Terminale Option Experte / Arithmétique et divisibilité 56 exercices (100% corrigés)

a
1. Decomposition en produit de facteurs premiers E.8602 1 Citer les entiers premiers inférieurs ou égaux à 20 . 2 Déterminer les décompositions en produit de facteurs pre-miers les entiers suivants : 126 ; 588 ; 5040 3 En déduire les décompositions en produit de facteurs pre-miers des entiers suivants : 5040 126 ; 126+588 E.5218 Déterminer la décomposition en pro-duit de facteurs premiers des entiers suivants : a 8232 b 1750 c 1053 E.4288 k désigne un entier naturel non nul. 1 Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008 . 2 Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus pe-tite valeur de l’entier naturel k pour laquelle k 6 est un multiple de 2008 . E.6805 On admet que tout entier naturel non nul n peut s’écrire d’une façon unique sous la forme du produit d’une puis-sance de 2 par un entier impair: n =2 α × k où ¸ est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair. L’écriture n =2 α × k est nommée décomposition de n . Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9 = 2 0 × 9 ; 120 = 2 3 × 15 . 1 Donner la décomposition de l’entier 192 . 2 Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont : x =2 α × k ; z =2 β × m Écrire la décomposition des entiers naturels 2 · x 2 et z 2 . 3 En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition 2 · x 2 et dans celle de z 2 , montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls ( x ; y ) tels que : 2 · x 2 = z 2 E.3364 On considère les deux entiers suivants : A =72 ; B =135 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers des entiers A et B . 2 a À l’aide d’un arbre de choix, déterminer l’ensemble des diviseurs de A et l’ensemble des diviseurs de B . b Donner l’ensemble des diviseurs commun à A et à B . E.3622 Soit n un entier naturel. On considère l’entier A défini par : A = 2 3 × 3 n × 5 n 1 a Déterminer le nombre de diviseurs de l’entier A dans les cas suivant : n = 0 ; n = 1 ; n = 2 b Déterminer une expression en fonction de n donnant le nombre de diviseurs de l’entier A . 2 Combien de diviseurs admet l’entier 6 075 000 ? 2. Parité E.3332 1 Compléter intuitivement les deux tableaux à double en-trée suivants : + Pair Impair Pair Impair × Pair Impair Pair Impair 2 En remarquant les deux caractérisations suivantes : Si n ∈ Z est pair, il existe k ∈ Z tel que : n = 2 · k Si n ∈ Z est impair, il existe k ∈ Z tel que : n = 2 · k + 1 Répondre aux questions suivantes : a Démontrer que la somme de deux entiers impairs est pair. b Démontrer que le produit de deux entiers impairs est impair. E.5035 Montrer que la somme des carrés de deux entiers consécutifs est un entier impair E.3334 On considère l’expression B = n 2 − 1 pour n ∈ N ∗ : 1 Démontrer que pour n pair, B est impair. 2 Démontrer que pour n un entier impair strictement supérieur à 1, B est pair et divisible par 8. E.6773 Démontrer que la somme de deux entiers impairs consécutifs est un entier multiple de 4 . E.3488 Soient p et q deux entiers naturels. Étudions la relation: p 2 − 2 · q 2 = 1 1 Trouver deux entiers p et q vérifiant la relation précé-dente et telle que : 1 p 4 ; 1 q 4 2 On suppose que les entiers p et q vérifient la relation recherchée : a Démontrer que l’entier p est impair. b En déduire que l’entier q est pair. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8602 sacados/8602 chapExoCorrec/5218 sacados/5218 chapExoCorrec/4288 sacados/4288 chapExoCorrec/6805 sacados/6805 chapExoCorrec/3364 sacados/3364 chapExoCorrec/3622 sacados/3622 chapExoCorrec/3332 sacados/3332 chapExoCorrec/5035 sacados/5035 chapExoCorrec/3334 sacados/3334 chapExoCorrec/6773 sacados/6773 chapExoCorrec/3488 sacados/3488
