Hors programme lycée / Valeurs absolues 30 exercices corrigés

a
1. Fonctions affines par morceaux E.428 Dans le repère orthonormé O ; I ; J ci-dessous, on considère la ligne polygonale formée à l’aide des quatre points du plan A , B , C et D . 1 a Donner les trois équations des droites portées respec-tivement par les segments [ AB ] , [ BC ] et [ CD ] . Cette ligne polygonale définit une fonction f définie sur [ − 5 ; 5] dites " fonction affine par morceaux " (ou par intervalles) , car sur chacun de ses trois intervalles: I =[ − 5 ; − 1[ ; J =[ − 1 ; 1[ ; K =[1 ; 5] la courbe représentative de f est une fonction affine. Algébriquement, on définit la fonction f de la manière suivante : f : f ( x ) = − x − 5 si x ∈ [ − 5 ; − 1] f ( x ) = 2 ; 5 x − 0 ; 5 si x ∈ [ − 1 ; 1] f ( x ) = − 0 ; 5 x + 2 ; 5 si x ∈ [1 ; 5] b Donner les images des nombres − 4 , − 1 , 2 et 5 par la fonction f . 2 Voici les trois représentations graphiques des fonctions affines par morceaux g , h et j . a Donner l’ensemble de définition de chacune de ces fonc- tions. b Donner leurs expressions algébriques. E.420 Tracer dans le repère ci-dessous la courbe représentative de la fonction suivante : f : f ( x ) = 2 x + 8 si x ∈ [ − 5 ; − 2] f ( x ) = − 0.5 x + 3 si x ∈ ] − 2 ; 2] f ( x ) = − 2 x + 6 si x ∈ ]2 ; 4] E.3000 Dans le plan, on considère le rectangle ABCD de longueur 5 cm et de largeur 3 cm . Un point M parcourt le contour de ce rectangle; on repère ce point par le nombre x représentant la distance parcourue par ce point en partant de A et en parcourant le rectangle dans le sens direct. On note A ( x ) l’aire de la partie hachurée lorsque M est repéré par le nombre x . 1 Justifier que la fonction A est une fonction affine par morceaux en fonction de x définie par le système : x pour x ∈ [0 ; 6] 3 2 x − 3 pour x ∈ [6 ; 10] x + 2 pour x ∈ [10 ; 16] 3 2 · x − 6 pour x ∈ [16 ; 20] 2 Déterminer la valeur de x pour laquelle on a: A ( x ) = 20 cm 2 2. Valeur absolue - calcul algébrique https://chingmath.fr sacados/428 ABCDx0IyJ ABCx0IyJ EFGx0IyJ JKLMx0IyJ sacados/420 x0IyJ sacados/3000 ABCDOM6cm4cm
E.320 Effectuer les calculs ci-dessous en explic-itant votre démarche : a ⏐ ⏐ 2 3 − 3 2 ⏐ ⏐ b ⏐ ⏐ ⏐ 1 ı − 1 3 ⏐ ⏐ ⏐ c ⏐ ⏐ ⏐ 5 8 4 − 8 5 5 ⏐ ⏐ ⏐ 3. Valeur absolue - équation E.8127 1 Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 x +1 2 · x − 1 2 Parmi les valeurs étudiées dans la question précédente, existe-t-il des solutions de l’équation: ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ 2 x − 1 ⏐ ⏐ E.323 Résoudre les équations suivantes : a ⏐ ⏐ 2 − x ⏐ ⏐ = 2 ; 5 b ⏐ ⏐ x + 100 ⏐ ⏐ = 1 c 3 × ⏐ ⏐ x + 2 ⏐ ⏐ = 1 d ⏐ ⏐ 2 − x ⏐ ⏐ × 2 = 1 e 3 × ⏐ ⏐ x + 5 ⏐ ⏐ + 3 = 9 f 2 × ⏐ ⏐ 2 − x ⏐ ⏐ + 4 = 1 E.339 Résoudre les équations suivantes : a ⏐ ⏐ 2 x − 1 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ − x + 1 ⏐ ⏐ b ⏐ ⏐ 3 x − 1 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ 3 x + 1 ⏐ ⏐ c ⏐ ⏐ x − 2 ⏐ ⏐ = 5 d ⏐ ⏐ x + 2 ⏐ ⏐ = 6 E.335 Résoudre les équations suivantes : a ⏐ ⏐ 2 x − 2 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ x + 3 ⏐ ⏐ b ⏐ ⏐ 2 x + 1 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ 3 x + 3 ⏐ ⏐ c ⏐ ⏐ x − 2 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ x + 3 ⏐ ⏐ d ⏐ ⏐ 5 x + 2 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ 2 · ( − 2 x + 1) ⏐ ⏐ E.7302 On considère les fonctions f et g définies sur R par les relations : f ( x ) = x − ⏐ ⏐ 2 · x − 1 ⏐ ⏐ ; g ( x ) = x − 2 On note C f et C g respectivement les courbes représentatives des fonctions f et g . 1 À l’aide de la calculatrice, déterminer les abscisses des points d’intersection des courbes C f et C g . 2 a Établir l’équivalence : f ( x )= g ( x ) ⇐⇒ ⏐ ⏐ 2 · x − 1 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ 2 ⏐ ⏐ b En déduire les coordonnées des points d’intersection des courbes C f et C g . 