Terminale Option Experte / Chaines de Markov 29 exercices (100% corrigés)

a
1. Suites récurrentes linéaires d’ordre 1 de matrices E.6870 On considère les matrices M et R définies par : M = 0 ; 9 0 ; 15 0 ; 1 0 ; 85 ; R = − 5 5 On définit la suite de matrice X n définie par : X 0 = 1100 1100 ; X n +1 = M · X n + R pour tout n ∈ N À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n , on a: X n = 1300 − 200 × 0 ; 75 n 900 + 200 × 0 ; 75 n E.108 On considère les matrices A , B définies par : A = 3 3 0 2 ; B = 1 1 ; C = 1 − 1 On considère la suite U n de matrices colonnes définies par : U 0 = 1 2 ; U n +1 = A · U n + B pour tout n ∈ N 1 Justifier que la matrice C vérifie l’égalité: C = A · C + B 2 On définit la suite V n de matrices lignes par la rela-tion : V n = U n − C pour tout n ∈ N a Justifier l’égalité: V n +1 = A · V n pour tout n ∈ N b À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n , on a: U n = 3 n +2 − 9 × 2 n +1 3 × 2 n − 1 2. Suites récurrentes linéaires d’ordre 1 de matrices: état stable et suite con-jointe E.6395 Définition: Pour tout k ∈ N ∗ , on considère une suite U n de matrice colonne comportant k lignes vérifiant une relation de la forme : U n +1 = A · U n + B pour tout n ∈ N où A est une matrice carrée d’ordre k et B est une matrice colonne comportant k lignes. On appelle état stable de la suite U n , la matrice colonne S (comportant k lignes) et vérifiant : S = A · S + B On considère une suite U n vérifiant la relation: U n +1 = 2 1 − 1 1 · U n + − 2 − 1 Vérifier que la matrice S = − 1 3 est un état stable de la suite U n de matrices. E.8647 On considère la suite X n de matrices colonne, vérifiant : X 0 = 1 1 ; X n +1 = − 2 1 − 20 7 · X n + 1 2 ∀ n ∈ N 1 Vérifier que la matrice S = − 2 − 7 représente l’état stable de cette relation de récurrence. 2 On considère la suite V n de matrices colonnes définies, pour tout entier naturel n , par : V n = X n − S a Établir, pour tout n ∈ N : V n +1 = A · V n b À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n , on a: V n = 7 × 2 n − 4 × 3 n 7 × 2 n +2 − 20 × 3 n c En déduire l’expression de la matrice X n en fonction de n . 3. Suites récurrentes linéaires d’ordre 1 de matrices: étude de l’état stable E.5514 On considère les deux suites réelles x n et y n dont les termes vérifient le système suivant : x n +1 = x n + y n + 1 y n +1 = − 2 x n + 4 y n + 3 1 On considère la matrice colonne B et, pour tout entier n , la matrice colonne X n définie par : B = 1 3 ; X n = x n y n Déterminer la matrice carrée A de dimension 2 vérifiant la relation: X n +1 = A · X n + B 2 a Justifier que la matrice I 2 − A est inversible. On don-nera l’expression de la matrice I 2 − A − 1 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6870 sacados/6870 chapExoCorrec/108 sacados/108 chapExoCorrec/6395 sacados/6395 chapExoCorrec/8647 sacados/8647 chapExoCorrec/5514 sacados/5514
b Déterminer la matrice X réalisant l’égalité: X = A · X + B c Si les suites x n et y n sont convergentes, donner les valeurs de leur limite. 3 On considère la suite V n de matrice-colonne définie par : V n = X n − X En déduire que, pour tout entier n naturel, la relation: V n = A n · V 0 4 On considère la matrice carrée P définie par : P = 1 − 1 1 − 2 a Justifier que la matrice P est inversible. b On note D la matrice définie par : D = P − 1 · A · P . Donner une expression de la matrice D n pour tout en-tier naturel n . c En déduire une expression de la matrice A n pour tout entier naturel n . 