3. Quelques problèmes d’arithmétique E.3333 Déterminer la somme de tous les multiples de 11 compris entre 100 et 400 . (on pourra utiliser une suite arithmétique) E.5726 Montrer que la somme de trois en-tiers consécutifs est divisible par 3 . E.8604 1 Pour k un entier naturel non-nul développer l’expression : A = 2 · k +1 2 − 1 . 2 Justifier que A est un multiple de 8 . E.6770 On rappelle que, pour tout entier naturel non nul n , on a: 1 + 2 + · · · + n = n · n + 1 2 1 Montrer que l’entier 1+2+ ··· + n est le carré d’un entier si, et seulement si, il existe un entier naturel p tel que n 2 + n − 2 · p 2 =0 . 2 En déduire que l’entier 1+2+ ··· + n est le carré d’un en-tier si, et seulement si, il existe un entier naturel p tel que (2 n +1) 2 − 8 p 2 =1 . 4. Division euclidienne dans Z E.8603 1 Parmi les égalités proposées, laquelle représente la divi-sion euclidienne de − 25 par 3 : a − 25 = ( − 9) × 3 + 2 b − 25 = ( − 8) × 3 + ( − 1) 2 Déterminer les divisions euclidiennes des nombres suiv-ants par 4 : a − 31 b − 19 5. Division euclidienne E.5728 De l’égalité: 456 164=65 164 × 7+16 , en déduire la division euclidienne de 456 164 par 7 . E.3327 1 Sans la calculatrice, effectuer la division euclidienne de 372 par 15 . 2 Avec la calculatrice, déterminer la division euclidienne de 37 852 par 23 . 3 Utilise les égalités suivantes pour répondre aux questions suivantes : 2 456 = 17 × 143 + 25 ; 32 247 143 = 225 + 72 143 ; 516 43 = 12 674 24 = 28 + 1 12 ; 5 460 63 = 85 + 5 3 ; 345 = 27 × 13 − 6 a Déterminer la division euclidienne de 2 456 par 17 . b Donner la division euclidienne de 32 247 par 143 . c Déterminer le reste de la division euclidienne de 516 par 43 . d Déterminer la division euclidienne de 674 par 24 . e En déduire la division euclidienne de 5 460 par 63 . f Déterminer la division euclidienne de 345 par 13 . E.5840 On considère la fonction f extrait d’un algorithme dont l’appel s’effectue en lui pas-sant en argument deux en-tiers naturels a et b : Fonction f(a,b) c ← 0 Tant que a>b c ← c+1 a ← a − b Fin Tant que Renvoyer ( c ; a) 1 Donner le couple renvoyé par la fonction f lorsqu’elle est appelée avec les arguments a =13 et b =4 . Dans une exé-cution pas à pas de l’appel à la fonction f , on indiquera les valeurs des variables a , b , c au cours de cet appel. 2 Que représente le couple renvoyé lors de l’appel à la fonc-tion ff ? E.4696 L’année 2012 était une année bissex-tile et le 1 er janvier 2012 était un dimanche. 1 a Combien de jour sépare le 1 er janvier 2012 et le 20 janvier 2012 ? b Donner la division euclidienne de 19 par 7 . c Quel jour de la semaine était-on le 20 janvier 2012 ? 2 Déterminer le jour de la semaine du 25 mars 2012 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3333 sacados/3333 chapExoCorrec/5726 sacados/5726 chapExoCorrec/8604 sacados/8604 chapExoCorrec/6770 sacados/6770 Extrait Asie Juin 2015 chapExoCorrec/8603 sacados/8603 chapExoCorrec/5728 sacados/5728 chapExoCorrec/3327 sacados/3327 chapExoCorrec/5840 sacados/5840 chapExoCorrec/4696 sacados/4696
E.6965 Un numéro de carte bancaire est de la forme : a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 c où a 1 , a 2 , . . . , a 15 et c sont des chiffres compris entre 0 et 9 . Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire. c est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres. La fonction ci-dessous permet de valider la conformité d’un numéro de carte donné. Fonction f( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , a 10 , a 11 , a 12 , a 13 , a 14 , a 15 , a 16 , a 17 ,c) i ← 0 p ← 0 r ← 0 Pour k allant de 0 à 7 r ← le reste de la division euclidienne de 2 · a 2k+1 par 9 i ← i+r Fin Pour Pour k allant de 1 à 7 p ← p+a 2k Fin Pour s ← i+p+c Si s est un multiple de 10 alors : Renvoyer 1 Sinon Renvoyer 0 Fin Si On considère le numéro de carte suivant : 5635 4002 9561 3411. 