Terminale Option Experte / Annales sur les nombres complexes 41 exercices corrigés

a
1. Algèbre E.3190 Partie A. Restitution organisée de connaissances Prérequis: On rappelle les deux résultats suivants : Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante : | z | = r arg z = „ à 2 ı près ⇐⇒ z = r cos „ + i sin „ r > 0 Pour tous nombres réels a et b : cos a + b = cos a cos b − sin a sin b sin a + b = sin a cos b + sin b cos a Soient z 1 et z 2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : | z 1 z 2 | = | z 1 | · | z 2 | ; arg( z 1 · z 2 )=arg( z 1 )+arg( z 2 ) à 2 ı près. Partie B Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point. On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et z désigne le module de z : 1 Si z = − 1 2 + 1 2 · i , alors z 4 est un nombre réel. 2 Si z + z =0 , alors z =0 . 3 Si z + 1 z =0 , alors z =i ou z = − i . 4 Si | z | =1 et si | z + z | =1 , alors z =0 . E.6260 On désigne par ( E ) l’équation z 4 +4 z 2 +16=0 d’inconnue com-plexe z . 1 Résoudre dans C l’équation Z 2 +4 · Z +16=0 . écrire les solutions de cette équation sous une forme ex-ponentielle. 2 On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à ı 3 . Calculer a 2 sous forme algébrique. En déduire les solutions dans C de l’équation: z 2 = − 2 + 2 · i · √ 3 . On écrira les solutions sous forme algébrique. 3 Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x +i · y où x ∈ R et y ∈ R , le conjugué de z est le nombre complexe z défini par z = x − i · y . Démontrer que : Pour tous nombres complexes z 1 et z 2 , z 1 · z 2 = z 1 · z 2 . Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n : z n = z n . 4 Démontrer que si z est une solution de l’équation ( E ) alors son conjugué z est également une solution de ( E ) . En déduire les solutions dans C de l’équation ( E ) . On admettra que ( E ) admet au plus quatre solutions. E.3122 Le plan ( P ) est muni du repère orthonormé direct O ; I ; J (unité graphique: 2 cm ) . À tout point M du plan ( P ) est associé le nombre complexe z , affixe du point M . 1 a Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes : z 1 = − 1 ; z 2 = 1 − i 3 2 ; z 3 = − 1 − i 3 . b Déterminer le module et un argument de chacun des cubes z 1 3 , z 2 3 , z 3 3 des nombres complexes ci-dessus, puis la partie réelle et la partie imaginaire de z 1 3 , de z 2 3 , de z 3 3 . 2 a Si z = x +i · y = · e iθ est un nombre complexe (avec y et „ réels et réel supérieur à zéro) , déterminer la par-tie réelle et la partie imaginaire de z 3 en fonction de x et de y , puis le module et un argument de z 3 en fonction de et „ . b Déterminer l’ensemble ( E ) des points M d’affixe z car-actérisé par : z 3 est un nombre réel. c Déterminer et tracer l’ensemble ( E ) des points M d’affixe z , caractérisé par : z 3 est un nombre réel et 1 z 3 8 . E.5949 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On note C l’ensemble des nombres complexes. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1 Proposition: Pour tout entier naturel n : (1 + i) 4 n = ( − 4) n 2 Soit ( E ) l’équation ( z − 4)( z 2 − 4 z +8)=0 où z désigne un nombre complexe. Proposition: Les points dont les affixes sont les solu-tions, dans C , de ( E ) sont les sommets d’un triangle d’aire 8 . 3 Proposition: Pour tout nombre réel ¸ : 1+e 2i α =2 · e i α · cos( ¸ ) . 4 Soit A le point d’affixe z A = 1 2 · 1+i et M n le point d’affixe ( z A ) n où n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Proposition: si n − 1 est divisible par 4 , alors les points O , A et M n sont alignés. 5 Soit j le nombre complexe de module 1 et d’argument 2 ı 3 . Proposition: 1+ j + j 2 =0 2. Géométrie sans les propriétés de l’argument https://chingmath.fr chapExoCorrec/3190 sacados/3190 chapExoCorrec/6260 sacados/6260 chapExoCorrec/3122 sacados/3122 chapExoCorrec/5949 sacados/5949
E.5430 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On note i le nombre complexe tel que : i 2 = − 1 . Soit A le point d’affixe z A =1 et B le point d’affixe z B =i . À tout point M d’affixe z M = x +i y , avec x et y deux réels tels que y =0 , on associe le point M d’affixe : z M = − i · z M On désigne par I le milieu du segment [ AM ] . Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartient pas à ( OA ) , la médiane ( OI ) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM (propriété 1 ) et que BM =2 · OI (propriété 2) . 1 Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend : z M =2 · e − i π 3 . a Déterminer la forme algébrique de z M . b Montrer que z M = − 3 − i . Déterminer le module et un argument de z M . c Placer les points A , B , M , M et I dans le repère O ; −→ u ; −→ v en prenant 2 cm pour unité graphique. Tracer la droite ( OI ) et vérifier rapidement les pro-priétés 1 et 2 à l’aide du graphique. 2 On revient au cas général en prenant z M = x +i y avec y =0 . a Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y . b Déterminer l’affixe du point M en fonction de x et y . c Écrire les coordonnées des points I , B et M . d Montrer que la droite ( OI ) est une hauteur du triangle OBM . e Montrer que : BM = 2 · OI . E.6262 On note C l’ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v . On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe. Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions. On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z as-socie: f ( z ) = z 2 + 2 · z + 9 1 Calculer l’image de − 1+i · 3 . 2 Résoudre dans C l’équation: f ( z )=5 . Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l’affixe est solution de l’équation ( A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive) . On laissera les traits de construction apparents. 3 Soit – un nombre réel. On considère l’équation f ( z )= – d’inconnue z . Déterminer l’ensemble des valeurs de – pour lesquelles l’équation f ( z )= – admet deux solutions complexes con-juguées. 