4. Valeur absolue - un peu plus loin E.353 On considère les fonctions f et g définie par : f ( x ) = 1 2 · ⏐ ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ ⏐ − x ; g ( x ) = 1 4 · x − 1 2 Le plan est muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé donné ci-dessous. On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g et on considère les deux intervalles suivants : I = −∞ ; − 1 ; J = − 1 ; + ∞ 1 Tracer la courbe C g . 2 a Déterminer les expressions de la fonction f sur cha-cun des intervalles I et J . b Tracer la courbe C f sur R . 3 Les questions suivantes se traiteront algébriquement : a Déterminer les coordonnées du point d’intersection des courbes C f et C g sur l’intervalle J . b Justifier que les courbes C f et C g n’admettent pas de point d’intersection sur l’intervalle I . https://chingmath.fr chapExoCorrec/320 sacados/320 chapExoCorrec/8127 sacados/8127 chapExoCorrec/323 sacados/323 chapExoCorrec/339 sacados/339 chapExoCorrec/335 sacados/335 chapExoCorrec/7302 sacados/7302 chapExoCorrec/353 sacados/353 -4-3-2-12345I-3-2-123JO
E.1939 Le but de l’exercice est de résoudre l’équation suivante : ( E ) : ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ + 2 ⏐ ⏐ x − 1 ⏐ ⏐ = 3 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ + 2 ⏐ ⏐ x − 1 ⏐ ⏐ 1 a Simplifier l’expression de la fonction f sur l’intervalle −∞ ; − 1 . b Résoudre l’équation ( E ) sur l’intervalle −∞ ; − 1 . 2 a Simplifier l’expression de la fonction f sur l’intervalle − 1 ; 1 . b Résoudre l’équation ( E ) sur l’intervalle − 1 ; 1 . 3 a Simplifier l’expression de la fonction f sur l’intervalle 1 ; + ∞ . b Résoudre l’équation ( E ) sur l’intervalle 1 ; + ∞ . 4 Donner l’ensemble des solutions de l’équation ( E ) . E.303 Résoudre les équations suivantes : a ⏐ ⏐ x + 3 ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ 2 x + 1 ⏐ ⏐ = 2 b ⏐ ⏐ x ⏐ ⏐ + 3 · ⏐ ⏐ 4 x − 1 ⏐ ⏐ = x + 1 E.302 On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J : et les deux fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = ⏐ ⏐ x + 2 ⏐ ⏐ ; g ( x ) = ⏐ ⏐ x ⏐ ⏐ − 1 On note C f et C g les courbes représentatives respectives des fonctions f et g dans ce repère. 1 a Tracer la courbe C f dans le repère ci-dessus. b Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x ) 1 . 2 a Tracer la courbe C g dans le repère ci-dessus. b Résoudre graphiquement l’inéquation g ( x ) 0 . E.324 On considère l’inéquation ( E ) définie par : ( E ) : ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ x − 1 ⏐ ⏐ 5 On considère les trois intervalles suivants : I = −∞ ; − 1 ; J = − 1 ; 1 ; K = 1 ; + ∞ 1 On considère la fonction f définie sur R par : f : x ↦−→ ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ x − 1 ⏐ ⏐ Simplifier l’expression de la fonction f sur chacun des trois intervalles I , J et K . 2 a Résoudre l’inéquation ( E ) sur chacun des trois inter-valles I , J et K . b Donner l’ensemble des solutions de l’inéquation ( E ) . 5. Valeur absolue - étude de fonctions E.2301 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 1 4 · ⏐ ⏐ x + 2 ⏐ ⏐ + 3 4 · ⏐ ⏐ x − 4 ⏐ ⏐ 1 a Simplifier chaque expression en fonction de l’intervalle étudié : x −∞ − 2 4 + ∞ ⏐ ⏐ x +2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ x − 4 ⏐ ⏐ b Donner l’expression simplifiée de la fonction f sur cha-cun des trois intervalles suivants : I = −∞ ; − 2 ; J = − 2 ; 4 ; K = 4 ; + ∞ 2 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé donné ci-dessous : 3 D’après la représentation graphique, tracer le tableau de variations de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/1939 sacados/1939 chapExoCorrec/303 sacados/303 chapExoCorrec/302 sacados/302 -4-3-2-1234I-2-123JO chapExoCorrec/324 sacados/324 chapExoCorrec/2301 sacados/2301 -8-6-4-224681012I-4-22468JO
