Hors programme lycée / Surfaces 18 exercices corrigés

a
1. Surface usuelle E.4120 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous de centre O . On munit le plan du repère orthonormé C ; −−→ CB ; −−→ CD ; −−→ CG Déterminer les équations des plans suivants : a ( BCD ) b ( GHD ) c ( FEH ) d ( ABF ) e ( ABG ) f ( BDG ) E.4121 On munit l’espace d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Déterminer les équations cartésiennes des surfaces suivantes : 1 Le cylindre d’axe O ; −→ j passant par le point A 0 ; 0 ; 3 . 2 Le cylindre d’axe O ; −→ k passant par le point B 3 ; 3 ; 0 . 3 Le cône de sommet O et d’axe de révolution O ; −→ i pas-sant par le point C 3 ; 2 ; 2 . 4 Le cylindre d’axe O ; −→ i et dont la section avec le plan d’équation x = − 3 est un cercle de rayon 4 . 5 Le cône de sommet O et d’axe de révolution O ; −→ k dont la section avec le plan d’équation z =2 est un cercle de rayon 2 . 2. Intersection d’une surface et d’un plan E.4098 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère les surfaces S 1 et S 2 d’équations respectives : z = x 2 + y 2 ; z = x · y + 2 x On note P le plan d’équation x =2 , E 1 l’intersection de la surface S 1 et du plan P et E 2 l’intersection de la surface S 2 et du plan P . En annexe , le plan P est représenté muni du repère A ; −→ j ; −→ k où A est le point de coordonnées 2 ; 0 ; 0 . 1 a Déterminer la nature de l’ensemble E 1 . b Déterminer la nature de l’ensemble E 2 . 2 a Représenter les ensembles E 1 et E 2 sur la feuille an-nexe. b Dans le repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensembles E 1 et E 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4120 sacados/4120 ABCDEFGH−i−j−k chapExoCorrec/4121 sacados/4121 chapExoCorrec/4098 sacados/4098 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2009 y-6-4-2A2468z-4-22468101214jk
E.4114 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les points : A 1 ; 3 ; 2 ; B 4 ; 6 ; − 4 et le cône (Γ) d’axe O ; −→ k , de sommet O et contenant le point A . 1 Montrer qu’une équation de (Γ) est : x 2 + y 2 = 5 2 · z 2 2 Soit ( P ) le plan parallèle au plan ( xOy ) et contenant le point B . a Déterminer une équation de ( P ) . b Préciser la nature de l’intersection ( C 1 ) de ( P ) et de (Γ) . E.4117 Dans l’espace muni du repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on note S la surface d’équation : z = x 2 + 2 · x + y 2 + 1 Dire si, oui ou non, ˇ la section de S avec le plan d’équation z =5 est un cercle de centre A de coordonnées − 1 ; 0 ; 5 et de rayon 5 ı. E.4138 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Étude de la surface S d’équation z = − 1 4 · x · y 1 On coupe S par le plan ( xOy ) . Déterminer la section obtenue. 2 On coupe S par un plan P parallèle au plan ( xOy ) . Quelle est la nature de la section obtenue? 3 Indication : dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même in-fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation. On coupe S par le plan d’équation x + y =0 . Quelle est la nature de la section obtenue? E.4135 Dans le repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , S est la surface d’équation : 4 · z = x · y . Les figures suivantes représentent les intersections de S avec certains plans de l’espace. 1 S 1 désigne la section de la surface S par le plan ( xOy ) . Une des figures données représente S 1 laquelle? 2 S 2 désigne la section de S par le plan R d’équation z =1 . Une des figures données représente S 2 , laquelle? 3 S 3 désigne la section de S par le plan d’équation y =8 . Une des figures données représente S 3 , laquelle? E.4136 Pour chacune des questions suiv-antes, indiquer si l’affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse. L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . 1 E est l’ensemble des points M de l’espace dont les coor-données ( x ; y ; z ) vérifient l’équation: z = x 2 + y 2 . On note S la section de E par le plan d’équation y = 3 . Affirmation : S est un cercle. 2 P est la surface d’équation x 2 + y 2 =3 · z 2 Affirmation : O est le seul point d’intersection de P avec le plan ( yOz ) à coordonnées entières. E.4311 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère la surface S dont une équation est : z = 4 · x · y Montrer que la section de la surface S par le plan d’équation z =0 est la réunion de deux droites orthogonales. 