Terminale Option Experte / Annales sur les matrices 15 exercices (dont 13 corrigés)

a
1. Matrices et suites E.5954 Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d’une pho-tographie. Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE F G , ap-pelé image de OEFG . L’objet de cet exercice est d’étudier le rectangle ob-tenu après plusieurs transformations successives. Partie A Le plan est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Les points E , F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2) , ( − 1 ; 5) et ( − 3 ; 3) . La transformation du logiciel asso-cie à tout point M ( x ; y ) du plan le point M ( x ; y ) , image du point M tel que : x = 5 4 x + 3 4 y y = 3 4 x + 5 4 y 1 a Calculer les coordonnées E , F et G , images des points E , F et G par cette transformation. b Comparer les longueurs OE et OE d’une part, OG et OG d’autre part. Donner la matrice carrée d’ordre 2 , notée A , telle que : x y = A · x y Partie B Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images suc-cessives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu’on applique plusieurs fois la transformation du logiciel. 1 On considère l’algorithme suivant qui doit afficher les co-ordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu’il permette d’afficher ces coordonnées : Entrée Saisir un entier naturel non nul N Initialisation Affecter à x la valeur − 1 Affecter à y la valeur 5 Traitement POUR i ALLANT DE 1 A N Affecter à a la valeur 5 4 x + 3 4 y Affecter à b la valeur 3 4 x + 5 4 y Affecter à x la valeur a Affecter à y la valeur b FIN POUR Sortie Afficher x , afficher y 2 On a obtenu le tableau suivant : i 1 2 3 4 5 10 15 x 2 ; 5 7 ; 25 15 ; 625 31 ; 8125 63 ; 9063 2047 ; 9971 65535 ; 9999 y 5 ; 5 8 ; 75 16 ; 375 32 ; 1875 64 ; 0938 2048 ; 0029 65536 ; 0001 Conjecturer le comportement de la suite des images suc-cessives du point F . Partie C Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images suc-cessives du sommet E du rectangle OEFG . On définit la suite des points E n ( x n ; y n ) du plan par E 0 = E et la relation de récurrence : x n +1 y n +1 = A · x n y n où ( x n + ; y n +1 ) désignent les coordonnées du point E n +1 . Ainsi, x 0 =2 et y 0 =2 . 1 On admet que, pour tout entier n 1 , la matrice A n peut s’écrire sous la forme : A n = ¸ n ˛ n ˛ n ¸ n Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n 1 , on a: ¸ n = 2 n − 1 + 1 2 n +1 ; ˛ = 2 n − 1 − 1 2 n +1 2 a Démontrer que, pour tout entier naturel n , le point E n est situé sur la droite d’équation y = x . On pourra utiliser que, pour tout entier naturel n , les coordonnées ( x n ; y n ) du point E n vérifient : x n y n = A n · 2 2 b Démontrer que la longueur OE n tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ . 2. Matrice de transition E.5439 On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes d’une population d’animaux. Pour tout entier naturel n , on note j n le nombre d’animaux jeunes après n années d’observation et a n le nom-bre d’animaux adultes après n années d’observation. Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes https://chingmath.fr chapExoCorrec/5954 sacados/5954 Asie Juin 2013 OEFGEFG OEFG chapExoCorrec/5439 sacados/5439