E.290 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ − 1 2 · x 1 Simplifier l’écriture des expressions algébriques sur les intervalles −∞ ; − 1 et − 1 ; + ∞ dans le tableau ci-dessous : x −∞ − 1 + ∞ ⏐ ⏐ x + 1 ⏐ ⏐ f ( x ) 2 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé, sont les deux courbes C 1 et C 2 . Laquelle de ces deux courbes est la représentation de la fonction f : E.326 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = ⏐ ⏐ ⏐ 1 2 · x + 1 2 ⏐ ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ ⏐ 1 4 · x − 1 2 ⏐ ⏐ ⏐ 1 Simplifier les expressions algébriques sur les trois inter-valles −∞ ; − 1 , − 1 ; 2 et 2 ; + ∞ dans le tableau ci-dessous : x −∞ − 1 2 + ∞ ⏐ ⏐ ⏐ 1 2 · x + 1 2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 4 · x − 1 2 ⏐ ⏐ ⏐ f ( x ) 2 Dans un repère orthonormé, des courbes sont représen-tées ci-dessous : a Par lecture graphique et sans justification, donner les équations réduites des droites ( d 1 ) , ( d 2 ) et ( d 3 ) . b Parmi les courbes C 1 , C 2 et C 3 , quelle est la représen-tation de la fonction f ? E.430 On considère la fonction f définie sur R par : f : x ↦−→ ⏐ ⏐ ⏐ 1 2 x − 1 ⏐ ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ ⏐ − 1 2 − 1 4 x ⏐ ⏐ ⏐ 1 Représenter sur une droite graduée les ensembles des so-lutions de chacun des systèmes d’inéquations suivants : 1 2 x − 1 0 − 1 2 − 1 4 x 0 ; 1 2 x − 1 0 − 1 2 − 1 4 x 0 ; 1 2 x − 1 0 − 1 2 − 1 4 x 0 2 Simplifier l’expression de la fonction f sur chacun des intervalles suivants : I = −∞ ; − 2 ; J = − 2 ; 2 ; K = 2 ; + ∞ 3 Effectuer le tracé de la courbe C f représentative de la fonction f sur l’intervalle − 4 ; 4 : E.1497 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 1 2 · ⏐ ⏐ x + 2 ⏐ ⏐ − 1 2 · ⏐ ⏐ x − 2 ⏐ ⏐ 1 Simplifier l’expression de la fonction f sur chacun des trois intervalles suivants : I = −∞ ; − 2 ; J = − 2 ; 2 ; K = 2 ; + ∞ 2 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé donné ci-dessous : 3 D’après la représentation graphique, tracer le tableau de variations de la fonction f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/290 sacados/290 -6-4-2246I-4-224JOC1 -6-4-2246I-4-224JOC2 chapExoCorrec/326 sacados/326 -6-4-20246-224(d1(d2(d3 -6-4-20246-224C1 -6-4-20246-224C2 -6-4-20246-224C3 chapExoCorrec/430 sacados/430 -4-3-2-1234I-2-123JO chapExoCorrec/1497 sacados/1497 -4-3-2-1234I-3-2-123JO
E.5032 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est donnée par la relation: f ( x ) = ⏐ ⏐ ⏐ 3 4 · x − 3 2 ⏐ ⏐ ⏐ − ⏐ ⏐ ⏐ 1 2 · x + 1 2 ⏐ ⏐ ⏐ 1 Déterminer l’image de − 4 et de 0 par la fonction f . 2 Simplifier l’expression de la fonction f sur chacun des trois intervalles ci-dessous : I = −∞ ; − 1 ; J = − 1 ; 2 ; K = 2 ; + ∞ 3 On munit le plan du repère O ; I ; J ci-dessous. Ef-fectuer dans ce repère le tracé de la courbe C f représen-tative de la fonction f . 4 a Graphiquement et sans justification, donner l’ensemble des solutions de l’équation f ( x )= − 1 . b Algébriquement, justifier que l’équation f ( x )= − 1 n’admet aucune solution sur l’intervalle −∞ ; − 1 . 6. Un peu plus loin - propriétés algébriques de la valeur absolue E.5015 On souhaite établir l’égalité suivante pour tous nombres réels x et y : ⏐ ⏐ x × y ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ x ⏐ ⏐ × ⏐ ⏐ y ⏐ ⏐ Pour cela, on raisonne par disjonction de cas sur la valeur de x et sur la valeur de y . Établir cette relation dans chacun des cas suivants : a x ∈ R + et y ∈ R + b x ∈ R + et y ∈ R − c x ∈ R − et y ∈ R + d x ∈ R − et y ∈ R − E.5016 1 Pour tous nombres réels x et y , établir l’inégalité: ⏐ ⏐ x + y ⏐ ⏐ 2 ⏐ ⏐ x ⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ y ⏐ ⏐ 2 2 En déduire, pour tous réels x et y , la comparaison suiv-ante : ⏐ ⏐ x + y ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ x ⏐ ⏐ + ⏐ ⏐ y ⏐ ⏐ 7. Exercices non-classés E.331 Soit x un nombre, la distance de x à zéro se note | x | et s’appelle la valeur absolue de x . 