Hors programme lycée / Suites : raisonnement par récurrence 55 exercices corrigés

a
1. Manipulations algébriques (pour l’hérédité) E.5810 Établir l’égalité suivante pour tout en-tier naturel n différent de 6 : 1 3 · n + 4 − 6 n − 6 = 1 3 E.5805 Établir l’identité ci-dessous pour tout entier naturel n : 1 2 − n n + 1 = n + 1 ( n + 1) + 1 E.5811 Établir l’identité suivante pour tout en-tier naturel n : 10 · n + 1 n + 10 − 1 10 · n + 1 n + 10 + 1 = 9 11 × n − 1 n + 1 E.5809 Établir l’identité suivante pour tout en-tier naturel n : n · 1 + (0 ; 5) n n + 1 2 · ( n + 1) = 1 + (0 ; 5) n +1 n + 1 E.5807 Établir l’identité suivante pour tout en-tier naturel n : ( n + 2) · 1 + 2 · n + 1 n + 1 = 1 + 2 · ( n + 1) E.5808 Établir l’identité suivante pour tout en-tier naturel n : n · n + 1 · 2 n + 1 6 + ( n + 1) 2 = ( n + 1)( n + 2)(2 n + 3) 6 E.5806 Établir l’identité suivante pour tout en-tier naturel n : 1 + 2 n + 1 · 4 · n 2 + 12 · n + 5 + 6 n + 1 = 4 · ( n + 1) 2 + 12 · ( n + 1) + 5 E.6168 Établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n : 3 × 3 n 3 n + 1 1 + 2 × 3 n 3 n + 1 = 3 n +1 3 n +1 + 1 2. Introduction au raisonnement par récurrence E.3437 1 Soit u n une suite dont le terme de rang n est définie, pour tout entier naturel n , par : u n = 2 · n n + 1 Donner l’expression simplifiée des termes u n +1 et u n +2 en fonction de n . 2 Soit v n une suite dont le terme de rang n s’écrit en fonction de n : v n = 3 n − 1 + 4 n +1 pour tout entier naturel n . Donner une expression des termes v n +1 et v n +2 en fonc-tion de n . 3 Pour tout entier naturel n non-nul, on a l’égalité: 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 = n · ( n + 1) · (2 n + 1) 6 Donner l’écriture de cette identité au rang ( n +1) . E.6129 On considère la suite définie par : u 0 = 7 ; u n +1 = 1 4 · u n + 3 2 1 Calculer les valeurs des six premiers termes de la suite u n , puis de leurs valeurs arrondies au millième près. 2 On remarque que ces premiers termes vérifient la pro-priété : u n 2 pour tout n ∈ N . Comment peut-on justifier que tous les termes de la suite u n vérifient cette propriété? E.5176 On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation de récurrence et vérifiant les conditions : u 0 = 1 ; u 1 = 4 ; u n +2 = 2 · u n +1 − u n pour tout n ∈ N 1 a Déterminer les cinq premiers termes de la suite u n . b Émettre une conjecture quant à la nature de la suite u n . c Que reste-t-il à montrer pour établir cette récurrence? 2 a Donner l’expression simplifiée de u n +2 − u n +1 . b Cela suffit-il pour justifier la conjecture? E.3430 Soit la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 1 2 ; u n +1 = 1 2 · u n + 2 u n pour tout n ∈ N 1 On considère la suite f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 2 · x + 2 x Dresser le tableau de variation de la fonction f . 2 Peut-on conjecturer une minoration de la suite u n pour les termes de rang supérieur ou égal à 2 . 3. Récurrence - inégalités https://chingmath.fr chapExoCorrec/5810 sacados/5810 chapExoCorrec/5805 sacados/5805 chapExoCorrec/5811 sacados/5811 chapExoCorrec/5809 sacados/5809 chapExoCorrec/5807 sacados/5807 chapExoCorrec/5808 sacados/5808 chapExoCorrec/5806 sacados/5806 chapExoCorrec/6168 sacados/6168 chapExoCorrec/3437 sacados/3437 chapExoCorrec/6129 sacados/6129 chapExoCorrec/5176 sacados/5176 chapExoCorrec/3430 sacados/3430
