Terminale Option Complémentaire / Suites numériques 47 exercices (100% corrigés)

a
1. Un peu plus loin:suites arithmético-géométriques E.2408 On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation: u 0 = 8 ; u n +1 = 1 2 u n − 5 pour tout entier naturel n . 1 Soit v n n ∈ N la suite définie par : v n = u n + 10 pour tout n ∈ N a Montrer que la suite v n vérifie la relation suivante pour tout entier naturel n : v n +1 = 1 2 · v n b Donner la nature de la suite ( v n ) ainsi que ses éléments caractéristiques. c Donner la formule explicite donnant l’expression du terme v n en fonction de son rang n . 2 Déduire des questions précédentes, la formule explicite de la suite u n . E.6426 Soit u n définie par son pre- mier terme u 0 et, pour tout entier naturel n , par la relation: u n +1 = a · u n + b ( a et b réels non nuls tels que a =1 ) On pose, pour tout entier naturel n : v n = u n − b 1 − a Démontrer que, la suite v n est géométrique de raison a . E.2409 Considérons la suite ( u n ) définie par : u 0 = 5 ; u n +1 = 1 3 u n + 4 pour tout n ∈ N . 1 Soit v n la suite définie par la relation: v n = u n − 6 pour n ∈ N . a Établir que la suite v n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison de cette suite. b Donner l’expression du terme v n en fonction de son rang n . 2 En déduire l’expression de u n en fonction de n . 2. Rappels E.7544 1 Les techniciens d’un aquarium souhaitent régler le dis-tributeur automatique d’un produit visant à améliorer la qualité de l’eau dans un bassin. Au début du test, la concentration du produit dans ce bassin est de 160 mg · ‘ − 1 . On estime que la concentration du produit baisse d’environ 10 % par semaine. Donner la concentration de ce produit au bout de 8 se-maines. 2 Les techniciens mettent en place un distributeur automa-tique de telle sorte qu’il déverse chaque semaine une cer-taine quantité de produit. Après étude, il observe qu’avec l’utilisation de cette machine, la concentration de ce pro-duit augmente de 5 % par semaine. En commençant les mesures avec une concentration de 120 mg · ‘ − 1 , quelle sera la mesure de la concentration de ce produit au bout de 8 semaines? Les concentrations obtenues seront arrondies au dixième près. E.7543 1 On considère la suite u n , définie sur N , géométrique de premier terme 3 et de raison 2 ; 5 . a Déterminer, arrondis au millième près, la valeur des termes u 5 et u 7 . b Donner la limite des termes de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . 2 On considère la suite v n , définie sur N , géométrique de premier terme 7 et de raison 0 ; 5 . a Déterminer, arrondis à 10 − 5 près, la valeur des termes v 5 et v 7 . b Donner la limite des termes de la suite v n lorsque n tend vers + ∞ . E.7542 Chacune des expressions ci-dessous per-met de définir les termes d’une suite u n géométrique, définie sur N : a u 0 = 3 ; u n +1 = 2 · u n b u n = 2 n c u 0 = − 2 ; u n +1 = u n 2 d u n = 3 × 0 ; 2 n Dans chaque question, donner les éléments caractéristiques de la suite u n . E.7541 Parmi les quatre propositions faites ci-dessous, une seule est correcte. Laquelle? Justifier. On considère la suite u n , définie pour tout entier naturel n , géométrique de premier terme 4 et de raison 3 : La somme S des 10 premiers termes de la suite définie par : S = u 0 + u 1 + · · · + u 9 a pour valeur: a S = 2 · 3 9 − 1 b S = 2 · 3 10 − 1 c S = 4 · 3 9 − 1 d S = 4 · 3 10 − 1 3. Modéliser un problème https://chingmath.fr chapExoCorrec/2408 sacados/2408 chapExoCorrec/6426 sacados/6426 chapExoCorrec/2409 sacados/2409 chapExoCorrec/7544 sacados/7544 chapExoCorrec/7543 sacados/7543 chapExoCorrec/7542 sacados/7542 chapExoCorrec/7541 sacados/7541
