissante. 3 Montrer que, pour tout entier naturel, on a l’encadrement : 0 v n − u n 8 · 1 2 n 4 Établir que les deux suites u n sont adjacentes. 5 En déduire que ces deux suites convergent vers un même nombre ‘ ; déterminer la valeur de ‘ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/654 sacados/654 chapExoCorrec/3464 sacados/3464 sacados/3465 sacados/2972 A refaire pique d'internet chapExoCorrec/3466 sacados/3466 chapExoCorrec/3467 sacados/3467
E.3479 On considère les suites u n n ∈ N et v n n ∈ N définies par : u 0 = 2 ; ∀ n ∈ N ∗ ; v n = 2 u n et u n +1 = u n + v n 2 . 1 Calculer les trois premiers termes des suites u n et v n . 2 Démontrer que les suites u n et v n sont majorées par 2 et minorées par 1 . 3 Montrer que pour tout n ∈ N : u n +1 − v n +1 = ( u n − v n ) 2 2 · u n + v n 4 Montrer que pour tout n ∈ N : u n v n . 5 Montrer que u n est décroissante et v n croissante. 6 Montrer que pour tout n ∈ N , u n − v n 1 et en déduire que : u n − v n 2 u n − v n . 7 Montrer que pour tout n ∈ N : u n +1 − v n +1 1 4 u n − v n En déduire que pour tout n ∈ N : u n − v n 1 4 n 8 Montrer que les suites u n et v n sont adjacentes et donner leur limite commune ‘ . Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel? E.3516 On considère les suites u n n ∈ N et v n n ∈ N définies pour tout entier naturel n par : u 0 = 0 u n +1 = 3 · u n + 1 4 ∀ n ∈ N ; v 0 = 2 v n +1 = 3 · v n + 1 4 ∀ n ∈ N 1 Calculer u 1 , u 2 , u 3 d’une part et v 1 , v 2 , v 3 d’autre part. 2 Dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique: 5 cm ) tracer les droites D et Δ d’équations respectives : y = 3 · x + 1 4 ; y = x Utiliser D et Δ pour construire sur l’axe des abscisses les points A 1 , A 2 , A 3 d’abscisses respectives u 1 , u 2 , u 3 ainsi que les points B 1 , B 2 , B 3 d’abscisses respectives v 1 , v 2 , v 3 . Les tracés seront effectués sur une feuille de papier mil-limétré . 3 On considère la suite s n n ∈ N définie pour tout entier naturel n par : s n = u n + v n a Calculer s 0 , s 1 , s 2 , s 3 . À partir de ces résultats, que peut-on conjecturer pour la suite s n ? b À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que la suite s n est une suite constante. 4 On considère la suite d n définie pour tout entier na-turel n par : d n = v n − u n a Montrer que la suite d n est une suite géométrique. b Donner l’expression de d n en fonction de n . 5 En utilisant les résultats des questions 3 b et 4 b donner l’expression de u n et v n en fonction de n . 6 Montrer que les suites u n et v n convergente. Préciser leurs limites. 5. Suites adjacentes - Annales E.3184 Partie A On considère les suites de points A n et B n définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté O ; −→ u donné ci-dessous, le point A 0 a pour abscisse 0 et le point B 0 a pour abscisse 12 . Le point A n +1 est le barycentre des points ( A n ; 2) et ( B n ; 1) , le point B n +1 est le barycentre des points pondérés ( A n ; 1) et ( B n ; 3) . 1 Sur le graphique, placer les points A 2 , B 2 . 2 On définit les suites a n et b n des abscisses respectives des points A n et B n . Montrer que : a n +1 = 2 · a n + b n 3 On admet de même que : b n +1 = a n +3 b n 4 Partie B 1 On considère la suite ( u n ) définie, pour tout entier na-turel n , par : u n = b n − a n a Montrer que la suite ( u n ) est géométrique. En préciser la raison. b Donner l’expression de u n en fonction de l’entier na- https://chingmath.fr chapExoCorrec/3479 sacados/3479 chapExoCorrec/3516 sacados/3516 Sportifs de haut niveau 1997 01212 chapExoCorrec/3184 sacados/3184 Antilles-Guyane Juin 2006 5 points A0A1B1B0−u024681012
turel n . c Déterminer la limite de u n . Interpréter géométrique-ment ce résultat. 2 a Démontrer que la suite a n est croissante (on pourra utiliser le signe de u n ) . b Étudier les variations de la suite b n ) . 3 Que peut-on déduire des résultats précédents quant à la convergence de suites ( a n ) et ( b n ) ? Partie C 1 On considère la suite v n définie, pour tout entier na-turel n , par : v n = 3 a n + 4 b n Montrer que la suite ( v n ) est constante. 2 Déterminer la limite des suites ( a n ) et ( b n ) . E.3227 On considère les deux suites ( u n ) et ( v n ) définies, pour tout entier naturel n , par : u 0 = 3 u n +1 = u n + v n 2 v 0 = 4 v n +1 = u n +1 + v n 2 1 Calculer u 1 , v 1 , u 2 et v 2 . 2 Soit la suite ( w n ) définie pour tout entier naturel n par : w n = v n − u n . a Montrer que la suite ( w n ) est une suite géométrique de raison 1 4 . b Exprimer w n en fonction de n et préciser la limite de la suite ( w n ) 3 Après avoir étudié le sens de variation des suites ( u n ) et ( v n ) , démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on déduire? 