E.5802 On considère la suite numérique u n définie sur N par : u 0 = 1 ; u n +1 = 9 6 − u n pour tout n ∈ N Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a l’encadrement : 0 <u n < 3 . E.3428 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 3 ; u n +1 = 3 2 · u n − 1 pour tout n ∈ N 1 Établir que, pour tout entier naturel n , on a: u n 3 2 En déduire que la suite u n est croissante. E.5033 On considère la suite u n définie sur N par : u 0 = − 3 ; u n +1 = 3 + u n 2 pour tout n ∈ N . 1 Déterminer la valeur du terme de rang 1 de la suite u n . 2 Démontrer que, pour tout n ∈ N ∗ , on a l’encadrement : 0 u n 2 E.3286 La suite u n est définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 1 2 u n + n − 1 , pour tout n ∈ N . Démontrer que pour tout n 3 , on a: u n 0 . E.4102 1 Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3 , on a: 2 · n 2 n +1 2 2 Montrer par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à 4 : 2 n n 2 4. Récurrence - égalités E.6130 On considère la suite u n définie sur N par : u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 n + 2 pour tout n ∈ N Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que le terme de rang n de la suite u n admet pour expression : u n = n 2 + n E.3295 On considère la suite u n d’entiers naturels définie par : u 0 = 14 u n +1 = 5 u n − 6 pour tout n ∈ N Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 2 u n = 5 n +2 + 3 . E.6131 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 5 · u n + 3 × 0 ; 5 n . Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, l’égalité suivante pour tout entier naturel n : u n = − 8 × 1 5 n + 10 × 0 ; 5 n E.6827 Soit u n la suite définie par son premier terme u 0 =5 et, pour tout entier naturel n par : u n +1 = 0 ; 5 · u n + 0 ; 5 · n − 1 ; 5 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que : u n = 10 × 0 ; 5 n + n − 5 E.6950 On considère la suite u n définie par : u 0 = 3 ; u n +1 = 9 × 2 n − u n pour tout n ∈ N Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la suite u n est une suite géométrique dont on précisera le pre-mier terme et la raison. E.3292 On considère la suite u définie par : u 0 = 0 u n +1 = 1 2 − u n pour tout n ∈ N . . Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n , on a: u n = n n + 1 . E.5801 On considère la suite u n définie par : u 1 = 3 2 ; u n +1 = n · u n + 1 2( n + 1) pour tout entier n ∈ N ∗ Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n non-nul, on a: u n = 1 + (0 ; 5) n n E.3438 Pour x =1 , montrer que pour tout n ∈ N , on a: 1 + x + x 2 + · · · + x n = 1 − x n +1 1 − x E.3425 Établir la propriété suivante, à l’aide d’un raisonnement par récurrence pour tout n 1 : 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2 = n ( n + 1)(2 n + 1) 6 E.6152 On considère la suite w n dont les ter-mes vérifient, pour tout entier naturel n 1 : w 0 = 1 ; n · w n = n + 1 · w n − 1 + 1 pour tout n ∈ N ∗ Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence qu’on a la relation suivante pour tout entier naturel n non-nul : w n +1 − w n = 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5802 sacados/5802 Extrait du bac Liban Mai 2013 chapExoCorrec/3428 sacados/3428 chapExoCorrec/5033 sacados/5033 chapExoCorrec/3286 sacados/3286 Extrait d'Antilles-Guyane - Septembre 2005 chapExoCorrec/4102 sacados/4102 chapExoCorrec/6130 sacados/6130 chapExoCorrec/3295 sacados/3295 chapExoCorrec/6131 sacados/6131 chapExoCorrec/6827 sacados/6827 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2015 chapExoCorrec/6950 sacados/6950 chapExoCorrec/3292 sacados/3292 chapExoCorrec/5801 sacados/5801 chapExoCorrec/3438 sacados/3438 chapExoCorrec/3425 sacados/3425 chapExoCorrec/6152 sacados/6152