E.7040 Le 1 er septembre 2015 , un ensem-ble scolaire compte 3 000 élèves. Une étude statistique interne a montré que chaque 1 er septem-bre : 10 % de l’effectif quitte l’établissement ; 250 nouveaux élèves s’inscrivent. On cherche à modéliser cette situation par une suite u n où, pour tout entier naturel n , u n représente le nombre d’élèves le 1 er septembre de l’année 2015+ n . Justifier qu’on peut modéliser la situation avec la suite u n telle que u 0 =3 000 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = 0 ; 9 · u n + 250 E.7028 Une entreprise s’intéresse au nom-bre d’écrans 3 D qu’elle a vendus depuis 2010 : Année 2010 2011 2012 Nombre d’écrans 3 D vendus 0 5 000 11 000 Le nombre d’écrans 3 D vendus par l’entreprise l’année (2010+ n ) est modélisé par une suite u n , arithmético-géométrique, de premier terme u 0 =0 . On rappelle qu’une suite arithmético-géométrique vérifie, pour tout entier naturel n , une relation de récurrence de la forme u n +1 = a × u n + b où a et b sont deux réels. 1 a En supposant que u 1 =5 000 , déterminer la valeur de b . b En supposant de plus que u 2 =11 000 , montrer que pour tout entier naturel n , on a: u n +1 = 1 ; 2 × u n + 5 000 2 a Calculer u 3 et u 4 . b En 2013 et 2014 , l’entreprise a vendu respectivement 18 000 et 27 000 écrans 3 D . La modélisation semble-t-elle pertinente? E.7012 L’entreprise PiscinePlus , im-planté dans le sud de la France, propose des contrats annuels d’entretien aux propriétaires de piscines privées. Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12 % de contrats supplémentaires sont souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à venir. En 2015 , l’entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits. On modélise la situation par une suite u n où u n représente le nombre de contrats souscrits auprès de l’entreprise Piscine-Plus l’année 2015+ n . Ainsi, on a u 0 =75 . 1 Estimer le nombre de contrats d’entretien en 2016 . 2 Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: u n +1 = 1 ; 12 · u n − 6 4. Formule explicite E.7527 Soit la suite u n définie par u 0 =150 et pour tout entier naturel n : u n +1 = 0 ; 8 · u n + 45 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par : v n = u n − 225 1 Démontrer que v n est une suite géométrique et préciser son premier terme et sa raison. 2 En déduire que pour tout entier naturel n : u n = 225 − 75 × 0 ; 8 n E.7529 On considère la suite u n définie pour u 0 =27 500 et pour tout entier naturel n , on a: u n +1 = 1 ; 04 · u n − 156 On cherche à calculer explicitement le terme général u n en fonction de n . Pour cela, on note v n la suite définie, pour tout entier naturel n , par : v n = u n − 3 900 1 Montrer que v n est une suite géométrique dont on pré-cisera la raison et le premier terme. 2 En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 23 600 × 1 ; 04 n + 3 900 E.7530 Un plan de réduction des émis-sions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2 % d’une année sur l’autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO 2 . En 2005 , cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO 2 au total. Pour tout entier naturel n , on note u n le nombre de milliers de tonnes de CO 2 émis dans cette zone industrielle au cours de l’année 2005+ n . 1 Déterminer u 0 et u 1 . 2 Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: u n +1 = 0 ; 98 × u n + 0 ; 2 3 On considère la suite v n définie, pour tout entier na-turel n , par : v n = u n − 10 a Montrer que la suite v n est géométrique de raison 0 ; 98 . Préciser son premier terme. b Exprimer v n en fonction de n , pour tout entier naturel n . c En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 31 × 0 ; 98 n + 10 5. Limite https://chingmath.fr chapExoCorrec/7040 sacados/7040 Extrait d'Asie Juin 2016 chapExoCorrec/7028 sacados/7028 chapExoCorrec/7012 sacados/7012 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7527 sacados/7527 chapExoCorrec/7529 sacados/7529 chapExoCorrec/7530 sacados/7530 Extrait Liban Juin 2017