4 Soit ( F ) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie: | f ( z ) − 8 | =3 Prouver que ( F ) est le cercle de centre Ω( − 1 ; 0) et de rayon 3 . Tracer ( F ) sur le graphique. 5 Soit z un nombre complexe, tel que z = x +i · y où x et y sont des nombres réels. a Montrer que la forme algébrique de f ( z ) est : x 2 − y 2 + 2 · x + 9 + i · 2 · x · y + 2 · y . b On note ( E ) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z est telle que f ( z ) soit un nombre réel. Montrer que ( E ) est la réunion de deux droites D 1 et D 2 dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces droites. 6 Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles ( E ) et ( F ) . E.6778 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère le point A d’affixe 4 , le point d’affixe 4 · i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O . Pour tout entier naturel non-nul n , on appelle M n le point d’affixe : z n = 1 + i n . 1 Écrire le nombre 1+i sous forme exponentielle. 2 Montrer qu’il existe un entier naturel n 0 , que l’on précis-era, tel que, pour tout entier n n 0 , le point M n est à l’extérieur du carré ABCD . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5430 sacados/5430 chapExoCorrec/6262 sacados/6262 Antilles-Guyanne Septembre 2014 chapExoCorrec/6778 sacados/6778
E.6779 On munit le plan complexe d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On note C l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que : ⏐ ⏐ z − 2 ⏐ ⏐ =1 1 Justifier que C est un cercle, dont on précisera le centre et le rayon. 2 Soit a un nombre réel. On appelle D la droite d’équation y = a · x . Déterminer le nombre de points d’intersection entre C et D en fonction des valeurs de a . E.3131 Dans le plan complexe muni du repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v , on considère les points M et M d’affixes respectives z et z . On pose : z = x + i · y z = x + i · y où x , x , y , y sont des nombres réels. On rappelle que z désigne le conjugué de z et que | z | désigne le module de z . 1 Montrer que les vecteurs −−→ OM et −−−→ OM sont orthogonaux si, et seulement si, Re ( z · z )=0 . 2 Montrer que les points O , M et M sont alignés si, et seulement si, Im ( z · z )=0 . Applications 3 N est le point d’affixe z 2 − 1 . Quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs −−→ OM et −−→ ON soient orthog-onaux? 4 On suppose z non nul. P est le point d’affixe 1 z 2 − 1 . On recherche l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points O , N et P soient alignés. a Montrer que : 1 z 2 − 1 z 2 − 1 = − z 2 · ⏐ ⏐ ⏐ 1 z 2 − 1 ⏐ ⏐ ⏐ 2 . b En utilisant l’équivalence démontrée au début de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché. E.6777 Le plan est muni du repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On donne le nombre complexe: j = − 1 2 +i · 3 2 Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux. Partie A : propriétés du nombre j 1 a Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation: z 2 + z + 1 = 0 b Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation. 2 Déterminer le module et un argument du nombre com-plexe j , puis donner sa forme exponentielle. 3 Démontrer les égalités suivantes : a j 3 = 1 b j 2 = − 1 − j 4 On note P , Q , R les images respectives des nombres com-plexes 1 , j et j 2 dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse. Partie B Soit a , b , c trois nombres complexes vérifiant l’égalité: a + j · b + j 2 · c = 0 On nota A , B , C les images respectives des nombres a , b , c dans le plan. 1 En utilisant la question A 3 b , démontrer l’égalité: a − c = j · c − b 2 En déduire que : AC = BC 3 Démontrer l’égalité: a − b = j 2 · b − c 4 En déduire que le triangle ABC est équilatéral. 3. Géométrie avec argument E.3157 Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justi-fication n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0 ; 5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v 1 Le point M est situé sur le cercle de centre A ( − 2 ; 5) et de rayon 3 . Son affixe z vérifie: a ⏐ ⏐ z − 2 + 5 · i ⏐ ⏐ 2 = 3 ; b ⏐ ⏐ z + 2 − 5 · i ⏐ ⏐ 2 = 3 ; c ⏐ ⏐ z − 2 + 5 · i ⏐ ⏐ 2 = 3 . 2 On considère trois points A , B et C d’affixes respectives a , b et c , deux à deux distincts et tels que le triangle ABC ne soit pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres complexes z − b c − a et z − c b − a sont imaginaires purs. a M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ; b M appartient aux cercles de diamètres respectifs [ AC ] et [ AB ] ; c M est l’orthocentre du triangle ABC . 3 Soit A et B les points d’affixes respectives 1+i et 5+4 · i , et C un point du cercle de diamètre [ AB ] . On appelle G l’isobarycentre des points A , B et C et on note z G son affixe. a ⏐ ⏐ z G − 3 − 2 ; 5 · i ⏐ ⏐ = 5 6 ; b z G − 1 + i = 1 3 · 4 + 3 · i ; https://chingmath.fr chapExoCorrec/6779 sacados/6779 Antilles-Guyane Juin 2016 chapExoCorrec/3131 sacados/3131 France Septembre 2006 5 points chapExoCorrec/6777 sacados/6777 Asie Juin 2015 chapExoCorrec/3157 sacados/3157
