Terminale Option Complémentaire / Intégration 46 exercices (dont 45 corrigés)

a
1. Autour des aires E.7031 Un publicitaire envisage la pose d’un panneau publicitaire rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est mod-élisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : f ( x ) = 4 · e − 0 , 4 x Cette courbe C f est tracée ci-dessous dans un repère d’origine O : Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l’origine du repère, le point B est sur l’axe des abscisses, le point D est sur l’axe des ordonnées et le point C est sur la courbe C f . On suppose que le point B a pour abscisse x =2 . Montrer que l’aire du panneau publicitaire a une valeur de 3 ; 6 m 2 , arrondie au dixième de mètre carré près. 2. Encadrement d’aires E.7010 On considère la fonction h définie sur 0 ; 7 et représentée par la courbe ci-dessous : Parmi les propositions ci-dessous, une seule est exacte. Laquelle? a 5 0 h ( x ) d x = h (5) − h (0) b 20 < 5 0 h ( x ) d x< 30 c 15 < 5 0 h ( x ) d x < 20 d 5 0 h ( x ) d x = 20 E.7030 Indication : pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement jus-tifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée. On rappelle que R désigne l’ensemble des nombres réels. On donne ci-dessous la courbe représentative C g d’une fonc-tion g définie sur R . On admet que g est dérivable sur R et on rappelle que g désigne la fonction dérivée de la fonction g . On a tracé en pointillé la tangente T à la courbe C g au point A de cette courbe, d’abscisse 1 et d’ordonnée 2 . Cette tangente coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7031 sacados/7031 ABCDx(en mètres)012345678910y(en mètres)12345 chapExoCorrec/7010 sacados/7010 Extrait Liban Mai 2016 x0123456789y1234567891011Ch chapExoCorrec/7030 sacados/7030
Affirmation 1: g (1) = − 2 Affirmation 2: 1 0 g ( x ) d x < 3 E.7038 Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative C f d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 1 ; 5 . On note f la fonction dérivée de f . La courbe C f passe par le point A (0 ; 1) et par le point B d’abscisse 1 . La tangente T 1 à la courbe au point B est parallèle à l’axe des abscisses. Parmi les quatre propositions ci-dessous, laquelle est correcte? Un encadrement de 2 0 f ( x ) d x par des entiers naturels suc-cessifs est : a 3 2 0 f ( x ) d x 4 b 2 2 0 f ( x ) d x 3 c 1 2 0 f ( x ) d x 2 d autre réponse E.7769 Parmi les quatre propositions, une seule est exacte. Laquelle? Justifier votre réponse. On considère la fonction g définie sur l’intervalle − 10 ; 10 dont le tableau de variations est donné ci-dessous : On note I = 3 − 5 g ( x ) d x . On peut affirmer que : a − 5 I 3 b 2 I 4 c 16 I 32 d 4 I 8 3. Calcul d’intégrales et recherche de primitives E.7015 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 3 ; 13 par : f ( x ) = − 2 x + 20 − e − 2 x +10 Calculer l’intégrale 13 3 f ( x ) d x . On donne la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 − 3 près. 4. Calcul d’intégrales: utilisation des primitives E.7535 L’évolution de la population d’une station balnéaire pour l’été 2015 a été modélisée par une fonc-tion f , définie sur l’intervalle 0 ; 70 , dont la courbe représen-tative est donnée ci-dessous. Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1 er juillet, f ( x ) désigne la population en milliers d’habitants. Ainsi, x =30 correspond au 31 juillet et f (30) représente la population qu’il est prévu d’accueillir le 31 juillet. On estime qu’un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d’eau par jour. https://chingmath.fr -123I-2-12345678JOCgA chapExoCorrec/7038 sacados/7038 Extrait Asie Juin 2016 -10123450,511,522,53CfBT1 chapExoCorrec/7769 sacados/7769 −10−5310724−6xVariationdeg chapExoCorrec/7015 sacados/7015 Extrait Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7535 sacados/7535 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2015
