Terminale Option Complémentaire / Continuité, dérivabilité, limites 23 exercices (100% corrigés)

a
1. Etude de fonctions E.7006 On considère la fonction g définie sur l’intervalle 1 ; 15 par : g ( x ) = − 0 ; 6 · x + 4 + e − x +5 On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle 1 ; 15 et on note g sa fonction dérivée : 1 a Calculer g ( x ) pour tout réel x de l’intervalle 1 ; 15 . b En déduire que la fonction g est décroissante sur l’intervalle 1 ; 15 . 2 a Dresser le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle 1 ; 15 , en précisant les valeurs g (1) et g (15) arrondies à l’unité. b Le tableau de variations permet d’affirmer que l’équation g ( x )=0 admet une unique solution ¸ sur l’intervalle 1 ; 15 . Donner une valeur approchée de ¸ à 0 ; 1 près. c Déduire des questions précédentes le tableau de signes de g ( x ) sur l’intervalle 1 ; 15 . 2. Théorème des valeurs intermédiaires E.7521 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 20 ; 20 par : f ( x ) = − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 1 a Montrer que f ( x )= − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 pour tout réel x de l’intervalle − 20 ; 20 . b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 20 ; 20 . On précisera la valeur exacte du maximum de f . 2 a Montrer que, sur l’intervalle − 20 ; 20 , l’équation f ( x )= − 2 admet une unique solution ¸ . b Donner un encadrement de ¸ d’amplitude 0 ; 1 . E.7430 On admet que la fonction f est définie pour tout réel x de − 3 ; 2 par : f ( x ) = − x 2 + 2 ; 5 · x − 2 · e x + 5 1 Vérifier que pour tout réel x de l’intervalle − 3 ; 2 : f ( x ) = − x 2 + 0 ; 5 · x + 0 ; 5 · e x 2 Étudier le signe de f puis dresser le tableau de variations de f sur − 3 ; 2 . 3 a Justifier que l’équation f ( x )=0 admet une unique solution ¸ sur 1 ; 2 . b Donner la valeur de ¸ arrondie au centième. 3. Théorème des valeurs intermédiaires et quotient E.7435 On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle 1 ; 25 par : f ( x ) = 10 − e 0 , 2 x +1 x Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l’on pourra utiliser: f(x) :10 - e^(0.2 x+1)/x x ↦−→ 10 − exp(0.2 x + 1) x factoriser(deriver(f(x))) exp 0.2 · x + 1 · 1 − 0.2 · x x 2 factoriser(deriver(deriver(f(x)))) exp 0.2 · x + 1 · − x 2 + 10 · x − 50 25 · x 3 1 Retrouver par le calcul l’expression factorisée de f ( x ) où f est la fonction dérivée de f . 2 Étudier le signe de f sur l’intervalle 1 ; 25 et dresser le tableau de variations de f sur l’intervalle 1 ; 25 . On arrondira les valeurs au millième. 3 On s’intéresse à l’équation f ( x )=0 . a Montrer que l’équation f ( x )=0 n’admet pas de solu-tion sur l’intervalle 1 ; 5 . b Montrer que l’équation f ( x )=0 admet une unique so-lution ¸ sur l’intervalle 5 ; 25 . c Déterminer un encadrement d’amplitude 10 − 2 de la solution ¸ 4. Introduction aux valeurs intermédiaires E.7286 On considère une fonction f qui admet le tableau de variations suivant : https://chingmath.fr chapExoCorrec/7006 sacados/7006 chapExoCorrec/7521 sacados/7521 Extrait Centres Etrangers Juin 2017 chapExoCorrec/7430 sacados/7430 Extrait Asie Juin 2017 chapExoCorrec/7435 sacados/7435 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2017 chapExoCorrec/7286 sacados/7286 −515104-6-1-13xVariationdef
1 Justifier que l’équation f ( x )=7 n’admet aucune solution. 2 Sans justification, donner le nombre de solutions de l’équation f ( x )=0 sur l’intervalle − 5 ; 10 . E.7287 On considère une fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 4 admettant le tableau de variations suiv-ant : Aucune justification aux réponses n’est attendue. 1 Combien de solutions possède l’équation f ( x )=0 ? 2 Discuter du nombre de solutions de l’équation f ( x )= m en fonction des valeurs suivantes de m : a f ( x ) = − 6 b f ( x ) = − 4 c f ( x ) = 2 E.7863 On considère une fonction f définie sur − 5 ; 3 ∪ 3 ; 10 et dont le tableau de variations est donné ci-dessous : Sans justification, donner le nombre de solutions de l’équation: f ( x )=0 . E.7288 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 · x 3 − 3 · x 2 − 12 · x + 1 1 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 2 ; 3 . 