Hors programme lycée / Vecteurs 27 exercices corrigés

a
1. Base non orthogonale E.487 On munit le plan d’un repère O ; −→ i ; −→ j quelconque représenté ci-dessous : 1 Déterminer les coordonnées des points A , B , C , D et E . 2 a Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ EC et −−→ BA . b Établir que les vecteurs −−→ EC et −−→ BD sont colinéaires. 3 On utilise la fonction prenant deux points du plan et ren-voyant un nombre réel définit ainsi : d ( A ; B ) = x B − x A 2 + y B − y A 2 4 a Déterminer les valeurs suivantes : d ( A;D ) ; d ( A;E ) b Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points A et B est donnée par la formule : AB = x B − x A 2 + y B − y A 2 Cette formule a-t-elle un sens dans ce repère quel-conque? E.503 On munit le plan d’un repère O ; I ; J . 1 Placer les points suivants dans le repère ci-contre : A (3 ; 2) ; B ( − 3 ; 4) ; C ( − 1 ; − 5) 2 a Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [ BC ] . b Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ AB ] . c Placer le point G centre de gravité du triangle ABC . 3 On suppose l’existence d’un point H vérifiant l’assertion suivante : −→ OA + −−→ OB + −−→ OC = 3 · −−→ OH ( ∗ ) a Établir que pour tout point M du plan, on a: −−→ MA + −−→ MB + −−→ MC = 3 · −−→ MH b En déduire que : −−→ HA + −−→ HB + −−→ HC = −→ 0 . c En déduire la relation: −−→ AH = 2 3 · −→ AI . 4 a Justifier que le point G et H sont confondues. b Déduire de la relation ( ∗ ) les coordonnées du point G . https://chingmath.fr chapExoCorrec/487 sacados/487 −i−j-7-6-5-4-3-2-112345678-3-2-112ABCDE chapExoCorrec/503 sacados/503 −i−j−5−4−3−2−1234−5−4−3−2−1234567
E.513 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j quelconque, on considère les trois points suivants définis par leurs coordonnées : A (5 ; − 2) ; B ( − 3 ; − 1) ; C ( − 5 ; 3) 1 a Déterminer les coordonnés du point M vérifiant la relation suivante : 7 ·−−→ BM = 7 3 ·−−→ CM b Placer le point M dans le repère. Vérifier graphique-ment que les trois points B , C et M sont alignés. 2 a Déterminer les coordonnés du point G vérifiant la relation vectorielle: −→ GA + −−→ GB + −−→ GC = −→ 0 b Placer le point G dans le repère. c Tracer les trois médianes du triangle ABC . Que remarque-t-on? E.497 On munit le plan d’un repère O ; −→ i ; −→ j quelconque représenté ci-dessous : 1 Tracer un représentant de chacun des deux vecteurs : −→ u 5 2 ; −→ v − 3 − 2 2 a Tracer un représentant du vecteur −→ w défini par : −→ w = −→ u + −→ v b Graphiquement, déterminer les coordonnées du vecteur −→ w . c Comparer les coordonnées du vecteur −→ w relativement à celles des vecteurs −→ u et −→ v . 2. Repères choisis E.514 On cherche à placer, sur la figure ci-dessous, le point F tel que : F ∈ ( AB ) ; F , C et E alignés. On munit le plan du repère A ; −−→ AD ; −−→ AB . 1 a Donner les coordonnées des cinq points de la figure. b À quel axe appartient le point F ? Donner la valeur de l’abscisse F . On note f l’ordonnée du point F . 2 a Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ FC et −−→ FE . b En déduire les coordonnées du point F . 3 En notant I le milieu du segment [ DE ] . Justifier que les droites ( BI ) et ( FE ) sont parallèles. E.2896 Dans le plan, on considère un paral-lélogramme ABCD et les deux points E et F définis par les relations : −→ AE = 5 3 · −−→ AD ; −→ AF = 5 2 · −−→ AB 1 Tracer une représentation de cette configuration. 2 On munit le plan du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD . a Donner, sans justification, les coordonnées des points F , C et E . b Démontrer que les points E , C et F sont alignés. https://chingmath.fr chapExoCorrec/513 sacados/513 −i−j-5-4-3-2-112345-3-2-11234 chapExoCorrec/497 sacados/497 −i−j-1123456789-112345 chapExoCorrec/514 sacados/514 ABCDE chapExoCorrec/2896 sacados/2896