On note g la fonction définie sur l’intervalle 0 ; 70 par : g ( x ) = 110 + 11 · x · e − 0 , 025 · x +1 Lorsque x est le nombre de jours écoulés après le 1 er juillet, g ( x ) représente alors la consommation maximale d’eau prévue ce jour-là et exprimée en m 3 . Soit la fonction G définie sur l’intervalle 0 ; 70 par : G ( x ) = 110 · x − 440 · x + 17 600 · e − 0 , 025 · x +1 On admet que la fonction G est une primitive de la fonction g . La somme S = g (10)+ g (11)+ g (12)+ ··· + g (20) représente la consommation maximale d’eau du 10 e au 20 e jour exprimée en m 3 . 1 En l’illustrant sur la courbe C g ci-dessous, donner une interprétation graphique en termes d’aires de la somme S . 2 En déduire une valeur approximative de cette quantité d’eau consommée du 10 e au 20 e jour. E.7021 On considère la fonction f définie sur 0 ; 15 par : f ( x ) = 9 · x 2 · 1 − 2 · ln x + 10 On donne la fonction F définie sur l’intervalle 0 ; 1 ; 5 par : F ( x ) = 10 · x + 5 · x 3 − 6 x 3 · ln x 1 Montrer que F est une primitive de la fonction f sur 0 ; 1 ; 5 . 2 Calculer 1 , 5 1 f ( x ) d x . On donnera le résultat arrondi au centième. E.7727 On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; 7 d’expression : f ( x ) = 2 · x · e − x +3 On considère la fonction F définie sur l’intervalle 0 ; 7 par : F ( x ) = − 2 · x − 2 · e − x +3 1 Justifier que F est une primitive de f sur l’intervalle 0 ; 7 . 2 Calculer la valeur exacte de l’aire, en unités d’aire, du domaine plan délimité par les droites d’équation x =1 , x =3 , l’axe des abscisses et la courbe C . E.7731 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 20 ; 20 par : f ( x ) = − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 Dériver − 10 · x + 200 · e 0 , 2 · x − 3 − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 2 Dériver 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 4 · x + 4 · e 0 , 2 · x − 3 3 Dériver − 0 ; 4 · x + 4 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 08 · x + 0 ; 4 · e 0 , 2 · x − 3 Calculer la valeur exacte de 15 10 f ( x ) d x . E.7732 La fonction f précédente est définie sur l’intervalle − 4 ; 10 par : f ( x )= x +4 · e − 0 , 5 · x On considère la fonction F définie par : F ( x )= − 2 · x − 12 · e − 0 , 5 · x . 1 Comment peut-on montrer que F est une primitive de f sur l’intervalle − 4 ; 10 ? On ne demande pas d’effectuer cette vérification. 2 Calculer: S = 4 2 f ( x ) d x On en donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième. E.7728 On admet que la fonction f est définie par : f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés : L1 f(x):=(x^2-2x+1)*e^(-2x+6) → f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 L2 f’(x):=Dérivée f(x) → f ( x ) = − 2 · x 2 + 6 · x − 4 · e − 2 x +6 L3 g(x):=Dérivée f’(x) → g ( x ) = − 16 · x · e − 2 x +6 + 4 · x 2 · e − 2 x +6 + 14 · e − 2 x +6 L4 Factoriser g(x) → 2 · e − 2 x +6 · 2 · x 2 − 8 · x + 7 L5 Résoudre g(x)=0 → x = − 2 + 4 2 ; x = 2 + 4 2 L6 F(x):=Primitive f(x) → F ( x ) = 1 4 · − 2 · x 2 + 2 · x − 1 · e − 2 · x +6 On pose I = 5 3 f ( x ) d x . Calculer la valeur exacte de I puis la valeur arrondie à 10 − 1 . https://chingmath.fr nombre de jours024681012141618202224consommation(m350100150200250300350400450500550Cg chapExoCorrec/7021 sacados/7021 chapExoCorrec/7727 sacados/7727 chapExoCorrec/7731 sacados/7731 chapExoCorrec/7732 sacados/7732 Extrait Antilles-Guyane Juin 2017 chapExoCorrec/7728 sacados/7728
5. Aire entre deux courbes E.7770 On considère f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x · e − x + 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et f la fonction dérivée de f . 1 a Montrer que, pour tout réel x : f ( x )=e − x · 1 − x b Montrer que l’équation réduite de la tangente T à C f au point d’abscisse 0 est : y = x +1 . On admet que la tangente T est située au-dessus de la courbe C f . 2 On a tracé ci-dessous la courbe C f et la tangente T dans un repère orthonormé. a On considère la fonction F définie sur R par : F ( x ) = e − x · − 1 − x + x Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R . b Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine hachuré compris entre la courbe C f , la tangente T et les droites d’équations x =0 et x =1 puis donner le résultat ar-rondi à 10 − 3 près. 6. Propriétés des primitives E.7018 On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle 0 ; 18 : Laquelle des réponses ci-dessous est correcte? a Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 18 sont négatives sur l’intervalle 0 ; 2 . b Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 18 sont négatives sur l’intervalle 8 ; 12 . c Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 18 sont croissantes sur l’intervalle 0 ; 2 . d Toutes les primitives de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 18 sont croissantes sur l’intervalle 8 ; 12 . 