4 On considère à présent la suite ( t n ) définie, pour tout entier naturel n , par : t n = u n + 2 v n 3 a Démontrer que la suite ( t n ) est constante. b En déduire la limite des suites ( u n ) et ( v n ) . E.3235 Le graphique de l’annexe sera complétée et remis avec la copie. Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par : f ( x ) = 2 x + 1 x + 1 1 Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2] . Montrer que si x ∈ [1 ; 2] alors f ( x ) ∈ [1 ; 2] . 2 ( u n ) et ( v n ) sont deux suites définies sur N par : u 0 =1 et pour tout entier naturel n : u n +1 = f ( u n ) . v 0 =2 et pour tout entier naturel n : v n +1 = f ( v n ) . a Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2] . Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers ter-mes de chacune des suites ( u n ) et ( v n ) en laissant ap-parents tous les traits de construction. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer con-cernant le sens de variation et la convergence des suites ( u n ) et ( v n ) ? b Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel n : 1 v n 2 . Pour tout entier naturel n : v n +1 v n . On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n : 1 u n 2 . Pour tout entier naturel n : u n u n +1 . c Montrer que pour tout entier naturel n : v n +1 − u n +1 = v n − u n ( v n + 1)( u n + 1) . En déduire que pour tout entier naturel n : v n − u n 0 ; v n +1 − u n +1 1 4 ( v n − u n ) d Montrer que pour tout n ∈ N : v n − u n 1 4 n . e Montrer que les suites ( u n ) et ( v n ) convergent vers un même réel ¸ . Déterminer la valeur exacte de ¸ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3227 sacados/3227 chapExoCorrec/3235 sacados/3235 0.51.52I0.51.52JO
E.3270 On définit les suites ( a n ) et ( b n ) par a 0 =1 , b 0 =7 et a n +1 = 1 3 · 2 · a n + b n b n +1 = 1 3 · a n + 2 · b n pour tout n ∈ N Soit D une droite munie d’un repère O ; −→ i . Pour tout n ∈ N , on considère les points A n et B n d’abscisses respectives a n et b n . 1 Placer les points A 0 , B 0 , A 1 , B 1 , A 2 et B 2 . 2 Soit ( u n ) la suite définie par u n = b n − a n pour tout n ∈ N . Démontrer que ( u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimer u n en fonction de n . 3 Comparer a n et b n . Étudier le sens de variation des suites ( a n ) et ( b n ) . Interpréter géométriquement ces résultats. 4 Démontrer que les suites ( a n ) et ( b n ) sont adjacentes. 5 Soit ( v n ) la suite définie par v n = a n + b n pour tout n ∈ N . Démontrer que ( v n ) est une suite constante. En déduire que les segments A n B n ont tous le même milieu I . 6 Justifier que les suites ( a n ) et ( b n ) sont convergentes et calculer leur limite. Interpréter géométriquement ce ré-sultat. E.3243 Cet exercice constitue une resti-tution organisée de connaissances. Partie A : question de cours On suppose connus les résultats suivants : (1) deux suites ( u n ) et ( v n ) sont adjacentes lorsque : l’une est croissante, l’autre est décroissante et u n − v n tend vers 0 quand n tend vers + ∞ ; (2) si ( u n ) et ( v n ) sont deux suites adjacentes telles que ( u n ) est croissante et ( v n ) est décroissante, alors pour tout n appartenant à N , on a: u n v n ; (3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante : ˇ Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ı. Partie B On considère une suite ( u n ) , définie sur N dont aucun terme n’est nul. On définit alors la suite ( v n ) sur N par v n = − 2 u n . Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 1 Si ( u n ) est convergente, alors ( v n ) est convergente. 2 Si ( u n ) est minorée par 2, alors ( v n ) est minorée par − 1 . 3 Si ( u n ) est décroissante, alors ( v n ) est croissante. 4 Si ( u n ) est divergente, alors ( v n ) converge vers zéro. E.3997 1 La suite u est définie par : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 3 · u n + 23 27 pour tout n ∈ N . a On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan, la droite d’équation y = 1 3 · x + 23 27 et le point A de coordonnées (2 ; 0) . Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u . b Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est ‘ = 23 18 . c Démontrer que pour tout entier naturel n , on a: u n 23 18 d Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite. 2 a Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 . Dé-montrer que : n +1 k =2 1 10 k = 1 90 · 1 − 1 10 n . c’est-à-dire que : 1 10 2 + 1 10 3 + · · · + 1 10 n +1 = 1 90 · 1 − 1 10 n b La suite v est définie par v n =1 ; 2777 ::: 7 avec n déci-males consécutives égales à 7 . Ainsi : v 0 = 1 ; 2 ; v 1 = 1 ; 27 ; v 2 = 1 ; 277 En utilisant la question a démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers.) . 3 La suite u définie au 1 et la suite v sont-elles adja-centes? Justifier. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3270 sacados/3270 Antilles-Guyane Juin 2004 4 points chapExoCorrec/3243 sacados/3243 France Juin 2005 4 points chapExoCorrec/3997 sacados/3997 23I2JOij