c z G − 3 + 2 ; 5 · i = 1 3 · 4 + 3 · i E.3852 Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0 ; 5 point ; une réponse inexacte enlève 0 ; 25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Sit le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O . 1 Une solution de l’équation 2 · z + z =9+i est : a 3 b i c 3 + i 2 Soit z un nombre complexe; | z +i | est égal à: a | z | + 1 b | z − 1 | c | i · z + 1 | 3 Soit z un nombre complexe non nul d’argument „ . Un argument de − 1+i · 3 z est : a − ı 3 + „ b 2 ı 3 + „ c 2 ı 3 − „ 4 Soit n un entier naturel. Le complexe 3+i n est un imaginaire pur si, et seulement si : a n = 3 b n = 6 · k + 3 , avec k relatif c n = 6 k avec k relatif 5 Soit A et B deux points d’affixe respective i et − 1 . L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant | z − i | = | z +1 | est : a La droite ( AB ) b Le cercle de diamètre [ AB ] c La droite perpendiculaire à ( AB ) passant par O . 6 Soit Ω le point d’affixe 1 − i . L’ensemble des points M d’affixe z = x +i · y vérifiant | z − 1+i | = | 3 − 4 · i | a pour équa-tion : a y = − x + 1 b ( x − 1) 2 + y 2 = 5 c z = 1 − i + 5 · e i · θ 7 Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3 · i . L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec −−→ AB ; −→ AC = ı 2 est : a 1 − 4 · i b − 3 · i c 7 + 4 · i 8 L’ensemble des solutions dans C de l’équation z − 2 z − 1 = z est : a 1 − i b L’ensemble vide. c 1 − i ; 1+i E.5964 Le plan est rapporté au repère or-thonormé O ; −→ u ; −→ v . À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M d’affixe z par l’application f qui admet pour écriture complexe: z = (3 + 4i) · z + 5 · z 6 1 On considère les points A , B , C d’affixes respectives : z A = 1 + 2i ; z B = 1 ; z C = 3i Déterminer les affixes des points A , B , C images re-spectives de A , B , C par f . Placer les points A , B , C , A , B , C . 2 On pose z = x +i · y (avec x et y réels) . Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction de x et y . 3 Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite ( D ) d’équation y = 1 2 x . Tracer ( D ) . Quelle remarque peut-on faire? 4 Soit M un point quelconque du plan et M son image par f . Montrer que M appartient à la droite ( D ) . 5 a Montrer que, pour tout nombre complexe z : z − z z A = z + z 6 + i · z − z 3 En déduire que le nombre z − z z A est un réel. b En déduire que, si M = M , les droites ( OA ) et ( MM ) sont parallèles. 6 Un point quelconque N étant donné, comment constru-ire son image N ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à ( D ) ) . Effectuer la construction sur la figure. E.6085 Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Soit A (1 ; 0) et B ( − 1 ; 0) . À tout point M d’affixe z =0 , on associe le point M d’affixe z défini par : z × z =1 1 a Construire M quand : z =2(1+i) b Dans le cas général, monter que la droite ( AB ) est bis-sectrice de l’angle −−→ OM ; −−−→ OM et que : OM × OM = OA 2 . 2 a Vérifier que : ∀ z ∈ C ∗ , z + z 2 − 1 z + z 2 + 1 = z − z 2 2 b Soit I le milieu de [ MM ] . En utilisant a montrer que : IA × IB = IM 2 et que pour M = A et M = B la droite ( MM ) est bis-sectrice de l’angle −→ IA ; −→ IB https://chingmath.fr chapExoCorrec/3852 sacados/3852 Nouvelle Caledonie Novembre 2007 4 points chapExoCorrec/5964 sacados/5964 chapExoCorrec/6085 sacados/6085 Caen Juin 1987
E.3857 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct d’unité graphique : 4 cm . On considère le point A d’affixe z A =2+i et le cercle (Γ) de centre A et de rayon 2 . 1 Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice. 2 a Déterminer les affixes des points d’intersection de (Γ) et de l’axe O ; −→ u . b On désigne par B et C les points d’affixes respectives z B =1 et z C =3 . Déterminer l’affixe z D du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ) . 3 Soit M le point d’affixe 3 5 + 6 5 · i a Calculer le nombre complexe: z D − z M z B − z M . b Interpréter géométriquement l’argument du nombre z D − z M z B − z M ; en déduire que le point M appartient au cer-cle (Γ) . 4 On note (Γ ) le cercle de diamètre [ AB ] . La droite ( BM ) recoupe le cercle (Γ ) en un point N . a Montrer que les droites ( DM ) et ( AN ) sont parallèles. b Déterminer l’affixe du point N . 5 On désigne par M l’image du nombre complexe z véri-fiant la relation: z − z B z M − z B = − i a Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe z . b Quelle est la nature du triangle MM B ? c Montrer que le point M appartient au cercle (Γ ) . 4. Suites de complexes E.6045 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v . Pour tout entier naturel n , on note A n le point d’affixe z n défini par : z 0 = 1 ; z n +1 = 3 4 + √ 3 4 · i · z n pour tout n ∈ N On définit la suite r n par : r n = | z n | pour tout entier naturel n . 1 Donner la forme exponentielle du nombre complexe: 3 4 + √ 3 4 · i . 2 a Montrer que r n est géométrique de raison √ 3 2 . b En déduire l’expression de r n en fonction de n . c Que dire de la longueur OA n lorsque n tend vers + ∞ ? 3 On considère la fonction f d’un algorithme suivant : Fonction f(p) r ← 1 n ← 0 Tant que r>p n ← n+1 r ← √ 3 2 R Fin Tant que Renvoyer n a Quelle est la valeur renvoyée par l’appel à la fonction f avec la valeur 0 ; 5 pour l’argument p ? b Pour p =0 ; 01 , on obtient n =33 . Quel est le rôle de cette fonction? 4 a Démontrer que le triangle OA n A n +1 est rectangle en A n +1 . b On admet que : z n = r n · e i · nπ 6 Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A n est un point de l’axe des ordonnées. c Compléter la figure donnée ci-dessous en représentant les points A 6 , A 7 , A 8 et A 9 . Les traits de construction seront apparents. E.6900 On considère les nombres com-plexes z n définis pour tout entier n 0 par la donnée de z 0 , où z 0 est différent de 0 et de 1 , et la relation de récurrence : z n +1 = 1 − 1 z n 1 a Dans cette question, on suppose que z 0 =2 . Déter-miner les nombres z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 et z 6 . b Dans cette question, on suppose que z 0 =i . Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 et z 6 . c Dans cette question, on revient au cas général où z 0 est un nombre complexe donné. Que peut-on conjec-turer pour les valeurs prises par z 3 n selon les valeurs de l’entier naturel n ? Prouver cette conjecture. 2 Déterminer z 2016 dans le cas où z 0 =1+i . 3 Existe-t-il des valeurs de z 0 tel que z 0 = z 1 ? Que peut-on dire de la suite z n dans ce cas? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3857 sacados/3857 Amerique du Nord Mai 2008 5 points chapExoCorrec/6045 sacados/6045 A1A2A3A4A5A0O chapExoCorrec/6900 sacados/6900