3. Volume E.4140 Pour chacune des deux proposi-tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. L’espace est rapporté à un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . La surface Σ ci-contre a pour équation : z = x 2 + y 2 1 La section de la surface Σ et du plan d’équation x = – , où – est un réel, est une hyperbole. 2 Le plan d’équation z = 9 · 2 2 partage le solide délimité par Σ et le plan d’équation z =9 en deux solides de même volume. Rappel . Soit V le volume du solide délimité par Σ et les plans d’équations z = a et z = b où 0 a b 9 . V est donné par la formule V = b a S ( k ) d k où S ( k ) est l’aire de la section du solide par le plan d’équation z = k où k ∈ a ; b . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4114 sacados/4114 chapExoCorrec/4117 sacados/4117 chapExoCorrec/4138 sacados/4138 Extrait d'Ameriques du Sud Novembre 2008 chapExoCorrec/4135 sacados/4135 Extrait Centres Etrangers Juin 2009 Figure no1Figure no2Figure no3Figure no4 chapExoCorrec/4136 sacados/4136 Extrait d'Antilles-Guyanes Juin 2009 sacados/4311 chapExoCorrec/4140 sacados/4140 Extrait de Liban Mai 2008 O−i−j−k
4. Annales - Etude de surfaces E.4143 L’espace ( E ) est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : A 0 ; 5 ; 5 ; B 0 ; 0 ; 10 1 Dans cette question, on se place dans le plan P 0 d’équation x = 0 rapporté au repère O ; −→ i ; −→ j . On note C le cercle de centre B et passant par A . Démontrer que la droite ( OA ) est tangente au cercle C . 2 On nomme S la sphère engendrée par la rotation du cer-cle C autour de l’axe ( Oz ) et Γ le cône engendré par la rotation de la droite ( OA ) autour de l’axe ( Oz ) . a Démontrer que le cône Γ admet pour équation : x 2 + y 2 = z 2 b Déterminer l’intersection du cône Γ et de la sphère S . Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques. c Illustrer ces objets par un schéma dans l’espace. 3 On coupe le cône Γ par le plan P 1 d’équation x =1 . Dans P 1 , l’une des trois figures ci-dessous représente cette intersection. Identifier cette figure en donnant les justifications néces-saires. 4 Soit M ( x ; y ; z ) un point du cône Γ dont les coordonnées sont des entiers relatifs non nuls. Démontrer que x et y ne peuvent pas être simultanément impairs. 5. Annales - Surfaces et arithmetiques E.4087 Partie A On considère, dans un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k de l’espace, la surface S d’équation : z = x − y ) 2 1 On note E 1 l’intersection de S avec le plan P 1 d’équation z =0 . Déterminer la nature de E 1 . 2 On note E 2 l’intersection de S avec le plan P 2 d’équation x =1 . Déterminer la nature de E 2 . Partie B On considère, dans un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k de l’espace, la surface S d’équation : z = x · y 1 On note E 3 l’intersection de S avec le plan P 1 d’équation z =0 . Déterminer la nature de E 3 . 2 On note E 4 l’intersection de S avec le plan P 3 d’équation z =1 . Déterminer la nature de E 4 . Partie C On note E 5 l’intersection de S et S . Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point ap-partenant à E 5 dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O 0 ; 0 ; 0 . On suppose qu’il existe un point M appartenant à E 5 et dont les coordonnées x , y et z sont des entiers naturels. 1 Montrer que si x =0 , alors le point M est le point O 2 On suppose dorénavant que l’entier x , y et z vérifient : x 2 − 3 · x · y + y 2 = 0 . En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x et y premiers entre eux tels que : x 2 − 3 · x · y + y 2 = 0 3 Montrer que x divise y 2 , puis, que x divise y . 4 Établir que y vérifie la relation: 1 − 3 · y + y 2 = 0 5 Conclure. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4143 sacados/4143 Pondichery Avril 2004 Figure no1Figure no2Figure no3 chapExoCorrec/4087 sacados/4087 Pondichery Avril 2011 5 points