5 On prend comme valeur initiale des suites : x 0 = 1 ; y 0 = 2 Que peut-on dire sur la convergence des suites x n et y n ? E.5515 On considère les deux suites réelles x n et y n dont les termes vérifient le système suivant : x n +1 = 1 ; 4 x n − 0 ; 6 y n + 0 ; 2 y n +1 = 0 ; 9 x n − 0 ; 1 y n + 0 ; 3 1 On considère la matrice colonne B et, pour tout entier n , la matrice colonne X n définies par : B = 0 ; 2 0 ; 3 ; X n = x n y n Déterminer la matrice carrée A de dimension 2 vérifiant la relation: X n +1 = A · X n + B 2 a Justifier que la matrice I 2 − A est inversible, puis don-ner à l’expression de la matrice ( I 2 − A ) − 1 . b Déterminer la matrice X réalisant l’égalité: X = A · X + B c Si les suites x n et y n sont convergentes, donner les valeurs de leur limite. 3 On considère la suite V n de matrices colonnes définie par : V n = X n − X pour tout n ∈ N En déduire que, pour tout entier n naturel, la relation: V n = A n · V 0 4 On considère la matrice carrée P définie par : P = 1 2 1 3 a Justifier que la matrice P est inversible. b On note D la matrice définie par : D = P − 1 · A · P . Donner une expression de la matrice D n pour tout en-tier naturel n . c En déduire une expression de la matrice A n pour tout entier naturel n . 5 En considérant les valeurs de départ : x 0 = 0 ; 5 ; y 0 = 0 ; 5 Que peut-on dire de la convergence des suites x n et y n ? 4. Chaîne de Markov: graphe pondéré orienté associé E.8216 On considère la chaîne de Markov X n dans l’espace des états Ω= e 1 ; e 2 dont l’évolution des distributions est donnée, pour tout n ∈ N , par : P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 2 ; P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 8 P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 7 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 3 Donner le graphe pondéré orienté associé à cette chaîne de Markov. E.8217 On considère la chaîne de Markov X n dans l’espace des états Ω= e 1 ; e 2 ; e 3 dont l’évolution des distributions est donnée, pour tout n ∈ N , par : P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 2 ; P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 1 P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 3 = 0 ; 7 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 6 P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 2 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 3 = 0 ; 2 P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 5 ; P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 1 P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 3 = 0 ; 4 Donner le graphe pondéré orienté associé à cette chaîne de Markov. 5. Chaîne de Markov: du graphe vers la matrice de transition E.5390 On considère un phénomène évolutif entre deux états A et B . On note respectivement a n et b n l’effectif associé à ces deux états au rang n . Ci-dessous est représenté le graphe pondéré orienté associé à cette évolution : Déterminer la matrice T de transition vérifiant la relation: https://chingmath.fr chapExoCorrec/5515 sacados/5515 chapExoCorrec/8216 sacados/8216 chapExoCorrec/8217 sacados/8217 chapExoCorrec/5390 sacados/5390 AB0,350,70,650,3
a n +1 b n +1 = a n b n · T E.8640 On considère un phénomène évolutif entre deux états A et B . On note respectivement a n et b n l’effectif associé à ces deux états au rang n . Le graphe ci-dessous représente le graphe pondéré orienté as-socié. Déterminer la matrice T de transition vérifiant la relation: a n +1 b n +1 = T · a n b n E.6393 On s’intéresse à la répétition d’une expérience aléatoire comportant trois issues A , B , C . À chaque répétition, l’évolution des proba-bilités de ses issues est soumise aux probabilités conditionnelles ré-sumées dans les graphes proba-bilistes ci-dessous. On note a n , b n , c n les probabilités respectives des événements A , B , C lors de la n ième répétition. Déterminer la matrice M de transition vérifiant : a n +1 b n +1 c n +1 = M · a n b n c n E.5487 Le graphe ci-dessous représente une marche aléatoire entre trois états A , B et C : On note a n , b n , c n les probabilités associées à chacun des états à l’étape n . 