1 Compléter le tableau ci-dessous permettant d’obtenir la valeur finale de la variable I . k 0 1 2 3 4 5 6 7 a 2 k +1 2 a 2 k +1 r i 2 Justifier que le numéro de la carte 5635 4002 9561 3411 est correct. 3 On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5 ) est changé en 6 . Quel doit être le deuxième chiffre a pour que le numéro de carte obtenu 6 a 35 4002 9561 3411 reste correct? 6. Opération sur la division euclidienne E.3330 1 Déterminer la division euclidienne de 1 038 par 17. 2 En étudiant le carré (61 × 17+1) 2 , déterminer le reste de la division euclidienne de 1 038 2 par 17. 3 En déduire une conjecture sur le reste, pour tout entier naturel n , la division euclidienne de 1 038 n par 17. E.6768 Soit n un entier relatif. On considère les deux propriétés suivantes : P ˇ le reste de la division euclidienne de n par 5 vaut 1 ı P ˇ le reste de la division euclidienne de n par 4 vaut 3 ı 1 a Soit n un entier naturel vérifiant la propriété P . Déterminer le reste de la division euclidienne de n − 11 par 5 . b Soit n un entier naturel vérifiant la propriété P . Jus- tifier que l’entier n − 11 est un multiple de 4 . 2 Sans justification, donner trois entiers vérifiant les deux propriétés P et P . E.5979 n est un entier naturel. Dans la division euclidienne de n par 7 , n peut s’écrire: n = 7 q + r où q et r sont des entiers naturels. 1 Que représente r ? Quelles sont les valeurs possibles pour r ? 2 On divise n 2 par 7 . Quelles sont les valeurs possibles pour r ? 3 En déduire que si 7 divise n 2 alors 7 divise n . 4 n et m sont deux entiers naturels. On divise n 2 + m 2 par 7 . Quels sont les restes possibles? 5 En déduire que si 7 divise n 2 + m 2 alors 7 divise n et m . 7. Diviseur et multiple E.3339 ¸ et ˛ représentent deux entiers ; on considère les quatre phrases suivantes : 1 ¸ est un multiple de ˛ 2 ¸ a pour multiple ˛ 3 ¸ est un diviseur ˛ 4 ¸ a pour diviseur ˛ Les phrases ci-dessus sont équivalentes deux à deux ; retrouver les phrases équivalentes. E.5036 1 a Déterminer le reste de la division euclidienne de 10 2 par 3 . b À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier n naturel, le reste de 10 n par la division euclidienne par 3 vaut 1 . 2 Justifier que l’entier 4 × 10 n − 1 est, pour tout entier na-turel n , divisible par 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6965 sacados/6965 Extrait Liban Juin 2017 chapExoCorrec/3330 sacados/3330 chapExoCorrec/6768 sacados/6768 chapExoCorrec/5979 sacados/5979 chapExoCorrec/3339 sacados/3339 chapExoCorrec/5036 sacados/5036
E.1821 Pour tout entier naturel n , on pose : A ( n )= n 2 − n +2007 . Le but de l’exercice est d’étudier la divisibilité des entiers A ( n ) par 2 et par 3 . Cet exercice est composé de deux questions indépendantes. 1 a Donner la décomposition en produit de facteurs pre-miers de l’entier A (1) égal à 2007. b Soit n un entier naturel. Démontrer que : ˇ Si n est divisible par 3, alors A ( n ) est divisible par 3 ı. c La réciproque de cette dernière affirmation est-elle vraie? Justifier. 2 a Vérifier que, quel que soit l’entier naturel n , on a: ( n + 1) 2 − ( n + 1) + 2007 = ( n 2 − n + 2007) + 2 · n b On considère un entier naturel n quelconque. Démon- trer que : ˇ Si A ( n ) est impair, alors A ( n +1) est im-pair ı. c L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justi-fier. ˇ Il existe au moins un entier naturel n tel que A ( n ) soit divisible par 2 ı. E.3360 Pour tout entier relatif n , on consid-ère l’entier A n défini par : A n =2 n 2 +2 n +8 Justifier que l’entier A n est divisible par 4 pour tout entier relatif n ∈ Z E.6783 Soit n un entier relatif. Établir la propriété suivante : 2 n +3 est un multiple de 7 = ⇒ 3 n +1 est un multiple de 7 . 