E.7033 Un loueur de voitures dispose au 1 er mars 2015 d’un total de 10 000 voitures pour l’Europe. Afin d’entretenir son parc, il décide de revendre, au 1 er mars de chaque année, 25 % de son parc automobile et d’acheter 3 000 voitures neuves. On modélise le nombre de voitures de l’agence à l’aide d’une suite : Pour tout entier naturel n , on note u n le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1 er mars de l’année 2015+ n . On a donc : u 0 =10 000 1 Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n : u n +1 = 0 ; 75 · u n + 3000 2 Pour tout entier naturel n , on considère la suite v n définie par : v n = u n − 12 000 a Montrer que la suite v n est une suite géométrique de raison 0 ; 75 . Préciser son premier terme. b Exprimer v n en fonction de n . Déterminer la limite de la suite v n . c Justifier que, pour tout entier naturel n : u n = 12 000 − 2 000 × 0 ; 75 n d En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d’un grand nombre d’années? E.7025 Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger. En raison d’une offre de bienvenue, le nombre d’abonnés au lancement est 15 000 . Sur la base des premiers mois, on es-time que le nombre des clients abonnés au site évolue suivant la règle suivante : chaque mois, 10 % des clients se désabonnent et 2 500 nou-veaux abonnés sont enregistrés. On note v n l’estimation du nombre d’abonnés n mois après l’ouverture, on a ainsi v 0 =15 000 . 1 Justifier que, pour tout entier naturel n , on a: v n +1 = 0 ; 9 × v n + 2 500 2 On considère la suite w n définie pour tout entier na- turel n par : w n = v n − 25 000 a Montrer que la suite w n est géométrique de raison 0 ; 9 et préciser son premier terme. b En déduire que, pour tout entier n : v n =25 000 − 10 000 × 0 ; 9 n c Peut-on prévoir, à l’aide de ce modèle, une stabilisa-tion du nombre d’abonnés sur le long terme? Justifier la réponse. E.7604 En 2015 , les forêts couvraient environ 4 000 millions d’hectares sur terre. On estime que, chaque an-née, cette surface diminue de 0 ; 4 % . Cette perte est en partie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à 7 ; 2 millions d’hectares par an. On considère la suite u n définie par u 0 =4 000 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = 0 ; 996 × u n + 7 ; 2 1 Justifier que, pour tout entier naturel n , u n permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année 2015+ n . 2 Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de son exécution, la variable N ait pour valeur la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de 3 500 millions d’hectares sur terre. N ← 2015 U ← 4 000 ... ... ... 3 On considère la suite v n définie pour tout entier na-turel n par : v n = u n − 1 800 a Démontrer que la suite v n est géométrique puis pré-ciser son premier terme et sa raison. b En déduire que pour tout entier naturel n , on a: u n = 2200 × 0 ; 996 n + 1800 c Selon ce modèle et si le phénomène perdure, la sur-face des forêts sur terre va-t-elle finir par disparaître? Justifier la réponse. 6. Etude d’un seuil E.7211 Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes. En 2015 , 600 personnes étaient abonnées à ce service. Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l’évaluation peut être modélisée de la façon suivante : Chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renou-velés. Chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service. Cette évolution peut s’étudier à l’aide d’une suite u n où u n est le nombre d’abonnés pendant l’année 2015+ n . On a ainsi, u 0 =600 et pour tout entier naturel n : u n +1 =0 ; 95 · u n +80 On admet que les termes de la suite u n admettent en fonc-tion du rang n l’expression : u n = 1 600 − 1 000 × 0 ; 95 n La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas. Si cette évolution se poursuit au même rythme, l’association devra-t-elle envisager un jour des travaux d’agrandissement? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7033 sacados/7033 chapExoCorrec/7025 sacados/7025 chapExoCorrec/7604 sacados/7604 chapExoCorrec/7211 sacados/7211 Extrait Antilles-Guyanes Septembre 2016
