Terminale Option Complémentaire / Annales suites 10 exercices (100% corrigés)

a
1. Seuil E.7207 Le 1 er septembre 2015 , un en-semble scolaire compte 3 000 élèves. Une étude statistique interne a montré que chaque 1 er septem-bre : 10 % de l’effectif quitte l’établissement ; 250 nouveaux élèves s’inscrivent. On cherche à modéliser cette situation par une suite u n où, pour tout entier naturel n , u n représente le nombre d’élèves le 1 er septembre de l’année 2015+ n . 1 Justifier qu’on peut modéliser la situation avec la suite u n telle que u 0 =3 000 et, pour tout entier naturel n : u n +1 =0 ; 9 · u n +250 . 2 Pour tout entier naturel n , on pose : v n = u n − 2 500 . a Démontrer que la suite v n est géométrique de raison 0 ; 9 . Préciser v 0 . b Exprimer, pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . En déduire que pour tout entier naturel n : u n =500 × 0 ; 9 n +2 500 3 Démontrer que pour tout entier naturel n : u n +1 − u n = − 50 × 0 ; 9 n . En déduire le sens de variation de la suite u n . 4 La capacité optimale d’accueil est de 2 800 élèves. Ainsi, au 1 er septembre 2015 , l’ensemble scolaire compte un sur-effectif de 200 élèves. Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le contexte restant le même, l’ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif. E.6973 Soit la suite u n définie par : u 0 = 150 et pour tout entier naturel n , u n +1 = 0 ; 8 · u n + 45 . 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 Voici deux propositions d’algorithmes : Algorithme 1 u ← 150 n ← 0 Tant que u 220 u ← 0;8 × u + 45 n ← n+1 Fin Tant que Algorithme 2 u ← 150 n ← 0 Tant que u<220 u ← 0;8 × u + 45 n ← n+1 Fin Tant que On s’intéresse à la valeur de la variable n à la fin de l’exécution de l’algorithme. a Un seul de ces algorithmes permet, en fin d’exécution, d’affecter à la variable n le plus petit entier naturel n tel que u n 220 . Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algo-rithme ne le permet pas. b Quelle est la valeur numérique de la variable n en fin d’exécution de l’algorithme? 3 On considère la suite v n définie pour tout entier na-turel n par : v n = u n − 225 a Démontrer que v n est une suite géométrique et pré-ciser son premier terme et sa raison. b En déduire que pour tout entier naturel n : u n = 225 − 75 × 0 ; 8 n 4 Une petite ville de province organise chaque année une course à pied dans les rues de son centre. En 2015 , le nombre de participants à cette course était de 150 . On fait l’hypothèse que d’une année sur l’autre: 20 % des participants ne reviennent pas l’année suiv-ante ; 45 nouveaux participants s’inscrivent à la course. La petite taille des ruelles du centre historique de la ville oblige les organisateurs à limiter le nombre de partici-pants à 250 . Vont-ils devoir refuser des inscriptions dans les années à venir? Justifier la réponse. 2. Limites E.6976 Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septem-bre 2016 . Le président de l’université est inquiet, car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étu-diants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants. Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année : 150 étudiants démissionnent en cours d’année universi-taire (entre le 1 er septembre et le 30 juin) ; les effectifs constatés à la rentrée de septembre connais-sent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède. Pour tout entier naturel n , on note u n le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016+ n , on a donc u 0 =27 500 . 1 a Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017 . b Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septem-bre 2017 . 2 Justifier que, pour tout entier naturel n , on a: u n +1 = 1 ; 04 · u n − 156 3 Recopier et compléter les lignes ‘ .3 , ‘ .4 , ‘ .5 et ‘ .7 de l’algorithme suivant afin qu’à la fin de son exécution, la variable n ait pour valeur l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7207 sacados/7207 Asie Juin 2016 chapExoCorrec/6973 sacados/6973 chapExoCorrec/6976 sacados/6976