E.6904 On considère la suite z n de nom-bres complexes définie pour tout entier naturel n par : z 0 = 0 z n +1 = 1 2 · i × z n + 5 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note M n le point d’affixe z n . On considère le nombre complexe z A =4+2 · i et A le point du plan d’affixe z A . 1 Soit u n la suite définie pour tout entier naturel n par : u n = z n − z A . a Montrer que, pour tout entier naturel n : u n +1 = 1 2 · i × u n b Démontrer que, pour tout entier naturel n : u n = 1 2 · i n · − 4 − 2 · i 2 Démontrer que, pour tout entier naturel n , les points A , M n et M n +4 sont alignés. E.5948 On considère la suite z n à ter-mes complexes définie par z 0 =1+i et, pour tout entier naturel n , par : z n +1 = z n + | z n | 3 Pour tout entier naturel n , on pose : z n = a n +i · b n , où a n est la partie réelle de z n et b n est la partie imaginaire de z n . Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites ( a n ) et ( b n ) . Partie A 1 Donner a 0 et b 0 . 2 Calculer z 1 , puis en déduire que : a 1 = 1+ 2 3 ; b 1 = 1 3 . 3 On considère la fonction f ci-dessous, extrait d’un algo-rithme, dont l’argument n est un entier naturel non-nul : Fonction f(n) A ← 1 B ← 1 Pour K variant 1 à n A ← A + A 2 + B 2 3 B ← B 3 Fin Pour Renvoyer A a On appelle cette fonction avec la valeur 2 pour l’argument n . Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’appel à cette fonction (on arrondira les valeurs cal-culées à 10 − 4 près) . K A B 1 2 b Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur renvoyée par la fonction f par rapport à la situation étudiée dans cet exercice? Partie B 1 Pour tout entier naturel n , exprimer z n +1 en fonction de a n et b n . En déduire l’expression de a n +1 en fonction de a n et b n , et l’expression de b n +1 en fonction de a n et b n . 2 Quelle est la nature de la suite b n ) ? En déduire l’expression de b n en fonction de n , et déterminer la lim-ite de ( b n ) . 3 a On rappelle que pour tous nombres complexes z et z : | z + z | | z | + | z | (inégalité triangulaire) . Montrer que pour tout entier naturel n : | z n +1 | 2 | z n | 3 b Pour tout entier naturel n , on pose u n = | z n | Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u n 2 3 n · 2 En déduire que la suite u n converge vers une limite que l’on déterminera. c Montrer que, pour tout entier naturel n , | a n | u n . En déduire que la suite a n converge vers une limite que l’on déterminera. E.3170 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On prendra pour unité graphique 5 cm . On pose z 0 =2 et, pour tout entier naturel n , z n +1 = 1+i 2 z n . On note A n le point du plan d’affixe z n . 1 Calculer z 1 , z 2 , z 3 , z 4 et vérifier que z 4 est un nombre réel. Placer les points A 0 , A 1 , A 2 , A 3 et A 4 sur une figure. 2 Pour tout entier naturel n , on pose : u n = | z n | . Justifier que la suite ( u n ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n : u n = 2 · 1 2 n 3 À partir de quel rang n 0 tous les points A n appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0 ; 1 ? 4 a Établir que, pour tout entier naturel n : z n +1 − z n z n +1 = i . En déduire la nature du triangle OA n A n +1 . b Pour tout entier naturel n , on note ‘ n la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A 2 : : : A n − 1 A n . On a ainsi : ‘ n = A 0 A 1 + A 1 A 2 + · · · + A n − 1 A n . Exprimer ‘ n , en fonction de n . Quelle est la limite de la suite ( ‘ n ) ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6904 sacados/6904 Liban Mai 2016 3 points chapExoCorrec/5948 sacados/5948 chapExoCorrec/3170 sacados/3170
E.6255 On définit, pour tout entier naturel n , les nombres complexes z par : z 0 = 16 z n +1 = 1 + i 2 · z n pour tout entier naturel n . On note r n le module du nombre complexe z n : r n = | z n | . Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O , on considère les points A n d’affixes z n . 1 a Calculer z 1 , z 2 et z 3 . b Placer les points A 1 et A 2 sur le graphique donné ci-dessous. c Écrire le nombre complexe 1+i 2 sous forme trigono-métrique. d Démontrer que le triangle OA 0 A 1 est isocèle rectangle en A 1 . 2 Démontrer que la suite r n est géométrique de raison √ 2 2 . La suite r n est-elle convergente? Interpréter géométriquement le résultat précédent. On note I n la longueur de la ligne brisée qui relie le point A 0 au point A n en passant successivement par les points A 1 , A 2 , A 3 . . . Ainsi : L n = n − 1 i =0 A i A i +1 = A 0 A 1 + A 1 A 2 + · · · + A n − 1 A n 3 a Démontrer que pour tout entier naturel n : A n A n +1 = r n +1 b Donner une expression de L n en fonction de n . c Déterminer la limite éventuelle de la suite L n . E.6349 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l’équation: ( E ) : z 2 − 2 · z · 3 + 4 = 0 1 Résoudre l’équation ( E ) dans l’ensemble C des nombres complexes. 2 On considère la suite M n des points d’affixes définie pour n 1 par : z n = 2 n · e i · ( − 1) n · π 6 . a Vérifier que z 1 est une solution de ( E ) . b Écrire z 2 et z 3 sous forme algébrique. c Placer les points M 1 , M 2 , M 3 et M 4 sur la figure don-née ci-dessous et tracer les segments [ M 1 M 2 ] , [ M 2 M 3 ] et [ M 3 M 4 ] . 3 Montrer que, pour tout entier n 1 : z n = 2 n · 3 2 + ( − 1) n · i 2 . 4 Calculer les longueurs M 1 M 2 et M 2 M 3 . Pour la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entier n 1 : M n M n +1 = 2 n · 3 . 5 On note ‘ n = M 1 M 2 + M 2 M 3 + · · · + M n M n +1 . a Montrer que, pour tout entier naturel n 1 : ‘ n = 2 3 · 2 n − 1 . b Déterminer le plus petit entier n tel que : ‘ n 1000 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6255 sacados/6255 -4-20246810121416-22468A0A3A4A5A6 chapExoCorrec/6349 sacados/6349 0246810121416-8-6-4-22468