E.4132 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ j . On considère la surface S 1 d’équation z = x 2 + y 2 et la surface S 2 d’équation z = x · y +2 · x Partie A On note P le plan d’équation x =2 , E 1 l’intersection de la surface S 1 et du plan P et E 2 l’intersection de la surface S 2 et du plan P . En annexe, le plan P est muni du repère A ; −→ i ; −→ j où A est le point de coordonnées 2 ; 0 ; 0 . 1 a Déterminer la nature de l’ensemble E 1 . b Déterminer la nature de l’ensemble E 2 . 2 a Représenter les ensembles E 1 et E 2 sur la feuille an-nexe . b Dans le repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k donner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensembles E 1 et E 2 . Partie B On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante : ˇsoient a , b et c des entiers avec a premier. Si a divise b · c alors a divise b ou a divise c .ı L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersection M ( x ; y ; z ) des surfaces S 1 et S 2 où y et z sont des entiers relatifs et x un entier premier. On considère un tel point M ( x ; y ; z ) . 1 a Montrer que : y ( y − x )= x (2 − x ) . b En déduire que l’entier premier x divise y . 2 On pose y = k · x avec k ∈ Z . a Montrer que x divise 2 , puis, que x =2 . b En déduire les valeurs possibles de k . 3 Déterminer les coordonnées possibles de M et comparer les résultats avec ceux de la partie A question 2 b . E.4137 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . 1 Soient F le point de coordonnées 0 ; 0 ; 1 4 et P le plan d’équation z = − 1 4 . On note d ( M;P ) la distance d’un point M au plan P . Montrer que l’ensemble ( S ) des points M de coordonnées ( x ; y ; z ) qui vérifient d ( M ; P )= MF a pour équation : x 2 + y 2 = z . 2 a Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble ( S ) avec le plan d’équation z =2 ? b Quelle est la nature de l’intersection de l’ensemble ( S ) avec le plan d’équation x =0 ? Représenter cette intersection dans le repère O ; −→ j ; −→ k 3 Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. a Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x 2 par 7 ? b Démontrer que 7 divise x 2 + y 2 si, et seulement si, 7 divise x et 7 divise y . 4 Indication : dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Existe-t-il des points qui appartiennent à l’intersection de l’ensemble ( S ) et du plan d’équation z = 98 et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels? Si oui, les déterminer. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4132 sacados/4132 chapExoCorrec/4137 sacados/4137 La R&union Juin 2009
E.4141 Dans l’espace muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ j , on considère les points A 1 ; 3 ; 2 et B 4 ; 6 ; − 4 et le cône (Γ) d’axe O ; −→ k , de sommet O et contenant le point A . Partie A 1 Montrer qu’une équation de (Γ) est : x 2 + y 2 = 5 2 · z 2 2 Soit ( P ) le plan parallèle au plan ( xOy ) et contenant le point B , a Déterminer une équation de ( P ) . b Préciser la nature de l’intersection ( C 1 ) de ( P ) et de (Γ) . 3 Soit ( Q ) le plan d’équation y =3 . On note ( C 2 ) l’intersection de (Γ) et de ( Q ) . Sans justification, recon-naître la nature de ( C 2 ) parmi les propositions suivantes : a deux droites parallèles; b deux droites sécantes ; c une parabole; d une hyperbole; e un cercle. Partie B Soient x , y et z trois entiers relatifs et M le point de coordon-nées ( x ; y ; z ) . Les ensembles ( C 1 ) et ( C 2 ) sont les sections définies dans la partie A . 1 On considère l’équation ( E ): x 2 + y 2 =40 où x et y sont des entiers relatifs. a Résoudre l’équation ( E ) . b En déduire l’ensemble des points de ( C 1 ) dont les co-ordonnées sont des entiers relatifs. 2 a Démontrer que si le point M de coordonnées ( x ; y ; z ) où x , y et z désignent des entiers relatifs est un point de (Γ) alors z est divisible par 2 et x 2 + y 2 est divisible par 10 . b Montrer que si M est un point de ( C 2 ) , intersection de (Γ) et de ( Q ) , alors: x 2 ≡ 1 ( mod. 10) c Déterminer un point de ( C 2 ) , distinct de A , dont les coordonnées sont des entiers relatifs. E.4139 L’espace est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On nomme ( S ) la surface d’équation : x 2 + y 2 − z 2 = 1 1 Montrer que la surface ( S ) est symétrique par rapport au plan xOy . 2 On nomme A et B les points de coordonnées respectives : 3 ; 1 ; − 3 ; − 1 ; 1 ; 1 a Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( D ) passant par les points A et B . b Démontrer que la droite ( D ) est incluse dans la surface ( S ) . 3 Déterminer la nature de la section de la surface ( S ) par un plan parallèle au plan ( xOy ) . 