‘ .1 n ← 0 ‘ .2 u ← 27 500 ‘ .3 Tant que u ... ‘ .4 n ← ... ‘ .5 u ← ... ‘ .6 Fin Tant que ‘ .7 n ← 2017+... 4 a On fait fonctionner cet algorithme pas à pas. Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l’unité. Initialisation Étape 1 . . . Valeur de n 0 . . . . . . Valeur de U 27 500 . . . . . . b Donner la valeur affectée à la variable n à la fin de l’exécution de cet algorithme. 5 On cherche à calculer explicitement le terme général u n en fonction de n . Pour cela, on note v n la suite définie, pour tout entier naturel n , par v n = u n − 3 900 . a Montrer que v n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 23 600 × 1 ; 04 n + 3 900 . c Déterminer la limite de la suite u n et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice. E.6980 Les deux parties sont indépen-dantes Partie A : L’accord de Kyoto (1997) Le principal gaz à effet de serre (GES) est le dioxyde de car-bone, noté CO 2 . En 2011 , la France a émis 486 mégatonnes de GES en équiv-alent CO 2 contre 559 mégatonnes en 1990 . 1 Dans l’accord de Kyoto, la France s’est engagée à réduire ses GES de 8 % entre 1990 et 2012 . Peut-on dire qu’en 2011 la France respectait déjà cet en-gagement? Justifier la réponse. 2 Sachant que les émissions de 2011 ont marqué une baisse de 5 ; 6 % par rapport à 2010 , calculer le nombre de méga-tonnes en équivalent CO 2 émises par la France en 2010 . Arrondir le résultat à 0 ; 1 . Partie B: Étude des émissions de gaz à effet de serre d’une zone industrielle Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On es-time que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d’une année sur l’autre et que, chaque année, les im-plantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO 2 . En 2005 , cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO 2 au total. Pour tout entier naturel n , on note u n le nombre de milliers de tonnes de CO 2 émis dans cette zone industrielle au cours de l’année 2005+ n . 1 Déterminer u 0 et u 1 . 2 Montrer que, pour tout entier naturel n ,on a: u n +1 = 0 ; 98 × u n + 0 ; 2 . 3 On considère la suite v n définie, pour tout entier na-turel, par : v n = u n − 10 a Montrer que la suite v n est géométrique de raison 0 ; 98 . Préciser son premier terme. b Exprimer v n en fonction de n , pour tout entier naturel n . c En déduire que, pour tout entier naturel n : u n =31 × (0 ; 98) n +10 . 4 a Calculer la limite de la suite u n . b Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. 5 On souhaite utiliser l’algorithme dessous afin que la valeur de la variable n nous aide à déterminer l’année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO 2 , par rapport à l’année 2005 . a Recopier et compléter les lignes 3 et 4 de l’algorithme. ‘ .1 U ← 41 ‘ .2 n ← 0 ‘ .3 Tant que ... ‘ .4 u ← ... ‘ .5 n ← n+1 ‘ .6 Fin Tant que b En fin d’exécution de l’algorithme, la variable n est af-fectée de la valeur 54 . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice https://chingmath.fr chapExoCorrec/6980 sacados/6980 Liban Juin 2017
E.6987 Un particulier possède une piscine et décide de s’équiper d’un système automatique de remplis-sage pour tenir compte de l’évaporation pendant la période estivale. Sur un site spécialisé, il apprend que les conditions climatiques dans sa région pendant cette période sont tells qu’il peut prévoir une évaporation quotidienne de 4 % de la quantité d’eau. Il décide alors de régler son système de rem-plissage automatique à un apport de 2 m 3 d’eau par jour. Le premier jour de la mise en fonctionnement du système au-tomatique de remplissage, la piscine contient 75 m 3 . Pour tout entier naturel n , on note u n le volume d’eau dans la piscine, exprimé en mètre cube ( m 3 ) , n jours après la mise en fonctionnement du système automatique de remplissage. Ainsi, u 0 =75 . 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 Justifier que la suite u n n’est pas arithmétique. Est-elle géométrique? 