7. Etudes de fonctions E.7039 Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative C f d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle − 1 ; 5 . On note f la fonction dérivée de f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7770 sacados/7770 x-2-1012y12CfT chapExoCorrec/7018 sacados/7018 02468101214161820-40-30-20-101020304050Cf chapExoCorrec/7039 sacados/7039 Extrait Asie Juin 2016
1 On admet que la fonction F définie sur − 1 ; 5 par : F ( x ) = − x 2 + 4 · x + 5 · e − x est une primitive de la fonction f . a En déduire l’expression de f ( x ) sur − 1 ; 5 . b Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine du plan limité par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =0 et x =1 . 2 Montrer que sur l’intervalle 1 ; 5 , l’équation f ( x )=1 ad-met au moins une solution. 8. Moyenne E.7768 Dans cet exercice, on étudie l’évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinémas, vidéos,. . . ) . On note D n la dépense des ménages en programmes audio-visuels, exprimée en milliards d’euros, au cours de l’année 1995+ n . année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 n 0 1 2 3 4 5 6 7 D n 4 ; 95 5 ; 15 5 ; 25 5 ; 4 5 ; 7 6 ; 3 6 ; 55 6 ; 9 année 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 n 8 9 10 11 12 13 14 15 D n 7 ; 3 7 ; 75 7 ; 65 7 ; 79 7 ; 64 7 ; 82 7 ; 89 8 ; 08 Soit f la fonction définie, pour tout nombre réel x , par : f ( x ) = − 0 ; 0032 · x 3 + 0 ; 06 · x 2 + 5 Pour tout entier n vérifiant 0 n 20 , on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d’euros, au cours de l’année 1995+ n par le nombre f ( n ) . 1 Calculer f (5) . 2 Déterminer le pourcentage p , de l’erreur commise en rem-plaçant D 5 par f (5) . (Le pourcentage d’erreur est obtenu par le calcul p = valeur réelle-valeur estimée valeur réelle et le résultat sera donné à 0 ; 1 % près.) . 3 En utilisant la fonction f , quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l’année 2013 ? (On ar-rondira le résultat au centième de milliard d’euros) . 4 On veut utiliser la fonction f pour estimer la dépense moyenne des ménages entre le 1 er janvier 1995 et le 1 er janvier 2015 . On calcule pour cela: M = 1 20 · 20 0 f ( x ) d x a Déterminer une primitive de F de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 20 . b Calculer M . E.7792 On considère la fonction f définie, pour tout réel x de l’intervalle − 2 ; 4 par : f ( x ) = x + 2 · e − x +1 Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 1 factoriser dériver − ( x +1) ∗ exp( − x +1) x ∗ exp − x + 1 2 intégrer x +2 ∗ exp( − x +1) − ( x + 3) ∗ exp − x + 1 En utilisant ces résultats, répondre aux questions suivantes : 1 Montrer que : 1 − 2 f ( x ) d x = − 4+e 3 2 En déduire la valeur moyenne arrondie au millième de la fonction f sur l’intervalle − 2 ; 1 . 9. Calculs d’aires E.7243 On considère la partie du plan représentée en gris ci-contre : Déterminer l’aire de la par-tie grisée. https://chingmath.fr -10123450,511,522,53Cf chapExoCorrec/7768 sacados/7768 chapExoCorrec/7792 sacados/7792 chapExoCorrec/7243 sacados/7243 -3-2-12I-2-12JOCf
E.7241 On considère la fonction f définie par morceaux par la relation ci-dessous : f ( x ) = 3 4 · x − 3 sur l’intervalle −∞ ; 4 f ( x ) = 1 4 · x − 1 sur l’intervalle 4 ; + ∞ Ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans le repère O ; I ; J orthonormé : Les points A , B et C sont des points de la courbe C f où le point C a pour ordonnée 1 . 1 Déterminer les coordonnées des points A , B et C . 