et 500 animaux adultes. Ainsi : j 0 =200 et a 0 =500 . On admet que pour tout entier naturel n , on a: j n +1 = 0 ; 125 · j n + 0 ; 525 · a n a n +1 = 0 ; 625 · j n + 0 ; 625 · a n On introduit les matrices suivantes : A = 0 ; 125 0 ; 525 0 ; 625 0 ; 625 ; U n = j n a n 1 a Montrer que pour entier naturel n : U n +1 = A × U n . b Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation, puis, après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près) . c Pour tout entier naturel n non nul, exprimer U n en fonction de A n et de U 0 . 2 On introduit les matrices suivantes : Q = 7 3 − 5 5 ; D = − 0 ; 25 0 0 1 a On admet que la matrice Q est inversible et que : Q − 1 = 0 ; 1 − 0 ; 06 0 ; 1 0 ; 14 Montrer que : Q × D × Q − 1 = A b Montrer, par récurrence sur n , que pour tout entier naturel n non nul : A n = Q × D n × Q − 1 c Pour tout entier naturel n non nul, déterminer D n en fonction de n . 3 On admet que pour tout entier naturel n non nul, A n = 0 ; 3 + 0 ; 7 × ( − 0 ; 25) n 0 ; 42 − 0 ; 42 × ( − 0 ; 25) n 0 ; 5 − 0 ; 5 × ( − 0 ; 25) n 0 ; 7 + 0 ; 3 × ( − 0 ; 25) n a En déduire les expressions de j n et a n en fonction de n . Déterminer les limites de ces deux suites. b Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée? E.5955 Une espèce d’oiseau ne vit que sur deux îles A et B d’un archipel. Au début de l’année 2013 , 20 millions d’oiseaux de cette es-pèce sont présents sur l’île et 10 millions sur l’île B . Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornitho-logues d’estimer que, compte tenu des naissances, décès, et mi-grations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les propositions suivantes : Sur l’île A : 80 % du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et 30 % du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précé-dente ; sur l’île B : 20 % du nombre d’oiseaux présents sur l’île A au début de l’année précédente et 70 % du nombre d’oiseaux présents sur l’île B au début de l’année précé-dente. Pour tout entier naturel n , on note a n (respectivement b n ) le nombre d’oiseaux (en millions) présents sur l’île A (respec-tivement B ) au début de l’année (2013+ n ) . Partie A - Algorithmique et conjectures On donne ci-dessous une fonction f , issue d’un algorithme, prenant pour argument un entier n supérieur ou égal à 2013 représentant l’année d’étude et renvoyant le nombre d’oiseaux vivant sur chacune des deux îles pour cette année. Fonction f(n) a ← 20 b ← 10 i ← 2013 Tant que i<n c ← (0;8a+0;3b) b ← (0;2a+0;7b) a ← c Fin Tant que Renvoyer ( a ; b) 1 Le code de la fonction f comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger. 2 On donne ci-dessous un tableau représentant les valeurs successivement prises par les variables de la fonction f lors de son exécution pas à pas lors de son appel avec la valeur 2020 . n a b 2013 20 10 2014 19 11 2015 18,5 11,5 2016 18,25 11,75 2017 18,125 11,875 2018 18,0425 11,9375 2019 18,03125 11,96875 2020 18,015625 11,984375 Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concer-nant le sens de variation et la convergence des suites a n et b n . Partie B - Étude mathématique https://chingmath.fr chapExoCorrec/5955 sacados/5955 Centres etrangers Juin 2013
On note U n la matrice colonne a n b n 1 Montrer que, pour tout entier naturel n : U n +1 = M · U n où M est une matrice carrée d’ordre 2 que l’on détermin-era. On admet alors que U n = M n · U 0 pour tout entier naturel n 1 . 2 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel n 1 : M n = 0 ; 6 + 0 ; 4 × 0 ; 5 n 0 ; 6 − 0 ; 6 × 0 ; 5 n 0 ; 4 − 0 ; 4 × 0 ; 5 n 0 ; 4 + 0 ; 6 × 0 ; 5 n On ne détaillera le calcul que pour le premier des coeffi-cients de la matrice M n . 3 Exprimer a n en fonction de n , pour tout entier naturel n 1 . 