E.3245 Les quatre questions de cet exer-cice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune. Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse exacte rapporte 0 ; 5 point, chaque réponse fausse enlève 0 ; 25 point. Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en donner aucune, ne rapporte au-cun point. Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro. 1 Les suites suivantes sont convergentes : a 2 n n 2005 n> 0 b 2 n + ( − 1) n · √ n n + 1 n ∈ N c n · sin 1 n n> 0 d n ln n n> 1 2 On construit trois suites ( u n ) , ( v n ) et ( w n ) ayant, pour tout entier naturel n , les propriétés suivantes : u n v n w n lim n ↦→ + ∞ ( u n ) = − 1 ; lim n ↦→ + ∞ ( w n ) = 1 Alors: a lim n ↦→ + ∞ ( v n ) = 0 b La suite ( u n ) est minorée. c Pour tout n ∈ N , on a: − 1 v n 1 . d On ne sait pas dire si la suite ( v n ) a une limite ou non. 3 Une suite ( u n ) est définie sur N par : u 0 = 1 ; 5 u n +1 = 2 u n − 1 pour tout n ∈ N a La suite ( u n ) converge vers 1 , abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y =2 x − 1 . b La suite ( v n ) , définie sur N par v n = u n − 1 , est géométrique. c La suite ( v n ) est majorée. d La suite ( w n ) , définie sur N par w n =ln( u n − 1) , est arithmétique. 4 Deux suites ( x n ) et ( y n ) sont définies pour n> 0 par les relations : x n = 1 n + 1 n + 1 + · · · + 1 2 n y n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + · · · + 1 2 n a Les suites ( x n ) et ( y n ) sont toutes deux croissantes. b x 3 = 19 20 et y 3 = 37 60 . c Les suites ( x n ) et ( y n ) ne sont pas majorées. d Les suites ( x n ) et ( y n ) sont adjacentes. E.3237 1 Démontrer que pour tout n de N ∗ et tout x de [0 ; 1] : 1 n − x n 2 1 x + n 1 n 2 a Calculer 1 0 1 x + n dx b Déduire en utilisant 1 , que pour tout n ∈ N ∗ : 1 n − 1 2 n 2 ln n + 1 n puisque ln n + 1 n 1 n 3 On appelle U la suite définie pour n ∈ N ∗ par : U n = k = n k =1 1 k − ln( n ) = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln( n ) Démontrer que U est décroissante (on pourra utiliser 2 b ) 4 On désigne par V la suite de terme général: V ( n ) = k = n k =1 1 k − ln( n +1) = 1+ 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln( n +1) Démontrer que V est croissante. 5 Démontrer que U et V convergent vers une limite com-mune notée ‚ . Par la méthode de votre choix, déterminer la valeur de ‚ arrondie à 10 − 2 près . 6. Suite: passage à la limite E.3413 La suite u est définie par : u 0 = 2 u n +1 = 1 3 · u n + 23 27 pour tout entier naturel n 1 On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan en annexe, la droite d’équation y = 1 3 x + 23 27 et le point A de coordonnées (2 ; 0) . Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers ter-mes de la suite u . 2 Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est ‘ = 23 18 . 3 Démontrer que pour tout entier naturel n , on a: u n 23 18 . 4 Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3245 sacados/3245 chapExoCorrec/3237 sacados/3237 Antilles - Guyane Juin 2005 6 points chapExoCorrec/3413 sacados/3413
E.3426 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 4 u n +1 = 2 · u n − 1 pour tout n ∈ N Le but de l’exercice est de montrer que la suite u n est di-vergente ; pour cela, effectuons un raisonnement par l’absurde, supposons que la suite u n converge vers ‘ : 1 Déterminer la valeur de ‘ . On considère la suite v n n ∈ N définie par : v n = u n − ‘ pour tout n ∈ N 2 Établir que la suite v n est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. 3 En déduire que la suite u n est divergente. E.3427 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 7 u n +1 = 2 3 · u n − 1 pour tout n ∈ N 1 Dans cette question, on suppose que la suite u n con-verge. On note ‘ sa valeur de convergence. Déterminer, par un passage à la limite, la valeur de ‘ . 2 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par : v n = u n +3 a Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera les caractéristiques. b En déduire l’expression du terme u n en fonction de n . c Établir la convergence de la suite u n . E.3456 1 Si une suite u n converge vers ‘ , vers quelle valeur con-verge l’expression 1 3 · u n + 1 3 . 