E.6937 On considère les nombres com-plexes z n définis, pour tout entier naturel n , par : z 0 =1 ; z n +1 = 1 + i · √ 3 3 · z n On note A n le point d’affixe z n dans le repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé donné ci-dessous : L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points A n . 1 a Vérifier que : 1+i · 3 3 = 2 3 · e i π 6 b En déduire z 1 et z 2 sous forme exponentielle. 2 a Montrer que pour tout entier naturel n : z n = 2 3 n · e i · n · π 6 b Pour quelles valeurs de n , les points O , A 0 et A n sont-ils alignés? 3 Pour tout entier naturel n , on pose : d n = ⏐ ⏐ z n +1 − z n ⏐ ⏐ . a Interpréter géométriquement d n . b Calculer d 0 . c Montrer que pour tout entier naturel n non nul : z n +2 − z n +1 = 1 + i · 3 3 · z n +1 − z n . d En déduire que la suite d n est géométrique puis, que pour tout entier naturel n : d n = 3 3 · 2 3 n 4 a Montrer que pour tout entier naturel n : ⏐ ⏐ z n +1 ⏐ ⏐ 2 = ⏐ ⏐ z n ⏐ ⏐ 2 + d n 2 b En déduire que, pour tout entier naturel n , le triangle OA n A n +1 est rectangle en A n . c Construire, à la règle non graduée et au compas, le point A 5 sur la figure ci-dessus. d Justifier cette construction. E.6941 On veut modéliser dans le plan la coquille d’un nautile à l’aide d’une ligne brisée en forme de spirale. On s’intéresse à l’aire délimitée par cette ligne. On munit le plan d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . Soit n un entier supérieur ou égal à 2 . Pour tout entier k allant de 0 à n , on définit les nombres complexes : z k = 1 + k n · e i 2 kπ n et on note M k le point d’affixe z k . Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée re-liant tous les points M k avec 0 k n . Par exemple, pour les entiers n =6 , n =10 et n =20 , on ob-tient les figures ci-dessous : Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points Dans cette partie, on suppose que n =6 . Ainsi, pour 0 k 6 , on a: z k = 1+ k 6 · e i 2 kπ 6 1 Déterminer la forme algébrique de z 1 . 2 Vérifier que z 0 et z 6 sont des entiers que l’on déterminera. 3 Calculer la longueur de la hauteur issue de M 1 dans le triangle OM 0 M 1 puis établir que l’aire de ce triangle est égale à 7 3 24 . Partie B: Ligne brisée formée à partir de n +1 points Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 2 . 1 Pour tout entier k tel que 0 k n , déterminer la longueur OM k . 2 Pour k entier tel que 0 k n − 1 , déterminer une mesure des angles −→ u ; −−−→ OM k et −→ u ; −−−−−→ OM k +1 . En déduire une mesure de l’angle −−−→ OM k ; −−−−−→ OM k +1 . 3 Pour k entier tel que 0 k n − 1 , démontrer que la longueur de la hauteur issue de M k +1 dans le triangle OM k M k +1 est égale à 1+ k +1 n · sin 2 ı n . 4 On admet que l’aire du triangle OM k M k +1 est égale à: a k = 1 2 · sin 2 ı n · 1 + k n 1 + k +1 n et que l’aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à: A n = a 0 + a 1 + ··· + a n − 1 On considère la fonction f d’un algorithme donnée ci-dessous, prenant pour argument un entier n et renvoyant la valeur de la variable A correspondant à l’aire A n cor-respondant au rang n : Fonction f(n) A ← 0 Pour k allant de 0 à n − 1 A ← A+ 1 2 sin 2 ı n 1+ k n 1+ k+1 n Fin Pour Renvoyer A https://chingmath.fr chapExoCorrec/6937 sacados/6937 −u−vOA0A1A2A3A4A6 chapExoCorrec/6941 sacados/6941 -2-2-1-111220 -2-2-1-111220 -2-2-1-111220
On appelle la fonction f avec la valeur 10 pour l’argument n . Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui recueille toutes les valeurs prises les variables k et A lors de l’appel à la fonction f . k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 0,323 0,711 1,170 1,705 2,322 3,027 3,826 4,726 5 On admet que A 2 =0 et que la suite A n converge et que : lim n ↦→ + ∞ A n = 7 ı 3 ≈ 7 ; 3 Recopier et compléter la ligne ‘ .3 afin qu’à la fin de son exécution, la valeur de la variable n représentant le plus petit entier n tel que A n 7 ; 2 . On ne demande pas de déterminer n ‘ .1 n ← 2 ‘ .2 1 ← 0 ‘ .3 Tant que ... ‘ .4 n ← n+1 ‘ .5 A ← 0 ‘ .6 Pour k allant de 0 à n − 1 ‘ .7 A ← A+ 1 2 sin 2 ı n 1+ k n 1+ k+1 n ‘ .8 Fin Pour ‘ .9 Fin tant que 5. Transformation du plan E.3141 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v . On prendra pour unité graphique 1 cm . 1 Question de cours On rappelle que : ˇ Pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z , on a: | z | = −→ w et arg( z ) = −→ u ; −→ w ı. Soient M , N et P trois points du plan, d’affixes respec-tives m , n et p tels que m = n et m = p . a Démontrer que : arg p − m n − m = −−→ MN ; −−→ MP . b Interpréter géométriquement le nombre ⏐ ⏐ ⏐ p − m n − m ⏐ ⏐ ⏐ . 2 On considère les points A , B , C et D d’affixes respec-tives : z 1 = 4+i ; z B = 1+i ; z C = 5i ; z D = − 3 − i Placer ces points sur une figure. 3 Soit f l’application du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe z tel que : z = 1 + 2i z − 2 − 4i a Préciser les images des points A et B par f . b Montrer que f admet un unique point invariant Ω dont on précisera l’affixe ! . 4 a Montrer que pour tout nombre complexe z , on a: z − z = − 2i 2 − i − z b En déduire, pour tout point M différent du point Ω , la valeur de MM Ω M et une mesure en radians de l’angle −−→ M Ω ; −−−→ MM . c Quelle est la nature du triangle Ω MM ? d Soit E le point d’affixe z E = − 1 − i 3 . Écrire z E sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E associé au point E . E.3166 Le complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On prendra pour unité graphique 2 cm . Soit f l’application qui, à tout point M du plan d’affixe z non nulle, associe le point M d’affixe z telle que z = 4 z , où z désigne le nombre complexe conjugué de z . 1 Déterminer l’ensemble des points invariants par f . 2 Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1. 3 Soit ¸ un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A d’affixe ¸ admet un antécédent unique par f , dont on précisera l’affixe. 4 a Donner une mesure de l’angle −−→ OM ; −−−→ OM . Inter-préter géométriquement ce résultat. b Exprimer ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ en fonction de ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ . Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du cercle de centre O et de rayon r . c Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP =3 , et construire géométriquement son image P par f . 5 On considère le cercle C 1 , de centre J et de rayon 1. Mon-trer que l’image par f de tout point de C 1 , distinct de O , appartient à la droite D d’équation x =2 . https://chingmath.fr sacados/3141 chapExoCorrec/3166 sacados/3166