4 Avec ce modèle, peut-on dire qu’au bout d’un grand nom-bre d’années, le nombre d’oiseaux sur l’île A va se sta-biliser? Si oui, préciser vers quelle valeur. E.5957 Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie con-tagieuse, mais non mortelle a fait son apparition. Rapidement les scientifiques ont découvert qu’un individu pouvait être dans l’un des trois états suivants : S : ˇ l’individu est sain, c’est-à-dire non malade et non infecté ı, I : ˇ l’individu est porteur sain, c’est-à-dire non malade, mais infecté ı, M : ˇ l’individu est malade et infecté ı. Partie A Les scientifiques estiment qu’un seul individu est à l’origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population et que, d’une semaine à la suivante, un individu change d’état suivant le processus suivant : parmi les individus sains, la proportion de ceux qui de-viennent porteurs sains est égale à 1 3 et la proportion de ceux qui deviennent malades est égales à 1 3 . parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égales à 1 2 . La situation peut être représentée par un graphe probabiliste comme ci-contre. On note P n = s n i n m n la ma-trice ligne donnant l’état proba-biliste au bout de n semaines où s n , i n et m n désignent respective-ment la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain ou malade de la n -ième semaine. On a alors P 0 = 0 ; 99 0 0 ; 01 et pour tout entier naturel n , s n +1 = 1 3 s n i n +1 = 1 3 s n + 1 2 i n m n +1 = 1 3 s n + 1 2 i n + m n 1 Écrire la matrice A appelée matrice de transition , telle que pour tout entier naturel n : P n +1 = P n · A 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non-nul : P n = P 0 · A n 3 Déterminer l’état probabiliste P 4 au bout de quatre se-maines. On pourra arrondir les valeurs à 10 − 2 . Quelle est la probabilité qu’un individu soit sain au bout de quatre semaines? Partie B La maladie n’évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisque, au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d’enrayer l’endémie et trait-ent immédiatement l’ensemble de la population. L’évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition : B = 5 12 1 4 1 3 5 12 1 4 1 3 1 6 1 2 1 3 On note Q n la matrice ligne donnant l’état probabiliste au bout de n semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi : Q n = S n I n M n où S n , I n et M n désignent respectivement la probabilité que l’individu soit sain, porteur sain et malade la n -ième semaine après la vaccination. Pour tout entier naturel n , on a alors: Q n +1 = Q n · B D’après la partie A , Q 0 = P 4 . Pour la suite, on prend : Q 0 = 0 ; 01 0 ; 10 0 ; 89 où les coefficients ont été arrondis à 10 − 2 . 1 Exprimer S n +1 , I n +1 et M n +1 en fonction de S n , I n et M n . 2 Déterminer la constante réelle k telle que B 2 = k · J où J est la matrice carrée d’ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1 . On en déduit que pour tout entier n supérieur ou égal 2 : B n = B 2 3 a Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : Q n = 1 3 1 3 1 3 b Interpréter ce résultat en terme d’évolution de la mal-adie. Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5957 sacados/5957 Metropole Septembre 2013 IMS12131312113
3. Matrice de transition du type: X=AX+B E.5953 Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013 . En 2013 , les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d’abonnés. Pour tout entier naturel n , on note a n le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur A la n -ième année après 2013 , et b n le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur B la n -ième année après 2013 . Ainsi : a 0 =300 et b 0 =300 . Des observations, réalisées les années précédentes, conduisent à modéliser la situation par la relation suivante : a n +1 = 0 ; 7 a n + 0 ; 2 b n + 60 b n +1 = 0 ; 1 a n + 0 ; 6 b n + 70 , pour tout entier n ∈ N . On considère les matrices : M = 0 ; 7 0 ; 2 0 ; 1 0 ; 6 ; P = 60 70 . Pour tout entier naturel n , on note U n = a n b n 1 a Déterminer U 1 . b Vérifier que, pour tout entier naturel n : U n +1 = M × U n + P . 