Terminale Option Complémentaire / Lois à densité 48 exercices (dont 47 corrigés)

a
1. Loi exponentielle E.4166 Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre – . On rappelle que : P ( X a ) = a 0 – · e − λt d t La courbe donnée ci-dessous représente la fonction densité associée: 1 Interpréter sur le graphique la probabilité P ( X 1) . 2 Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre – . E.4171 On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre – =0 ; 04 . On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l’événement ( X t ) , notée P ( X t ) , est donnée par : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x Déterminer la valeur arrondie de P ( X > 5) à 10 − 2 près par excès. E.4159 La durée de vie, exprimée en heures, d’un jeu électronique, est une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre – =0 ; 000 3 . On rappelle que, pour tout t 0 : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse en justi-fiant la réponse. Affirmation : La probabilité pour que la durée de ce jeu soit strictement supérieure à 2 000 heures est inférieure à 0 ; 5 . E.4158 Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre – ( –> 0 ) . On rappelle que pour tout réel a> 0 : P ( X a )= a 0 – · e − λ · t d t Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse, et don-ner une justification de la réponse choisie. Proposition: Le réel a tel que P ( X >a )= P ( X a ) est égal à ln 2 – . 2. Loi exponentielle et espérance E.6958 Un astronome effectue des relevés du temps d’attente entre deux apparitions d’étoiles filantes. Il modélise ensuite ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre – . En exploitant les données obtenues, il a établi que – =0 ; 2 . L’astronome a prévu d’observer le ciel pendant deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie. 3. Loi exponentielle et recherche du paramètre E.4190 On considère la variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre – avec –> 0 . Ainsi, on a la probabilité : P ( X t )= t 0 – · e − λ · x d x Déterminer – , arrondi à 10 − 1 près, pour que la probabilité P ( X > 6) soit égale à 0 ; 3 . E.4148 On considère une variable aléa-toire X sur un espace probabilisé Ω ; P suivant une loi ex-ponentielle de paramètre – . On rappelle que, pour tout nombre réel k positif : P ( X k ) = k 0 – · e − λ · x d x 1 En utilisant la formule précédente, montrer que : P 500 X 1 000 = e − 500 · λ − e − 1000 · λ 2 Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Une étude décide de modéliser le nombre de kilomètres effectués par un pneu sans crevaison par une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre – . La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et 1 000 kilomètres sans crevaison étant égale à 1 4 , déterminer la valeur arrondie à 10 − 4 du paramètre – . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4166 sacados/4166 Extrait de Antilles-Guyane Juin 2006 234I2JO chapExoCorrec/4171 sacados/4171 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/4159 sacados/4159 chapExoCorrec/4158 sacados/4158 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/6958 sacados/6958 chapExoCorrec/4190 sacados/4190 Extrait de Liban Mai 2006 chapExoCorrec/4148 sacados/4148
4. Loi exponentielle et probabilité conditionnelle E.4187 Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un maga-sin, des composants en apparence tous identiques, mais dont certains présentent un défaut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0 ; 02 . On suppose que la durée de vie T 1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre – 1 =5 × 10 − 4 et que la durée de vie T 2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre – 2 =10 − 4 (on pourra se rapporter au formulaire ci-dessous) . 1 Calculer la probabilité que la durée de vie d’un com-posant soit supérieure à 1 000 heures : a si ce composant est défectueux ; b si ce composant n’est pas défectueux. Donner une valeur arrondie de ces probabilités à 10 − 2 près. 2 Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit en-core en état de marche après t heures de fonctionnement est : P ( T t ) = 0 ; 02 · e − 5 × 10 − 4 · t + 0 ; 98 · e − 10 − 4 · t (on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0 ; 02 ) 3 Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux? Donner une valeur de cette probabilité, arrondie à 10 − 2 près. 5. Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement E.4186 La durée d’attente T , en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre – = 1 6 . On a donc pour tout réel t> 0 : P ( X <t ) = t 0 – · e − λ · x d x avec – = 1 6 où t désigne le temps exprimé en minutes. Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à 10 − 4 près) que son temps total soit inférieure à 5 minutes? E.4154 Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On fait tirer à un joueur des boules de l’urne. À chaque tirage, toutes les boules ont la même proba-bilité d’être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On suppose que n =1000 . L’urne contient donc 10 boules blanches et 1000 boules rouges. Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complétement défavor-able et décide d’effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu’à obtenir une boule blanche. Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l’on peut modéliser le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire Z suivant la loi, pour tout k ∈ N : P ( Z k ) = k 0 0 ; 01 · e − 0 , 01 · x d x On répondra donc aux questions suivantes à l’aide de ce mod-èle: 1 Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soit P ( Z 50) . 2 Calculer la probabilité conditionnelle de l’événement : ˇ le joueur a tiré au maximum 60 boules pour tirer une boule blanche ı sachant que l’événement ˇ le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche ı. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4187 sacados/4187 chapExoCorrec/4186 sacados/4186 chapExoCorrec/4154 sacados/4154
E.4149 La durée de vie, exprimée en an-nées d’un appareil, est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre – sur 0 ; + ∞ On rappelle que pour tout t> 0 , la probabilité de l’événement ( X t ) est donnée par : P X t = t 0 – · e − λ · x d x (avec – =0 ; 07 ) . Sans justification, indiquer si chacune des propositions suiv-antes est vraie ou fausse. Proposition 1: la probabilité que l’appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à 0 ; 5 à 10 − 2 près. Proposition 2: sachant que l’appareil a fonctionné 10 ans, la probabilité qu’il fonctionne encore 10 ans est égale à 0 ; 5 à 10 − 2 près. E.6263 Un restaurant fonctionne sans réservation, mais le temps d’attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients. On modélise ce temps d’attente en minutes par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre – où – est un réel strictement positif. On rappelle que l’espérance mathématique de X est égale à 1 – . Une étude statistique a permis d’observer que le temps moyen d’attente pour obtenir une table est de 10 minutes. 1 Déterminer la valeur de – . 2 Quelle est la probabilité qu’un client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir une table? On arrondira à 10 − 4 . 3 Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la prob-abilité qu’il doive attendre au moins 5 minutes de plus pour obtenir une table? On arrondira à 10 − 4 . E.4175 Un responsable de magasin achète des composants électroniques. La durée vie de l’un de ces composants est une variable aléa-toire notée X qui suit une loi de durée de vie sans vieillisse-ment ou loi exponentielle de paramètre – , avec – réel stricte-ment positif. 1 Sachant que P ( X > 5)=0 ; 325 , déterminer – , arrondi au millième près. Pour les questions suivantes, on prendra : – =0 ; 225 2 Quelle est la probabilité qu’un composant dure moins de 8 ans? Plus de 8 ans? 3 Quelle est la probabilité qu’un composant dure plus de 8 ans sachant qu’il a déjà duré plus de 3 ans? 6. Introduction E.4208 On représente ci-dessous la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle 1 ; 5 par la relation: f ( x ) = 32 (3 x + 1) 2 On considère un jeu de lancer de fléchettes se basant sur la surface grisée définie par : l’axe des abscisses et la courbe C f ; les droites d’équations x =1 et x =5 . En supposant qu’à chaque lancer, la fléchette tombe dans cette partie grisée, on souhaite connaître la probabilité que la fléchette atteigne la zone hachurée limitée par les deux droites d’équations x =3 et x =5 . Pour cela, on considère la variable aléatoire X qui associe à chaque fléchette lancée l’abscisse de son point de réception sur la cible. 1 Déterminer la primitive de la fonction f . 2 Déterminer les valeurs des deux intégrales suivantes : 5 1 f ( x ) d x ; 5 3 f ( x ) d x 3 En déduire la probabilité : P 3 X 5 E.4056 1 Soit X la variable aléatoire choisissant de façon équiprob-able un entier dans l’intervalle 0 ; 10 . Déterminer la probabilité : P X =5 2 Soit X la variable aléatoire choisissant de façon équiprob-able un entier dans l’intervalle 0 ; 999 . Déterminer la probabilité : P X =5 3 Soit X la variable aléatoire choisissant de façon équiprob-able un réel l’intervalle 0 ; 10 . Déterminer la probabilité : P X =5 4 Soit X la variable aléatoire choisissant de façon équiprob-able un réel dans l’intervalle 0 ; 10 . Déterminer la probabilité : P X ∈ 0 ; 5 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4149 sacados/4149 chapExoCorrec/6263 sacados/6263 chapExoCorrec/4175 sacados/4175 chapExoCorrec/4208 sacados/4208 01234512Cf chapExoCorrec/4056 sacados/4056