1 Déterminer une expression de chacun des termes a n +1 , b n +1 , c n +1 en fonction de a n , b n et c n . 2 Modélisation des états par une matrice ligne On note U n = a n b n c n la matrice-ligne représentant l’état à l’étape n . Déterminer la matrice A de transition réalisant l’égalité: U n +1 = U n · A 3 Modélisation des états par une matrice colonne On note V n = a n b n c n la matrice-colonne représentant l’état à l’étape n . Déterminer la matrice B de transition réalisant l’égalité: V n +1 = B · V n E.8638 On s’intéresse à la répétition d’une expérience aléatoire comportant trois issues A , B , C . À chaque répétition, l’évolution des proba-bilités de ses issues est soumise aux probabilités conditionnelles ré-sumées dans les graphes proba-bilistes ci-dessous. On note a n , b n , c n les probabilités respectives des événements A , B , C lors de la n ième répétition. Déterminer la matrice M de transition vérifiant : a n +1 b n +1 c n +1 = a n b n c n · M E.6128 On considère deux villes A 1 et A 2 d’une même région et on étudie les mouvements migratoires entre ces deux villes: 1 L’étude montre que : Chaque année 20 % de la population de la ville A 1 par-tent s’installer dans la ville A 2 Chaque année 60 % de la population de la ville A 2 par-tent s’installer dans la ville A 1 On schématise cette situation par le graphe ci-dessous : On souhaite rassembler ces données dans la matrice M composée de deux lignes et de deux colonnes. Le coeffi-cient m ij , situé à la i e ligne et la j e colonne, représentent la fréquence des personnes habitant la première année dans la ville A i et vivant l’année suivante dans la ville A j . a Quelle interprétation peut-on donner des coefficients m 21 et m 22 ? b Écrire la matrice représentant cette situation. 2 Une nouvelle étude donne les chiffres suivants : Chaque année 65 % de la population de la ville A 1 ne déménage pas. Chaque année 30 % de la population de la ville A 2 ne déménage pas. a Produire le graphe représentant cette situation. b En conservant les conventions de la question 1 b , écrire la matrice correspondant à cette matrice. 6. Chaîne de Markov: utilisation de la matrice de transition https://chingmath.fr chapExoCorrec/8640 sacados/8640 AB0,20,60,80,4 chapExoCorrec/6393 sacados/6393 ABC0,30,50,60,30,40,30,20,10,3 chapExoCorrec/5487 sacados/5487 ABC0,40,50,40,30,50,30,10,30,2 chapExoCorrec/8638 sacados/8638 ABC0,350,150,20,60,580,290,50,20,13 chapExoCorrec/6128 sacados/6128 A1A20,20,60,80,4
E.8641 On considère une chaîne de Markov dans l’espace des états Ω= e 1 ; e 2 ; e 3 Pour n ∈ N , la distribution des états à l’étape n est représen-tée par la matrice ı n définie par : ı n = P X n = e 1 P X n = e 2 P X n = e 3 La matrice de transition A associée à cette évolution vérifiant la relation ı n +1 = ı n · A est donnée ci-dessous : A = 0 ; 1 0 ; 4 0 ; 5 0 ; 2 0 ; 1 0 ; 7 0 ; 3 0 ; 6 0 ; 1 Déterminer les probabilités suivantes : a P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 b P ( X n = e 3 ) X n +1 = e 2 E.8639 On considère une chaîne de Markov dans l’espace des états Ω= e 1 ; e 2 Pour n ∈ N , la distribution des états à l’étape n est représen-tée par la matrice ı n définie par : ı n = P X n = e 1 P X n = e 2 La matrice de transition A associée à cette évolution vérifiant la relation ı n +1 = ı n · A est donnée ci-dessous : A = 0 ; 1 0 ; 9 0 ; 4 0 ; 6 1 Déterminer la probabilité : P ( X n = e 2 ) X n +2 = e 1 2 a Donner la matrice A 2 . b Quelle remarque peut-on faire? Quelle conjecture peut-on émettre? 