E.4307 On considère la suite u n définie, pour tout n ∈ N , par : u 0 = 0 ; u 1 = 1 ; u n +2 = u n +1 + u n 2 pour n 0 . Démontrer par à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n : u n +1 = − 1 2 · u n + 1 E.4645 On considère la suite u n définie sur N par la relation de récurrence suivante : u 0 = 0 ; u n +1 = u n − 2 n + 11 pour tout n ∈ N 1 À l’aide du logiciel de votre choix, tracer le nuage de points associé au 15 premiers termes de cette suite. 2 Faire une conjecture quant à la nature de la courbe pas-sant par ces points. 3 À l’aide de trois points choisis de cette courbe, déterminer l’expression de la fonction f réalisant l’égalité ci-dessous pour les trois abscisses de ces points : u n = f ( n ) 4 Établir, par récurrence, l’expression des termes de la suite u n en fonction de leur rang n . E.6133 On considère les constructions suivantes : On note u n la suite numérique définie sur N ∗ où u n représente le nombre d’allumettes nécessaire à la construction de la n ième étape. 1 Déterminer une relation de récurrence entre un terme de la suite u n et de son prédécesseur. 2 Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que le terme de rang n de la suite u n admet pour ex-pression : u n = 2 · n 2 + 2 · n 5. Récurrence - problèmes E.3290 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 2 x + 1 x + 1 On admet les propriétés suivantes de la fonction f : La fonction f est croissante sur 1 ; 2 Si x ∈ 1 ; 2 , alors on a f ( x ) ∈ 1 ; 2 On définit la suite ( v n ) définie par : v 0 =2 ; v n +1 = f v n pour tout n ∈ N . Établir, par des raisonnements par récurrence, les deux pro-priétés suivantes de la suite v n : 1 Pour tout entier naturel n : 1 v n 2 . 2 Pour tout entier naturel n : v n +1 v n . E.5733 On considère que la suite u n définie par : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 + 3 u n 3 + u n pour tout entier naturel n On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. 1 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel, on a: u n > 1 . 2 a Établir que, pour tout entier naturel n , on a: u n +1 − u n = (1 − u n )(1 + u n ) 3 + u n b Déterminer le sens de variation de la suite u n . E.3279 On se place dans un repère or-thonormé et, pour tout entier naturel n , on définit les points A n par leurs coordonnées ( x n ; y n ) de la façon suivante : x 0 = − 3 y 0 = 4 ; x n +1 = 0 ; 8 · x n − 0 ; 6 · y n y n +1 = 0 ; 6 · x n + 0 ; 8 · y n Pour tout entier naturel n , montrer que le point A n appartient au cercle de centre O et de rayon 5 . E.5736 Soit la suite numérique u n définie sur N par : u 0 = 2 ; u n +1 = 2 3 · u n + 1 3 · n + 1 pour tout n ∈ N 1 a Calculer u 1 , u 2 , u 3 et u 4 , puis donner leurs valeurs arrondies à 10 − 2 près. b Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite. 2 a Démontrer que pour tout entier naturel n : u n n + 3 b Démontrer que pour tout entier naturel n : u n +1 − u n = 1 3 · n + 3 − u n c En déduire une validation de la conjecture précédente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4307 sacados/4307 chapExoCorrec/4645 sacados/4645 chapExoCorrec/6133 sacados/6133 1erétape2ièmeétape3ièmeétape chapExoCorrec/3290 sacados/3290 chapExoCorrec/5733 sacados/5733 Extrait d'Asie Juin 2013 chapExoCorrec/3279 sacados/3279 chapExoCorrec/5736 sacados/5736