2 Considérons la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 5 u n +1 = 1 3 · u n + 1 3 pour tout n ∈ N On admet que la suite u n converge vers un nombre noté ‘ . a Déterminer la valeur exacte des huit premiers termes de la suite u n . b À l’aide de la calculatrice compléter le tableau suivant en y inscrivant les valeurs approchées à 10 − 2 près. n u n 1 3 · u n + 1 3 0 1 2 3 4 5 6 7 c Émettre une conjecture sur les deux limites suivantes : lim n ↦→ + ∞ u n ; lim n ↦→ + ∞ 1 3 · u n + 1 3 d Résoudre l’équation: x = 1 3 · x + 1 3 e En déduire la valeur de la limite ‘ . https://chingmath.fr 23I2JO chapExoCorrec/3426 sacados/3426 chapExoCorrec/3427 sacados/3427 chapExoCorrec/3456 sacados/3456
E.3471 La courbe C représentative de la fonction f et la droite Δ sont tracés sur le graphique donné ci-dessous : On considère la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = f ( x ) − x On admet les propriétés suivantes : La fonction f est strictement croissante sur 0 ; + ∞ . La fonction g est strictement décroissante sur 0 ; + ∞ . Il existe un unique réel ¸ tel que g ( ¸ )=0 ; le nombre ¸ appartient à l’intervalle [2 ; 3] . On considère la suite u n définie par u 0 =1 et pour tout en-tier naturel n par : u n +1 = f u n 1 À partir de u 0 , en utilisant la courbe C et la droite Δ , on a placé u 1 sur l’axe des abscisses. De la même manière, placer les termes u 2 et u 3 sur l’axe des abscisses en lais-sant apparents les traits de constructions. 2 Placer le point I de la courbe C qui a pour abscisse ¸ . 3 a Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: 1 u n ¸ b Démontrer que la suite u n converge. c Déterminer sa limite. 7. Suite et passage à la limite - Annales E.3148 Soit la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 1 2 et u n +1 = 1 2 u n + 2 u n . 1 a Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 2 x + 2 x Étudier le sens de variation de f , et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . (On prendra comme unité 2 cm ) . b Utiliser le graphique précédent pour construire les points A 0 , A 1 , A 2 et A 3 de l’axe O ; −→ i d’abscisses respectives u 0 , u 1 , u 2 et u 3 . 2 a Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : u n 2 . b Montrer que pour tout x 2 : f ( x ) x . c En déduire que la suite ( u n ) est décroissante à partir du rang 1. d Prouver qu’elle converge. 3 Soit ‘ la limite de la suite u n . Montrer que ‘ est solu-tion de l’équation: x = 1 2 x + 2 x En déduire sa valeur. E.3902 Soit ( u n ) la suite définie par u 0 =5 et pour tout nombre entier n par : u n +1 = 4 · u n − 1 u n + 2 Si f est la fonction définie sur l’intervalle − 2 ; + ∞ par f ( x )= 4 x − 1 x +2 alors on a, pour tout nombre entier naturel n : u n +1 = f ( u n ) . On donne en annexe une partie de la courbe représentative C de la fonction f ainsi que la droite Δ d’équation y = x . 1 a Sur l’axe des abscisses, placer u 0 puis construire u 1 , u 2 et u 3 en laissant apparents les traits de construc-tion. b Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de vari-ation et sur la convergence de la suite ( u n ) ? 2 a Démontrer par récurrence que, pour tout nombre en-tier naturel n , on a: u n − 1 > 0 b Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1 b 3 Dans cette question, on se propose d’étudier la suite u n par une autre méthode, en déterminant une expression de u n en fonction de n . Pour tout nombre entier naturel n , on pose v n = 1 u n − 1 a Démontrer que la suite v n est une suite arithmétique https://chingmath.fr chapExoCorrec/3471 sacados/3471 ijCu0u1 chapExoCorrec/3148 sacados/3148 chapExoCorrec/3902 sacados/3902
de raison 1 3 . b Pour tout nombre entier naturel n , exprimer v n puis u n en fonction de n . c En déduire la limite de la suite u n . E.5017 Soit f la fonction définie sur l’intervalle − 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 3 − 4 x + 1 On considère la suite définie pour tout n ∈ N par : u 0 = 4 ; u n +1 = f ( u n ) pour tout n ∈ N 1 On a tracé, ci-dessous, la courbe C représentative de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ et la droite ( d ) d’équation y = x . a Sur le graphique, placer sur l’axe des abscisses u 0 , u 1 , u 2 et u 3 . Faire apparaître les traits de construction. b Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite u n ? 2 Dans cette question, nous allons démontrer les conjec-tures formulées à la question 1 b : a Démontrer par un raisonnement par récurrence que u n 1 pour tout n ∈ N . b Montrer que la fonction f est croissance sur 0 ; + ∞ . En déduire que pour tout entier naturel n , on a: u n +1 u n . c Déduire des questions précédentes que la suite u n est convergente et calculer sa limite. E.3242 I. Première partie On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = ln(1+ x ) − x ; g ( x ) = ln(1+ x ) − x + x 2 2 1 Étudier les variations de f et de g sur 0 ; + ∞ . 