2 On note I la matrice 1 0 0 1 a Calculer: ( I − M ) × 4 2 1 3 . b En déduire que la matrice I − M est inversible et pré-ciser son inverse. c Déterminer la matrice telle que : U = M × U + P 3 Pour tout entier naturel, on pose : V n = U n − U . a Justifier que, pour tout entier naturel n : V n +1 = M × V n . b En déduire que, pour tout entier naturel n : V n = M n × V 0 4 On admet que, pour tout entier naturel n : V n = − 100 3 × 0 ; 8 n − 140 3 × 0 ; 5 n − 50 3 × 0 ; 8 n + 140 3 × 0 ; 5 n a Pour tout entier naturel n , exprimer U n en fonction de n et en déduire la limite de la suite a n . b Estimer le nombre d’abonnés de l’opérateur A à long terme. 4. Matrices et arithmétique E.5956 Partie A On considère la fonction f , extrait d’un algorithme, prenant pour argument un entier naturel A et revoyant en fin d’exécution la valeur de la variable X : Fonction f(A) X ← A Tant que X supérieur ou égal à 26 X ← X − 26 Fin Tant que Renvoyer X 1 Quelle est la valeur renvoyée par l’appel à la fonction f lorsque la valeur fournie en argument est le nombre 3 ? 2 Quelle est la valeur renvoyée par l’appel à la fonction f lorsque la valeur fournie en argument est le nombre 55 ? 3 Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat renvoyé par cette fonction? Partie B On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suiv-ante (détaillée en quatre étapes) : Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On obtient une matrice colonne x 1 y 2 où x 1 correspond à la première lettre du mot et x 2 correspond à la deux-ième lettre du mot. Étape 2 : x 1 y 1 est transformé en y 1 y 2 tel que : y 1 y 2 = 3 1 5 2 · x 1 x 2 La matrice C = 3 1 5 2 est appelée la matrice de codage. Étape 3 : y 1 y 2 est transformé en z 1 z 2 tel que : z 1 ≡ y 1 ( mod. 26) avec 0 z 1 25 z 2 ≡ y 2 ( mod. 26) avec 0 z 2 25 Étape 4 : z 1 z 2 est transformé en un bloc de deux let-tres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l’étape 1 Exemple: RE ↦−→ 17 4 ↦−→ 55 93 ↦−→ 3 15 ↦−→ DP https://chingmath.fr chapExoCorrec/5953 sacados/5953 Polynesie Juin 2013 chapExoCorrec/5956 sacados/5956 Antilles-Guyane Septembre 2013
Justifier le passage de 17 4 à 55 93 , puis, à 3 15 1 Soient x 1 , x 2 , x 1 , x 2 quatre nombres entiers compris en-tre 0 et 25 tels que x 1 x 2 et x 1 x 2 sont transformés lors du procédé de codage en z 1 z 2 . a Montrer que 3 x 1 + x 2 ≡ 3 x 1 + x 2 ( mod. 26) 5 x 1 + 2 x 2 ≡ 5 x 1 + 2 x 2 ( mod. 26) b En déduire x 1 ≡ x 1 ( mod. 26) et x 2 ≡ x 2 ( mod. 26) , puis que x 1 = x 1 et x 2 = x 2 . 2 On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP a Vérifier que la matrice C = 2 − 1 − 5 3 est la matrice inverse de C . b Calculer y 1 y 2 tels que : y 1 y 2 = 2 − 1 − 5 3 3 15 c Calculer x 1 x 2 tels que : x 1 ≡ y 1 ( mod. 26) avec 0 x 1 25 x 2 ≡ y 2 ( mod. 26) avec 0 x 2 25 d Quel procédé général de décodage peut-on conjec-turer? 3 Dans cette question, nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle z 1 et z 2 les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces let-tres à l’étape 3 . On cherche à trouver deux entiers x 1 et x 2 compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne z 1 z 2 par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient y 1 et y 2 tels que : y 1 y 2 = C · z 1 z 2 où C = 2 − 1 − 5 3 Soient x 1 et x 2 , les nombres entiers tels que : x 1 ≡ y 1 ( mod. 26) avec 0 x 1 25 x 2 ≡ y 2 ( mod. 26) avec 0 x 2 25 Montrer que : 3 x 1 + x 2 ≡ z 1 ( mod. 26) 5 x 1 + 2 x 2 ≡ z 2 ( mod. 26) Conclure. 4 Décoder QC . 