4 a On considère la courbe ( C ) , intersection de la sur-face ( S ) et du plan d’équation z = 68 . Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe. b M étant un point de ( C ) , on désigne par a son abscisse et par b son ordonnée. On se propose de montrer qu’il existe un seul point M de ( C ) tel que a et b soient des entiers naturels vérifi-ant : a <b ; ppcm ( a ; b ) = 440 . C’est-à-dire tel que ( a ; b ) soit solution du système : (1) : a <b a 2 + b 2 = 4625 ppcm ( a ; b ) = 440 Montrer que si ( a ; b ) est solution de (1) alors pgcd ( a ; b ) est égal à 1 ou à 5 . Conclure. Indication : dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation. 6. Annales - Volume E.4199 L’espace ( E ) est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère la surface T d’équation : x 2 · y = z avec − 1 x 1 et − 1 y 1 . La figure ci-contre est une représentation de la surface T dans le cube de centre O et de côté 2 . 1 Éléments de symétrie de la surface T . a Montrer que si le point M ( x ; y ; z ) appartient à T , alors le point M ( − x ; y ; z ) appartient aussi à T . En déduire un plan de symétrie de T . b Montrer que l’origine O du repère est centre de symétrie de T . 2 Intersections de la surface T avec des plans parallèles aux axes. a Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans parallèles au plan ( xOz ) . b Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans parallèles au plan ( yOz ) . 3 Intersections de la surface T avec les plans parallèles au plan ( xOy ) d’équations z = k , avec k ∈ 0 ; 1 . a Déterminer l’intersection de la surface T et du plan d’équation z =0 . b Pour k> 0 , on note K le point de coordonnées 0 ; 0 ; k . Déterminer, dans le repère K ; −→ i ; −→ j , l’équation de la courbe d’intersection de T et du plan d’équation z = k . c Tracer l’allure de cette courbe dans le repère K ; −→ i ; −→ j . On précisera en particulier les coordon-nées des extrémités de l’arc. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4141 sacados/4141 Polynesie Juin 2007 chapExoCorrec/4139 sacados/4139 Ameriques du Nord Mai 2008 chapExoCorrec/4199 sacados/4199
4 On note ( D ) le domaine formé des points du cube unité situés sous la surface T : ( D )= M ( x ; y ; z ) ∈ ( E ) ⏐ ⏐ ⏐ 0 x 1 ; 0 y 1 ; 0 z x 2 · y a Pour 0 <k 1 , le plan d’équation z = k coupe le do-maine ( D ) selon une surface qu’on peut visualiser sur le graphique de la question 3 c . C’est l’ensemble des points M du cube d’unité de co-ordonnées ( x ; y ; z ) tels que : y k x 2 et z = k . Calculer en fonction de k l’aire S ( k ) exprimée en unités d’aire de cette surface. b On pose S (0)=1 ; calculer en unités de volume, le vol-ume V du domaine ( D ) . On rappelle que : V = 1 0 S ( k ) dk . E.4319 Partie A : Restitution organ-isée de connaissances 1 Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en pro-duit de facteurs premiers (on ne demande pas de démon-trer l’unicité de cette décomposition) . 2 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629 . Partie B Dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les surfaces Γ et C d’équations respectives : Γ : z = x · y ; C : x 2 + z 2 = 1 1 Donner la nature de la surface C et déterminer ses élé-ments caractéristiques. 2 Points d’intersection à coordonnées entières des surfaces Γ et C . a Démontrer que les coordonnées ( x ; y ; z ) des points d’intersection de Γ et de C sont telles que : x 2 · 1 + y 2 = 1 b En déduire que Γ et C ont deux points d’intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. 3 Points d’intersection à coordonnées entières de Γ et d’un plan. Pour tout nombre entier naturel non nul n , on désigne par P n le plan d’équation z = n 4 +4 a Déterminer l’ensemble des points d’intersection de Γ et du plan P 1 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. pour la suite de l’exercice, on suppose n 2 . b Vérifier que : n 2 − 2 · n + 2 n 2 + 2 · n + 2 = n 4 + 4 c Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n 2 , l’entier n 4 +4 n’est pas premier. d En déduire que le nombre de points d’intersection de Γ et du plan P n dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8 . e Déterminer les points d’intersection de Γ et du plan P 5 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs. https://chingmath.fr sacados/4319 Asie Juin 2011 5 points