E.3160 Le plan est rapporté au repère orthonormé O ; −→ u ; −→ v (unité graphique 3 cm ) . À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M d’affixe z par l’application f qui admet pour écriture com-plexe: z = (3 + 4i) z + 5 z 6 1 On considère les points A , B , C d’affixes respectives : z A = 1 + 2i ; z B = 1 ; z C = 3i . Déterminer les affixes des points A , B C images respec-tives de A , B , C par f . Placer les points A , B , C , A , B , C . 2 On pose z = x +i y (avec x et y réels) . Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction de x et y . 3 Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite ( D ) d’équation y = 1 2 x . Tracer ( D ) . Quelle remarque peut-on faire? 4 Soit M un point quelconque du plan et M son image par f . Montrer que M appartient à la droite ( D ) . 5 a Montrer que, pour tout nombre complexe z : z − z z A = z + z 6 + i z − z 3 En déduire que le nombre z − z z A est réel. b En déduire que, si M = M , les droites ( OA ) et ( MM ) sont parallèles. 6 Un point quelconque N étant donné, comment constru-ire son image N ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à ( D ) ) . Effectuer la construction sur la figure. E.3185 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v (unité graphique 2 cm ) . On rappelle que pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z , on a: | z | = −→ w ; arg( z ) = −→ u ; −→ w à 2 ı près. Partie A. Restitution organisée de connaissances Prérequis: on sait que si z et z sont deux nombres com-plexes non nuls, alors: arg( z · z ) = arg( z ) + arg ( z ) Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : arg z z = arg( z ) − arg( z ) Partie B On note A et B les points d’affixes respectives − i et 3i . On note f l’application qui, à tout point M du plan, d’affixe z , distant de A , associe le point M d’affixe z telle que : z = i z + 3 z + i 1 a Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [ AB ] . Placer ces points sur le dessin. b On note C le point d’affixe c = − 2+i . Démontrer que le point C , image de C par f , appartient à l’axe des abscisses. 2 Pour tout point M du plan distinct de A et de B , dé-montrer que : arg( z ) = −−→ MA ; −−→ MB + ı 2 à 2 ı près. 3 Étude deux ensembles de points. a Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z soit un nombre complexe imaginaire pur. b Soit M d’affixe z un point du cercle de diamètre [ AB ] privé des points A et B . À quel ensemble appartient le point M https://chingmath.fr chapExoCorrec/3160 sacados/3160 chapExoCorrec/3185 sacados/3185 Asie Juin 2006 4 points
E.3197 On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . Dans tout l’exercice, P \ 0 désigne le plan P privé du point origine O . 1 Question de cours On prend comme prérequis les résultats suivants : Si z et z sont deux nombres complexes non nuls, alors: arg( zz ) = arg( z ) + arg( z ) à 2 kı près, avec k entier relatif. Pour tout vecteur −→ w non nul d’affixe z , on a: arg( z ) = −→ u ; −→ v à 2 kı près, avec k entier relatif. a Soit z et z des nombres complexes non nuls, démon-trer que : arg z z = arg z − arg z à 2 kı près, avec k entier relatif. b Démontrer que si A , B , C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a , b , c , on a: arg c − a b − a = −−→ AB ; −→ AC à 2 kı près, avec k entier relatif. 2 On considère l’application f de P \ 0 qui, au point M du plan d’affixe z , associe le point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z définie par : z = 1 z a Démontrer que pour z = 0 , on a: arg( z ) = arg( z ) à 2 kı près, avec k entier relatif. En déduire que, pour tout point M de P \ 0 les points M et M = f ( M ) appartiennent à une même demi-droite d’origine O . b Déterminer l’ensemble des points M de P \ 0 tels que : f ( M )= M . c M est un point du plan P distinct de O , U et V , on admet que M est aussi distinct de O , U et V . Établir l’égalité: z − 1 z − i = 1 i z − 1 z + i = − i z − 1 z − i En déduire une relation entre arg z − 1 z − i et arg z − 1 z − i . 3 a Soit z un nombre complexe tel que z = 1 et z = i et soit M le point d’affixe z . Démontrer que M est sur la droite ( UV ) privée de U et de V si, et seulement si, z − 1 z − i est un nombre réel non nul. b Déterminer l’image par f de la droite ( UV ) privée de U et de V . E.3816 Le plan est muni d’un repère or-thonormé direct O ; −→ u ; −→ v , unité graphique 2 cm . On appelle A le point d’affixe − 2i . À tout point M du plan d’affixe z , on associe le point M d’affixe : z = − 2 · z + 2 · i 1 On considère le point B d’affixe b =3 − 2 · i . Déterminer la forme algébrique des affixes a et b des points A et B associés respectivement aux points A et B . Placer ces points sur le dessin. 2 Montrer que si M appartient à la droite (Δ) d’équation y = − 2 alors M appartient aussi à (Δ) . 3 Démontrer que pour tout point M d’affixe z , on a: | z + 2 · i | = 2 ·| z + 2 · i | E.3212 Soit P le plan complexe rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v (unité graphique 4 cm ) . Soit A le point d’affixe 1 . On note f l’application de P privé de A dans P qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z telle que : z = 1 z − 1 1 a Soit B le point d’affixe b =4+i √ 3 . Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle de l’affixe b de B . b Déterminer les affixes des points ayant pour image par f leur symétrique par rapport à O . 2 a Exprimer | z | et arg( z ) en fonction de | z − 1 | et arg( z − 1) . b Soit C le cercle de centre A et de rayon r . On suppose que M est un point de C . Déterminer | z | . En déduire que M appartient à un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. c Placer un point M quelconque sur le cercle de centre A et de rayon 1 2 et construire son image M . (on laissera les traits de construction) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3197 sacados/3197 France Juin 2006 5 points sacados/3816 Centres etrangers Juin 2004 chapExoCorrec/3212 sacados/3212 Antilles-Guyane Septembre 2005 4 points