E.7526 Soit la suite u n définie par u 0 =150 et pour tout entier na-turel n : u n +1 = 0 ; 8 · u n + 45 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 Voici deux propositions d’algorithmes : U ← 150 N ← 0 Tant que U 220 U ← 0;8 × U+45 N ← N+1 Fin Tant que Algorithme 1 U ← 150 N ← 0 Tant que U<220 U ← 0;8 × U+45 N ← N+1 Fin Tant que Algorithme 2 On s’intéresse, à la fin de son exécution, à la valeur de la variable N de l’algorithme. a Un seul de ces algorithmes permet d’affecter à la vari-able N , en fin d’exécution, le plus petit entier naturel n tel que u n 220 . Préciser lequel en justifiant pourquoi l’autre algo-rithme ne le permet pas. b Quelle est la valeur de la variable N à la fin de l’exécution de cet algorithme? E.7528 Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait 27 500 étudiants en septem-bre 2016 . Le président de l’université est inquiet, car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étu-diants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de 33 000 étudiants. Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année : 150 étudiants démissionnent en cours d’année universi-taire (entre le 1 er septembre et le 30 juin) ; les effectifs constatés à la rentrée de septembre connais- sent une augmentation de 4 % par rapport à ceux du mois de juin qui précède. Pour tout entier naturel n , on note u n le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre 2016+ n , on a donc u 0 =27 500 . 1 a Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017 . b Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septem-bre 2017 . 2 Justifier que, pour tout entier naturel n , on a: u n +1 = 1 ; 04 · u n − 156 3 Recopier et compléter les lignes 3 , 4 , 5 et 7 de l’algorithme suivant afin qu’à la fin de son exécution, la variable n ait pour valeur l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement. ‘ .1 n ← 0 ‘ .2 U ← 27 500 ‘ .3 Tant que U ... ‘ .4 n ← ... ‘ .5 U ← ... ‘ .6 Fin Tant que ‘ .7 U ← U+ ... 4 a On fait fonctionner cet algorithme pas à pas. Recopier le tableau suivant et le compéter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes ; on arrondira les valeurs de U à l’unité. Initialisation Étape 1 . . . Valeur de n 0 . . . . . . Valeur de U 27 500 . . . . . . b Donner la valeur de la variable n à la fin de l’exécution de cet algorithme. 7. Résolution d’inéquations (logarithme) E.7013 On considère la suite u n définie par : u 0 = 75 ; u n +1 = 1 ; 12 · u n − 6 pour tout n ∈ N On pose pour tout entier naturel n : v n = u n − 50 1 Montrer que la suite v n est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme. 2 En déduire l’expression de v n en fonction de n , puis mon-trer que, pour tout entier naturel n , on a: u n =25 × 1 ; 12 n +50 3 Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation: u n > 100 . E.7016 On considère la suite u n définie par : u 0 =4 ; u n +1 = 0 ; 92 · u n + 8 pour tout n ∈ N Pour tout entier naturel, on pose : v n = u n − 100 1 Montrer que la suite v n est géométrique de raison 0 ; 92 et calculer son premier terme v 0 . 2 Donner l’expression de v n en fonction de n . 3 En déduire que, pour tout entier naturel n , on a: u n = 100 − 96 × 0 ; 92 n . 4 Résoudre l’inéquation: u n 70 8. Rappels somme des termes d’une suite https://chingmath.fr chapExoCorrec/7526 sacados/7526 chapExoCorrec/7528 sacados/7528 chapExoCorrec/7013 sacados/7013 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/7016 sacados/7016
E.7261 Déterminer, pour chaque question, la valeur exacte de la somme, puis le cas échéant sa valeur ar-rondie au centième: a 1+4+4 2 + ··· +4 6 b 1+0 ; 2+0 ; 2 2 + ··· +0 ; 2 7 c 1+ 1 6 + 1 6 2 + ··· + 1 6 10 d 1+1 1 +1 2 + ··· +1 10 E.7262 Déterminer, pour chaque question, la valeur exacte de la somme, puis sa valeur arrondie au cen-tième: a 3 + 3 × 2 + 3 × 2 2 + · · · + 3 × 2 6 b 4 + 4 × 0 ; 2 + 4 × 0 ; 2 2 + · · · + 4 × 0 ; 2 7 E.7004 On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 . La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut : Parmi les 3 réponses ci-dessous, laquelle est exacte? a 4095 b 8191 c 1 − 2 14 1 − 2 E.7046 Parmi les quatre propositions ci-dessous, laquelle est vraie? La somme S =1+2+2 2 +2 3 + ··· +2 30 est égale à: a − 1 + 2 31 b 1 − 2 31 c − 1 + 2 30 d 1 − 2 30 E.7267 Parmi les quatre affirmations ci-dessous, une seule est ex-acte. Laquelle? Justifier