Terminale Option Experte / Autres annales 2 exercices corrigés

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1. Exercices non-classés E.3152 Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indi-quera sur la copie le numéro de la question et la lettre corre-spondant à la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0 ; 5 point. Une absence de réponse est comp-tée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée. 1 On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation: x 2 − x + 4 ≡ 0 ( mod. 6) a toutes les solutions sont des entiers pairs b il n’y a aucune solution c les solutions vérifient x ≡ 2 ( mod. 6) d les solutions vérifient : x ≡ 2 ( mod. 6) ou x ≡ 5 ( mod. 6) 2 On se propose de résoudre l’équation ( E ) : 24 x +34 y = 2 , où x et y sont des entiers relatifs. a Les solutions de ( E ) sont toutes de la forme : ( x ; y ) = (34 k − 7 ; 5 − 24 k ) , k ∈ Z b L’équation ( E ) n’a aucune solution c Les solutions de ( E ) sont toutes de la forme : ( x ; y ) = (17 k − 7 ; 5 − 12 k ) , k ∈ Z d Les solutions de ( E ) sont toutes de la forme ( x ; y ) = ( − 7 k ; 5 k ) , k ∈ Z 3 On considère les deux entiers n =1789 et p =1789 2005 . On a alors: a n ≡ 4 ( mod. 17) et p ≡ 0 ( mod. 17) b p est un entier premier c p ≡ 4 ( mod. 17) d p ≡ 1 ( mod. 17) 4 On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, les points A et B d’affixes respec-tives a et b . Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [ AB ] si, et seulement si, le point M d’affixe z est tel que : a z = b − i a 1 − i b z − a = e i π 4 · ( b − a ) c a − z = i · ( b − z ) d b − z = ı 2 · ( a − z ) 5 On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [ AB ] . Soit f la similitude directe de centre A , de rapport 2 et d’angle 2 ı 3 ; soit g la similitude directe de centre A , de rapport 1 2 et d’angle ı 3 ; soit h la symétrie centrale de centre I . a h ◦ g ◦ f transforme A en B et c’est une rotation. b h ◦ g ◦ f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [ AB ] c h ◦ g ◦ f n’est pas une similitude. d h ◦ g ◦ f est la translation de vecteur −−→ AB E.3165 Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . On prendra pour unité graphique 4 cm . On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives a , b , c et d telles que : a = 1 ; b = 1 + 2i ; c = 2e i π 4 ; d = 3 + 2i On considère la similitude directe s qui transforme A en b et C en D . Soit M un point d’affixe z et M , d’affixe z , son image par s . 1 Exprimer z en fonction de z . Déterminer les éléments caractéristiques de s . Soit U n la suite numérique définie par : U 0 = 0 U n +1 = 2 U n + 1 pour tout n ∈ N . 2 Montrer que, pour tout entier naturel n , U n +1 et U n sont premiers entre eux. 3 Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s , les termes de la suite U n . 4 Montrer que pour tout entier naturel n : U n =2 n − 1 . 5 Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n p : U n = U p · U n − p + 1 + U n − p La notation pgcd ( a ; b ) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b . Montrer pour n p l’égalité: pgcd ( U n ; U p ) = pgcd ( U p ; U n − p ) 6 Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que : pgcd ( U n ; U p ) = U pgcd ( n ; p ) Déterminer l’entier: pgcd ( U 2005 ; U 15 ) https://chingmath.fr sacados/3152 sacados/3165