2 Déterminer l’aire de la surface grisée. E.7358 Un publicitaire envisage la pose d’un panneau publicitaire rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est mod-élisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : f ( x ) = 5 x + 1 Cette courbe C f est tracée ci-dessous dans un repère d’origine O : Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l’origine du repère, le point B est sur l’axe des abscisses, le point D est sur l’axe des ordonnées et le point C est sur la courbe C f . On suppose que le point B a pour abscisse x =2 . Montrer que l’aire du panneau publicitaire vaut 3 ; 3 m 2 , ar-rondie au mètre-carré près. E.7242 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 2 − x pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 . On admet que : f ( x ) > 0 , pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 . On note C la courbe représen-tative de la fonction f dans un repère orthonormé, et D le do-maine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C , d’autre part entre les droites d’équations x =0 et x = 1 . La courbe C et le domaine D sont représentés ci-contre. Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A ) , puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B ) . Partie A Soit a un réel tel que 0 a 1 . On note A 1 l’aire du domaine compris entre la courbe C , l’axe Ox , les droites d’équations x =0 et x = a , puis A 2 celle du domaine compris entre la courbe C , Ox et les droites d’équation x = a et x =1 . A 1 et A 2 sont exprimées en unités d’aire. Déterminer la valeur de a afin que les aires A 1 et A 2 soient égales. Partie B Soit b un réel positif. Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d’équation y = b . On admet qu’il existe un unique réel b positif solution. Déterminer la valeur de b . 10. Encadrement de l’aire avec des rectangles E.7036 La courbe ( C ) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur 0 ; 5 ; 6 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7241 sacados/7241 CfIJOABC chapExoCorrec/7358 sacados/7358 ABCDx(en mètres)012345678910y(en mètres)12345 chapExoCorrec/7242 sacados/7242 DI2JOC A1A2aI2JOC chapExoCorrec/7036 sacados/7036
Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe ( C ) , l’axe des ab-scisses et les droites d’équations x =1 et x =2 . E.7494 On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative C d’une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 20 . Déterminer un encadrement, d’amplitude 4 , par deux nom-bres entiers de : I = 8 4 f ( x ) d x E.7520 Parmi les quatre propositions ci-dessous, une seule est cor-recte. Laquelle? On considère la fonction g définie sur l’intervalle − 10 ; 10 dont le tableau de variations est donné ci-dessous : On note I = 3 − 5 g ( x ) d x . On peut affirmer que : a − 5 I 3 b 2 I 4 c 16 I 32 d 4 I 8 E.7440 Sur le graphique ci-dessous est représen-tée la courbe C f d’une fonction f définie et continue sur l’intervalle 0 ; 7 . Les points A et B ont pour coordonnées A (2 ; 5) et B (4 ; 6 ; 8) . La droite ( AB ) est tangente à la courbe C f au point A . a La tangente à la courbe C f au point A admet pour équa-tion : Affirmation 1: y = − 0 ; 9 · x + 6 ; 8 Affirmation 2: y = 0 ; 9 · x + 3 ; 5 Affirmation 3: y = 0 ; 9 · x + 3 ; 2 Affirmation 4: y = 1 ; 8 · x + 1 ; 4 b Affirmation 1: f (0) 5 0 f ( x ) d x f (5) Affirmation 2: 2 7 2 f ( x ) d x 7 Affirmation 3: 18 5 0 f ( x ) d x 19 Affirmation 4: 25 7 2 f ( x ) d x 31 https://chingmath.fr 0123456-2-112345(C chapExoCorrec/7494 sacados/7494 Extrait Antilles-Guyane Juin 2013 x048121620y-448C chapExoCorrec/7520 sacados/7520 −10−5310724−6xVariationdeg chapExoCorrec/7440 sacados/7440 234567I2345678JOCfAB
E.7240 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 1 par : f ( x )=4+e − 5 x On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe C représenta-tive de la fonction f dans un repère du plan. Le domaine D hachuré sur la figure est le domaine délimité par la courbe C , par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x =1 . On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d’équation y = a , parallèle à l’axe des abscisses, selon l’exemple donné ci-dessous. Justifier que la valeur a =3 ne convient pas. 11. Encadrement de l’aire avec des triangles E.7239 La courbe C ci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d’un repère or-thonormé d’une fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 