2 Sans justification, donner le nombre de solutions de cha-cune des équations suivantes sur l’intervalle − 2 ; 3 : a f ( x )= − 10 b f ( x )=15 c f ( x )= − 6 E.7367 On considère une fonction f définie sur R + dont nous avons des résultats partiels de son étude via un logiciel de calcul formel : L1 f(x) :=. . . . . . f ( x ) = : : : : : : L2 g(x):=Dérivée f(x) g ( x ) = − 5 · x 2 − 3 · x + 2 2 · x L3 Résoudre f(x)=0 x =0 ; x =1 L4 Résoudre g(x)=0 x = 2 5 Parmi les tableaux de variations ci-dessous, un seul est le tableau de variations de la fonction f . Lequel? 5. Introduction à la continuité E.7316 Ci-dessous est donnée la courbe représen-tative C f de la fonction f 1 Donner les intervalles sur lesquels la fonction f est con- tinue. 2 Donner les intervalles sur lesquels la fonction f est mono-tone. E.7311 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = x − 1 2 x 2 − 4 · x + 3 1 a Déterminer les images de 0 et de 2 par la fonction f . b Pour l’équation f ( x )=0 , conjecturer l’existence ou non de solution pour cette équation sur l’intervalle 0 ; 2 . 2 a À l’aide de la calculatrice, tracer la courbe représen-tative de la fonction f . b La fonction f admet-elle des antécédents de 0 dans l’intervalle 0 ; 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7287 sacados/7287 −4243−92-1xVariationdef chapExoCorrec/7863 sacados/7863 −534107-5-112xVariationdef chapExoCorrec/7288 sacados/7288 chapExoCorrec/7367 sacados/7367 01∞−121xf(xa 01∞−32−2xf(xb −∞01∞0-231xf(xc 025∞025−2xf(xd 025∞0-21xf(xe 025∞0-5−2xf(xf chapExoCorrec/7316 sacados/7316 -4-3-2-1234I-2-123JO chapExoCorrec/7311 sacados/7311
6. Théorème des valeurs intermédiaires E.7056 On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie sur l’intervalle − 3 ; 1 : Déterminer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant la réponse : Proposition: l’équation f ( x )=0 admet une unique so-lution dans l’intervalle − 3 ; 1 . E.7041 On donne le tableau de variations d’une fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; 3 : Parmi les quatre propositions suivantes, laquelle est correcte? Dans l’intervalle − 1 ; 3 , l’équation f ( x ) = 0 admet : a exactement 3 solutions b exactement 2 solutions c exactement 1 solution d pas de solution E.7328 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 2 · x 3 + 3 · x 2 − 12 · x + 4 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 a Justifier que l’équation f ( x )=0 admet une unique solution, notée ¸ , sur l’intervalle − 2 ; 1 . b À l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée au centième de la solution ¸ . E.7343 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 3 · x + 4 x 2 + 1 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur R . 2 a Justifier que l’équation f ( x )=1 admet une unique solution sur l’intervalle − 3 ; 1 3 . b À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur ap-prochée au centième près de cette solution. E.7366 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 4 · x + 3 x 2 + 1 1 a Établir que la fonction f , dérivée de la fonction f , admet pour expression : f ( x ) = − 4 · x 2 − 6 · x + 4 x 2 + 1 2 b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur − 5 ; 5 2 a Justifier que l’équation f ( x )=3 admet deux solu-tions, notées ¸ et ˛ , sur l’intervalle − 5 ; 5 . b Donner les valeurs approchées de ¸ et ˛ au millième près. E.7289 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 · x + 1 x 2 + 2 1 a Justifier que la fonction f dérivée de la fonction f admet pour expression : f ( x ) = − 2 · x 2 − 2 · x + 4 x 2 + 2 2 b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 3 ; 3 . 2 En déduire le nombre de solutions de l’équation f ( x )=0 sur l’intervalle − 3 ; 3 E.7327 On considère la fonction f définie sur R + par la relation: f ( x ) = x − 1 · x À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés : L1 f(x) :=(x-1)* √ (x) f ( x ) = ( x − 1) · x L2 g(x):=Dérivée f(x) g ( x ) = 3 · x − 1 2 · x L3 Résoudre f(x)=0 x =1 L4 Résoudre g(x)=0 x = 1 3 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 a Déterminer les images de 1 3 et 9 par la fonction f . b En déduire que l’équation f ( x )=6 admet une unique solution sur 1 3 ; 9 . Puis, justifier que cette équation admet également une unique solution sur R + . c À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur exacte de l’unique solution de l’équation f ( x )=6 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7056 sacados/7056 Extrait Liban Juin 2015 −3−101−6−1−24xVariationdef chapExoCorrec/7041 sacados/7041 Extrait Antilles-Guyane Juin 2016 −1123−22−1−0;5xVariationdef chapExoCorrec/7328 sacados/7328 chapExoCorrec/7343 sacados/7343 chapExoCorrec/7366 sacados/7366 chapExoCorrec/7289 sacados/7289 chapExoCorrec/7327 sacados/7327