3 Justifier que, pour tout entier naturel n : u n +1 =0 ; 96 × u n +2 4 Pour tout entier naturel n , on pose : v n = u n − 50 a Montrer que la suite v n est une suite géométrique de raison 0 ; 96 et de premier terme v 0 . b Pour tout entier naturel n , exprimer v n en fonction de n . c En déduire que pour tout entier naturel n : u n = 25 × 0 ; 96 n + 50 d Déterminer la limite de la suite u n et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice. 5 Si le volume d’eau dans la piscine est inférieur à 65 m 3 , le niveau de l’eau est insuffisant pour alimenter les pom-pes de filtration ce qui risque de les endommager. Pour connaître le nombre de jours pendant lesquels le niveau d’eau reste suffisant sans risquer de panne en conservant ce réglage, on construit l’algorithme suivant : ‘ .1 n ← 0 ‘ .2 u ← 75 ‘ .3 Tant que u... ‘ .4 u ← ... ‘ .5 n ← n+1 ‘ .6 Fin Tant que On souhaite qu’à la fin de son exécution, la variable n contienne le nombre de jours pour que le niveau d’eau soit suffisant. a Recopier et compléter les lignes ‘ .3 et ‘ .4 de cet algo- rithme. b Quelle est la valeur affectée à la variable n en fin d’exécution de l’algorithme? c Pendant combien de jours le niveau de l’eau est-il suff-isant si on conserve ce réglage? E.6992 En 2015 , les forêts couvraient envi-ron 4 000 millions d’hectares sur terre. On estime que, chaque année, cette surface diminue de 0 ; 4 % . Cette perte est en par-tie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à 7 ; 2 millions d’hectares par an. On considère la suite u n définie par u 0 =4 000 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = 0 ; 996 × u n + 7 ; 2 1 Justifier que, pour tout entier naturel n , u n permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année 2015+ n . 2 Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution, la variable N ait pour valeur la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de 3 500 millions d’hectares sur terre. N ← 2015 U ← 4 000 ... ... ... 3 On considère la suite v n définie pour tout entier na-turel n par : v n = u n − 1 800 a Démontrer que la suite v n est géométrique puis pré-ciser son premier terme et sa raison. b En déduire que pour tout entier naturel n , on a: u n = 2200 × 0 ; 996 n + 1800 y c Selon ce modèle et si le phénomène perdure, la sur-face des forêts sur terre va-t-elle finir par disparaître? Justifier la réponse. 4 Une étude montre que, pour compenser le nombre d’arbres détruits ces dix dernières années, il faudrait planter 140 milliards d’arbres en 10 ans. En 2016 , on estime que le nombre d’arbres plantés par l’Organisation des Nations Unies (ONU) est de 7 ; 3 mil-liards. On suppose que le nombre d’arbres plantés par l’ONU augmente chaque année de 10 % . L’ONU peut-elle réus-sir à replanter 140 milliards d’arbres de 2016 à 2025 ? 3. Résolution d’inéquations E.6984 La renouée du Japon est une plante à croissance très rapide et très invasive. Un jardinier souhaite faire disparaître de son terrain cette es-pèce qui occupe une superficie de 120 m 2 au 1 er janvier 2017 . Pour cela, chaque année au printemps, il procède à un ar-rachage qui permet de réduire de 10 % la superficie de ter-rain envahi l’année précédente. Cependant, cette espèce de plante ayant une puissance de dissémination très importante, de nouvelles pousses apparaissent chaque été et envahissent une nouvelle parcelle de terrain d’une superficie de 4 m 2 . 1 Déterminer la superficie de terrain envahi par cette plante au 1 er janvier 2018 . On modélise la situation par une suite u n où u n représente la superficie de terrain en m 2 envahi par la Renouée du Japon au 1 er janvier de l’année 2017+ n . La suite u n est donc définie par u 0 =120 et, pour tout en- https://chingmath.fr chapExoCorrec/6987 sacados/6987 Antilles Juin 2017 chapExoCorrec/6992 sacados/6992 chapExoCorrec/6984 sacados/6984
tier naturel n , par : u n +1 = 0 ; 9 · u n + 4 2 Le jardinier souhaite connaître l’année à partir de laque-lle il aura réduit au moins de moitié la superficie de ter-rain envahi par rapport au 1 er janvier de l’année 2017 . Recopier et compléter les lignes ‘ .1 , ‘ .3 , ‘ .4 et ‘ .7 de l’algorithme ci-dessous afin qu’à la fin de son exécution, la variable u ait pour valeur l’année souhaitée. On ne demande pas de faire fonctionner l’algorithme ‘ .1 u ← ... ‘ .2 n ← 0 ‘ .3 Tant que ... ‘ .4 u ← ... ‘ .5 n ← n+1 ‘ .6 Fin tant que ‘ .7 n ← ... 3 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par : v n = u n − 40 a Montrer que la suite v n est une suite géométrique de raison q =0 ; 9 et préciser le premier terme. b Exprimer v n en fonction de n , pour tout entier naturel n . c Justifier que u n =80 × 0 ; 9 n +40 pour tout entier naturel n . 