10 . Le domaine S grisé sur la figure est le domaine compris entre la courbe C , l’axe des abscisses, la droite d’équation x =2 et la droite d’équation x =4 . Déterminer, par une lecture graphique, un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire du domaine S grisé sur la figure. E.7238 La réponse sera donnée sans justification, avec la précision permise par le graphique ci-contre : Le graphique ci-contre présente dans un repère d’origine O la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; 7 . La mesure de la surface grisée appartient à un seul des intervalles suiv-ants. Lequel? a 9 ; 17 b 18 ; 26 c 27 ; 35 12. Introduction au calcul intégral E.7344 Ci-dessous est représentée, dans un repère O ; I ; J , la droite ( d ) admettant pour équation ré-duite : ( d ) : y = − 0 ; 25 · x + 1 ; 5 1 a Placer les points A (3 ; 0) , C (0 ; 1 ; 5) et le point B ayant pour abscisse 3 et appartenant à la droite ( d ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7240 sacados/7240 Extrait Antilles Juin 2017 a01123456C chapExoCorrec/7239 sacados/7239 Extrait Antilles Juin 2017 -5-4-3-2-101234567891011-1123456C chapExoCorrec/7238 sacados/7238 2345678I2345678910111213141516JOC chapExoCorrec/7344 sacados/7344 234I2JO(d
b Déterminer l’aire du trapèze OABC . 2 Pour tout réel x strictement positif, on admet que l’aire du trapèze OMNC où les points M et N ont pour ab-scisse x et appartiennent respectivement à l’axe des ab-scisses et à la droite ( d ) est déterminée par l’image de x par la fonction F définie par : F ( x ) = − 0 ; 125 · x 2 + 1 ; 5 · x a Vérifier le résultat de la question 1 b . b On considère le domaine D délimité par : la droite ( d ) et l’axe des abscisses ; les droites d’équations x =1 et x =3 . À l’aide de la fonction f , déterminer l’aire du domaine D . E.7490 Soit f la fonction définie sur 0 ; 1 par : f ( x ) = 2 − 2 · x On a tracé ci-dessous la droite D f , représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé O ; I ; J du plan. Le point C a pour coordonnées (0 ; 2) . Δ est la partie du plan intérieure au triangle OIC . Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1 ; on note A le point de coordonnées ( a ; 0) et B le point de D f de coordon-nées ( a ; f ( a )) . Le but de cet exercice est de trouver la valeur de a , telle que le segment AB partage Δ en deux parties de même aire. Déterminer la valeur exacte de a , puis sa valeur arrondi au centième près. 13. Vers l’usage des primitives E.7345 On considère la fonction carrée notée f : f ( x ) = x 2 L’intégrale de la fonction f entre 0 et a est donnée par la formule : a 0 f ( x ) d x = 1 3 · a 3 1 Déterminer l’aire de la partie hachurée : 2 Déterminer l’aire de la partie hachurée : E.7355 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 − x 2 1 + x 2 2 Ci-dessous, est donnée la représentation graphique C de la fonction f dans un repère orthonormé : Le domaine grisé est délimité par : la courbe C et l’axe des abscisses ; les droites d’équations x = − 0 ; 5 et x =0 ; 5 . Pour tout nombre a est un nombre de l’intervalle − 1 ; 1 , on note I a la valeur de l’intégrale de la fonction f entre − 1 et a . Voici un tableau de valeurs arrondies à 10 − 3 : a − 1 − 0 ; 75 − 0 ; 5 − 0 ; 25 0 0 ; 25 0 ; 5 0 ; 75 1 I a 0 0 ; 02 0 ; 1 0 ; 265 0 ; 5 0 ; 735 0 ; 9 0 ; 98 1 Déterminer l’aire du domaine grisé. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7490 sacados/7490 aABC0,51,5I0,51,522,5JODf chapExoCorrec/7345 sacados/7345 2I234JO(d 2I234JO(d chapExoCorrec/7355 sacados/7355 -2-12IJO