7. Chaîne de Markov: recherche de la valeur des états E.8643 On considère la chaîne X n de Markov dans l’espace des états e 1 ; e 2 définie, pour tout entier naturel n , par : P X = e 1 = 0 ; 3 ; P X = e 2 = 0 ; 7 P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 8 ; P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 2 P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 0 ; 4 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 0 ; 6 1 a Compléter l’arbre de probabilité ci-dessous : b Déterminer les probabilités suivantes : P X 2 = e 1 ; P X 2 = e 2 2 Pour tout entier naturel n , on note M n la matrice des distributions à l’étape n définie par : M n = P X n = e 1 P X n = e 2 On note A la matrice de transition associée à la chaîne de Markov réalisant la relation: M n +1 = M n · A a Donner la matrice A . b À l’aide de la calculatrice, donner la matrice: M 0 · A 2 c Que remarque-t-on? E.6391 On considère deux gaz A et B qui en contact se transforme l’un en l’autre. Au départ, le mélange est composé de 20 ‘ de gaz A et 50 ‘ de gaz B . Une étude montre que chaque heure : 20 % du gaz A se transforme en gaz B ; 60 % du gaz B se transforme en gaz A . On schématise ce phénomène par le graphe pondéré suivant : 1 Déterminer la composition du mélange au bout de 3 h . 2 À l’aide de la calculatrice, effectuer le calcul: 20 50 · 0 ; 8 0 ; 2 0 ; 6 0 ; 4 3 E.6392 Le graphe ci-dessous représente une marche aléatoire entre trois états A , B et C : On note a n , b n , c n les probabil-ités associées à chacun des états à l’étape n . Les valeurs initiales sont : a 0 =5 ; b 0 =2 ; c 0 =7 1 Donner la matrice M de transition associée à ce graphe probabiliste vérifiant : a n +1 b n +1 c n +1 = a n b n c n · M 2 À l’aide de la calculatrice, déterminer les valeurs asso-ciées à chacun de ses états à l’étape 3 . On arrondira les résultats au millième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8641 sacados/8641 chapExoCorrec/8639 sacados/8639 chapExoCorrec/8643 sacados/8643 :::::::::e1:::e2e1::::::e1:::e2e2e1:::::::::e1:::e2e1::::::e1:::e2e2e2 chapExoCorrec/6391 sacados/6391 AB0,20,60,80,4 chapExoCorrec/6392 sacados/6392 ABC0,30,60,40,40,50,30,10,20,2
E.6394 Le graphe ci-dessous représente une marche aléatoire entre trois états A , B et C : On considère la matrice-ligne: U 0 = 0 ; 3 0 ; 4 0 ; 3 représentant la valeur des probabil-ités d’être situé sur chacun des som-mets à l’étape 0 . À l’aide de calculatrice et en observant les différents termes U 1 , U 2 , U 3 ,. . . , U 20 , quelle conjecture peut-on effectuer? E.5488 Le graphe ci-dessous représente une marche aléatoire entre trois états A , B et C : On considère la matrice-colonne U 2 = 0 ; 4 0 ; 3 0 ; 3 représen- tant la valeur des probabilités d’être situé sur chacun des som-mets à l’étape 2 . 1 Donner la matrice de transition A réalisant la relation de récurrence : U n +1 = U n · A pour tout entier n ∈ N 2 Déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur initiale des probabilités. E.5374 Une ville est composée principale-ment de deux quartiers qu’on note A et B . Le quartier A est composé de 251 habitants et le quartier B est composé de 386 habitants. 