E.3423 On considère la suite w n dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n 1 : w 0 = 1 ; n · w n = n + 1 · w n − 1 + 1 pour tout n ∈ N ∗ . 1 Compléter le tableau de valeurs de la suite w n ci-dessous : w 0 w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 1 2 a Faire une conjecture quant à la nature de la suite w n et ses caractéristiques. b Écrire la relation de récurrence donnant n · w n pour le rang ( n +1) . c Établir, par un raisonnement par récurrence, que la suite w n est arithmétique; on précisera les éléments caractéristiques de cette suite. E.3419 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 5 u n = 1 + 2 n · u n − 1 + 6 n pour tout entier n 1 1 a Calculer u 1 . b Les valeurs de u 2 , u 3 , u 4 , u 5 , u 6 , u 7 , u 8 , u 9 , u 10 , u 11 sont respectivement égales à: 45 , 77 , 117 , 165 , 221 , 285 , 357 , 437 , 525 , 621 . À partir de ces données conjecturer la nature de la suite d n n ∈ N définie par : d n = u n +1 − u n . 2 On considère la suite arithmétique v n n ∈ N de raison 8 et de premier terme v 0 =16 . Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4 n 2 +12 n . 3 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , on a: u n = 4 n 2 + 12 n + 5 4 Valider la conjecture émise à la question 1 b . E.6041 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel non-nul n définie par : u 1 = 7 ; u n +1 = n + 2 n · u n − 3 pour tout n ∈ N ∗ 1 Soit v n la suite définie par : v n = u n n pour n ∈ N ∗ . Démontrer que la suite v n est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. 2 En déduire une expression des termes de la suite u n en fonction de n . 6. Récurrence forte E.6203 On considère la suite définie par les re-lations : u 0 =3 ; u 1 =8 ; u n +1 =5 · u n − 6 · u n − 1 pour tout n ∈ N ∗ 1 Déterminer les valeurs des termes u 2 et u 3 . 2 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n non-nul, on a: u n = 2 n + 2 × 3 n E.6867 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 0 ; u 1 = 2 ; u n +1 = 4 · u n − 4 · u n − 1 ∀ n ∈ N ∗ Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que les termes de la suite u n admettent pour expression : u n = n · 2 n E.3439 Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, l’égalité suivante : n k =1 ( − 1) k · k 2 = ( − 1) n · n k =1 k 7. Limites et récurrences E.5819 Partie A On considère la fonction f définie sur R + par : f ( x ) = x + 2 2 · x + 1 1 Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 3 Justifier que la fonction f est strictement positive sur R + Partie B On considère la suite u n définie sur N par : u 0 = 2 ; u n +1 = u n + 2 2 · u n + 1 pour tout entier n ∈ N 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que pour tout entier naturel n , on a l’encadrement : 1 2 u n 2 2 a Établir que pour tout entier naturel n : u n +1 − 1 = − u n + 1 2 · u n + 1 b Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , u n − 1 a le même signe que ( − 1) n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3423 sacados/3423 chapExoCorrec/3419 sacados/3419 chapExoCorrec/6041 sacados/6041 chapExoCorrec/6203 sacados/6203 chapExoCorrec/6867 sacados/6867 chapExoCorrec/3439 sacados/3439 chapExoCorrec/5819 sacados/5819
E.5748 On considère la fonction f définie sur R + par la relation suivante : f ( x ) = 3 · x 1 + 2 · x On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J dont la représentation est donnée ci-dessous : 1 a Justifier que la fonction f est croissante sur R + . b Justifier que la courbe C f admet une asymptote en + ∞ . c Déterminer l’équation réduite de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . d On considère la droite ( d ) , première bissectrice du plan, d’équation y = x . Étudier la position de la courbe C f relativement à la droite ( d ) . 