E.6407 Une étude statistique porte sur la taille de plant de maïs : Toutes les valeurs approchées demandées dans cet exercice seront approchées au centième près. 1 À partir d’un histogramme: Comme indiqué par la légende de l’histogramme, on peut utiliser la graduation de l’axe des ordonnées (nécessaire pour la courbe C f ) pour déterminer l’effectif associé à une barre : 0 ; 1 × 1 000 = 100 plants Les relevés ont permis d’établir l’histogramme ci-dessus. a Combien de plant dont la taille est comprise entre 1 ; 9 m et 2 ; 2 m comprend cette étude? b En choisissant un plant au hasard parmi les plants de maïs de cette étude, quelle est la probabilité que ce plant ait une taille est comprise entre 1 ; 9 m et 2 ; 2 m ? On arrondira cette probabilité au centième près. 2 À partir de la courbe: On choisit d’utiliser une courbe représentant ˇgrossière-mentı l’histogramme. L’expression de cette fonction est : f ( x ) = 15 · 4 · x − 5 12 · x 2 − 30 · x + 22 a Déterminer une primitive de la fonction f . b Déterminer la valeur de 2 , 3 1 , 3 f ( x ) d x , arrondie à 10 − 2 près. On considère la variable aléatoire continue X qui, à un plant de maïs pris au hasard dans le champ d’étude, associe sa taille. c Déterminer la probabilité P 1 ; 9 X 2 ; 2 , arrondi à 10 − 2 près. d Existe-t-il une fonction g telle que pour tout couple de réel ( a ; b ) vérifiant a<b , on ait: P a X b = b a g ( x ) d x Si oui, donner une expression de cette fonction? E.6892 Lors du recensement de la population de 2013 , la France comptait 66 millions de personnes. Pour cet exercice, on fait la supposition (absurde) que les tailles (en m ) des Français sont équitablement réparties sur l’intervalle 1 ; 4 ; 1 ; 9 On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir au hasard une personne au hasard dans la population française et on note X la variable aléatoire qui retourne la taille de la personne sélectionnée. Déterminer la valeur des probabilités suivantes : a P 1 ; 4 X 1 ; 65 b P X 1 ; 6 c P 1 ; 4 X 1 ; 9 d P X =1 ; 6783453 7. Exemple de loi continue E.4218 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 1 40 · x + 1 5 pour x ∈ 0 ; 4 f ( x ) = 0 sinon 1 Justifier que la fonction f définie une loi à densité sur l’intervalle 0 ; 4 . 2 Notons X la variable aléatoire définie sur 0 ; 4 dont la loi de probabilité a pour densité f . Déterminer les prob-abilités suivantes : a P ( X 1) b P ( X 2) c P 1 2 X < 3 E.4220 Pour la question suivante, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer la réponse exacte; aucune justification n’est demandée. Soit f la fonction définie sur 0 ; 1 par : f ( x )= x + m où m est une constante réelle. f est une densité de probabilité sur l’intervalle 0 ; 1 lorsque : a m = − 1 b m = 1 2 c m =e 1 2 d m =e − 1 E.4219 Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur R par : f ( x ) = m · sin x pour x ∈ 0 ; ı f ( x ) = 0 sinon 1 Déterminer le réel m tel que f soit une densité de prob-abilité sur R . 2 Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité. Déterminer en fonction de x la valeur de la probabilité P ( X x ) 3 Calculer la probabilité : P ı 4 X 3 · ı 4 . 4 Calculer les probabilités : P ( X 0) ; P ( X 0) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6407 sacados/6407 1,21,41,61,822,22,4Nombre en milliers24Cf100plantsTaille enm chapExoCorrec/6892 sacados/6892 chapExoCorrec/4218 sacados/4218 chapExoCorrec/4220 sacados/4220 chapExoCorrec/4219 sacados/4219