E.2108 Soit ABCD un parallélogramme non aplati de centre O . I est le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ BC ] . La droite ( DI ) coupe ( AC ) en M et la droite ( DJ ) coupe ( AC ) en P . On munit le plan du repère A ; −→ AI ; −→ AC : 1 Déterminer, par lecture graphique, les coordonnées des points A , I , C et B . 2 a Déterminer les deux entiers relatifs ¸ et ˛ réalisant l’égalité: −−→ AD = ¸ · −−→ AB + ˛ · −→ AC b En déduire les coordonnées du point D . 3 a Montrer que le vecteur −→ BJ a pour coordonnées : −→ BJ − 1 1 2 b En déduire les coordonnées du point J . 4 À quel axe appartiennent les points M et P ? Donner la valeur de leur abscisse. 5 En utilisant la colinéarité des vecteurs −−→ DM et −→ DI , déter-miner l’ordonnée m de M . 6 De même, déterminer l’ordonnée p de P . 7 a Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ AM , −−→ MP et −−→ PC . b En déduire que : AM = MP = PC . E.502 On considère un trapèze ABCD vérifiant l’égalité vectorielle: −−→ DC = 1 3 −−→ AB . On note I et J les milieux respectifs des segments [ AB ] et [ CD ] . Les droites ( AC ) et ( BD ) se coupent en M et les droites ( AD ) et ( BC ) se coupent en N . 1 a Tracer une représentation de cette configuration. b Émettre une conjecture quant à la position relative des points I , J , M , N ? On munit le plan du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD quelconque : 2 Déterminer les coordonnées des points : A ; B ; D ; I ; C ; J 3 a À quel axe appartient le point N ? En déduire l’abscisse du point N . b On note ¸ l’unique nombre réel positif réalisant l’égalité: DN = ¸ · DA À l’aide du théorème de Thalès, déterminer la valeur de ¸ . c En déduire les coordonnées du point N . 4 a Démontrer que : AM = 3 4 · AC . b En déduire les coordonnées du point M . 5 a Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ NJ , −→ NI et −−→ NM . b Confirmer la conjecture faite à la question 1 b . 3. Autour du centre de gravité d’un triangle E.2078 On considère le plan muni du repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2108 sacados/2108 ABCDOIJMP chapExoCorrec/502 sacados/502 chapExoCorrec/2078 sacados/2078 -4-2024-4-224ij
1 Placer les points suivants : A ( − 3 ; − 3) ; B (3 ; − 1) ; C ( − 1.5 ; 1) 2 a Déterminer les coordonnées du point I milieu du seg-ment [ AB ] . b Déterminer les coordonnées du point J milieu du seg-ment [ AC ] . c Placer sur la figure les points I et J ainsi que le centre de gravité G du triangle ABC . 3 On considère le point M ( − 0 ; 5 ; − 1) du plan : a Calculer les coordonnées des vecteurs −→ CI et −−→ CM . b Montrer que les vecteurs −→ CI et −−→ CM . On déterminera le coefficient de colinéarité du vecteur −−→ CM en fonction du vecteur −→ CI . 4 En déduire les coordonnées du centre de gravité du tri-angle ABC . E.2895 1 Dans le plan, placer trois points A , B , C non-alignés et le point I milieu du segment [ AB ] . 2 a Placer le point M tel que : −−→ AM =2 ·−−→ MC . b Placer le point N tel que : −−→ CN = −→ CA + −−→ CB 3 a Placer le point G centre de gravité du triangle ABC . b En utilisant la position du point G sur la médiane [ CI ] , établir l’égalité suivante : −→ GA + −−→ GB + −−→ GC = −→ 0 4 On munit le plan du repère A ; −−→ AB ; −→ AC quelconque. a Donner, sans justification, les coordonnées des points A , B , C , I , M et N . b En utilisant l’égalité vectorielle: −→ IC = −→ AC −−→ AI démontrer que le point G a pour coordonnées : G 1 3 ; 1 3 4. Manipulations algébriques E.505 On considère un parallélogramme quel-conque ABCD . On note I , J , K , L les milieux respectifs des segments [ AD ] , [ AB ] , [ BC ] et [ CD ] . Établir les deux relations suivantes : a −→ IJ + −→ IL = −−→ DC b 2 · −→ AJ + −−→ BD + −→ JB = −→ JC E.2056 1 Placer deux points A et B dans le plan. 2 On considère le point M défini par la relation 2 · −−→ AM − 3 · −−→ MB = −→ 0 a Donner une expression du vecteur −−→ AM en fonction du vecteur −−→ AB . b Placer le point M dans le plan. E.2079 1 On considère quatre points A , B , C , D du plan, vérifiant la relation suivante : −→ AC − 2 · −−→ DA = 3 · −−→ BC Montrer que −−→ AB et −−→ CD sont colinéaires. 