2 On considère la suite u n définie par les relations : u 0 = 1 2 ; u n +1 = 3 · u n 1 + 2 · u n a Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, qu’on a l’encadrement suivant : 0 u n u n +1 1 pour tout entier naturel n . b Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, l’égalité suivante : u n = 3 n 3 n + 1 pour tout entier naturel n . c En déduire la limite de la suite u n . E.3583 On définit les suites réelles u n n 0 et v n n 0 par : u 0 = 2 ; pour tout n ∈ N u n +1 = u n 2 + 5 2 · u n v n = u n − 5 u n + 5 On admet que les suites u n et v n sont définies sur N . C’est-à-dire qu’on a pour tout entier naturel n : u n =0 ; v n = − 5 1 Montrer que pour tout n 0 , on a v n +1 = v n 2 . En déduire la relation: v n = v 0 (2 n ) pour tout n 0 . 2 Montrer que v 0 = − 1 2+ 5 2 et en déduire la majoration : | v 0 | 1 16 . Déterminer alors la limite de la suite v n n 0 , puis celle de la suite u n n 0 quand n tend vers + ∞ . E.3420 On définit : la suite u n par : u 0 = 13 u n +1 = 1 5 · u n + 4 5 pour tout entier naturel n la suite S n , pour tout entier naturel n , par : S n = n k =0 u k = u 0 + u 1 + · · · + u n 1 Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : u n = 1 + 12 5 n . En déduire la limite de la suite u n . 2 a Déterminer le sens de variation de la suite S n . b Calculer S n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite S n . E.5831 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 1 3 · u n + n − 2 pour tout n ∈ N 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que, pour tout entier naturel n , on a: u n = 25 4 · 1 3 n + 3 2 · n − 21 4 2 Soit S n la somme définie pour tout entier naturel n par S n = n k =0 u k . Déterminer l’expression de S n en fonction de n . 3 On considère la suite L n définie par : L n = S n n pour tout entier naturel n . Déterminer la valeur de la limite de la suite L n . E.3708 1 Soient les suites numériques ( u n ) et ( v n ) définies pour tout n ∈ N par : u 0 = 1 ; pour tout n ∈ N u n +1 = u n − 2 v n = 2 u n a Montrer que la suite ( v n ) est géométrique. Déterminer ses éléments caractéristiques. b On pose pour tout n ∈ N ∗ : S n = v 0 + v 1 + ··· + v n Établir la limite suivante : lim n ↦→ + ∞ S n = 8 3 2 On définit la suite x n définie par : x 0 = 0 ; x n +1 = 1 2 x n + 3 2 pour tout n ∈ N a Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : x n = 3 2 + 3 2 2 + · · · + 3 2 n b En déduire une expression simple de x n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite ( x n ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5748 sacados/5748 234567I2JOCf chapExoCorrec/3583 sacados/3583 chapExoCorrec/3420 sacados/3420 Extrait de Antilles-Guyanes Septembre 2008 chapExoCorrec/5831 sacados/5831 chapExoCorrec/3708 sacados/3708
E.3424 Soit u n n ∈ N , la suite définie par la re-lation de récurrence suivante : u 0 = 0 ; u 1 = 1 u n +2 = 4 3 · u n +1 − 1 3 · u n pour tout n ∈ N 1 Déterminer la valeur exacte des cinq premiers termes de la suite u n . 2 On définit la suite v n n ∈ N ∗ définie par : v n +1 = u n +1 − u n pour tout entier naturel n . a Déterminer les quatre premiers termes de la suite v n . b Montrer que la suite v n est une suite géométrique; on précisera ses éléments caractéristiques. 3 Par un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout n ∈ N , on a: u n = 3 2 · 1 − 1 3 n 4 En déduire la limite: lim n ↦→ + ∞ u n . 8. Suites et probabilités E.6202 Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la prob-abilité qu’il gagne la suivante est 0 ; 7 . Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0 ; 8 . Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les événements : G n : ˇ Pierre gagne la n -ième partie ı. P n : ˇ Pierre perd la n -ième partie ı. Pour tout entier naturel n non nul, on pose : p n = P ( G n ) . 