8. Loi uniforme E.4216 Dire si la proposition suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée : Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur 0 ; 1 , alors P 0 ; 1 X 0 ; 6 =0 ; 6 E.4217 Parmi les quatre propositions présentées, une seule est correcte. Donner la réponse exacte. On suppose que la durée d’attente à un guichet de service, ex-primée en heure, suit une loi uniforme sur l’intervalle 0 ; 1 La probabilité que la durée d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min. a 1 3 b 1 5 c 1 12 d 1 4 E.5466 Tout le personnel d’un hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur 0 ; 1 . On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpi-tal. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min? 9. Introduction aux lois continues E.7381 On considère l’expérience aléatoire suiv-ante qui consiste à lancer une fléchette au hasard vers une cible. Pour les besoins de la modélisation, on suppose qu’à chaque lancer, la fléchette se loge dans la cible. 1 On considère la cible A en plastique où les fléchettes en plastique touchant la cible viennent se loger dans un des trous représentés sur la figure de manière équiprobable. Quelle est la probabilité que la fléchette se loge dans le rond central de la cible? 2 On considère la cible B en liège où les fléchettes munies d’une pointe d’acier peuvent se loger n’importe où sur la cible de manière équiprobable. Quelle est la probabilité que le tireur place la fléchette sur le rond central de la cible? E.7382 On représente ci-dessous la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle 1 ; 5 par la relation: f ( x ) = 32 (3 x + 1) 2 On considère un jeu de lancer de fléchettes se basant sur la surface grisée définie par : l’axe des abscisses et la courbe C f ; les droites d’équations x =1 et x =5 . En supposant qu’à chaque lancer, la fléchette au hasard tombe dans cette partie grisée, on souhaite connaître la probabilité que la fléchette atteigne la zone hachurée limitée par les deux droites x =3 et x =5 . Pour cela, on considère la variable aléatoire X qui associe à chaque fléchette lancée l’abscisse de son point de réception sur la cible. 1 à l’aide de la calculatrice, donner les valeurs des inté-grales ci-dessous : 5 1 f ( x ) d x ; 5 3 f ( x ) d x 2 Déterminer la probabilité : P 3 X 5 10. Loi continue et calculatrice E.7383 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 1 40 · x + 1 5 pour x ∈ 0 ; 4 f ( x ) = 0 sinon 1 Justifier que la fonction f définit une loi à densité sur l’intervalle 0 ; 4 . À l’aide de la calculatrice, donner la valeur de l’intégrale: 4 0 f ( x ) d x . 2 Notons X la variable aléatoire définie sur 0 ; 4 dont la loi de probabilité a pour densité f . À l’aide de la calcu-latrice, déterminer les probabilités : a P ( X 1) b P ( X 2) c P 1 2 X < 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4216 sacados/4216 Extrait d'Antilles-Guyanes Septembre 2009 chapExoCorrec/4217 sacados/4217 Extrait d'Antilles-Guyanes Juin 2010 chapExoCorrec/5466 sacados/5466 Extrait de Liban Juin 2004 chapExoCorrec/7381 sacados/7381 CibleACibleB24cm6cm chapExoCorrec/7382 sacados/7382 01234512Cf chapExoCorrec/7383 sacados/7383
E.7384 Soit f la fonction définie sur 0 ; 1 par : f ( x )= x + 1 2 Justifier que la fonction f est une densité de probabilité sur l’intervalle 0 ; 1 . On déterminera 1 0 f ( x ) d x à l’aide de la calculatrice. 11. Loi uniforme E.7395 Dire si la proposition suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée : Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur 0 ; 1 , alors P 0 ; 1 X 0 ; 6 =0 ; 6 E.7396 Parmi les quatre propositions présentées, une seule est correcte. Donner la réponse exacte. On suppose que la durée d’attente à un guichet de service, exprimée en minutes, suit une loi uniforme sur l’intervalle 0 ; 60 La probabilité que la durée d’attente d’une personne prise au hasard soit comprise entre 15 min et 20 min. a 1 3 b 0 ; 2 c 1 12 d 0 ; 25 E.7397 Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis. Paul se connecte sur le site. La durée D (en seconde) qu’il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle 20 ; 120 . Déterminer la probabilité que les quatre joueurs soient réunis au bout de 60 secondes. E.7832 Parmi les réponses ci-dessous, une seule est correcte. Laquelle? Justifier votre réponse. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle 1 ; 9 alors: a P 1 < X < 9 = 1 8 b P 5 < X < 9 = 1 2 c P 1 < X < 3 = 3 8 d P 1 < X < 2 = 1 2 12. Loi uniforme et espérance E.7837 Parmi les réponses proposées, une seule est exacte. Laquelle? Justifier votre réponse. Dans une station de ski, le temps d’attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une vari- able aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle 0 ; 5 . a L’espérance de cette loi X est 2 5 b P X > 2 = 3 5 c P X 2 = 3 5 d P X 5 = 0 13. Cours - Probabilités E.4267 Soit X une variable aléatoire suiv-ant une loi exponentielle – où – est un réel strictement positif. Rappels: pour tout t 0 , on a: P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x La fonction R définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : R ( t )= P ( X >t ) est appelée fonction de fiabilité. 