E.3874 Dans le plan complexe ( P ) muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v d’unité graphique 4 cm , on considère le point A d’affixe A = − 1 et l’application f , du plan ( P ) dans lui-même, qui au point M , d’affixe z distinct de A , associe le point M = f ( M ) d’affixe z tel que : z = i · z z + 1 1 Déterminer l’affixe des points M tels que M = M . 2 Démontrer que pour tout point M distinct de A et de O , on a: OM = OM AM −→ u ; −−−→ OM = −−→ MA ; −−→ MO + ı 2 à 2 ı près 3 a Soit B le point d’affixe b = − 1 2 +i . Placer dans le repère le point B et la médiatrice (Δ) du segment [ OA ] . b Calculer sous forme algébrique l’affixe b du point B image du point B par f . Établir que B appartient au cercle ( C ) de centre O et de rayon 1 . Placer le point B et tracer le cercle ( C ) dans le repère. c En utilisant la question 2 , démontrer que, si un point M appartient à la médiatrice (Δ) , son image M par f appartient au cercle ( C ) . d Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s’aidant des résultats de la question 2 , construire, à la règle et au compas, l’image du point C par f (On laissera apparents les traits de construction) . 4 Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l’ensemble (Γ) des points M distincts de A et de O dont l’image M par f appartient à l’axe des abscisses. Les questions a et b peuvent être traitées de façon indépendante. a On pose z = x +i · y avec x et y réels tels que : ( x ; y ) = ( − 1 ; 0) ; ( x ; y ) = (0 ; 0) Démontrer que la partie imaginaire de z est égale à: Im ( z ) = x 2 + y 2 + x ( x + 1) 2 + y 2 En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (Γ) et le tracer dans le repère. b À l’aide de la question 2 , retrouver géométriquement la nature de l’ensemble (Γ) . E.4072 La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v , le point A a pour affixe i . On note f l’application qui, à tout point M d’affixe z avec z =i associe le point M d’affixe z telle que : z = − z 2 z − i Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point M connaissant le point M 1 Un exemple On considère le point K d’affixe 1+i . a Placer le point K . b Déterminer l’affixe du point K image de K par f . c Placer le point K . 2 Des points pour lesquels le problème ne se pose pas a On considère le point L d’affixe i 2 . Déterminer son image L par f . Que remarque-t-on? b Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image. Démontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes. 3 Un procédé de construction On nomme G l’isobarycentre des points A , M et M et g l’affixe de G . a Vérifier l’égalité: g = 1 3 · ( z − i) . b En déduire que : Si M est un point du cercle de centre A de rayon r , alors G est un point du cercle de centre O de rayon 1 3 · r . c Démontrer que : arg( g )= − −→ u ; −−→ AM . d Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon 1 2 . On nomme D l’image de D par f . Déduire des ques-tions précédentes la construction du point D et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie) . Sur la figure ci-dessous le segment OI tel que : −→ u = −→ OI est partagé en six segments d’égale longueur. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3874 sacados/3874 chapExoCorrec/4072 sacados/4072 Antilles-Guyane Juin 2008 5 points
E.4030 Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v , unité graphique 2 cm . On appelle Γ le cercle de centre O et de rayon 1 . On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice. On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O , d’affixe z , associe le point M = F ( M ) d’affixe z définie par : z = z + i − 1 z 1 On considère les points A et B d’affixes respectives a =i et b =e i · π 6 et leurs images A et B par F d’affixes respec-tives a et b . a Calculer a et b . b Placer les points A , A , B et B . c Démontrer que : − b b − b = 3 3 · i . d En déduire la nature du triangle OBB . 2 On recherche l’ensemble ( E ) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F , le point O . a Démontrer que, pour tout nombre complexe z : z 2 + i · z − 1 = z + 3 2 + 1 2 · z − 3 2 + 1 2 · i b En déduire les affixes des points de l’ensemble ( E ) . c Démontrer que les points de ( E ) appartiennent à (Γ) . 3 Soit „ un réel. a Démontrer que si z =e i · θ alors z = 2 · sin „ +1 · i b En déduire que si M appartient au cercle (Γ) alors M appartient au segment [ A C ] où C a pour affixe − i . 6. Exercices non-classés E.8135 1 Donner les formes exponentielle et trigonométrique des nombres complexes 1+ i et 1 − i . 2 Pour tout entier naturel n , on a posé : S n = 1 + i n + 1 − i n a Déterminer la forme trigonométrique de S n . b Pour chacune des deux affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée Affirmation A : Pour tout entier naturel n , le nom-bre complexe S n est un nombre réel. Affirmation B: Il existe une infinité d’entiers na-turels n tels que S n =0 . E.8145 Asie Juin 2018 E.8148 Antilles Guyanes septembre 2018 https://chingmath.fr DAOI sacados/4030 Polynesie Septembre 2009 5 points sacados/8135 Liban Mai 2018 3 points sacados/8145 Asie Juin 2018 5 points sacados/8148