votre réponse. La suite u n est la suite géométrique de premier terme u 0 = 400 et de raison 1 2 . La somme S = u 0 + u 1 + ··· + u 10 est égale à: a 2 × 1 − 0 ; 5 10 b 2 × 1 − 0 ; 5 11 c 800 × 1 − 0 ; 5 10 d 800 × 1 − 0 ; 5 11 9. Etude d’une seuil E.7313 Une commune ouvre une mé-diathèque au 1 er janvier 2013 , la médiathèque dispose du stock de 35 000 ouvrages de l’ancienne bibliothèque augmenté de 7 000 ouvrages supplémentaires neufs offerts par la com-mune. Chaque année, la bibliothécaire est chargée de supprimer 5 % des ouvrages, trop vieux ou abîmés. On suppose qu’aucun nouvel ouvrage n’est acheté par la bibliothèque. On appelle u n le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1 er janvier de l’année (2013+ n ) . On donne u 0 =42 . 1 a Justifier que, pour tout entier naturel n , on a: u n +1 =0 ; 95 × u n b Donner le nombre d’ouvrages de cette bibliothèque au 1 er janvier 2018 . 2 On propose, ci-dessous, un algorithme en langage na-turel. u ← 42 n ← 0 Tant que u>10 u ← u × 0;95 n ← n+1 Fin Tant que a Après exécution de l’algorithme, que représente la valeur de la variable n . b À l’aide de votre calculatrice, déterminer la valeur de la variable n après l’exécution de l’algorithme. E.7268 Parmi les quatre affirmations ci-dessous, une seule est ex-acte. Laquelle? Justifier votre réponse. On considère l’algorithme ci-dessous : n ← 0 U ← 50 Tant que U<120 U ← 1;2 × U n ← n+1 Fin Tant que En fin d’exécution, quelle est la valeur de la variable n : a 4 b 124 ; 416 c 5 d 96 E.7206 Un commerçant venant d’ouvrir une bou-tique remarque que son chiffre d’affaires a commencé à 25 000 euros par mois et a progressé tous les mois de 2 % . Il décide de modéliser la progression de son chiffre d’affaires par la suite u n où u 0 représente le chiffre d’affaires du pre-mier mois d’ouverture. 1 Donner la nature et les caractéristiques de la suite u n . 2 a À l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien de mois, son chiffre d’affaires dépassera 30 000 euros. b Compléter l’algorithme afin que la valeur de la variable n ait pour valeur, à la fin de son exécution, le nombre de mois après l’ouverture afin que son chiffre d’affaires dépassera 30 000 euros ‘ .1 n ← 0 ‘ .2 U ← 25 000 ‘ .3 Tant que ... faire ‘ .4 n ← ... ‘ .5 U ← ... ‘ .6 Fin Tant que 10. Somme des termes d’une suite géométrique https://chingmath.fr chapExoCorrec/7261 sacados/7261 chapExoCorrec/7262 sacados/7262 chapExoCorrec/7004 sacados/7004 chapExoCorrec/7046 sacados/7046 Extrait Antilles-Guyane Juin 2014 chapExoCorrec/7267 sacados/7267 Extrait Antilles-Guyannes Juin 2016 chapExoCorrec/7313 sacados/7313 chapExoCorrec/7268 sacados/7268 Extrait Antilles-Guyannes Juin 2016 chapExoCorrec/7206 sacados/7206
E.7263 Au 1 er janvier 2017 , une associa-tion sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois 8 % des adhérents de l’association ne renouvellent pas leur adhésion. 1 Déterminer le nombre d’adhérents au 1 er mars 2017 . 2 On modélise le nombre d’adhérents n mois après le 1 er janvier 2017 par la suite u n . a Donner la nature et les éléments caractéristiques de la suite u n . b Donner l’expression du terme u n en fonction de son rang n . c Déterminer le nombre d’adhérents, arrondi à l’unité, au 1 er janvier 2018 . 3 Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l’association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017 . Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel la quatrième ligne est incomplète (pointillés) . a Recopier et compléter l’algorithme afin qu’à la fin de son exécution, la variable S ait pour valeur le montant total des cotisations de l’année 2017 . S ← 0 U ← 900 Pour N allant de 1 à 12 S ← ... U ← 0;92 · U Fin Pour b Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 ? On arrondit la somme à l’euro près. E.7271 On considère l’algorithme ci-dessous : Fonction f(n) u ← 2 000 S ← 2 000 Pour i allant de 2 à n u ← u × 1;008 S ← S+u Fin pour On exécute la fonction en lui fournissant pour l’argument n la valeur 5 . Dans le tableau ci-dessous, résumer les valeurs affectées aux variables de la fonction f au cours de son appel: Valeur de i 2 Valeur de u 2 000 Valeur de S 2 000 E.7315 Sans justification, donner la valeur con-tenue dans la variable S après l’exécution de cet algorithme: 1 u ← 2 2 S ← 2 3 Pour i allant de 1 à 20 4 u ← u × 1;05 5 S ← S+u . 