2 On considère le parallélogramme EFGH et I , J , K et L les milieux respectifs des côtés [ EF ] , [ FG ] , [ GH ] et [ HE ] . Vérifier la relation suivante : −→ LG = −→ LI + 2 · −−→ HK + −→ IH E.526 1 a Placer trois points A , B , C non-alignés dans le plan. b Nommer I le milieu du segment [ BC ] . 2 a Placer le point G du plan vérifiant la relation: 3 · −→ GI + −→ IA = −→ 0 . b Tracer le représentant de la somme : −→ GA + −−→ GB + −−→ GC 3 Algébriquement, justifier que le point G vérifie la rela-tion : −→ GA + −−→ GB + −−→ GC = −→ 0 5. Repère choisi E.4591 On considère le carré ABCD représenté ci-dessous : Ses quatre côtés ont été partagés en quatre parts égales. On considère le quadrilatère IJKL représenté dans la figure véri-fiant : BI = CJ = DK = AL = 1 4 · AD On considère le plan muni du repère A ; D ; B . 1 Donner les coordonnées des huit points de cette figure. 2 Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélo-gramme. 3 Démontrer que le parallélogramme IJKL est un rectan-gle. 4 Démontrer que le rectangle IJKL est un carré. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2895 sacados/2895 chapExoCorrec/505 sacados/505 chapExoCorrec/2056 sacados/2056 chapExoCorrec/2079 sacados/2079 chapExoCorrec/526 sacados/526 chapExoCorrec/4591 sacados/4591 ABCDIJKL
6. Rappels E.2439 On considère, dans le plan, les deux vecteurs −→ u et −→ v ci-dessous : 1 Tracer dans le quadrillage un représentant −→ w de la somme −→ u + −→ v . 2 Tracer dans le quadrillage un représentant −→ y de la dif-férence −→ u −−→ v . 3 Tracer dans le quadrillage un représentant −→ z de la com-binaison linéaire suivante : 2 −→ u +3 −→ v . E.2441 1 a Placer le point D tel que : −−→ CD = − 3 · −→ i +2 · −→ j . b Placer le point F tel que : −−→ EF = − 3 · −→ i − 4 · −→ j 2 Compléter l’égalité suivante : −−→ GH = : : : · −→ i + : : : · −→ j 3 Compléter les pointillés suivants : a −→ u = : : : · −→ i b −→ v = : : : · −→ j c −−→ LM = : : : · −→ i + : : : · −→ j d −→ w = : : : · −→ i + : : : · −→ j e −→ z = : : : · −→ i + : : : · −→ j f −→ r = : : : · −→ i + : : : · −→ j g −→ s = : : : · −→ i + : : : · −→ j E.2442 1 Montrer que les vecteurs −→ u et −→ v sont colinéaires en pré-cisant le coefficient de colinéarité de −→ u et de −→ v : a 1 2 · −→ u = 3 4 · −→ v b 3 · −→ u − 2 · −→ v = −→ 0 c 3 · −→ u − 2 −→ v = −→ 0 d − 2 · −→ u + −→ v = 2 · −→ u + 3 · −→ v 2 Parmi les couples de vecteurs ci-dessous, lesquels sont colinéaires entre eux. On précisera alors le coefficient de proportionnalité de −→ u et de −→ v : a −→ u 3 2 et −→ v 9 4 b −→ u 2 3 et −→ v 4 ; 2 6 ; 3 c −→ u − 1 2 et −→ v 4 − 8 d −→ u 0 ; 7 4 ; 1 et −→ v − 2 ; 8 16 ; 4 3 Pour deux vecteurs −→ u et −→ v colinéaires, comparer le co-efficient de colinéarité de −→ v et de −→ u relativement au coefficient de colinéarité de −→ u et de −→ v . E.2440 Soit ABCD un parallélogramme. On note I le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ DC ] . Déterminer un vecteur résultant de chacune des expressions : a −−→ AB + −→ IJ − −→ DJ b −→ AC + −→ JA c −→ AI + −−→ AD E.2443 Soit A , B , C trois points du plan vérifi-ant la relation: − 1 2 · −−→ AB + 5 2 · −−→ BC − −−→ BA + −−→ CB = −→ 0 Montrer que les points A , B , C sont alignés. https://chingmath.fr chapExoCorrec/2439 sacados/2439 uv chapExoCorrec/2441 sacados/2441 jisuvrwzGHCELM chapExoCorrec/2442 sacados/2442 chapExoCorrec/2440 sacados/2440 chapExoCorrec/2443 sacados/2443
E.2444 On considère le plan muni d’un repère orthogonal : 1 Placer les points suivants : A ( − 3 ; − 3) ; B (3 ; − 1) ; C ( − 1.5 ; 1) 2 a Déterminer les coordonnées du point I milieu du seg-ment [ AB ] . b Déterminer les coordonnées du point J milieu du seg-ment [ AC ] . c Placer sur la figure les points I et J ainsi que le centre de gravité G du triangle ABC . d Déterminer la longueur IC . 