5. Exercices non-classés E.6067 Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X , Y et Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel. On note : X n l’événement ˇ la marque X est utilisée le mois n ı ; Y n l’événement ˇ la marque Y est utilisée le mois n ı ; Z n l’événement ˇ la marque Z est utilisée le mois n ı ; Les probabilités des événements X n , Y n , Z n sont notées re-spectivement x n , y n , z n . La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition : Un acheteur de la marque X le mois n a le mois suivant : 50 % de chance de rester fidèle à cette marque. 40 % de chance d’acheter la marque Y . 10 % de chance d’acheter la marque Z . Un acheteur de la marque Y le mois n a le mois suivant : 30 % de chance de rester fidèle à cette marque ; 50 % de chance d’acheter la marque X ; 20 % de chance d’acheter la marque Z . Un acheteur de la marque Z le mois n a le mois suivant : 70 % de chance de rester fidèle à cette marque ; 10 % de chance d’acheter la marque X ; 20 % de chance d’acheter la marque Y . 1 a Exprimer x n +1 en fonction de x n , y n et z n . On admet que : y n +1 =0 ; 4 x n +0 ; 3 y n +0 ; 2 z n ; z n +1 =0 ; 1 x n +0 ; 2 y n +0 ; 7 z n b Exprimer z n en fonction de x n et y n . En déduire l’expression de x n +1 et y n +1 en fonction de x n et y n . 2 On définit la suite U n par U n = x n y n pour tout entier naturel n . On admet que, pour tout entier naturel n : U n +1 = A · U n + B où : A = 0 ; 4 0 ; 4 0 ; 2 0 ; 1 ; B = 0 ; 1 0 ; 2 Au début de l’étude statistique (mois de janvier 2014 : n =0 ) , on estime que : U 0 = 0 ; 5 0 ; 3 On considère la fonction f de l’algorithme suivant : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6067 sacados/6067
Fonction f(n) i ← 0 A ← 0;4 0;4 0;2 0;1 B ← 0;1 0;2 U ← 0;5 0;3 Tant que i<n U ← A · U+B i ← i+1 Fin de Tant que Renvoyer U a Donner les valeurs renvoyées par cette fonction lorsqu’elle est appelée avec les valeurs n =1 puis pour n =3 . b Quelle est la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril? Dans la suite de l’exercice, on cherche à déterminer une ex-pression de U n en fonction de n . On note I la matrice 1 0 0 1 et N la matrice I − A . 3 On désigne par C une matrice colonne à deux lignes. a Démontrer que C = A · C + B équivaut à N · C = B . b On admet que N est une matrice inversible et que : N − 1 = 45 23 20 23 10 23 30 23 En déduire que : C = 17 46 7 23 4 On note V n la matrice telle que V n = U n − C pour tout entier naturel n . a Montrer que, pour tout entier naturel n : V n +1 = A · V n b On admet que : U n = A n · U 0 − C + C . Quelles sont les probabilités d’utiliser les marques X , Y et Z au mois de mai? E.6253 Partie A : préliminaires 1 a Soient n et N deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 , tels que : n 2 ≡ N − 1 ( mod. N ) Montrer que : n × n 3 ≡ 1 ( mod. N ) b Déduire de la question précédente un entier k 1 tel que : 5 · k 1 ≡ 1 ( mod. 26) On admettra que l’unique entier k tel que : 0 k 25 ; 5 · k ≡ 1 ( mod. 26) vaut 21 . 2 On donne les matrices : A = 4 1 3 2 ; B = 2 − 1 − 3 4 ; X = x 1 x 2 ; Y = y 1 y 2 a Calculer la matrice: 6 A − A 2 . b En déduire que A est inversible et que sa matrice in-verse, notée A − 1 , peut s’écrire sous la forme : A − 1 = ¸ · I + ˛ · A où ¸ et ˛ sont deux réels que l’on déterminera. c Vérifier que : B =5 · A − 1 d Démontrer que si A · X = Y alors 5 · X = B · Y . Partie B: procédure de codage Coder le mot ˇ ET ı, en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous. Le mot à coder est remplacé par la matrice X = x 1 x 2 , où x 1 est l’entier représentant la première lettre du mot et x 2 l’entier représentant la deuxième