4 a Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation: 80 × 0 ; 9 n + 40 60 b En déduire l’année à partir de laquelle la superficie en-vahie par la plante sera réduite au moins de moitié par rapport au 1 er janvier de l’année 2017 . 5 Le jardinier arrivera-t-il à faire disparaître complétement la plante de son terrain? Justifier la réponse. E.7208 Afin de lutter contre la pollution de l’air, un département a contraint dès l’année 2013 certaines entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits polluants qu’elles rejettent dans l’air. Ces entreprises ont rejeté 410 tonnes de ces polluants en 2013 et 332 tonnes en 2015 . On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés est constant. 1 Justifier que l’on peut considérer que l’évolution d’une année sur l’autre correspond à une diminution de 10 % . 2 En admettant que ce taux de 10 % reste constant pour les années à venir, déterminer à partir de quelle année la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de 180 tonnes fixé par le conseil départemental. E.7212 Partie A Soit u n la suite définie par u 0 =350 et, pour tout entier naturel n : u n +1 =0 ; 5 · u n +100 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 On considère la suite w n définie pour tout entier na-turel n par : w n = u n − 200 . a Montrer que la suite w n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b Démontrer que, pour tout entier naturel n : u n = 200 + 150 × 0 ; 5 n . Partie B Une commune propose aux enfants d’adhérer à une associa-tion sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d’enfants inscrits dans cette association est 500 dont 350 filles. Les statistiques relatives aux années précédentes nous amè-nent, pour l’évolution du nombre d’adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante : Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précé-dente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs, l’association accueille chaque année 100 nouvelles filles. D’une année à l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmente de 10 % . 1 On représente l’évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite F n où F n désigne le nom-bre de filles adhérentes à l’association en l’année 2015+ n . On a donc : F 0 =350 . Pour tout entier naturel n , exprimer F n +1 en fonction de F n . 2 On représente l’évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite G n , où G n désigne le nombre de garçons adhérents à l’association l’année 2015+ n . a Pour tout entier naturel n , exprimer G n en fonction de n . b À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons? 3 On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l’algorithme suivant : n ← 0 G ← 150 F ← 350 Tant que G F n ← n+1 G ← 1;1 · G F ← 0;5 · F+100 Fin Tant que a Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité. Valeur de n 0 1 Valeur de G 150 Valeur de F 350 Condition G F b En déduire la valeur affectée à la variable n en fin d’exécution de l’algorithme. 4. Sommes des termes https://chingmath.fr chapExoCorrec/7208 sacados/7208 Antilles-Guyane Juin 2016 chapExoCorrec/7212 sacados/7212
E.7266 A RECOPIER antilles guyanes 2017 E.7536 Lors d’un jeu, Marc doit répondre à la question suivante : Le premier jour, nous vous offrons 100 e puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5 % de plus que la veille et une somme fixe de 20 e . Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 e ? 1 Pour tout entier naturel n non nul, on note u n le montant total en e versé à Marc le n -ième jour. Ainsi, u 1 =100 . a Calculer u 2 . b Justifier que, pour tout entier naturel n non nul : u n +1 = 1 ; 05 · u n + 20 2 Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n = u n +400 . a Calculer v 1 . b Démontrer que la suite v n est une suite géométrique et préciser sa raison. c Exprimer v n en fonction de n , puis en déduire que : u n = 500 × 1 ; 05 n − 1 − 400 d Déterminer, en fonction de n , la somme : v 1 + v 2 + ··· + v n . 3 Quelle réponse Marc doit-il donner? https://chingmath.fr sacados/7266 chapExoCorrec/7536 sacados/7536