1 En choisissant au hasard un habitant dans la ville, quelle est la probabilité que celui-ci vienne du quartier A ? On arrondira les probabilités au millième. On note a 0 la probabilité de choisir un habitant du quartier A et b 0 la probabilité de choisir un habitant du quartier B . La matrice ligne U 0 définie par a 0 b 0 représente l’état de ces probabilités lors de la première année d’étude de cette ville. Chaque année, on estime : 5 % des habitants du quartier A déménagent pour aller dans le quartier B ; 12 % des habitants du quartier B déménagent pour aller dans le quartier A ; On note a n (resp. b n ) la probabilité de choisir respectivement un habitant du quartier A (resp. du quartier B ) lors de la n-ième année d’étude. On considère la matrice ligne U n définie par : U n = a n b n 2 a Recopier et compléter le diagramme ci-dessous afin de représenter les flux de populations entre ces deux quartiers. b Écrire les termes a n +1 et b n +1 en fonction des valeurs de a n et b n . c Déterminer la matrice carrée T de dimensions 2 réal-isant l’égalité pour tout entier naturel n : U n +1 = U n · T 3 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir la re-lation suivante pour tout entier naturel n : U n = U 0 · T n 4 À l’aide de la calculatrice ou d’un logiciel de calcul ma-triciel, déterminer les matrices ligne U 5 , U 10 et U 20 dont les coefficients seront arrondis à 10 − 5 . 8. Chaîne de Markov: distribution invariante E.8646 On considère une chaîne X n de Markov dans l’espace des états e 1 ; e 2 ; e 3 dont le graphe associé est donné ci-contre. Vérifier que la matrice ı représentant la distribution invariante est : ı = 0 ; 25 0.5 0.25 E.6117 Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H . Les constats faits les premières semaines conduisent à mod-éliser l’évolution du choix du fournisseur pour les commandes d’une semaine à l’autre par un graphe probabiliste de som-mets A et H où : A désigne l’état: ˇ la commande est passée auprès du fournisseur A ı ; H désigne l’état: ˇ la commande est passée auprès du fournisseur H ı. La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l’ordre A et H , est : M = 0 ; 95 0 ; 05 0 ; 1 0 ; 9 1 Dessiner le graphe probabiliste associé à la matrice M . 2 Donner la signification du nombre 0 ; 95 dans la matrice M . 3 Vérifier que la matrice ligne P = 2 3 1 3 correspond à l’état stable du système. En donner une interprétation. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6394 sacados/6394 ABC0,10,30,20,60,10,10,60,20,8 chapExoCorrec/5488 sacados/5488 ABC0,50,10,20,70,50,20,40,10,3 chapExoCorrec/5374 sacados/5374 AB chapExoCorrec/8646 sacados/8646 e1e2e30,10,60,30,10,10,70,30,60,2 chapExoCorrec/6117 sacados/6117
9. Chaîne de Markov: recherche de la distribution invariante E.8645 On considère une chaîne X n de Markov dans l’espace des états e 1 ; e 2 ; e 3 dont les évolu-tions, étape par étapes, des distributions sont représentées par le graphe : 1 Donner la matrice A de transition associée à ce graphe. On note ı = x y z la matrice représentant la distribution invariante de la chaîne X n . Elle vérifie l’égalité: ı · A = ı 2 On considère la matrice B : B = − 0 ; 7 0 ; 1 0 ; 6 0 ; 2 − 0 ; 6 0 ; 4 0 ; 6 0 ; 2 − 0 ; 8 a Justifier l’égalité: ı · B = 0 0 0 b À l’aide de la calculatrice, donner le déterminant de la matrice B . c Justifier l’équivalence des deux systèmes d’équations linéaires: − 0 ; 7 · x + 0 ; 2 · y + 0 ; 6 · z = 0 0 ; 1 · x − 0 ; 6 · y + 0 ; 2 · z = 0 0 ; 6 · x + 0 ; 4 · y − 0 ; 8 · z = 0 ⇐⇒ − 0 ; 7 · x + 0 ; 2 · y + 0 ; 6 · z = 0 0 ; 1 · x − 0 ; 6 · y + 0 ; 2 · z = 0 0 ; 1 · x − 0 ; 6 · y + 0 ; 2 · z = 0 d Que peut-on en déduire sur l’ensemble des solutions de ce système? 3 On considère la matrice C : C = − 0 ; 7 0 ; 1 1 0 ; 2 − 0 ; 6 1 0 ; 6 0 ; 2 1 a Justifier que la matrice ı vérifie: ı · C = 0 0 1 b Justifier : C · − 0 ; 8 0 ; 1 0 ; 7 0 ; 4 − 1 ; 3 0 ; 9 0 ; 4 0 ; 2 0 ; 4 = I 3 c En déduire les coefficients de la matrice ı . E.8644 On considère une chaîne de Markov X n dont l’espace des états est e 1 ; e 2 et dont la distribu-tion initiale est : P X 0 = e 1 = 0 ; 3 ; P X 0 = e 2 = 0 ; 7 Le graphe ci-dessous représente l’évolution des distributions, étape par étape :: Déterminer la matrice représentant la distribution invariante de cette chaîne de Markov. 