selon le tableau de correspondance ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 La matrice X est transformée en la matrice y 1 y 2 telle que : Y = A · X . La matrice Y est transformée en la matrice R = r 1 r 2 , où r 1 est le reste de la division euclidienne de y 1 par 26 et r 2 le reste de la division euclidienne de y 2 par 26 . Les entiers r 1 et r 2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus. Exemple : ˇ Ou ı (mot à coder) X 14 20 Y = 76 82 R = 24 4 ˇ YE ı (mot codé) Partie C : procédure de décodage (on conserve les mêmes notations que pour le codage) Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y = y 1 y 2 telle que : Y = A · X 1 Démontrer que : 5 · x 1 = 2 · y 1 − y 2 5 · x 2 = − 3 · y 1 + 4 · y 2 2 En utilisant la question 1 b de la partie A , établir https://chingmath.fr chapExoCorrec/6253 sacados/6253
que : x 1 ≡ 16 · y 1 + 5 · y 2 ( mod. 26) x 2 ≡ 15 · y 1 + 6 · y 2 ( mod. 26) 3 Décoder le mot ˇ QP ı. E.6938 Partie A On considère les matrices M de la forme M = a b 5 3 où a et b sont des nombres entiers. L’entier 3 a − 5 b est appelé le déterminant de M . On le note det( M ) . Ainsi : det( M )=3 a − 5 b 1 Dans cette question, on suppose que det( M ) =0 et on pose : N = 1 det( M ) · 3 − b − 5 a . Justifier que N est l’inverse de M . 2 On considère l’équation ( E ) : det( M )=3 On souhaite déterminer tous les couples d’entiers ( a ; b ) , solutions de l’équation ( E ) . a Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de ( E ) . b Montrer que le couple d’entiers ( a ; b ) est solution de ( E ) si, et seulement si, 3 · ( a − 6)=5 · ( b − 3) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation ( E ) . Partie B 1 On pose : Q = 6 3 5 3 En utilisant la partie A , déterminer la matrice inverse de Q . 2 Codage avec la matrice Q Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q = 6 3 5 3 , on utilise la procédure ci-après : Étape 1: On associe au mot la matrice X = x 1 x 2 où x 1 est l’entier correspondant à la première lettre du mot et x 2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Étape 2: La matrice X est transformée en la matrice Y = y 1 y 2 telle que Y = Q · X . Étape 3: La matrice Y est transformée en la matrice R = r 1 r 2 telle que r 1 est le reste de la division eucli-dienne de y 1 par 26 et r 2 est le reste de la division euclidienne de y 2 par 26 . Étape 4 : À la matrice R = r 1 r 2 , on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1. Exemple: Le mot JE est codé en le mot OE . JE ↦→ X = 9 4 ↦→ Y = 66 57 ↦→ R = 14 5 ↦→ OF Coder le mot DO . 3 Procédure de décodage On conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = Q · X . a Démontrer que 3 X =3 · Q − 1 · Y , puis, que : 3 · x 1 ≡ 3 · r 1 − 3 · r 2 ( mod. 26) 3 · x 2 ≡ − 5 · r 1 + 6 · r 2 ( mod. 26) b En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 ( mod. 26) , montrer que : x 1 ≡ r 1 − r 2 ( mod. 26) x 2 ≡ 7 · r 1 + 2 · r 2 ( mod. 26) c Décoder le mot SG . E.6940 On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l’urne U contient deux boules blanches et l’urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la met-tre dans l’autre urne. Pour tout entier naturel n non nul, on note X n la variable aléa-toire égale au nombre de boules blanches que contient l’urne U à la fin du n -ième tirage. 1 a Traduire par une phrase la probabilité : P ( X n =1) X n +1 =1 puis déterminer les probabilités conditionnelles suiv-antes : P ( X n =0) X n +1 =1 ; P ( X n =1) X n +1 =1 ; P ( X n =2) X n +1 =1 b Exprimer P X n +1 =1 en fonction de P X n =0 , P X n =1 et P X n =2 . 2 Pour tout entier naturel n non nul, on note R n la matrice ligne définie par : R n = P X n =0 P X n =1 P X n =2 et on considère M la matrice: 0 1 0 1 4 1 2 1 4 0 1 0 On note R 0 la matrice ligne 0 0 1 . On admettra par la suite que, pour tout n ∈ N : R n +1 = R n · M Déterminer R 1 et justifier que, pour tout n ∈ N : R n = R 0 · M n . 3 On admet que M = P · D · P − 1 avec : P = 1 6 · 2 3 1 − 1 0 1 2 − 3 1 ; D = − 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 P − 1 = 1 − 2 1 1 0 − 1 1 4 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6938 sacados/6938 chapExoCorrec/6940 sacados/6940