8. Problème et reste de la division euclidienne E.5701 Une frise est constituée de carrés, trian-gles, cercles et trapèzes se succédant régulièrement. Ces élé-ments sont successivement peints en blanc, avec des rayures ou en noir. Le début de la frise est représenté ci-dessous : 1 Donner les caractéristiques du 113 ième élément de cette frise. 2 Quel est l’élément suivant le 113 ième élément et ayant les mêmes caractéristiques? E.5702 Un système de codage permet de trans-former toute lettre d’un texte en un autre rendant ainsi le texte illisible. Pour cela, il numérote les lettres de l’alphabet en commençant par 0 . Une transformation sur l’entier permet alors de changer la lettre. Voici le tableau de correspondance de ce codage : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C F I L O R U X A D G Quelle transformation a été utilisée sur les entiers? 9. Manipulation du reste de la division euclidienne E.3357 Dans cet exercice, on s’intéresse à la division euclidienne par 4 et plus particulièrement au reste de la division par 4: 1 Soit x et y deux nombres entiers dont le reste par la division euclidienne par 4 vaut respectivement 2 et 3 . a Donner une expression caractérisant la division eucli-dienne de x par 4 ainsi que pour la division euclidienne de y par 4 . b Établir que le reste de la division ( x + y ) par 4 vaut 1 . c Établir que le reste de la division x · y par 4 vaut 2 2 Soit x et y deux nombres entiers ; on note r x et r y les restes de la division respectivement de x et de y par 4. On considère les deux tableaux ci-dessous : r x r y 0 1 2 3 0 1 2 3  r x + y r x r y 0 1 2 3 0 1 2 3  r x · y On note r x + y et r x · y les restes respectifs par la division par 4 des entiers ( x + y ) et ( x · y ) . a Inscrire dans ces deux tableaux, les résultats obtenus à la question 1 . b Compléter de manière ˇ intuitive ı ces deux tableaux. https://chingmath.fr chapExoCorrec/1821 sacados/1821 Antilles-Guyane - juin 2007 - 6 points chapExoCorrec/3360 sacados/3360 chapExoCorrec/6783 sacados/6783 chapExoCorrec/5701 sacados/5701 Débutdelafrise chapExoCorrec/5702 sacados/5702 chapExoCorrec/3357 sacados/3357
E.3331 On donne la division euclidienne de 195 695 par 3 : 195 695 = 65 231 × 3 + 2 1 Justifier que le reste de la division euclidienne de 195 695 × 2 par 3 est 1 . 2 Déterminer le reste de la division euclidienne de 195 695 × 3 par 3 . 3 On note r n le reste de la division euclidienne de 195 695 × n par 3. Compléter de tête le tableau suiv-ant : n 1 2 3 4 5 6 7 r n E.8605 La division euclidienne de l’entier 7 17 par 4 a pour reste 3 . On répondra aux questions suivantes en justifiant votre réponse. 1 Déterminer le reste de la division euclidienne de 7 17 par 2 . 2 Déterminer le reste de la division euclidienne 7 34 par 4 . E.6785 On donne les deux divisions euclidi-ennes par 5 suivantes : 5474 = 1094 × 5 + 4 ; 5487 = 1097 × 5 + 2 Sans utiliser la calculatrice et sans calculer de produit, mon-trer que l’entier 5474 2 +5487 2 est divisible par 5 . Votre démarche doit être entièrement présente sur votre copie. E.6772 n est un entier naturel. Dans la division euclidienne de n par 7 , n peut s’écrire: n = 7 · q + r où q et r sont des entiers naturels. 1 Que représente r ? Quelles sont les valeurs possibles pour r ? 2 On divise n 2 par 7 . Quelles sont les restes possibles? 3 En déduire que si 7 divise n 2 alors 7 divise n . 10. Raisonnement exhaustif E.5727 Déterminer l’ensemble des couples ( a ; b ) d’entiers naturels vérifiant l’égalité: a 2 − b 2 = 21 E.4999 On considère l’entier A défini par : A = m × 4 · n + 1 où m; n ∈ N . On cherche à déterminer les valeurs de m et n réalisant l’égalité A =45 . 1 En étudiant la relation 45= m × (4 · n +1) , donner un en-semble de valeurs possibles de m . 2 En déduire l’ensemble des couples ( m ; n ) réalisant A = 45 . E.3335 1 Déterminer la valeur de a et b deux entiers relatifs tels que, pour tout entier relatif n , on a: 4 n + 1 n + 1 = a + b n + 1 2 En déduire les valeurs de n pour laquelle 4 n +1 n +1 est un entier. E.3358 Soit a et b deux entiers naturels. 