E.7359 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 0 ; 25 · x 3 + 0 ; 375 · x 2 − 1.5 · x + 1 On considère le domaine D délimité par : la courbe C et l’axe des abscisses. les deux droites d’équations x = − 2 et x =2 . Pour tout nombre a appartenant à l’intervalle − 3 ; 3 , on note I a la valeur de l’intégrale entre − 3 et a . Voici un tableau de valeurs arrondies à 10 − 3 : a − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 I a 0 3 ; 0625 6 ; 25 8 ; 0625 8 ; 5 9 ; 0625 12 ; 75 Déterminer l’aire du domaine D . 14. Calculatrice et calcul d’intégrales E.7360 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 · x x 2 + 1 Ci-dessous est donnée la courbe C représentative de la fonc-tion f : On désigne par D le domaine grisé ci-dessus. 1 Décrire le domaine D . 2 À l’aide de la calculatrice, détermine l’aire du domaine D , arrondie à 10 − 4 près. E.7361 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 0 ; 5 · x 2 − 0 ; 5 · x − 1 Ci-dessous est donnée la courbe C représentative de la fonc-tion f : On désigne par D le domaine grisé ci-dessus. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’aire du domaine D à 10 − 4 près. 15. Jonction de deux courbes E.7362 On considère les deux fonctions de référence : la fonction carrée notée f et la fonction inverse notée g . On donne la représentation des courbes C f et C g respective-ment des fonctions f et g dans le repère O ; I ; J ci-dessous : On considère le domaine D grisé ci-dessus et : délimité par les droites d’équations x =0 et x =1 ; et entre les courbes C f et C g et l’axe des ordonnées. 1 a Pour tout réel a positif ou nul, on admet que l’intégrale de la fonction f entre 0 et a a pour expres-sion : a 0 x 2 d x = 1 3 · a 3 Déterminer le domaine sous la courbe C f entre 0 et 1 . b À l’aide de la calculatrice, déterminer la mesure du domaine sous la courbe C g entre 1 et 3 , arrondie au millième près. 2 En déduire la mesure du domaine D grisé, arrondie au millième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7359 sacados/7359 x-4-3-2-101234y1234C chapExoCorrec/7360 sacados/7360 x-2-1234Iy-1JOC chapExoCorrec/7361 sacados/7361 x-3-2-1234Iy-12JOC chapExoCorrec/7362 sacados/7362 -1234I2JO
E.7493 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par la relation: f ( x ) = − 0 ; 24 · x 2 + 0 ; 6 · x + 1 ; 4 ; g ( x ) = 0 ; 4 · x + 0 ; 4 Dans un repère O ; I ; J , on a les représentations des courbes représentatives C f et C g respectivement des fonctions f et g : Pour a un nombre réel compris entre − 1 ; 4 , on a les infor- mations complémentaires : Pour a un nombre réel de l’intervalle 0 ; 4 , on note I a l’aire du domaine sous la courbe C f compris entre les droites x =0 et x = a . Voici un tableau de valeurs de I a arrondies à 10 − 3 : a 0 0 ; 5 1 1 ; 5 2 2 ; 5 3 3 ; 5 4 I a 0 0 ; 765 1 ; 62 2 ; 505 3 ; 36 4 ; 125 4 ; 74 5 ; 145 5 ; 28 Pour calculer l’aire du domaine sous la courbe C g com-pris entre les droites x = − 1 et x = a , on utilise le calcul intégral suivant : a 0 g ( x ) d x = 0 ; 2 · a 2 + 0 ; 4 · a Déterminer l’aire grisée en laissant les étapes de votre raison-nement. 16. Domaine entre deux courbes E.7363 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = − 0 ; 6 · x 2 + 0 ; 4 · x + 1 ; 9 Ci-dessous est donnée la courbe C représentative de la fonc-tion f dans le repère O ; I ; J : On considère la droite ( d ) , courbe représentative de la fonc-tion g définie par : g ( x ) = − 0 ; 2 · x + 0 ; 7 On admet que la courbe C se situe au-dessus de la droite ( d ) sur l’intervalle − 1 ; 2 . Le domaine D est le domaine du plan ayant pour caractéris-tiques : délimité par les droites x =0 et x =2 ; situé entre la droite ( d ) et la courbe C . On utilisera les données suivantes : Pour tout nombre a appartenant à l’intervalle − 1 ; 2 , on note I a l’aire du domaine délimité par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = − 1 et x = a . Ci-dessous est donné un tableau de valeurs arrondies à 10 − 3 près : a − 1 − 0 ; 5 0 0 ; 5 1 1 ; 5 2 I a 0 0 ; 625 1 ; 5 2 ; 475 3 ; 4 4 ; 125 4 ; 5 Pour tout nombre a ∈ 0 ; 2 , on admet que l’intégrale de la fonction g de 0 à a a pour valeur: a 0 g ( x ) d x = − 0 ; 1 · a 2 + 0 ; 7 · a Déterminer l’aire du domaine D . E.7444 On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = 0 ; 6 · x + 0 ; 2 ; g ( x ) = − 0 ; 4 · x + 1 ; 2 dont les représentations graphiques sont respectivement les droites ( d 1 ) et ( d 2 ) représentées ci-dessous : Pour tout nombre a appartenant à l’intervalle 0 ; 3 , on note I a l’aide du domaine délimité par la droite ( d 1 ) , l’axe des abscisses, les droites d’équations x =0 et x = a . Voici un tableau de valeurs : a 0 0 ; 5 1 1 ; 5 2 2 ; 5 3 I a 0 0 ; 175 0 ; 5 0 ; 975 1 ; 6 2 ; 375 3 ; 3 Pour un nombre réel a appartenant à 1 ; 3 , on admet que l’aire du domaine situé sous leurs courbes respectives se déterminent par le calcul intégral: a 1 g ( x ) d x = − 0 ; 2 · a 2 + 1 ; 2 · a − 1 En déduire l’aire du domaine grisé. 17. Domaine entre deux courbes et calculatrices https://chingmath.fr chapExoCorrec/7493 sacados/7493 -2-1234I2JOCfCg2;5 chapExoCorrec/7363 sacados/7363 x-3-2-1234Iy23JOC(d chapExoCorrec/7444 sacados/7444 23I2JO(d1(d2