6 Fin pour E.7532 On considère la suite u n , définie pour tout entier naturel n , géométrique de premier terme 3 et de raison 2 . On note S n la somme des ( n +1) premiers termes de la suite u n . Établir l’identité ci-dessous pour tout entier naturel n : S n = 3 · 2 n +1 − 1 11. Suites géométriques, seuil et somme E.7314 Une petite ville dispose d’un ser-vice municipal de location de vélos. La municipalité souhaite être informée sur le nombre de vélos en circulation et le coût engendré. Le responsable du service de location de vélos constate qu’entre les vélos inutilisables, car perdus, volés ou détériorés et les nouveaux vélos acquis, le nombre de vélos utilisables augmente de 5 % chaque année. Le 1 er janvier 2017 , le parc contient 200 vélos utilisables. On modélise l’évolution du nombre de vélos utilisables par une suite u n dans laquelle, pour tout entier nature n , u n est le nombre de vélos le 1 er janvier de l’année 2017+ n . Ainsi, u 0 =200 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = 1 ; 05 × u n . 1 a Justifier le coefficient 1 ; 05 dans l’expression de u n +1 en fonction de u n . b Combien y aura-t-il de vélos dans ce parc au 1 er janvier 2018 ? 2 La municipalité a décidé d’arrêter l’achat de nouveaux vélos dès que son stock dépassera 500 unités. En quelle année, le stock du service municipal sera supérieur à 500 vélos pour la première fois? 3 Pour l’aider à maintenir le service de location, la mu-nicipalité a obtenu une subvention de la région qui sera versée de 2017 inclus à 2032 inclus. Cette subvention s’élève à 10 euros par vélo disponible à la location. En supposant que l’augmentation du stock de vélos reste constante à 5 % chaque année durant cette période, déter-miner la somme totale perçue grâce à cette subvention du 1 er janvier 2017 au 1 er janvier 2032 . On donne la valeur exacte et la valeur arrondie au cen-tième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7263 sacados/7263 chapExoCorrec/7271 sacados/7271 chapExoCorrec/7315 sacados/7315 chapExoCorrec/7532 sacados/7532 chapExoCorrec/7314 sacados/7314
S0Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme1S0Pournallantde0à24S50×nFinPourAlgorithme2S50Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme3 E.7264 On considère la suite géométrique u n , de raison 0 ; 9 et de premier terme u 0 =50 . 1 a Recopier et compéter l’algorithme afin, qu’à la fin de son exécution, la variable U ait pour valeur 25 e terme de cette suite, c’est-à-dire u 24 : U ← ... Pour N allant de 1 à 24 U ← ... Fin Pour b Pour tout entier naturel n , exprimer u n en fonction de n . c Calculer u 24 et donner une valeur approchée du résul-tat à 10 − 3 près. 2 À l’aide de la calculatrice, donner le plus petit entier na- turel n tel que : u n < 0 ; 01 . 3 On souhaite calculer la somme : S 24 = u 0 + u 1 + ··· + u 24 . Voici trois propositions d’algorithmes : a À la fin de leur exécution, un seul de ces algorithmes aura sa variable S affectée de la valeur de la somme u 24 . Préciser lequel en justifiant la réponse. b Calculer la somme S 24 . On donnera une valeur ap-prochée du résultat à l’unité près. 12. Suites géométriques: limites E.7293 1 On considère la suite u n géométrique de premier terme 1 et de raison 2 . a Considérons le code : Fonction f(n) u ← 1 Pour i allant de 1 à n u ← 2 × u Fin Pour Renvoyer u L’appel à la fonction f(n) renvoie au programme la valeur du terme de la suite u n de rang n . Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : n 0 1 2 10 20 u n b Compléter les pointillés: lim n ↦→ + ∞ u n = : : : 2 a Modifier la fonction f affiche les termes de la suite v n définie par : v 0 = 2 ; v n +1 = 0 ; 8 × v n b Compléter le tableau de valeurs arrondies au millième: n 0 1 2 10 20 v n c Compléter les pointillés: lim n ↦→ + ∞ v n = : : : 3 On considère la suite w n géométrique de premier terme 50 et de raison 0 ; 8 . On note S n la somme des n +1 premiers termes de la suite w n : S n = w 0 + w 1 + · · · + w n a Compléter les pointillés pour que la fonction f(n) ren-voie le terme de rang n de la suite S n : Fonction f(n) u ← 50 S ← 50 Pour i allant de 1 à n u ← ... S ← S+... Fin pour Renvoyer S b En effectuant plusieurs appels à la fonction f , conjec-turer la limite de la suite S n . c Établir que : S n =250 · 1 − 0 ; 8 n +1 d Justifier la conjecture de la question b . E.7205 Un site internet propose à ses abonnés des films à télécharger. Lors de son ouverture, 500 films sont proposés et chaque mois, le nombre de films proposés aux abonnés augmente de 6 % . On modélise le nombre de films proposés par une suite géométrique u n où n désigne le nombre de mois depuis l’ouverture du site. On a donc : u 0 =500 . 1 Calculer u 1 et u 2 et donner le résultat arrondi à l’unité. 2 Exprimer u n en fonction de n . 3 Déterminer la limite de la suite u n . E.7265 On considère la suite géométrique u n , de raison 0 ; 9 et de premier terme u 0 =50 . Pour tout entier naturel n , on note S n = u 0 + u 1 + ··· + u n . On admet que la suite S n est croissante et que pour tout entier naturel n : S n =500 − 450 × 0 ; 9 n . 1 Déterminer la limite de la suite S n lorsque n tend vers + ∞ . 2 Alex affirmer que S n peut dépasser 500 pour une valeur de l’entier n suffisamment grande. Que pensez-vous de son affirmation? Justifier la réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7264 sacados/7264 S0Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme1S0Pournallantde0à24S50×nFinPourAlgorithme2S50Pournallantde0à24S×nFinPourAlgorithme3 chapExoCorrec/7293 sacados/7293 chapExoCorrec/7205 sacados/7205 chapExoCorrec/7265 sacados/7265
E.7531 On considère la suite géométrique u n de premier terme u 0 =50 et de raison 0 ; 9 . 1 Déterminer la valeur exacte du terme u 24 et donner une valeur approchée du résultat à 10 − 3 près. 2 Pour tout entier naturel n , on note : S n = u 0 + u 1 + ··· + u n a Déterminer la valeur exacte de la somme S 24 . On don-nera une valeur approchée du résultat à l’unité près. On admet que la suite S n est croissante et que pour tout entier naturel n : S n = 500 − 450 × 0 ; 9 n b Déterminer la limite de la suite S n lorsque n tend vers + ∞ . c Alex affirme que S n peut dépasser 500 pour une valeur de l’entier n suffisamment grande. Que pensez-vous de son affirmation? Justifier la réponse. 13. Suites géométriques: limites et seuil E.7292 On considère la suite u n définie par : u 0 = 0 ; u n +1 = 0 ; 8 · u n + 0 ; 1 pour tout n ∈ N ∗ 1 a Saisir l’algorithme ci-dessous : u ← 0 Pour i allant de 1 à n u ← 0;8 × u+0;1 Fin pour b La variable n ayant pour valeur 10 , que représentent les différentes valeurs de la variable u au cours de l’exécution de l’algorithme. c En exécutant pas à pas l’algorithme, quelle conjecture peut-on faire sur les valeurs des termes de la suite u n ? 2 a Saisir l’algorithme ci-dessous : u ← 0 n ← 0 Tant que u<0;499 u ← 0;8 × u+0;1 n ← n+1 Fin tant que b À la fin de l’exécution de l’algorithme, que représente la valeur de la variable n ? E.7269 On note S n = u 1 + u 2 + ··· + u n la somme des n premiers termes d’une suite u n , n étant un entier na-turel non nul. On admet que : S n = − 250 000 + 250 000 × 1 ; 008 n et que la suite S n est croissante. 1 Déterminer la limite des termes de la suite S n lorsque n tend vers + ∞ . 2 Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir de quel rang, la suite S n a une valeur supérieure à 125 000 . 14. Exercices non-classés E.6109 On considère la suite u n définie par : u 0 = 115 ; u n +1 = 0 ; 4 · u n + 120 pour tout n ∈ N 1 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par : v n = u n − 200 . a Montrer que v n est une suite géométrique de raison 0 ; 4 . Préciser v 0 . b Exprimer, pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . 2 En déduire que pour tout entier naturel n : u n = 200 − 85 × 0 ; 4 n 3 La suite u n est-elle convergente? Justifier votre réponse. E.5557 On considère la suite u n définie par : u 0 = 10 ; u n +1 = 0 ; 9 u n + 1 ; 2 pour tout n ∈ N . 1 Donner la valeur exacte des trois premiers termes de la suite u n . 2 On considère la suite v n définie par : v n = u n − 12 pour tout n ∈ N . Montrer que la suite v n est une suite géométrique de raison 0 ; 9 et de premier terme − 2 . 3 a Exprimer, pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . b Exprimer, pour tout entier naturel n , u n en fonction de n . c En déduire la limite de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/7531 sacados/7531 chapExoCorrec/7292 sacados/7292 chapExoCorrec/7269 sacados/7269 chapExoCorrec/6109 sacados/6109 chapExoCorrec/5557 sacados/5557
E.5563 La production des perles de cul-ture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française. Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite u n . On note u 0 le montant en 2011 , en millions d’euros, et u n le montant en 2011+ n , en millions d’euros. On donne les informations suivantes : En 2011 , la valeur brute des produits perliers a été de 63 millions d’euros. On suppose que le montant des exportations réalisées a baissé tous les ans de 8 % . 1 Montrer que la suite u n est une suite géométrique dont on précisera la raison. 2 Exprimer, pour tout entier naturel n , u n en fonction de n . 3 Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au million d’euros. E.5560 On considère la suite u n définie par : u 0 = 42 ; u n +1 = 0 ; 95 · u n + 4 pour tout n ∈ N 1 Déterminer la valeur exacte des trois premiers termes de la suite u n 2 On considère la suite w n définie par : v n = u n − 80 pour tout n ∈ N . Montrer que v n est une suite géométrique de raison q =0 ; 95 et de premier terme − 38 . 3 a Exprimer, pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . b Exprimer, pour tout entier naturel n , u n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite u n . E.6095 On considère la suite a n définie par : a 0 = 8 ; a n +1 = 3 4 · a n + 4 pour tout n ∈ N 1 Pour tout entier naturel n , on note : u n = a n − 16 . a Montrer que la suite u n est une suite géométrique de raison 3 4 . b Exprimer u n en fonction de n . 2 Exprimer a n en fonction de n . Que peut-on dire sur la convergence de la suite a n ? E.3578 Deux sociétés, Ultra-eau ( U ) et Vital-eau ( V ) , se partagent le marché des fontaines d’eau à bonbonnes dans les entreprises d’une grande ville. En 2013 , l’entreprise U avait 45 % du marché et l’entreprise V le reste. Chaque année, l’entreprise U conserve 90 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise V . Quant à l’entreprise V , elle conserve 85 % de ses clients, les autres choisissent l’entreprise U . On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel n : u n la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise U l’année 2013+ n , ainsi u 0 =0 ; 45 ; v n la probabilité qu’il soit un client de l’entreprise V l’année 2013+ n . 1 Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V . 2 Donner v 0 , calculer u 1 et v 1 . 3 On considère la fonction f (incomplète) , extrait d’un algo-rithme, donnée ci-dessous. Appelée avec pour argument un entier naturel n non-nul, celle-ci renvoie le couple de valeurs ( u n ; v n ) . Compléter les lignes ( ‘ .3 ) et ( ‘ .6 ) de la fonction pour obtenir le résultat attendu. ‘ .1 Fonction f(N) ‘ .2 U ← 0;45 ‘ .3 V ← ... ‘ .4 Pour i allant de 1 jusqu’à N ‘ .5 U ← 0;9 × U+0;15 × V ‘ .6 V ← ... ‘ .7 Fin Pour ‘ .8 Renvoyer ( U ; V) 4 On admet que, pour tout nombre entier naturel n : u n +1 = 0 ; 75 · u n + 0 ; 15 . On note, pour tout entier naturel n : w n = u n − 0 ; 6 a Montrer que la suite w n est une suite géométrique de raison 0 ; 75 . b Quelle est la limite de la suite w n ? En déduire la limite de la suite u n . Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5563 sacados/5563 chapExoCorrec/5560 sacados/5560 chapExoCorrec/6095 sacados/6095 chapExoCorrec/3578 sacados/3578