1 Démontrer que : a 2 · b − a · b 2 = 9 = ⇒ a · b divise 9 et a − b divise 9. 2 En déduire les couples de solutions ( a ; b ) tels que : a 2 · b − a · b 2 = 9 . E.3359 Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que le quotient de la division euclidienne de n par 5 soit égal au reste par la même division. E.8609 On considère l’entier B défini par : B = 2 · m + 3 · 2 · n où m; n ∈ N Déterminer l’ensemble des couples ( m ; n ) d’entiers vérifiant la relation B =70 . E.8607 Déterminer, si elles existent, les valeurs de n ∈ Z afin que la fraction 6 n +9 2 n +1 ait une valeur en-tière: E.8608 Déterminer, si elles existent, les valeurs de n ∈ Z afin que la fraction 9 − 6 n 3 n − 4 ait une valeur en-tière. E.3490 Pour tout entier relatif n différent de 1 , on considère le nombre : A n = 2 n 2 − n − 11 n − 1 1 Déterminer la valeur des entiers relatifs a , b , c vérifiant la relation suivante pour tout entier naturel n distinct de 1: A n = a · n + b + c n − 1 2 En déduire les valeurs de n telles que l’entier A n est un nombre entier. E.8606 On considère pour tout entier relatif, le nombre B n défini par : B n = 2 n 2 − 3 n − 15 2 n + 3 Déterminer les valeurs de n pour lesquelles B n est un entier relatif. E.5039 Déterminer l’ensemble des couples ( a ; b ) d’entiers relatifs vérifiant l’égalité: a 2 − b 2 = 11 11. Raisonnement par disjonction de cas https://chingmath.fr chapExoCorrec/3331 sacados/3331 chapExoCorrec/8605 sacados/8605 chapExoCorrec/6785 sacados/6785 chapExoCorrec/6772 sacados/6772 chapExoCorrec/5727 sacados/5727 chapExoCorrec/4999 sacados/4999 chapExoCorrec/3335 sacados/3335 chapExoCorrec/3358 sacados/3358 chapExoCorrec/3359 sacados/3359 chapExoCorrec/8609 sacados/8609 chapExoCorrec/8607 sacados/8607 chapExoCorrec/8608 sacados/8608 chapExoCorrec/3490 sacados/3490 chapExoCorrec/8606 sacados/8606 chapExoCorrec/5039 sacados/5039
E.6774 Montrer que le produit de trois en-tiers consécutifs est divisible par 6 . Pour cela, on considère les trois cas suivants : Le premier des entiers est divisible par 3 . Le premier des entiers a un reste de 1 par la division euclidienne par 3 . Le premier des entiers a un reste de 2 par la division euclidienne par 3 . E.5730 Montrer que pour tout entier naturel n , l’expression 3 n 2 + n +2 est divisible par 2 . E.3623 Soit N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N = a 2 − b 2 où a et b sont deux entiers naturels tels que a>b . 1 Montrer que a et b n’ont pas la même parité. 2 Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux en-tiers naturels p et q . 3 Quelle est la parité de p et de q ? 12. Raisonnement par l’absurde E.6769 Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls ( x ; y ; z ) tels que : x 2 + y 2 = z 2 Ces triplets seront nommés ˇ triplets pythagoriciens ı en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et noté en abrégé ˇ TP ı. Ainsi 3 ; 4 ; 5 est un TP car: 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 1 Démontrer que, si ( x ; y ; z ) est un TP , et p un entier na-turel non nul, alors le triplet ( p · x ; p · y ; p · z ) est, lui aussi, un TP . 2 Démontrer que, si ( x ; y ; z ) est un TP , alors les entiers naturels x , y et z ne peuvent pas être tous les trois im-pairs. E.6775 On considère l’équation dans Z suivante : ( E ) : a 2 + 9 = 2 40 1 Montrer que si a existe alors a est impair. (on pourra utiliser un raisonnement par l’absurde) 2 a Compléter le tableau suivant : r 1 3 5 7 r 2 Reste de r 2 par la division euclidienne par 8 b La division euclidienne de a par 8 donne l’existence d’un unique couple ( q ; r ) : a = 8 · q + r ; 0 r< 8 Justifier que si l’entier a est impair, alors l’expression a 2 +9 n’est pas divisible par 8 . c En déduire que l’équation ( E ) n’admet pas