2 En déduire que pour tout x 0 : x − x 2 2 ln(1+ x ) x II. Deuxième partie On se propose d’étudier la suite ( u n ) de nombres réels définie par : u 1 = 3 2 ; u n +1 = u n 1 + 1 2 n +1 1 Montrer par récurrence que u n > 0 pour tout entier na-turel n 1 . 2 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n 1 : ln u n = ln 1+ 1 2 + ln 1+ 1 2 2 + · · · + ln 1+ 1 2 n 3 On pose : S n = 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + · · · + 1 2 n T n = 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 + · · · + 1 4 n À l’aide de la première partie, montrer que : S n − 1 2 T n ln u n S n 4 Calculer S n et T n en fonction de n . En déduire lim n ↦→ + ∞ S n et lim n ↦→ + ∞ T n . 5 Étude de la convergence de la suite ( u n ) . a Montrer que la suite ( u n ) est strictement croissante. b En déduire que ( u n ) est convergente. Soit ‘ sa limite. c On admet le résultat suivant : si deux suites ( v n ) et ( w n ) sont convergentes et telles que v n w n pour tout n entier naturel, alors: lim n ↦→ + ∞ v n lim n ↦→ + ∞ w n Montrer alors que 5 6 ln ‘ 1 et en déduire, un en-cadrement de ‘ . 8. Anciennes annales (avant 2012) E.5142 Partie A : étude d’une fonc-tion On considère la fonction f définie sur 1 ; + ∞ par : f ( x ) = x ln x https://chingmath.fr -2-10123456-2-11234C chapExoCorrec/5017 sacados/5017 234I23JOC(d chapExoCorrec/3242 sacados/3242 chapExoCorrec/5142 sacados/5142 Antilles - Guyanne Septembre 2012
Sur l’annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction f ainsi que la droite D d’équation y = x . 1 Calculer les limites de la fonction f en + ∞ et en 1 . 2 Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle 1 ; + ∞ . 3 En déduire que si x e alors f ( x ) e . Partie B: étude d’une suite récurrente On considère la suite u n définie par : u 0 = 5 ; u n +1 = f u n pour tout n ∈ N 1 Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe C et la droite D , placer les points A 0 , A 1 et A 2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u 0 , u 1 et u 2 . On laissera apparaître les traits de construction. Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite u n ? 2 a Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: u n e . b Déterminer les variations de la suite u n . c En déduire que la suite u n est convergente. d Déterminer sa limite ‘ . 3 On donne l’algorithme suivant : X ← 5 Y ← 0 Tant que X>2;72 X ← X ln X Y ← Y+1 Fin Tant que À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur de la variable Y à la fin de l’exécution de cet algorithme: n u n 0 5 1 3 ; 106 674 672 8 2 2 ; 740 652 532 3 3 2 ; 718 372 634 6 4 2 ; 718 281 830 01 5 2 ; 718 281 828 E.3964 On considère l’équation notée : ( E ): ln x = − x Le but de l’exercice est de prouver que l’équation ( E ) , ad-met une solution unique notée ¸ appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ et d’utiliser une suite convergente pour obtenir un encadrement. Partie A : existence et unicité de la solution On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x + ln x . 1 Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 Démontrer que l’équation f ( x )=0 admet une unique so-lution notée ¸ appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ . 3 Vérifier que : 1 2 ¸ 1 Partie B: encadrement de la solution ¸ On considère la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = 4 · x − ln x 5 1 Étude de quelques propriétés de la fonction g . a Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b En déduire que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle 1 2 ; 1 , g ( x ) appartient à cet intervalle. c Démontrer qu’un nombre réel x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ est solution de l’équation ( E ) si, et seulement si, g ( x )= x . 2 On considère la suite u n définie par u 0 = 1 2 et pour tout entier naturel n , par : u n +1 = g ( u n ) a En utilisant le sens de variation de la fonction g , dé-montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 1 2 u n u n +1 1 b En déduire que la suite u n converge vers ¸ . 3 Recherche d’une valeur approchée de ¸ : https://chingmath.fr 2345678I2345678JOCD chapExoCorrec/3964 sacados/3964 Asie Juin 2009 6 points
