Terminale Option Complémentaire / Fonction logarithme népérien 32 exercices (100% corrigés)

a
012345678910-1123456Cf 01e∞−∞01∞xVariationdef 1. Dérivées E.7003 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 3 · x − x · ln x On admet que f est dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ et on désigne par f sa fonction dérivée. Parmi les trois réponses ci-dessous, laquelle est exacte? a f ( x ) = 3 − 1 x b f ( x ) = 3 − ln x c f ( x ) = 2 − ln x E.7009 On note g la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x + 1 · ln( x ) Parmi les réponses ci-dessous, laquelle est correcte? a g ( x ) = 1 x b g ( x ) = 1 + ln( x ) c g ( x ) = − 1 x 2 d g ( x ) = 1 + 1 x + ln( x ) E.7392 Parmi les quatre réponses proposées, une seule est exacte. Préciser laquelle en justifiant votre réponse. Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · ln( x ) − x On note f sa fonction dérivée. On a alors: a f ( x ) = 0 b f ( x ) = ln( x ) c f ( x ) = 1 x − 1 d f ( x ) = 1 x − x E.7745 Parmi les quatre propositions, une seule est exacte. La réponse doit être justifiée : Soit la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par f ( x )= ln x x et f sa fonction dérivée. On a: a f ( x ) = ln x − 1 x 2 b f ( x ) = 1 − ln x x 2 c f ( x ) = 1 x 2 d f ( x ) = 1 + ln x x 2 E.7023 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucune point Soit la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par : f ( x ) = 5 − x + 2 · ln x On a représenté ci-dessous la courbe représentative C de la fonction f , ainsi que T , la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 4 . 1 On note f la fonction dérivée de f , on a: a f ( x ) = − 1 + 2 x b f ( x )= − 2 · ln x +(5 − x ) · 2 x c f ( x ) = − x + 2 x d f ( x ) = 4 + 2 x 2 Une équation de T est : a y = 1 2 · x + 5 ; 7 b y =5 ; 7 · x − 1 2 c y = − 1 2 · x + 1 + 2 · ln 4 d y = − 1 2 · x +3+2 · ln4 2. Etude de fonctions E.7646 Définition - proposition : la fonction logarithme népérien , notée ln est définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ et admet le tableau de variations : De plus, sa fonction dérivée a pour expression : ln x = 1 x https://chingmath.fr chapExoCorrec/7003 sacados/7003 chapExoCorrec/7009 sacados/7009 Extrait Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7392 sacados/7392 chapExoCorrec/7745 sacados/7745 chapExoCorrec/7023 sacados/7023 012345678910-1123456Cf chapExoCorrec/7646 sacados/7646 01e∞−∞01∞xVariationdef
00,511,525101520 12307ln2−ln30xVariationdeB(x 1 Dresser le tableau de signes de la fonction logarithme népérien. 2 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x − ln( x ) a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Établir le tableau de signes de la fonction f c Préciser les sens de variations de la fonction f sur 0 ; + ∞ . E.7029 Indication : pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement jus-tifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée. On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · ln x − x + 1 Affirmation 1: La fonction f est croissante sur l’intervalle 0 ; 1 . Affirmation 2: La fonction f est convexe sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Affirmation 3: Pour tout x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ : f ( x ) 50 E.7433 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : f ( x ) = − x · ln x + 2 · x + 1 1 Calculer f ( x ) . 2 Démontrer que la fonction f admet un maximum sur l’intervalle 0 ; 10 . 