E.7436 Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication. Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctions f et g définies pour tout réel x de 0 ; 1 par : f ( x ) = 1 − x · e 3 x ; g ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 Leurs courbes représentatives seront notées C f et C g . Déterminer l’aire de la partie grisée, sur le graphique, com-prise entre les deux courbes C f et C g sur l’intervalle 0 ; 1 , arrondie au millième près. (On justifiera les étapes de son raisonnement) 18. Exercices non-classés E.8422 Partie A La courbe C ci-dessous, associée à une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 19 , représente l’audience journalière d’une chaîne de télévision entre le 1 er janvier 2000 (année numéro 0 ) et le 1 er janvier 2019 (année numéro 19 ) , c’est-à-dire quo-tidien de téléspectateurs, en milliers. Ainsi, le 1 er janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ 460 000 téléspectateurs. 1 Décrire l’évolution de l’audience quotidienne de cette chaîne de télévision entre le 1 er janvier 2000 et le 1 er janvier 2019 . 2 Donner une valeur approchée du nombre de téléspecta-teurs le 1 er janvier 2014 . 3 La droite ( AB ) , où les points A et B ont pour coordon-nées A (0 ; 460) et B (3 ; 82) est la tangente à la courbe C au point A . Déterminer la valeur de f (0) où f désigne la fonction dérivée de la fonction f représentée par C ? Partie B On cherche maintenant à prévoir l’évolution de l’audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années. On considère que le nombre quotidien (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 29 par : f ( x ) = 20 x 2 − 80 x + 460 · e − 0 , 1 x où x représente le nombre d’années depuis 2000 (par exemple x =19 pour l’année 2019) . 1 Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la chaîne le 1 er janvier 2014 . 2 On note f la fonction dérivée de f sur l’intervalle 0 ; 29 . a Démontrer que f est définie par : f ( x ) = − 2 x 2 + 48 x − 126 · e − 0 , 1 x b On considère l’équation: − 2 x 2 +48 x − 126=0 Un logiciel de calcul formel donne : Instruction : Résultat Solve( − 2 x 2 + 48 x − 126 = 0 ) 3 et 21 Retrouver ce résultat par le calcul. c En déduire le signe de f ( x ) sur l’intervalle 0 ; 29 et construire le tableau des variations de f sur l’intervalle 0 ; 29 . Arrondir les éléments du tableau à l’unité. d Le nombre quotidien de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l’année 2029 ? Justifier. 3 Montrer que l’équation f ( x )=800 admet une unique so-lution ¸ dans l’intervalle 3 ; 21 . Déterminer un en-cadrement d’amplitude 1 de ¸ . Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspec-tateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il 800 000 ? 4 On admet que la fonction F définie sur l’intervalle 0 ; 29 par : F ( x ) = − 200 x 2 − 3 2000 x − 36 600 · e − 0 , 1 x est une primitive de la fonction f . Déterminer à mille près l’audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le 1 er janvier 2018 et le 1 er janvier 2019 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7436 sacados/7436 xxyy-0,200,20,40,60,811,2-0,20,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,6CgCf sacados/8422 024681012141618100200300400500600700800900CfAB