1 Démontrer que pour tout t 0 , on a: R ( t )=e − λ · t 2 Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire que pour tout réel s 0 , la probabilité conditionnelle P X >t ( X >t + s ) ne dépend pas du nombre t 0 . E.4318 Soit X une variable aléatoire suiv-ant une loi exponentielle de paramètre – ( – strictement posi-tif) , c’est-à-dire que la probabilité s’exprime par : F ( t ) = P X t = P [0 ; t ] = t 0 – · e − λ · x d x Restitution organisée de connaissances: Pré-requis: P B ( A )= P ( A ∩ B ) P ( B ) où A et B sont deux événements tels que P ( B ) =0 ; P A =1 −P ( A ) où A est un événement ; P [ a ; b ] = F ( a ) − F ( b ) où a et b sont des nombres réels positifs tels que a b . Démontrer que, pour tout nombre réel positif s , on a: P [ t ; + ∞ [ [ t ; t + s ] = F ( t + s ) − F ( t ) 1 − F ( t ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/7384 sacados/7384 chapExoCorrec/7395 sacados/7395 Extrait bac S 2009 chapExoCorrec/7396 sacados/7396 Extrait bac S 2010 chapExoCorrec/7397 sacados/7397 chapExoCorrec/7832 sacados/7832 Extrait Centres Etrangers Juin 2017 chapExoCorrec/7837 sacados/7837 Extrait Antilles-Guyane Juin 2017 chapExoCorrec/4267 sacados/4267 chapExoCorrec/4318 sacados/4318 Extrait d'Asie Juin 2011
et que P [ t ; + ∞ [ [ t ; t + s ] est indépendant du nombre réel t . E.5507 Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre – . L’espérance de cette variable aléatoire a pour valeur: E ( X ) = lim x ↦→ + ∞ x − x t · – e λt d t = 1 – E.5508 Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre – . Pour tout réels t et h positifs, on a l’égalité: P ( X t ) X t + h = P ( X h 14. Lois uniformes et exponentielles E.3206 La durée de vie d’un robot, ex-primée en années jusqu’à ce que survienne la première panne, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre – , avec –> 0 . Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en passe avant l’instant t est égale à: P ( X t ) = t 0 – e − λx dx 1 Déterminer – , arrondi à 10 − 1 près, pour que la probabil-ité P ( X > 6) soit égale à 0 ; 3 . Pour la suite de l’exercice, on prendra – =0 ; 2 2 À quel instant t , à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0 ; 5 ? 3 Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e − 0 , 4 . 4 Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10 − 2 près, la proba-bilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans? 5 On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années. E.3181 Partie A Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi expo-nentielle de paramètre – . On rappelle que : P ( X a ) = a 0 – · e − λt d t La courbe donnée en ci-dessous représente la fonction densité associée: 1 Interpréter sur le graphique la probabilité P ( X 1) . 2 Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre – . Partie B On pose – =1 ; 5 . 1 Calculer la valeur exacte de P ( X 1) , puis sa valeur ar-rondie à 10 − 3 près. 2 Calculer P ( X 2) . 3 Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P (1 X 2) ≈ 0 ; 173 à 10 − 3 près. 4 Calculer l’intégrale: F ( x )= x 0 1 ; 5 · t · e − 1 , 5 t d t . Déterminer la limite quand x tend vers + ∞ de F ( x ) ; on obtient ainsi l’espérance mathématique de la variable X . Partie C Indication : les probabilités seront arrondies à 10 − 3 . Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre – =1 ; 5 . Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5507 sacados/5507 chapExoCorrec/5508 sacados/5508 chapExoCorrec/3206 sacados/3206 Liban Mai 2006 3 points chapExoCorrec/3181 sacados/3181 Antilles-Guyane Juin 2006 4 points 234I2JO
1 On prélève au hasard un cylindre dans la production. a Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0 ; 916 , arrondie à 10 − 3 près. b Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification? 2 On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres suff-isamment important pour assimiler un tirage à un tirage successif avec remise. a Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés? b Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé? E.3164 Les parties A et B sont in-dépendantes Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en ap-parence tous identiques, mais dont certains présentent un dé-faut. On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0 ; 02 . Partie A On admet que le nombre de composants présentés dans le ma-gasin est suffisamment important pour que l’achat de 50 com-posants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants. 1 Quelle est la probabilité qu’exactement deux des com-posants achetés soient défectueux, arrondie à 10 − 1 près. 2 Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux, arrondie à 10 − 2 près? 3 Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux? Partie B On suppose que la durée de vie T 1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre – 1 =5 × 10 − 4 et que la durée de vie T 2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit une loi exponentielle de paramètre – 2 =10 − 4 (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous) . 