de solution. E.6933 Dans cet exercice, on s’intéresse aux triplets d’entiers naturels non nuls ( x ; y ; z ) tels que : x 2 + y 2 = z 2 Ces triplets seront nommés ˇ triplets pythagoriciens ı en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé ˇ TP ı. Ainsi, 2 ; 3 ; 4 est un TP car: 3 2 +4 2 =5 2 Partie A : généralités 1 Démontrer que, si ( x ; y ; z ) est un TP, et p un entier na- turel non nul, alors le triplet ( px ; py ; pz ) est, lui aussi, un TP. 2 Démontrer que, si ( x ; y ; z ) est un TP, alors les entiers naturels x , y et z ne peuvent pas être tous les trois im-pairs. 3 Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul n peut s’écrire d’une façon unique sous la forme du produit d’une puissance de 2 par un entier impair: n = 2 α × k où ¸ est un entier naturel (éventuellement nul) et k un entier naturel impair. L’écriture n =2 α × k est nommée décomposition de n . Voici par exemple les décompositions des entiers 9 et 120 : 9 = 2 0 × 9 ; 120 = 2 3 × 15 a Donner la décomposition de l’entier 192 . b Soient x et z deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont : x = 2 α × k ; z = 2 β × m Écrire la décomposition des entiers naturels 2 x 2 et z 2 . c En examinant l’exposant de 2 dans la décomposition de 2 x 2 et dans celle de z 2 , montrer qu’il n’existe pas de couple d’entiers naturels non nuls ( x ; y ) tels que 2 x 2 = z 2 . On admet que la question A 3 permet d’établir que les trois entiers naturels x , y et z sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels x , y jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP ( x ; y ; z ) , les trois entiers naturels x , y et z seront rangés dans l’ordre suivant : x <y <z Partie B; recherche de triplets pythagoriciens con-tenant l’entier 2015 1 Décomposer en produit de facteurs premiers l’entier 2015 puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déter-miner un TP de la forme x ; y ; 2015 . 2 On admet que, pour tout entier naturel n : 2 n + 1 2 + 2 n 2 + 2 n 2 = 2 n 2 + 2 n + 1 2 Déterminer un TP de la forme (2015 ; y ; z ) 3 a En remarquant que 403 2 =169 × 961 , déterminer un couple d’entiers naturels non nuls ( x ; z ) tels que : z 2 − x 2 =403 2 avec x< 403 b En déduire un TP de la forme ( x ; 2015 ; z ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6774 sacados/6774 chapExoCorrec/5730 sacados/5730 chapExoCorrec/3623 sacados/3623 Centres etrangers Juin 2005 chapExoCorrec/6769 sacados/6769 chapExoCorrec/6775 sacados/6775 chapExoCorrec/6933 sacados/6933
13. Raisonnement par contraposée E.6784 Soit n un entier naturel. Démontrer l’assertion suivante : n 2 est impair = ⇒ n est impair. 14. Exercices non-classés E.5820 On considère la fonction f extrait d’un algorithme: Fonction f(A) X ← A Tant que X 26 X ← X − 26 Fin du tant que Renvoyer X 1 Quelle est la valeur renvoyée par la fonction f lorsqu’elle est appelée avec pour argument l’entier 3 ? 2 Quelle est la valeur renvoyée par la fonction f lorsqu’elle est appelée avec pour argument l’entier 55 ? 3 Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente la valeur renvoyée par cette fonction? E.5835 On considère la fonction f ci-dessous, extrait d’un algorithme, où Ent A N désigne la par- tie entière de A N . Fonction f(A) N ← 1 Tant que N √ A Si A N − Ent A N =0 Alors ( X ; Y) ← N ; A N Fin si N ← N+1 Fin Tant que 1 En appelant la fonction f avec la valeur 12 pour l’argument A , quelles seront les valeurs affectées au cou-ple ( X ; Y) de variables lors de l’appel à ce programme. 2 Que représentent les valeurs affectées à la variable X lors de l’exécution de ce programme? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6784 sacados/6784 chapExoCorrec/5820 sacados/5820 Extrait du Bac Antilles-Guyanes Septembre 2013 chapExoCorrec/5835 sacados/5835 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2012