a À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur u 10 , arrondie à la sixième décimale. b On admet que u 10 est une valeur approchée par défaut à 5 × 10 − 4 près de ¸ . En déduire un encadrement de ¸ sous la forme : u ¸ v où u et v sont deux décimaux écrits avec trois déci-males. E.4081 Soit u n la suite définie par : u 0 = 1 u n +1 = u n − ln u 2 n +1 pour tout entier naturel n . Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= x − ln x 2 +1 1 Résoudre dans R l’équation f ( x )= x . 2 Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 . En déduire que si x ∈ 0 ; 1 alors f ( x ) ∈ 0 ; 1 Partie B 1 Démontrer par récurrence que, pour tout entier n 0 : u n ∈ 0 ; 1 2 Étudier le sens de variation de la suite u n . 3 Démontrer que la suite u n est convergente. Déterminer sa limite. E.5152 Partie A On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 5 · ln( x +3) − x 1 a On appelle f la fonction dérivée de la fonction f sur 0 ; + ∞ . Calculer f ( x ) et étudier son signe sur 0 ; + ∞ . b Donner, dans un tableau, les variations de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . c Montrer que, pour tout x strictement positif, on a: f ( x ) = x · 5 · ln x x − 1 + 5 · ln 1+ 3 x d En déduire la limite de f en + ∞ . e Compléter le tableau de variations de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 a Montrer que l’équation f ( x )=0 admet une unique solution dans l’intervalle 0 ; + ∞ . On notera ¸ cette solution. b Après avoir vérifié que ¸ appartient à l’intervalle 14 ; 15 , donner la valeur de ¸ arrondie à 10 − 2 près. c En déduire le signe de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Partie B Soit u n la suite définie par : u 0 = 4 ; u n +1 =5 · ln u n +3 pour tout n ∈ N ∗ On considère la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x ) = 5 ln( x +3) Ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé la droite D d’équation y = x et la courbe C , courbe représentative de la fonction g . 1 a Construire sur l’axe des abscisses les termes u 0 , u 1 , u 2 de la suite u n en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construc-tion. b Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite u n . 2 a Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b Vérifier que g ( ¸ )= ¸ où ¸ est défini dans la partie A question 2 a . c Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel https://chingmath.fr chapExoCorrec/4081 sacados/4081 Nouvelle-Caledonie Mars 2011 5 points chapExoCorrec/5152 sacados/5152 0246810121416182022246810121416CD
n , on a: 0 u n a d Démontrer alors la conjecture émise à la question 1 b de la partie B . e En utilisant la question 2 a de la partie A , justifier que : lim n ↦→ + ∞ u n = ¸ 3 On considère l’algorithme suivant u ← 4 Tant que u − 14;2<0 u ← 5 · ln(u+3) Fin Tant que a Justifier que l’exécution de cet algorithme se termine. Indication : Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même in-fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. b Donner la valeur de la variable u à la fin de l’exécution de cet algorithme (on arrondira à 5 décimales) . E.3200 Partie A Soit f la fonction définie sur l’intervalle 1 ; + ∞ par : f ( x ) = x ln x 1 a Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en + ∞ . b Étudier les variations de la fonction f . 2 Soit ( u n ) la suite définie par : u 0 = 5 ; u n +1 = f ( u n ) pour tout n ∈ N . a On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d’équation y = x et les points M 1 et M 2 de la courbe C d’abscisses respectives u 1 et u 2 . Proposer une conjecture sur le comportement de la suite ( u n ) . b Démontrer que pour tout entier naturel n , on a u n e (on pourra utiliser la question 1 b ) c Démontrer que la suite u n converge vers un réel ‘ de l’intervalle e ; + ∞ . Partie B On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle 1 ; + ∞ : 1 En étudiant de deux manières la limite de la suite f ( u n ) , démontrer que : f ( ‘ )= ‘ . 2 En déduire la valeur de ‘ . E.3228 Soit f la fonction définie sur [0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x · e − x On note Γ la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique 10 cm ) . Partie A. 1 a Déterminer la limite de f en + ∞ . b Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations. c Construire Γ dans le repère O ; −→ i ; −→ j . 2 a Montrer que, pour tout réel m de 0 ; 1 e , l’équation f ( x )= m admet deux solutions. b Dans le cas où m = 1 4 , on nomme ¸ et ˛ les solutions (avec ¸<˛ ) . Déterminer un encadrement d’amplitude 10 − 2 de ¸ . c Résoudre l’équation f ( x )= m dans le cas où m =0 et m = 1 e . Partie B. 1 On considère la suite ( u n ) définie sur N par : u 0 = ¸ u n +1 = u n e − u n pour tout entier naturel n où ¸ est le réel défini à la question A 2 b a Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N : u n > 0 . b Montrer que la suite ( u n ) est décroissante. c La suite ( u n ) est-elle convergente? Si oui, déterminer sa limite. 2 On considère la suite ( w n ) définie sur N par : w n =ln u n . a Montrer que, pour tout n entier naturel, on a: u n = w n − w n +1 b On pose : S n = u 0 + u 1 + ··· + u n . Montrer que : S n = w 0 − w n +1 . c En déduire : lim n ↦→ + ∞ S n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3200 sacados/3200 2345I2345JOC chapExoCorrec/3228 sacados/3228