E.7057 Une compagnie aérienne propose à partir du premier janvier de l’année 2000 une nouvelle for-mule d’achat de billets, la formule Avantage qui s’ajoute à la formule Privilège déjà existante. Une étude a permis de modéliser l’évolution du nombre de passagers transportés depuis l’année 2000 et la compagnie ad-met que ce modèle est valable sur la période allant de l’année 2000 à l’année 2016 . Le nombre de passagers choisissant la formule Privilège est modélisé par la fonction P définie sur l’intervalle 0 ; 16 et le nombre de passagers choisissant la formule Avantage est modélisé par la fonction A définie sur l’intervalle 0 ; 16 . Le graphique donné ci-dessous représente les courbes représenta-tives C p et C A de ces deux fonctions. Lorsque x représente le temps en année à partir de l’année 2000 , P ( x ) représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de milliers, choisissant la formule Privilège et A ( x ) représente le nombre de passagers, exprimé en dizaine de mil-liers, choisissant la formule Avantage. Les estimations seront obtenues par lecture graphique. 1 Donner une estimation du nombre de passagers qui, au cours de l’année 2002 , avaient choisi la formule Privilège . 2 Donner une estimation de l’écart auquel la compagnie peut s’attendre en 2015 entre le nombre de passagers ayant choisi la formule Avantage et ceux ayant choisi la formule Privilège . 3 Comment peut-on interpréter les coordonnées du point d’intersection des deux courbes au regard de la situation proposée? 4 Justifier que la compagnie aérienne peut, selon ce mod-èle, estimer que le nombre total de passagers ayant choisi la formule Privilège durant la période entre 2007 et 2015 sera compris entre 240 000 et 320 000 . E.5556 On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; 6 par : f ( x ) = 1 − ( x + 1) · e − x 1 Montrer que f ( x ) = x · e − x où f désigne la fonction dérivée de la fonction f . 2 Démontrer que l’équation f ( x )=0 ; 6 admet une solution unique ¸ sur l’intervalle 0 ; 6 . Déterminer une valeur arrondie de ¸ à 0 ; 01 . 3 On admet que la fonction F définie sur 0 ; 6 par : F ( x ) = x + ( x + 2) · e − x est une primitive de f sur 0 ; 6 . Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10 − 3 de : I = 6 0 f ( x ) d x E.5561 On considère la fonction f définie sur R dont la courbe représentative C f est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé : 1 Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f (0) . 2 À main levée, reproduire le repère et la courbe représen-tative de la fonction f , puis hachuré un domaine du plan ayant pour aire la valeur A où : A = 2 0 f ( x ) d x . (on ne cherchera pas à pas déter-miner la valeur de A .) 3 a Tracer, à main levée, la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 2 . b Par lecture graphique, donner la valeur du nombre dérivée f (2) , arrondie au dixième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7057 sacados/7057 En année, après2000012345678910111213141516En10000passagers12345678910CACP chapExoCorrec/5556 sacados/5556 chapExoCorrec/5561 sacados/5561 -8-7-6-5-4-3-2-1234I-4-3-2-123JOCf
E.5562 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = ( − x + 2) · e 0 , 5 x On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1 a On considère la fonction F définie sur R par la rela-tion : F ( x ) = ( − 2 x + 8) · e 0 , 5 x Montrer que la fonction F est une primitive de la fonc-tion f sur R . b Calculer la valeur exacte de 2 0 f ( x ) d x et en donner une valeur arrondie à 10 − 2 près. 2 On considère G une autre primitive de f sur R . Parmi les trois courbes C 1 , C 2 et C 3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G . Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse : E.5554 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = e − 2 x On note C f sa courbe représentative dans un repère or-thonormé. Pour chaque proposition, une seule réponse est correcte. In-diquer la bonne réponse en justifiant votre démarche : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5562 sacados/5562 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-12345678910I-4-3-2-12345678JOC1C2C3 chapExoCorrec/5554 sacados/5554 123456festdé∏niesur:−∞0−∞00∞RLafonctionfadmetpourdérivéelafonctionfdontl’expressionest2x·e−2x−2x·e−2x−2·e−2x2·e−2xSursonensemblededé∏nition,lafonctionfestcroissantedécroissanteconstanteNicroissante,nidécroissanteAupointd’abscisse0,lacourbeCfadmetpourtangenteladroited’équation−2x−2x1−2x−12x−1Uneprimitivedelafonctionfadmetpourexpression−2·e−2x2·e−2xe−2x2−e−2x2LedomaineDdé∏nieparl’axedesabscissesetlacourbeCf,lesdroitesd’équationsxetxapourmesured’aire12·1e−212·1−e−212·−1e−212·−1−e−2