E.7365 On donne ci-dessous la courbe représentative C f d’une fonction définie et dérivable sur l’intervalle − 3 ; 2 . On note f la fonction dérivée de la fonc-tion f . Le point A de coordonnées (0 ; 3) appartient à la courbe C f . B est le point d’abscisse 1 appartenant à la courbe C f . On dispose des informations suivantes : la fonction f est strictement décroissante sur les inter-valles − 3 ; − 0 ; 5 et 1 ; 2 et elle est strictement crois-sante sur − 0 ; 5 ; 1 ; la fonction f est strictement décroissante sur les inter-valles − 3 ; − 2 et 1 2 ; 2 et elle est strictement croissante sur − 2 ; 1 2 ; la droite Δ d’équation y =0 ; 5 · x +3 est tangente à la courbe C f au point A ; La tangente Δ à la courbe C f au point B est parallèle à l’axe des abscisses. Chaque réponse devra être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte pas de points. 1 Donner la valeur de f (1) . 2 Quel est le signe de f (2) ? 3 Donner la valeur de f (0) . 4 Donner le nombre de solutions de l’équation f ( x )=0 ; 5 . 7. Fonctions dérivées et théorème de valeurs intermédiaires E.7326 On considère la fonction f définie et dérivable sur R et dont la fonction dérivée admet le tableau de signes ci-dessous : x −∞ 1 5 + ∞ f ( x ) − 0 + 0 − De plus, l’équation f ( x )=0 admet pour ensemble de solu-tions : S = 3 Dresser le tableau de signes en justifiant votre démarche. E.7294 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 4 dont la fonction dérivée f admet le tableau de variations ci-dessous : Dans un repère O ; I ; J orthogonal, sont représentées les courbes représentatives C 1 , C 2 et C 3 de trois fonctions. Parmi ces courbes une seule est la représentation de la fonc-tion f . Laquelle? Justifier votre réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7365 sacados/7365 Extrait Asie Juin 2017 x-3-2-1012y-3-2-112345Cf chapExoCorrec/7326 sacados/7326 chapExoCorrec/7294 sacados/7294 −4−1140;5−1;510;5xVariationdef -4-3-2-1234I-2-12JOC1 -4-3-2-1234I-2-12JOC2 -4-3-2-1234I-2-12JOC3
8. Exercices non-classés E.7058 Un cabinet d’audit a été chargé d’étudier la répartition des salaires dans deux filiales d’une entreprise, appelés A et B . Pour l’étude, les salaires sont classés par ordre croissant. Le cabinet d’audit a modélisé la répartition de salaires par la fonction u pour la filiale A et par la fonction v pour la filiale B . Les fonctions u et v sont définies sur l’intervalle 0 ; 1 par : u ( x ) = 0 ; 6 · x 2 + 0 ; 4 · x ; v ( x ) = 0 ; 7 · x 3 + 0 ; 1 · x 2 + 0 ; 2 · x On a tracé ci-dessous les courbes représentatives C et C des fonctions u et v . 1 Déterminer la courbe représentative de la fonction u en justifiant la réponse. 2 Lorsque x représente un pourcentage de salariés, u ( x ) et v ( x ) représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives. Exemple: pour la courbe C , le point E (0 ; 60 ; 0 ; 3072) signifie que 60 % des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30 ; 72 % de la masse salariale. a Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50 % des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires. b Pour les 50 % des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B , distribue la plus grande part de la masse salariale? c Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire? E.5558 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x · e x − e x − 1 1 Montrer que la fonction f est strictement croissante sur 0 ; + ∞ 2 a Montrer que l’équation f ( x )=0 possède une unique solution, notée ¸ , dans 0 ; 2 . b À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement à l’unité de ¸ . 3 En déduire le tableau de signes de f ( x ) sur 0 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7058 sacados/7058 00,20,40,60,810,20,40,60,81DyxCCE chapExoCorrec/5558 sacados/5558 Extrait de Liban Mai 2013