3 On considère la suite ( v n ) définie sur N par son premier terme v 0 ( v 0 > 0 ) et, pour tout entier naturel n : v n +1 = v n · e − v n Existe-t-il une valeur de v 0 différente de ¸ telle que, pour tout n 1 , on ait: u n = v n ? Si oui, préciser laquelle. 9. Suites homographiques et suites géométriques E.5734 On considère la suite u n définie par : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 + 0.5 · u n 0 ; 5 + u n pour tout n ∈ N On admet que pour tout entier naturel n , on a: u n > 1 1 On considère la suite v n définie, pour tout entier na-turel n , par : v n = u n − 1 u n + 1 a Démontrer que la suite v n est géométrique de raison − 1 3 . b Calculer v 0 puis écrire v n en fonction de n . 2 a Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: v n = 1 . b Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: u n = 1 + v n 1 − v n . c Déterminer la limite de la suite u n . E.5739 On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 2 ; u n +1 = 3 · u n 1 + 2 · u n pour tout n ∈ N On admet que pour tout entier naturel n , on a: 0 <u n < 1 Soit v n la suite définie, pour tout entier naturel n , par : v n = u n 1 − u n 1 Montrer que la suite v n est une suite géométrique de raison 3 . 2 Exprimer pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . 3 En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 3 n 3 n + 1 4 Déterminer la limite de la suite u n . E.6737 On considère la suite u n définie sur N par la relation: u 0 = 3 ; u n +1 = 2 − u n u n pour tout n ∈ N On admet que les termes de la suite u n sont différents de − 2 et de 0 . 1 On définit la suite v n définie par la relation: v n = u n − 1 u n + 2 pour tout n ∈ N a Justifier que la suite v n est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. b Exprimer les termes de la suite v n en fonction de n . 2 En déduire une expression des termes de la suite u n en fonction de n . 3 Déterminer la limite des termes de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5734 sacados/5734 Extrait d'Asie Juin 2013 chapExoCorrec/5739 sacados/5739 chapExoCorrec/6737 sacados/6737
E.2415 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 13 2 ; u n +1 = 10 · u n + 1 u n + 10 pour tout n ∈ N On admet que les termes de la suite u n sont strictement supérieurs à 1 . 1 On considère la fonction f définie par f ( x )= 10 · x +1 x +10 . On représente ci-dessous, dans le repère orthonormé ( O ; I ; J ) , la courbe C f représentative de la fonction f et la première bissectrice (Δ) du plan. a Représenter sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite u n b Faire une conjecture quant à la limite de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . 2 On considère la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = u n − 1 u n + 1 pour tout entier n ∈ N . a Démontrer que la suite v n est une suite géométrique. b Donner l’expression des termes de la suite v n en fonc-tion de leur rang n . 3 a Établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n : u n = 1 + v n 1 − v n b En déduire l’expression des termes de la suite u n en fonction de leur rang n . 4 Déterminer la limite de u n lorsque n tend vers + ∞ . E.2984 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère la courbe C f de la fonction f dont l’image d’un nombre x est défini par : f ( x ) = − x + 4 x + 2 La droite (Δ) est la première bissectrice du plan. On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation: u 0 = 8 ; u n +1 = f u n pour tout entier naturel n . On admet que les termes de la suite u n sont définis et que pour tout entier naturel n , on a: u n > − 1 1 Sur l’axe des abscisses, présenter les valeurs des six pre-miers termes de la suite. 2 Déterminer, par le calcul, les trois premiers termes de la suite u n . 3 On considère la suite w n n ∈ N définie par la relation: w n = u n − 1 u n + 4 a Établir l’égalité suivante : w n +1 = − 2 u n +2 3 u n +12 b En déduire que la suite w n est une suite géométrique dont on précisera les caractéristiques. c Donner l’expression du terme w n en fonction de n . 