Établir que, pour tout n ∈ N : M n = P · D n · P − 1 . On admettra que, pour tout entier naturel : D n = − 1 2 n 0 0 0 0 0 0 0 1 4 a Calculer D n · P − 1 en fonction de n . b Sachant que R 0 · P = 1 3 − 1 2 1 6 , déterminer les co-efficients de R n en fonction de n . 5 Déterminer : lim n ↦→ + ∞ P X n =0 , lim n ↦→ + ∞ P X n =1 et lim n ↦→ + ∞ P X n =2 . Interpréter ces résultats. E.6942 Le but de cet exercice est d’étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffre-ment repose sur la donnée d’une matrice A , connue unique-ment de l’émetteur et du destinataire. Dans tout l’exercice, on note A la matrice définie par : A = 5 2 7 7 Partie A - Chiffrement de Hill Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot com-portant un nombre pair de lettres : Étape 1: On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes. Étape 2: On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers x 1 et x 2 tous deux compris entre 0 et 25 , qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Étape 3: On transforme la matrice X = x 1 x 2 en la matrice Y = y 1 y 2 vérifiant Y = A · X . Étape 4: On transforme la matrice Y = y 1 y 2 en la matrice R = r 1 r 2 , où r 1 est le reste de la division euclidienne de y 1 par 26 et r 2 celui de la division euclidienne de y 2 par 26 . Étape 5: On associe aux entiers r 1 et r 2 les deux lettres correspon-dantes du tableau de l’étape 2 . Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres. Question: utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot ˇ HILL ı. Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement 1 Soit a un entier relatif premier avec 26 . Démontrer qu’il existe un entier relatif u tel que : u × a ≡ 1 ( mod. 26) . 2 On considère la fonction f d’un algorithme prenant pour argument un entier naturel a premier avec 26 . Fonction f(a) u ← 0 r ← 0 Tant que r = 1 u ← u+1 r ← reste de la division euclidienne de u × a par 26 Fin du Tant que Renvoyer u On appelle la fonction f avec la valeur du paramètre a=21 . a Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, avec les différentes valeurs prises par les variables u et v lors de l’appel à la fonction f . u 0 1 2 · · · r 0 21 · · · · · · b En déduire que : 5 × 21 ≡ 1 ( mod. 26) . 3 On rappelle que A est la matrice A = 5 2 7 7 et on note I la matrice: I = 1 0 0 1 a Calculer la matrice: 12 · A − A 2 . b En déduire la matrice B telle que : B · A =21 · I c Démontrer que si A · X = Y alors 21 · X = B · Y . Partie C - Déchiffrement On veut déchiffrer le mot V LUP . On note X = x 1 x 2 la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres avant chiffrement, et Y = y 1 y 2 la matrice définie par l’égalité: Y = A · X = 5 2 7 7 · X Si r 1 et r 2 sont les restes respectifs de y 1 et y 2 dans la division euclidienne par 26 , le bloc de deux lettres après chiffrement est associé à la matrice R = r 1 r 2 . 1 Démontrer que : 21 · x 1 = 7 · y 1 − 2 · y 2 21 · x 2 = − 7 · y 1 + 5 · y 2 2 En utilisant la question B 2 , établir que : x 1 ≡ 9 · r 1 + 16 · r 2 ( mod. 26) x 2 ≡ 17 · r 1 + 25 · r 2 ( mod. 26) 3 Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices 21 11 et 20 15 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6942 sacados/6942