1 Calculer la probabilité que la durée de vie d’un com-posant soit supérieure à 1 000 heures : a si ce composant est défectueux ; b si ce composant n’est pas défectueux. Indication : donner une valeur approchée de ces prob-abilités à 10 − 2 près. 2 Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard. Démontrer que la probabilité que ce composant soit en-core en état de marche après t heures de fonctionnement est : P ( T t ) = 0 ; 02 · e − 5 × 10 − 4 t + 0 ; 98 · e − 10 − 4 t (on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0 ; 02 ) 3 Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux, arrondie à 10 − 2 près. Formulaire : Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre – sur 0 ; + ∞ : Pour 0 a b , P [ a ; b ] = b a – · e − λx d x Pour c 0 , P [ c ; + ∞ [ =1 − c 0 – · e − λx d x E.3162 Cet exercice comporte deux par-ties indépendantes. La partie I est la démonstration d’un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M. Partie I : question de cours Soient A et B deux événements indépendants. Démontrer que A et B sont indépendants. Partie II Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justifi-cation n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève 0 ; 5 point. L’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro. 1 Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher. (hors programme 2012) On extrait simultanément trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires et une boule rouge? a 75 512 b 13 56 c 15 64 d 15 28 2 Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population. Parmi les grippés, un sur dix est vac-ciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0 ; 25 . Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe? a 1 120 b 3 40 c 1 12 d 4 40 3 Un joueur lance une fois un dé bien équilibré. Il gagne 10 e si le dé marque 1. Il gagne 1 e si le dé marque 2 ou 4 . Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ? a 2 b 13 c 16 d 17 4 La durée d’attente T , en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre – = 1 6 . On a donc pour tout réel t> 0 : P ( T <t ) = t 0 – · e − λx dx (avec – = 1 6 ) où t désigne le temps exprimé en minutes. Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, https://chingmath.fr chapExoCorrec/3164 sacados/3164 chapExoCorrec/3162 sacados/3162
quelle est la probabilité (arrondie à 10 − 4 ) que son temps total soit inférieur à 5 minutes? a 0 ; 2819 b 0 ; 3935 c 0 ; 5654 d 0 ; 6065 15. Exercices non-classés E.8136 On étudie certaines caractéristiques d’un supermarché d’une petite ville. Partie A - Démonstration préliminaire Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0 ; 2 . On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire X , notée E ( X ) , est égale à: lim x ↦→ + ∞ x 0 0 ; 2 · t · e − 0 , 2 · t d t Le but de cette partie est de démontrer que E X =5 . 1 On note g la fonction définie sur l’intervalle 0;+ ∞ par : g ( t )=0 ; 2 · t · e − 0 , 2 · t . On définit la fonction G sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : G ( t )= − t − 5 · e − 0 , 2 · t Vérifier que G est une primitive de g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 En déduire que la valeur exacte de E X est 5 . Indication : on pourra utiliser, sans le démontrer, le ré-sultat suivant : lim x ↦→ + ∞ x · e − 0 , 2 · x = 0 Partie C - Durée d’attente pour le paiement Ce supermarché laisse le choix au client d’utiliser seul des bornes automatiques de paiement ou bien de passer par une caisse gérée par un opérateur. 1 La durée d’attente à une borne automatique, exprimée en minutes, est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 0 ; 2 min − 1 . a Donner la durée moyenne d’attente d’un client à une borne automatique de paiement. b Calculer la probabilité, arrondie à 10 − 3 , que la durée d’attente d’un client à une borne automatique de paiement soit supérieure à 10 minutes. 