3 Calculer la valeur exacte du maximum de la fonction f sur ce même intervalle. E.7019 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 1 ; 5 par : f ( x ) = 9 x 2 · 1 − 2 · ln x + 10 La courbe représentative de f est donnée ci-dessous : 1 Montrer que f ( x )= − 36 · x · ln x où f désigne la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 ; 5 . 2 Étudier le signe de f ( x ) sur l’intervalle 0 ; 1 ; 5 . 3 Déduire de la question précédente les variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 ; 5 . 3. Théorème des valeurs intermédiaires E.7441 Une entreprise produit et vend des composants électroniques. Sa capacité mensuelle de production est comprise entre 1 000 et 30 000 pièces. On suppose que toute la production est com-mercialisée. Le bénéfice en milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de x milliers de pièces, est donné sur l’intervalle 1 ; 30 par : B ( x ) = − 0 ; 5 · x 2 + 6 · x − 20 + 2 x · ln x 1 Montrer que : B ( x ) = − x + 8 + 2 · ln x où B est la dérivée de B sur l’intervalle 1 ; 30 . 2 On admet que B  ( x )= − 1+ 2 x , où B  est la dérivée sec-onde de B sur l’intervalle 1 ; 30 . Justifier le tableau de variations ci-dessous de la fonction dérivée B sur l’intervalle 1 ; 30 . 3 a Montrer que l’équation B ( x )=0 admet une unique solution ¸ sur l’intervalle 1 ; 30 . b Donner une valeur approchée au millième de la valeur de ¸ . 4 En déduire le signe de B ( x ) sur l’intervalle 1 ; 30 , et donner le tableau de variations de la fonction bénéfice B sur ce même intervalle. 5 Quel est le nombre de pièces à produire, à l’unité près, pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximal? Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d’euros) ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7029 sacados/7029 chapExoCorrec/7433 sacados/7433 chapExoCorrec/7019 sacados/7019 00,511,525101520 chapExoCorrec/7441 sacados/7441 12307ln2−ln30xVariationdeB(x
E.7434 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 1 ; 10 par : f ( x ) = 4 · e − 0 , 5 · x +1 + x − 1 On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle 1 ; 10 et on note f sa fonction dérivée. 1 Démontrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle 1 ; 10 , on a: f ( x ) = − 2 · e − 0 , 5 · x +1 + 1 2 a Montrer que sur l’intervalle 1 ; 10 , l’équation f ( x )=0 admet pour unique solution le nombre : ¸ =2+2 · ln2 b On admet que l’ensemble des solutions sur l’intervalle 1 ; 10 de l’inéquation f ( x ) 0 est 2+2 · ln2 ; 10 . En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle 1 ; 10 . 4. Propriétés algébriques E.7701 Une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. La valeur exacte de ln 10 · e 2 est : a 2 · ln 10 + 2 b 4 ; 302 585 093 c ln 10 + 2 d 2 · ln 10 · e E.7697 Déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse : Proposition: on a l’égalité: e 5 · ln2 × e 7 · ln4 =2 19 E.7744 Parmi les quatre propositions, une seule est exacte. Recopier la proposition exacte sans justifi-cation : Pour tout réel x< 0 , le nombre réel ln − 1 x est égal à: a ln x b − ln − x c − ln x d 1 ln x E.7846 Dire si l’affirmation ci-dessous est vraie ou fausse. Justifier la réponse donnée. Pour tout réel a strictement positif : ln a 3 − ln a 2 = ln a 25 − ln a 24 5. Résolution d’équations E.7519 Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule est cor-recte. Laquelle? La solution de l’équation x 23 =92 est égale à: a 4 b 1 ; 2 c e ln(92) 23 d e ln(23) 92 E.7693 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 1 ; 10 par : f ( x ) = 4 · e − 0 , 5 · x +1 + x − 1 On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle 1 ; 10 et on note f sa fonction dérivée. 