1 Compléter les tableaux suivants : x | x | 3 − 3 4 ; 2 − 2 ı x | x | 3 − 5 2 + 1 5 − √ 10 4 − ı 2 Pour x 0 , comparer x et | x | ? Pour x 0 , comparer x et | x | ? 3 Compléter en conséquence le diagramme suivant : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5032 sacados/5032 -4-3-2-123456I-3-2-1234JO chapExoCorrec/5015 sacados/5015 chapExoCorrec/5016 sacados/5016 chapExoCorrec/331 sacados/331 xx0x0
E.410 On considère la fonction valeur absolue notée f : f : x ↦−→ | x | 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x - 4 - 3 - 2 - 1 - 0 ; 5 0 0 ; 5 1 2 3 4 f ( x ) b Tracer la courbe C f représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous : 3 À l’aide de la représentation graphique, dresser le tableau de variations de la fonction f sur son ensemble de défini-tion D f . 4 Quelle propriété géométrique possède la courbe représen-tative de la fonction valeur absolue? E.979 Nous allons voir comment nous allons trans-former la résolution d’équations de la forme suivante : | x − a | = b où a; b ∈ R en un problème sur les distances entre deux points. Nous allons nous servir de la relation suivante, reliant dis-tance et valeur absolue : d ( x ; y ) = | x − y | 1 On souhaite résoudre l’équation | x − 2 | = 3 a Traduire cette équation en un problème sur les dis-tances entre les points d’abscisses x et 2 . b Utiliser la droite graduée ci-dessous pour trouver les positions du point d’abscisse x solution de ce problème de distance. c Vérifier que les positions trouvées vérifient le problème originel. 2 On souhaite résoudre l’équation: | x +1 | =2 : a Compléter le tableau ci-dessous : x | x + 1 | d ( x ; 1) d ( x ; − 1) 2 − 4 0 b Justifier que : | x +1 | = d ( x ; − 1) . c Traduire l’équation de départ en problème sur les dis- tances de points. d Utiliser la droite graduée ci-dessous pour résoudre ce problème. e Vérifier que les positions trouvées vérifient le problème originel. E.1937 1 Résoudre les équations suivantes en les traduisant en ter-mes de distance et en vous aidant d’une droite graduée : a | x − 4 | = 3 b | x + 1 ; 5 | = 1 c | 2 x + 1 | = 2 d | x − 2 | = | x + 3 | 2 Résoudre les équations suivantes de manières al-gébriques : a | x + 2 | = 2 2 b | 3 × ( x + 1) − 2 | = 5 c | 3 x − 2 | = | 3 − 2 x | E.1938 Résoudre en termes de distance les inéquations suivantes et donner une représentation de l’ensemble des solutions sur une droite graduée : a | x + 2 | 5 b | x − 1 | > 2 E.1911 Traduire les équations ou inéquations suivantes en termes de distance, puis les résoudre : a | x − 2 | = 1 ; 5 b | x + 1 | = 1 c | 2 x − 1 | = 3 d | x − 3 | 2 e | x + 4 | 1 f | x − 3 | 1 E.11636 On note d ( x ; y ) la distance séparant, sur une droite graduée, les deux points d’abscisse x et y . Nous allons montrer que l’égalité: d ( x ; y ) = | x − y | 1 Compléter les deux tableaux suivants : x y d ( x ; y ) x − y | x − y | 5 − 2 − 3 7 0 5 8 ; 2 3 ; 4 − 5 7 ; 2 2 Comparer d ( x ; y ) et | x − y | . E.11637 Nous allons simplifier l’écriture de | x − y | en fonction des valeurs de x et de y . 1 Donner la forme simplifiée de l’opposé de x − y ? 2 Compléter les phrases suivantes : x − y 0 lorsque x : : : : : : y x − y 0 lorsque x : : : : : : y . 3 Compléter le diagramme suivant : https://chingmath.fr chapExoCorrec/410 sacados/410 -4-3-2-1234I-1234JO sacados/979 -4-3-2-10123456 -5-4-3-2-1012345 chapExoCorrec/1937 sacados/1937 chapExoCorrec/1938 sacados/1938 chapExoCorrec/1911 sacados/1911 sacados/11636 sacados/11637 |x−y|xyxy