E.3151 Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indi-quera sur la copie le numéro de la question et la lettre corre-spondant à la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0 ; 5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée. 1 Soit z le nombre complexe de module 2 et d’argument ı 3 . On a alors: a z 14 = − 128 · 3 − 128 · i b z 14 = 64 − 64 · i c z 14 = − 64 + 64 · i · 3 d z 14 = − 128 + 128 · i · 3 2 On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, le point S d’affixe 3 et le point T d’affixe 4i . Soit ( E ) l’ensemble des points M d’affixe z tels que : ⏐ ⏐ z − 3 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ 3 − 4i ⏐ ⏐ . a ( E ) est la médiatrice du segment [ ST ] ; b ( E ) est la droite ( ST ) ; c ( E ) est le cercle de centre Ω d’affixe 3 − 4i et de rayon 3 ; d ( E ) est le cercle de centre S et de rayon 5 3 On considère un hexagone régulier ABCDEF , dont les côtés sont de longueur 1 . Le produit scalaire −→ AC · −−→ CF est égal à: a 3 b − 3 c − 3 d 3 2 4 Une fonction g est définie sur l’intervalle −∞ ; 0 par g ( x )= x 2 − 2 x x − 3 ; soit Γ sa courbe représentative dans un repère du plan. a Γ admet une asymptote d’équation y = − 1 . b Γ n’admet pas d’asymptote. c Γ admet une asymptote d’équation y = x . d Γ admet une asymptote d’équation y =1 . 5 Soit la fonction f définie sur R par f ( x )= x 0 e − t 2 dt . La fonction f  , dérivée seconde de la fonction f sur R , est définie par : a f  ( x ) = x 0 − 2 t · e − t 2 d t b f  ( x ) = x 0 − 2 x · e − x 2 d x c f  ( x ) = − 2 x · e − x 2 d f  ( x ) = e − x 2 E.6048 Cet exercice est un question-naire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. 1 Soit z 1 = 6 · e i π 4 et z 2 = 2 · e − i π 3 . La forme exponen-tielle de i · z 1 z 2 est : a 3e i 19 π 12 b 12e − i π 12 c 3 · e i 7 π 12 d 3e i 13 π 12 2 L’équation − z = z , d’inconnue complexe z , admet : a une solution b deux solutions c une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite. d une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle. 3 Dans un repère de l’espace, on considère les trois points A 1 ; 2 ; 3 , B − 1 ; 5 ; 4 et C − 1 ; 0 ; 4 . La droite par-allèle à la droite ( AB ) passant par le point C a pour représentation paramétrique : a x = − 2 t − 1 y = 3 t z = t + 4 , t ∈ R b x = − 1 y = 7 t z = 7 t + 4 , t ∈ R c x = − 1 − 2 t y = 5 + 3 t z = 4 + t , t ∈ R d x = 2 t y = − 3 t z = − t , t ∈ R 4 Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan P passant par le point D − 1 ; 2 ; 3 et de vecteur normal −→ n 3 ; − 5 ; 1 , et la droite Δ de représentation paramétrique : x = t − 7 y = t + 3 z = 2 t + 5 , pour tout t ∈ R a La droite Δ est perpendiculaire au plan P . b La droite Δ est parallèle au plan P et n’a pas de point commun avec le plan P . c La droite Δ et le plan P sont sécants. d La droite Δ est incluse dans le plan P . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3151 sacados/3151 chapExoCorrec/6048 sacados/6048
E.6051 Les quatre questions de cet exer-cice sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d’elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Dans les questions 1 et 2 , le plan est rapporté au repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On considère les points A , B , C , D et E d’affixes respectives : a = 2 + 2i ; b = − 3 + i ; c = 1 + i 3 d = − 1 + 3 2 i ; e = − 1 + 2 + 3 i 1 Affirmation 1: les points A , B et C sont alignés. 2 Affirmation 2: les points B , C et D appartiennent à un même cercle de centre E . 3 Dans cette question, l’espace est muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : 1 ; 0 ; 0 ; J 0 ; 1 ; 0 ; K 0 ; 0 ; 1 Affirmation 3: la droite D de représentation paramétrique : x = 2 − t y = 6 − 2 t z = − 2 + t où t ∈ R coupe le plan ( IJK ) au point E − 1 2 ; 1 ; 1 2 4 Dans le cube ABCDEFGH , le point T est le milieu du segment [ HF ] . Affirmation 4: les droites ( AT ) et ( EC ) sont orthogo- nales. E.8138 Pour chacune des quatre affirma-tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justi-fiant la réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte ni n’enlève aucun point. 1 Un type d’oscilloscope a une durée de vie, exprimée en année, qui peut être modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi exponentielle de paramètre – . On sait que la durée de vie moyenne de ce type d’oscilloscope est de 8 ans. Affirmation 1: pour un oscilloscope de ce type choisi au hasard et ayant déjà fonctionné 3 ans, la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à 10 ans, arrondie au centième, est égale à 0 ; 42 . On rappelle que si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre – , on a pour tout réel t positif : P X t = 1 − e − λ · t 2 En 2016 , en France, les forces de l’ordre ont réalisé 9 ; 8 millions de dépistages d’alcoolémie auprès des automo-bilistes, et 3 ; 1 % de ces dépistages étaient positifs. Source OFDT (Observatoire Français des Drogues et des Toxicomanies) Dans une région donnée, le 15 juin 2016 , une brigade de gendarmerie a effectué un dépistage sur 200 automo-bilistes. Affirmation 2: en arrondissant au centième, la proba-bilité que, sur les 200 dépistages, il y ait eu strictement plus de 5 dépistages positifs, est égale 0 ; 59 . 3 On considère dans R l’équation: ln 6 x − 2 + ln 2 x − 1 = ln x Affirmation 3: l’équation admet deux solutions dans l’intervalle 1 2 ; + ∞ . 4 On considère dans C l’équation: 4 · z 2 − 20 · z + 37 2 · z − 7 + 2 · i = 0 Affirmation 4: les solutions de l’équation sont les af-fixes de points appartenant à un même cercle de centre le point P d’affixe 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6051 sacados/6051 Asie Juin 2013 TABCDEFGH sacados/8138