3 On considère le point M ( − 0 ; 5 ; − 1) du plan a Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ CM et −→ CI . b Montrer que les points C , M , I sont alignés. c En utilisant le coefficient de colinéarité entre les deux vecteurs −→ CI et −−→ CM , en déduire que les points M et G sont confondus. Indication : on rappelle que le centre de gravité d’un tri-angle est le point de concours des médianes du triangle. Le centre de gravité d’un triangle possède la propriété métrique suivante : ˇ Le centre de gravité est situé sur chaque médiane au 2 = 3 de celle-ci en partant du sommet ı E.2767 On considère le plan muni d’un repère ( O ; I ; J ) orthonormé, le cercle C de centre K (2 ; 1) et de rayon 2 ; 5 , et le point A 0 ; 5 2 1 Montrer que le point A appartient au cercle C . 2 Déterminer les coordonnées du point B , appartenant au cercle C , diamétralement opposé au point A . 3 Soit C 3 2 ; 1 − 6 , justifier que le triangle ABC est rectangle en C . 4 Déterminer les coordonnées d’un point du cercle C , dont l’abscisse vaut 5 2 E.2445 Soit ABCD un parallélogramme non aplati de centre O . I est le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ BC ] . La droite ( DI ) coupe ( AC ) en M et la droite ( DJ ) coupe ( AC ) en P . Le but du problème est de démontrer que : AM = MP = PC On utilisera tout au long de l’exercice le repère ( A ; −→ AI ; −→ AC ) : 1 Déterminer, par lecture graphique, les coordonnées des points A , I , C et B . 2 En déduire les coordonnées des points J et D (on remar-quera que −−→ AD = −−→ BC ) 3 Déterminer l’abscisse des points M et P . 4 En utilisant la colinéarité des vecteurs −−→ DM et −→ DI , déter-miner l’ordonnée m de M . 5 Déterminer l’ordonnée p de P . 6 Comparer les vecteurs −−→ AM , −−→ MP et −−→ PC . En déduire que : AM = MP = PC . 7. Vecteur et fonction affines E.970 Dans un repère orthonormé O ; I ; J , l’unité graphique est le centimètre. 1 Placer les points A (2 ; 0) ; B (3 ; 5 ; 6) ; C (9 ; 5 ; 5) . 2 Placer dans ce repère le point D tel que : −−→ AD = −−→ AB + −→ AC 3 Calculer les coordonnées du vecteur −−→ BC . 4 Calculer les coordonnées du milieu M du segment [ AC ] . 5 Soit la fonction affine f telle que f (2)=0 et f (3 ; 5)=6 . Trouver l’expression algébrique de f . 6 Tracer la représentation graphique de f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2444 sacados/2444 -4-2024-4-224ij chapExoCorrec/2767 sacados/2767 chapExoCorrec/2445 sacados/2445 ABCDOIJMP chapExoCorrec/970 sacados/970
E.971 On considère le plan rapporté au repère orthonormé O ; I ; J : 1 Placer les points A ( − 7 ; 1) et B (1 ; 7) . 2 a Quelles sont les coordonnées des vecteurs −→ OA , −−→ OB , −−→ AB ? Démontrer que AOB est un triangle rectangle isocèle. b Soit C le cercle circonscrit au triangle AOB . Calculer les coordonnées de son centre S et de son rayon. 3 On note f la fonction affine définie par : f ( − 7) = 1 ; f (1) = 7 a Déterminer l’expression algébrique de f . b Dans le repère ci-dessus, donner la représentation graphique de la fonction f ? E.953 Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; I ; J . L’unité de longueur est le centimètre. On considère les points : A (3 ; 1) ; B (2 ; − 2) ; C ( − 6 ; 4) Première partie 1 Placer les points A , B et C dans le repère. 2 On considère la fonction affine f : x ↦→ mx + p , dont la représentation graphique est la droite ( AB ) . a Déterminer les images de 2 et de 3 par la fonction f . b Déterminer les valeurs de m et p de la fonction f . Deuxième partie 1 Montrer que : AC = 90 . 2 On donne AB = 10 et BC =10 . Montrer que le triangle ABC est rectangle en A . 3 Calculer les coordonnées du vecteur −−→ AB . 4 Construire le point D image du point C par la transla-tion de vecteur −−→ AB . Déterminer graphiquement les coordonnées du point D . 5 Montrer que le quadrilatère ABDC est un rectangle. 6 On considère le cercle C circonscrit au rectangle ABDC . Déterminer les coordonnées de son centre, puis construire le cercle C . 8. Exercices non-classés E.517 Dans un repère O ; −→ i ; −→ j , on con-sidère les points : A (3 ; − 5) ; B ( − 2 ; 0) ; C (147 ; − 13) ; D ( − 53 ; 187) Établir que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/971 sacados/971 Clermont-Ferrand 2000 - 8 points -10-8-6-4-22I48JO chapExoCorrec/953 sacados/953 chapExoCorrec/517 sacados/517