10. Chaîne de Markov: comportement asymptotique E.5391 On considère l’univers composé des deux états Ω= e 1 ; e 2 . La distribution initiale X 0 a pour loi de probabilité : P X 0 = e 1 = 1 3 ; P X 0 = e 2 = 2 3 On note X n la chaîne de Markov définit par les relations suivantes : P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 1 = 3 5 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 1 = 2 5 P ( X n = e 1 ) X n +1 = e 2 = 2 5 ; P ( X n = e 2 ) X n +1 = e 2 = 3 5 1 a Compléter le graphe pondéré orienté associé à cette chaîne de Markov: b Donner la matrice A de transition associée à ce graphe. 2 On considère la matrice M définie par : M = 1 1 − 1 1 a Justifier que M est une matrice inverse, puis donner M − 1 . b Déterminer la matrice D = x 0 0 y vérifiant : A = M · D · M − 1 c Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, l’identité suivante pour tout entier naturel n : A n = M · D n · M − 1 d En déduire que, pour tout entier naturel n , la distribu-tion à l’étape n est définie par : P X n = e 1 P X n = e 2 = − 1 6 × 5 n + 1 2 1 6 × 5 n + 1 2 e En déduire la distribution invariante ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/8645 sacados/8645 e1e2e30,10,60,20,40,60,20,30,40,2 chapExoCorrec/8644 sacados/8644 e1e20,90,60,10,4 chapExoCorrec/5391 sacados/5391 e1e2
E.8642 On considère une chaîne X n de Markov dans l’espace des états e 1 ; e 2 . Pour tout entier na-turel n , on note ı n la distribution à l’étape n sous forme de matrice ligne: ı n = P X n = e 1 P X n = e 2 On considère l’identité ı n +1 = ı n · A , pour tout entier naturel n , où la matrice de transition A est définie par : A = 7 15 8 15 4 15 11 15 La distribution initiale est : ı 0 = 1 2 1 2 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir pour tout entier naturel n : ı n = 1 3 + 1 6 × 5 n 2 3 − 1 6 × 5 n 2 En déduire la distribution invariante de cette chaîne de Markov. 11. Etude d’un graphe probabiliste E.6400 Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H . Les constats faits les premières semaines conduisent à mod-éliser l’évolution du choix du fournisseur pour les commandes d’une semaine à l’autre par un graphe probabiliste de som-mets A et H où : A désigne l’état: ˇ la commande est passée auprès du fournisseur A ı ; H désigne l’état: ˇ La commande est passée auprès du fournisseur H ı. Pour tout entier naturel n , on note : a n la probabilité de l’événement : ˇ La semaine n , l’entreprise E commande ses fournitures auprès du four-nisseur A ı ; h n la probabilité de l’événement : ˇ La semaine n , l’entreprise E commande ses fournitures auprès du four-nisseur H ı ; P n la matrice a n h n correspondant à l’état proba-biliste pour la semaine n . La matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans l’ordre A et H , est définie par : M = 0 ; 95 0 ; 05 0 ; 1 0 ; 9 ; P n +1 = P n · M 1 Dessiner le graphe probabiliste associé à la matrice M . 2 Donner la signification du nombre 0 ; 95 dans la matrice M . 3 Vérifier que la matrice P = 2 3 1 3 correspondant à l’état stable du système. En donner une interprétation. 4 On donne P 0 = 0 ; 4 0 ; 6 et on rappelle que : P k = P 0 × M k pour k entier naturel. Déterminer la semaine où, pour la première fois, la proba-bilité que l’entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu’elle les com-mande auprès du fournisseur H . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8642 sacados/8642 chapExoCorrec/6400 sacados/6400 Extrait d'Asie Juin 2014