1 Démontrer que pour tout nombre réel x de l’intervalle 1 ; 10 , on a: f ( x )= − 2 · e − 0 , 5 · x +1 +1 . 2 Montrer que sur l’intervalle 1 ; 10 , l’équation f ( x )=0 admet pour unique solution le nombre ¸ =2+2 · ln2 . E.7847 Dire si l’affirmation ci-dessous est vraie ou fausse. Justifier la réponse donnée. L’équation x · ln( x )=2 · ln( x ) admet exactement deux solutions 2 et 1 sur 0 ; + ∞ . 6. Résolution d’équations et propriétés algébriques E.7692 Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule est cor-recte. Laquelle? La solution exacte de l’équation 1 2 x = 3 10 est : a 1 ; 74 b ln(10) − ln(3) ln(2) c − ln(3) ln(5) d 0 ; 5 7. Résolution d’inéquations: graphiquement E.7053 La courbe ( C ) ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 1 ; 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7434 sacados/7434 chapExoCorrec/7701 sacados/7701 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2014 chapExoCorrec/7697 sacados/7697 chapExoCorrec/7744 sacados/7744 chapExoCorrec/7846 sacados/7846 chapExoCorrec/7519 sacados/7519 chapExoCorrec/7693 sacados/7693 chapExoCorrec/7847 sacados/7847 chapExoCorrec/7692 sacados/7692 chapExoCorrec/7053 sacados/7053
-1-0,500,511,520,511,522,533,5CfGHS On note f la fonction dérivée de la fonction f . Le point G a pour coordonnées (0 ; 2) . Le point H a pour coordonnées (1 ; 3) . La droite ( GH ) est la tangente à la courbe ( C ) au point G . La courbe ( C ) admet une tangente horizontale au point S d’abscisse ln2 . Aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique : 1 Donner les valeurs de f (0) et f (0) . 2 Résoudre sur − 1 ; 2 l’inéquation f ( x ) 0 . 8. Résolution d’inéquations E.7698 Justifier que l’inéquation 1 − e x 2 − 1 0 a pour ensemble de solutions l’intervalle − 1 ; 1 . E.7691 Résoudre dans 0 ; 10 l’inéquation: 100 · e − x − 0 ; 5 0 E.7045 Parmi les quatre propositions ci-dessous, laquelle est vraie? Les nombres entiers n solutions de l’inéquation 1 2 n < 0 ; 003 sont tous les nombres entiers n tels que : a n 8 b n 9 c n 8 d n 9 E.7210 Dans une exploration forestière, les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 % . Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé? E.7034 Rappel: N est l’ensemble des entiers naturels. Résoudre dans N l’inéquation: 12 000 − 2 000 × 0 ; 75 n 11 950 E.7424 Parmi les quatre réponses proposées, une seule est exacte. Préciser laquelle en justifiant votre réponse. Les entiers naturels n vérifiant l’inéquation: 6 × 0 ; 95 n − 1 2 appartiennent à l’intervalle: a −∞ ; ln3 ln 5 ; 7 b −∞ ; ln 0 ; 5 0 ; 95 c −∞ ; ln(0 ; 5) ln 0 ; 95 d ln(0 ; 5) ln 0 ; 95 ; + ∞ E.7746 On considère la suite u n dont les termes sont définies pour tout entier naturel n par : u n = 700 − 100 × 0 ; 7 n 1 Soit n un entier naturel. Démontrer que u n 697 est équivalent à 0 ; 7 n 0 ; 03 . 2 Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant : N ← 0 U ← 1 Tant que U>0;03 N ← N+1 U ← 0;7 × U Fint Tant que Donner la valeur de la variable N à la fin de l’exécution de cet algorithme. 3 Retrouver ce résultat en résolvant l’inéquation: 0 ; 7 n 0 ; 03 . 9. Résolution d’inéquations et étude de fonctions https://chingmath.fr -1-0,500,511,520,511,522,533,5CfGHS chapExoCorrec/7698 sacados/7698 chapExoCorrec/7691 sacados/7691 chapExoCorrec/7045 sacados/7045 Extrait Antilles-Guyane Juin 2014 chapExoCorrec/7210 sacados/7210 chapExoCorrec/7034 sacados/7034 chapExoCorrec/7424 sacados/7424 chapExoCorrec/7746 sacados/7746 Extrait Asie Juin 2013