1 Étudions les deux premières parties : a Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : b Déterminer la probabilité de l’événement G 2 . c Sachant que Pierre a gagné la seconde partie, quelle est la probabilité que ce soit Claude qui ait gagné la première partie? 2 Continuons à étudier les parties entre Pierre et Claude : a Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : b En déduire la relation: p n +1 = 0 ; 5 × p n + 0 ; 2 pour tout n ∈ N ∗ On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n non-nul par la relation: v n = p n − 2 5 . c Prouver que la suite v n est une suite géométrique de raison 0 ; 5 . d En déduire une expression des termes de la suite v n , puis des termes de la suite p n en fonction de n . e Déterminer la limite de p n quand n tend vers + ∞ . f Quelle interprétation peut-on donner de la valeur de la limite de la suite p n relativement à l’énoncé de l’exercice? E.6813 Dans un espace probabilisé Ω ; P . On considère une suite d’événements A n vérifiant les relations suivantes : P A 0 ) = 0 ; 4 ; P A n A n +1 = 0 ; 6 P A n A n +1 = 0 ; 4 pour tout n ∈ N On note : p n = P A n . 1 Compléter l’arbre de probabilité ci-contre. 2 Établir que : p n +1 = 0 ; 2 · p n + 0 ; 4 3 Démontrer par récurrence que les termes de la suite p n admettent pour tout entier naturel n : p n = − 0 ; 1 × 0 ; 2 n + 0 ; 5 9. Un peu plus loin: raisonnement par récurrence E.3287 On considère la suite u n définie par : u n = n 10 2 n pour tout entier naturel n . On admet que tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a: 1 + 1 n 10 1 ; 9 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3424 sacados/3424 chapExoCorrec/6202 sacados/6202 ......G2...P2G1......G2...P2P1 pn...Gn...PnGn......Gn...PnPn chapExoCorrec/6813 sacados/6813 AnAnAnAnAnAn chapExoCorrec/3287 sacados/3287
Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16 , on a l’encadrement suivant : 0 u n 0 ; 95 n − 16 · u 16 E.6206 Établir à l’aide d’un raisonnement par récurrence que l’égalité ci-dessous est vérifiée pour tout entier naturel n non-nul : 1 3 + 3 3 + · · · + (2 n − 1) 3 = 2 · n 4 − n 2 E.3440 Montrer, à l’aide d’un raison-nement par récurrence, que pour tout entier naturel n non-nul et pour tout nombre x appartenant à l’intervalle − 1 ; + ∞ , on a la propriété suivante : 1 + x n 1 + n · x E.3478 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non-nul, on a: n k =1 k 3 = n k =1 k 2 E.6037 On considère les deux suites u n et v n définies pour tout entier n ∈ N ∗ par : u n = n k =1 k ; v n = n k =1 k 2 1 Étudier la suite w n définie pour tout n ∈ N ∗ par : w n = v n u n 2 En déduire une expression de la suite v n en fonction de n . 10. Exercices non-classés E.6952 Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Question 1 On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 2 · u n + 2 · n + 1 Affirmation : La suite u n est une suite géométrique. Question 2 On considère la suite u n définie par : u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 · n + 2 Affirmation : Pour tout entier naturel n , on a: u n = n 2 + n Question 3 On considère la suite u n géométrique de premier terme 4 et de raison 1 2 . On considère l’algorithme ci-dessous : u ← 4 n ← 0 S ← u Tant que 8 − S 10 − 2 u ← 0;5 × u n ← n+1 S ← S+u Fin tant que Affirmation : À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable n a pour valeur 10 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6206 sacados/6206 chapExoCorrec/3440 sacados/3440 chapExoCorrec/3478 sacados/3478 chapExoCorrec/6037 sacados/6037 chapExoCorrec/6952 sacados/6952