E.6948 Un fumeur décide d’arrêter de fumer. On choisit d’utiliser la modélisation suivante : s’il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0 ; 9 ; s’il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0 ; 6 . On appelle p n la probabilité de ne pas fumer le n -ième jour après sa décision d’arrêter de fumer et q n , la probabilité de fumer le n -ième jour après sa décision d’arrêter de fumer. On suppose que p 0 =0 et q 0 =1 . 1 Calculer p 1 et q 1 . 2 On utilise un tableur pour automatiser le calcul des ter-mes successifs des suites p n et q n . Une copie d’écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : A B C D 1 n p n q n 2 0 0 1 1 3 1 4 2 5 3 Dans la colonne A figurent les valeurs de l’entier naturel n . Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu’en les recopiant vers le bas, on obtienne re-spectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites p n et q n ? 3 On définit les matrices M et, pour tout entier naturel n , X n par : M = 0 ; 9 0 ; 4 0 ; 1 0 ; 6 et X n = p n q n . On admet que X n +1 = M · X n et que, pour tout entier naturel n , X n = M n · X 0 On définit les matrices A et B par : A = 0 ; 8 0 ; 8 0 ; 2 0 ; 2 et B = 0 ; 2 − 0 ; 8 − 0 ; 2 0 ; 8 a Démontrer que : M = A +0 ; 5 · B b Vérifier que A 2 = A et que : A · B = B · A = 0 0 0 0 . On admet dans la suite que, pour tout entier naturel n strictement positif : A n = A ; B n = B . c Démontrer que, pour tout entier naturel : M n = A + 0 ; 5 n · B d En déduire, que pour tout entier naturel n : p n = 0 ; 8 − 0 ; 8 × 0 ; 5 n e À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer? E.6949 On donne les matrices : M = 1 1 1 1 − 1 1 4 2 1 ; I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Partie A. 1 Déterminer la matrice M 2 . On donne : M 3 = 20 10 11 12 2 9 42 20 21 2 Vérifier que : M 3 = M 2 +8 · M +6 · I 3 En déduire que M est inversible et que : M − 1 = 1 6 · M 2 − M − 8 · I . Partie B: Étude d’un cas particulier. On cherche à déterminer trois nombres entiers a , b et c tels que la parabole d’équation y = a · x 2 + b · x + c passe par les points : A (1 ; 1) ; B ( − 1 ; − 1) ; C (2 ; 5) 1 Démontrer que le problème à chercher trois entiers a , b et c tels que : M · a b c = 1 − 1 5 2 Calculer les nombres a , b et c et vérifier que ces nombres sont des entiers. Partie C : Retour au cas général. Les nombres a , b , c , p , q , r sont des entiers. Dans un repère O ; −→ i ; −→ j , on considère les points A (1 ; p ) , B ( − 1 ; q ) et C (2 ; r ) . On cherche les valeurs de p , q et r pour qu’il existe une parabole d’équation : y = a · x 2 + b · x + c passant par A , B et C . 1 Démontrer que si a b c = M − 1 · p q r avec a , b et c entiers, alors: − 3 p + q + 2 r ≡ 0 ( mod. 6) 3 p − 3 q ≡ 0 ( mod. 6) 6 p + 2 q − 2 r ≡ 0 ( mod. 6) 2 En déduire que : q − r ≡ 0 ( mod. 3) p − q ≡ 0 ( mod. 2) 3 Réciproquement, on admet que si : q − r ≡ 0 ( mod. 3) p − q ≡ 0 ( mod. 2) A , B , C ne sont pas alignés alors il existe trois entiers a , b et c tels que la parabole d’équations : y = a · x 2 + b · x + c passe par les points A , B et C . a Montrer que les points A , B et C sont alignés si, et seulement si : 2 · r + q − 3 · p =0 . b On choisit p =7 . Déterminer des entiers q , r , a , b et c tels que la parabole d’équation y = a · x 2 + b · x + c passe par les points A , B et C . E.8146 Asie Juin 2018 E.8150 Nouvelle-Calédonie novembre 2018 5 points https://chingmath.fr chapExoCorrec/6948 sacados/6948 Liban Mai 2015 chapExoCorrec/6949 sacados/6949 sacados/8146 Asie Juin 2018 Asie sacados/8150