Terminale Option Experte / Annales sur l'arithmétiques 5 exercices (100% corrigés)

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1. Exercices non-classés E.3597 Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009 , c’est-à-dire tel que n 3 ≡ 2009 ( mod. 10 000) . Partie A 1 Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 009 2 par 16 . 2 En déduire que : 2 009 8 001 ≡ 2 009 ( mod. 16) Partie B On considère la suite u n définie sur N par u 0 =2 009 2 − 1 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = u n +1 5 − 1 . 1 a Démontrer que u 0 est divisible par 5 . b Démontrer, en utilisant la formule du binôme de New-ton, que pour tout entier naturel n : u n +1 = u n · u 4 n + 5 · u 3 n + 2 · u 2 n + 2 · u n + 1 c Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u n est divisible par 5 n +1 . 2 a Vérifier que u 3 =2 009 250 − 1 puis en déduire que 2 009 250 ≡ 1 ( mod. 625) . b Démontrer alors que : 2 009 8 001 ≡ 2 009 ( mod. 625) Partie C 1 En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que : 2 009 8 001 − 2 009 est divisible par 10 000 . 2 Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009 . E.3631 Les trois parties I , II , III peu-vent être traitées indépendamment les unes des autres. Partie I Soit : E = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 . Déterminer les paires a ; b d’entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1 . Partie II Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 . 1 L’entier ( n − 1)! est-il pair? 2 L’entier ( n − 1)!+1 est-il divisible par un entier naturel pair? 3 Prouver que l’entier (15 − 1)!+1 n’est pas divisible par 15 . 4 L’entier (11 − 1)!+1 est-il divisible par 11 ? Partie III Soit p un entier naturel non premier ( p 2 ) . 1 Prouver que p admet un diviseur q ( 1 <q<p ) qui divise ( p − 1)! 2 L’entier q divise-t-il l’entier ( p − 1)!+1 ? 3 L’entier p divise-t-il l’entier ( p − 1)!+1 ? E.3208 Pour chacune des cinq proposi-tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point : Proposition 1: ˇpour tout entier naturel n , 3 divise l’entier 2 2 n − 1 ı. Proposition 2: ˇsi un entier relatif x est solution de l’équation x 2 + x ≡ 0 ( mod. 6) alors x ≡ 0 ( mod. 3) ı. Proposition 3: ˇl’ensemble des couples d’entiers relatifs ( x ; y ) solutions de l’équation 12 x − 5 y =3 est l’ensemble des couples : (4+10 k ; 9+24 k ) où k ∈ Z ı. Proposition 4: ˇIl existe un seul couple ( a ; b ) de nombres entiers naturels, tel que : a<b ; PPCM ( a;b ) − PGCD ( a;b )=1 ı. Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix. Proposition 5: ˇSi l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M − N est aussi divisible par 27ı. E.3321 1 On considère l’ensemble : A 7 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 a Pour tout élément a de A 7 écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élément y de A 7 tel que : a · y ≡ 1 ( mod. 7) . a 1 2 3 4 5 6 y 6 b Pour x entier relatif, démontrer que l’équation 3 · x ≡ 5 ( mod. 7) équivaut à x ≡ 4 ( mod. 7) . c Si a est un élément de A 7 , montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l’équation a · x ≡ 0 ( mod. 7) sont les multiples de 7 . 2 Dans toute cette question, p est un entier premier supérieur ou égal à 3 . On considère l’ensemble A p = 1 ; 2 ; ::: ; p − 1 des entiers naturels non nuls et stricte-ment inférieurs à p . Soit a un élément de A p . a Vérifier que a p − 2 est une solution de l’équation: a · x ≡ 1 ( mod. p ) . b On note r le reste dans la division euclidienne de a p − 2 par p . Démontrer que r est l’unique solution x dans A p , de l’équation a · x ≡ 1 ( mod. p ) . c Soit x et y deux entiers relatifs. Démontrer que x · y ≡ 0 ( mod. p ) si, et seulement si, x est un multiple de p ou y est un multiple de p . d Application : p =31 . Résoudre dans A 31 les équations : 2 x ≡ 1 ( mod. 31) ; 3 x ≡ 1 ( mod. 31) À l’aide des résultats précédents, résoudre dans Z l’équation: 6 x 2 − 5 x +1 ≡ 0 ( mod. 31) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3597 sacados/3597 Liban Juin 2009 chapExoCorrec/3631 sacados/3631 chapExoCorrec/3208 sacados/3208 chapExoCorrec/3321 sacados/3321
E.3626 1 On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que : N ≡ 5 ( mod. 13) N ≡ 1 ( mod. 17) a Vérifier que 239 est solution de ce système. b Soit N un entier relatif solution de ce système. Démontrer que N peut s’écrire sous la forme : N = 1 + 17 · x = 5 + 13 · y où x et y sont deux entiers relatifs vérifiant la relation 17 x − 13 y =4 . c Résoudre l’équation 17 · x − 13 · y =4 où x et y sont des entiers relatifs. d En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que : N = 18 + 221 · k . e Démontrer l’équivalence entre : N ≡ 18 ( mod. 221) et N ≡ 5 ( mod. 13) N ≡ 1 ( mod. 17) 2 Indication : Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même in-fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. a Existe-t-il un entier naturel k non-nul tel que : 10 k ≡ 1 ( mod. 17) ? b Existe-t-il un entier naturel ‘ tel que : 10 ≡ 18 ( mod. 221) ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3626 sacados/3626 Asie Juin 2009