4 On admet que pour tout n ∈ N , on a: − 1 <w n < 1 a Établir l’égalité: u n = − 4 − 5 w n − 1 b En déduire la formule explicite de la suite u n 5 En déduire la limite de la suite w n . E.3517 Une suite numérique U n n ∈ N ∗ est définie par son premier terme U 1 et la relation de récurrence : U n +1 = 6 + U n 2 + U n pour tout n ∈ N 1 Montrer qu’il existe deux valeurs a et b de U 1 ( a<b ) pour lesquelles la suite est constante. 2 a Montrer que si U 1 = a et U 1 = b , il en est de même de U n . b Dans ces conditions, calculer: U n +1 − a U n +1 − b en fonction de U n − a U n − b . 3 On suppose que U 1 = a et U 1 = b et on considère la suite V n n ∈ N ∗ définie par : V n = U n − a U n − b pour tout entier naturel n a Montrer que la suite V n est une suite géométrique. b Calculer la limite de ⏐ ⏐ V n ⏐ ⏐ quand n tend vers plus l’infini. En déduire celle de U n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2415 sacados/2415 IJOCf chapExoCorrec/2984 sacados/2984 -12345678I-1234JOCf chapExoCorrec/3517 sacados/3517 Rouen 1976
10. Suites homographiques et suites arithmétiques E.5852 Soit u n la suite définie par : u 0 =5 ; u n +1 = 4 · u n − 1 u n + 2 pour tout entier naturel n . On admet que pour tout entier naturel n , on a: u n > 1 On définit les termes de la suite u n par la relation: v n = 1 u n − 1 pour tout entier naturel n . 1 Démontrer que la suite v n est une suite arithmétique de raison 1 3 . 2 Pour tout entier naturel ; , exprimer v n , puis u n en fonc-tion de n . 3 En déduire la limite de la suite u n E.6736 On considère la suite u n définie sur N par la relation: u 0 = 4 ; u n +1 = − u n − 2 2 · u n + 3 pour tout n ∈ N On admet que pour tous les termes de la suite u n sont défi-nis et qu’ils vérifient : u n > − 1 1 On définit la suite v n définie par la relation: v n = 1 u n + 1 pour tout n ∈ N a Justifier que la suite v n est une suite arithmétique dont on déterminera les éléments caractéristiques. b Exprimer les termes de la suite v n en fonction de n . 2 a Établir l’égalité: u n = 4 − 10 · n 1 + 10 · n pour tout n ∈ N b Montrer que les termes de la suite u n , pour n 1 , admettent l’expression : u n = 4 n − 10 1 n + 10 c Déterminer la limite des termes de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . E.6735 On considère la suite u n définie sur N par la relation: u 0 = 5 ; u n +1 = 3 · u n − 1 u n + 1 pour tout n ∈ N On admet que la suite u n est définie pour tout entier n ∈ N et ses termes vérifient : u n > 1 1 On définit la suite v n définie par la relation: v n = 1 u n − 1 pour tout n ∈ N a Justifier que la suite v n est une suite arithmétique de raison 1 2 . On précisera le premier terme de cette suite. b Exprimer les termes de la suite v n en fonction de n . 2 a En déduire l’expression suivante des termes de la suite u n : u n = 5+2 · n 1+2 · n b Établir, pour tout n ∈ N ∗ , la relation: u n = 2+ 5 n 2+ 1 n c Déterminer la limite des termes de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5852 sacados/5852 chapExoCorrec/6736 sacados/6736 chapExoCorrec/6735 sacados/6735 fichierPlus/6735/
E.3400 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, on considère la courbe C f représentative de la fonction f définie par la relation: f ( x ) = − 12 x + 36 x − 24 La droite (Δ) est la première bissectrice du plan. On considère la suite u n n ∈ N définie par récurrence par : u 0 = − 2 ; u n +1 = f u n pour tout n ∈ N On admet que la suite u n est définie sur N et que ses termes vérifient la comparaison : u n < 6 1 Graphiquement, placer sur l’axe des abscisses les cinq premières valeurs de la suite u n . 2 Déterminer, par le calcul, la valeur des trois premiers termes de la suite u n . 3 On définit la suite w n n ∈ N définie par : w n = 1 u n − 6 pour tout n ∈ N a Établir l’égalité suivante : w n +1 − w n = − 1 18 b Donner la nature et les caractéristiques de la suite w n ainsi que l’expression du terme w n en fonction de n . c Déterminer l’expression du terme u n en fonction de n . 4 En déduire la limite de la suite u n E.5735 On considère la suite numérique v n définie par : v 0 = 1 ; v n +1 = 9 6 − v n pour tout entier naturel n . 1 a Démontrer par récurrence que, pour tout entier na-turel n : 0 <v n < 3 b Démontrer que, pour tout entier naturel n : v n +1 − v n = (3 − v n ) 2 6 − v n c Démontrer que la suite v n est convergente. 2 On considère la suite w n définie pour tout n entier na-turel par : w n = 1 v n − 3 a Démontrer que w n est une suite arithmétique de rai-son − 1 3 . b En déduire l’expression de w n , puis celle de v n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite v n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3400 sacados/3400 -2-123456I-1234567JOCf chapExoCorrec/5735 sacados/5735 Extrait Liban Mai 2013