E.7014 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 3 ; 13 par : f ( x ) = − 2 x + 20 − e − 2 x +10 1 Montrer que la fonction dérivée f , de la fonction f , définie pour tout x de l’intervalle 3 ; 13 , a pour expres-sion : f ( x ) = 2 · − 1 + e − 2 x +10 2 a Résoudre dans l’intervalle 3 ; 13 l’inéquation: f ( x ) 0 b En déduire le signe de f ( x ) sur l’intervalle 3 ; 13 et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à 10 − 3 . E.7694 On considère la fonction g définie sur l’intervalle 1 ; 45 par : g ( x ) = − 20 · x + 5 · x · ln( x ) + 30 1 a On note g la fonction dérivée de la fonction g . Montrer que, pour tout x appartenant à 1 ; 45 , on a: g ( x ) = − 15 + 5 · ln( x ) b Montrer que l’inéquation − 15+5 · ln( x ) 0 est équiva-lent à x e 3 . c Dresser le tableau de variations de la fonction g (les valeurs seront arrondies au centième si besoin) . 2 a Montrer que l’équation g ( x )=0 admet une unique solution ¸ sur l’intervalle 1 ; 45 . b Donner un encadrement de ¸ d’amplitude 0 ; 01 . c En déduire le signe de g ( x ) suivant les valeurs de x dans l’intervalle 1 ; 45 . 10. Résolution d’inéquations et suites E.7700 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par la relation: u n = − 17 ; 5 × 0 ; 92 n + 37 ; 5 1 Déterminer les deux premiers termes de cette suite. 2 Déterminer la limite de la suite u n . 3 Les termes de la suite u n dépasseront-ils la valeur 30 ? Si oui, pour quel rang la première fois cette valeur sera-t-elle dépassée? E.7699 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u n = 2 + 3 · 1 2 n . On admet que la suite u n est décroissante. 1 Déterminer la limite de la suite u n . 2 On considère l’algorithme suivant : n ← 0 u ← 5 Tant que u − 2 10 − 6 n ← n+1 u ← 2+3 · 1 2 n Fin tant que Déterminer la valeur de la variable n a la fin de l’exécution de cet algorithme. 11. Problèmes E.7747 Une entreprise qui produit du pa-pier recyclé, a été créée en l’an 2000 et le tableau ci-dessous donne l’évolution de sa production. Année 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 Rang de l’année 0 2 4 6 8 10 12 Production en tonnes 7 000 18 811 36 620 49 000 58 012 63 098 68 500 1 a Déterminer le pourcentage d’augmentation de la pro-duction entre les années 2000 et 2012 . On donnera le résultat arrondi sous la forme a % où a est un nombre entier. b Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l’équation: x 12 =9 ; 79 . Interpréter ce nombre en ter-mes de taux d’évolution de la production de cette en- treprise entre les années 2000 et 2012 . On donnera le résultat arrondi sous la forme b % où b est un nombre entier. 2 L’entreprise fait appel à un cabinet d’experts pour mod-éliser l’évolution de la production de l’entreprise afin de faire une projection jusqu’en 2020 . Le cabinet d’experts propose la fonction f définie sur l’intervalle 2 ; 20 par : f ( x ) = 27 131 · ln x + 0 ; 626 · x 3 où x représente le rang de l’année et f ( x ) le nombre de tonnes produites. a On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle 2 ; 20 . Déterminer f ( x ) puis les varia-tions de la fonction f sur 2 ; 20 . b À l’aide de cette modélisation, l’entreprise peut-elle dépasser une production de 90 000 tonnes de papier recyclé avant l’année 2020 ? Justifier. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7014 sacados/7014 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7694 sacados/7694 chapExoCorrec/7700 sacados/7700 Extrait Antilles Guyane Juin 2014 chapExoCorrec/7699 sacados/7699 chapExoCorrec/7747 sacados/7747