2 L’étude commandée par le gérant conduit à la modélisa-tion suivante : parmi les clients ayant choisi de passer à une borne automatique, 86 % attendent moins de 10 minutes ; parmi les clients passant en caisse, 63 % attendent moins de 10 minutes. On choisit un client du magasin au hasard et on définit les événements suivants : B : ˇ le client paye à une borne automatique ı ; B : ˇ le client paye à une caisse avec opérateur ı ; S : ˇ la durée d’attente du client lors du paiement est inférieure à 10 minutes ı Une attente supérieure à dix minutes à une caisse avec opéra-teur ou à une borne automatique engendre chez le client une perception négative du magasin. Le gérant souhaite que plus de 75 % des clients attendent moins de 10 minutes. Quelle est la proportion minimale de clients qui doivent choisir une borne automatique de paiement pour que cet ob-jectif soit atteint? Partie D - Bons d’achat Lors du paiement, des cartes à gratter, gagnantes ou per-dantes, sont distribuées aux clients. Le nombre de cartes distribuées dépend du montant des achats. Chaque client a droit à une carte à gratter par tranche de 10 e d’achats. Par exemple, si le montant des achats est 58 ; 64 e , alors le client obtient 5 cartes ; si le montant est 124 ; 31 e , le client obtient 12 cartes. Les cartes gagnantes représentent 0 ; 5 % de l’ensemble du stock de cartes. De plus, ce stock est suffisamment grand pour assimiler la distribution d’une carte à un tirage avec remise. 1 Un client effectue des achats pour un montant de 158 ; 02 e . Quelle est la probabilité, arrondie à 10 − 2 , qu’il obtienne au moins une carte gagnante? 2 À partir de quel montant d’achats, arrondi à 10 e , la probabilité d’obtenir au moins une carte gagnante est-elle supérieure à 50 % ? E.6247 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre – . Montrer que, pour tout réel positif t , on a l’égalité: P ( X t ) X t + h = P X h E.6089 Partie A La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre 0 ; 081 . 1 Déterminer : P X 3 2 Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore 2 ans? Partie B L’entreprise B produit des capteurs de présence permettant d’enclencher automatiquement l’ouverture et la fermeture des portes. La durée de vie de ces capteurs, exprimée en années est une variable aléatoire Y suivant une loi exponentielle de paramètre – , où – est un réel strictement positif. 3 On sait que : P Y 2 =0 ; 7 Déterminer la valeur exacte du réel – . https://chingmath.fr sacados/8136 chapExoCorrec/6247 sacados/6247 chapExoCorrec/6089 sacados/6089
E.4261 La durée de vie, exprimée en an-nées, d’un appareil est modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre – =0 ; 07 sur 0 ; + ∞ . On rappelle que pour tout t> 0 , la probabilité de l’événement X t est donnée par : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · x d x avec – =0 ; 07 1 Déterminer la probabilité que l’appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans. 2 Sachant que l’appareil a fonctionné 10 ans, déterminer la probabilité qu’il fonctionne encore 10 ans. E.4270 La durée d’attente T , en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre – = 1 6 . On a donc pour tout réel t> 0 (désignant le temps exprimé en minutes) : P ( T <t ) = t 0 – · e − λ · x d x avec – = 1 6 Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, déter-miner la probabilité, arrondie à 10 − 4 près, que son temps total soit inférieur à 5 minutes. E.4250 On considère une variable X qui suit une loi exponentielle de paramètre – avec –> 0 . Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité que la variable X soit inférieure à t est donnée : P ( X t ) = t 0 – · e − λ · t d t Déterminer – sachant que : P ( X > 5)=0 ; 4 E.4265 On étudie la durée de vie de composants électroniques. Cette durée de vie est modélisée par une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre – , avec – réel strictement positif. Sachant que P ( X > 5)=0 ; 325 , déterminer – . E.4271 Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la loi ˇ loi de durée de vie sans vieillissement ı (ou encore loi exponentielle) de paramètre 0 ; 125 . Toutes les probabilités seront données à 10 − 3 près. 1 On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le respons-able du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans? 2 Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonc-tionne plus de 10 ans soit supérieure à 0 ; 999 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/4261 sacados/4261 chapExoCorrec/4270 sacados/4270 chapExoCorrec/4250 sacados/4250 Extrait d'Amerique du Nord Juin 2011 chapExoCorrec/4265 sacados/4265 chapExoCorrec/4271 sacados/4271