Terminale Option Experte / Congruences 56 exercices (100% corrigés)

a
1. Congruence E.3402 Définition: soit a et b deux entiers relatifs ( a; b ∈ Z ) et c un entier naturel non-nul ( c ∈ N ∗ ) : a ≡ b ( mod. c ) ⇐⇒ ( a − b ) multiple de c . Vérifier la véracité de chacune des égalités suivantes : a 15 ≡ 27 ( mod. 3) b 17 ≡ 11 ( mod. 4) c 153 ≡ 237 ( mod. 12) d − 5 ≡ 8 ( mod. 13) e − 81 ≡ 224 ( mod. 6) f 37 4 ≡ 1 ( mod. 4) E.3365 1 Déterminer une valeur de l’entier a ∈ 10 ; 20 pour laque-lle l’égalité est vraie: a 25 ≡ a ( mod. 4) b 37 ≡ a ( mod. 10) c 52 ≡ a ( mod. 7) d 5 ≡ a ( mod. 14) e 1 ≡ a ( mod. 9) f 13 ≡ a ( mod. 5) 2 Déterminer une valeur de n pour laquelle l’égalité est vraie: a 21 ≡ 1 ( mod. n ) b 14 ≡ 4 ( mod. n ) c 9 ≡ 14 ( mod. n ) d 10 ≡ 25 ( mod. n ) E.4283 1 Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009 par 11 . 2 Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11 . 3 Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11 . 2. Opérations sur les congruences E.5826 Utiliser les congruences pour calculer les restes de la division euclidienne par 7 des entiers suivants : a 5 6 b 5 6 p ; pour p ∈ N ∗ c 33 38 E.4286 1 Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 009 2 par 16 . 2 En déduire que : 2009 8001 ≡ 2009 ( mod. 16) . E.3417 Pour chacune des proposi- tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Pour tout entier naturel n non-nul : ˇ 5 6 n +1 + 2 3 n +1 est divisible par 5 ı? ˇ 5 6 n +1 + 2 3 n +1 est divisible par 7 ı? E.4290 Pour tout entier naturel a , démontrer que : si a 17 ≡ b ( mod. 55) et si a 40 ≡ 1 ( mod. 55) alors b 33 ≡ a ( mod. 55) 3. Opérations sur les congruences et problèmes E.3406 Dans cet exercice, on étudie la divisibilité par 11 en exploitant la congruence modulo 11 des puissances de 10 . 1 a Vérifier que : 100 ≡ 1 ( mod. 11) . En déduire que : 10 4 ≡ 1 ( mod. 11) . b Vérifier que : 10 ≡ − 1 ( mod. 11) . En déduire que : 10 3 ≡ − 1 ( mod. 11) 10 5 ≡ − 1 ( mod. 11) 2 a En utilisant l’égalité 3 729=37 × 100+29 et les résul-tats précédents, montrer que 3 729 est divisible par 11 . b En utilisant la méthode précédente, étudier la divisi-bilité de 9 240 par 11 . 3 a En utilisant l’égalité: 3 729 = 3 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 9 et les résultats précédents, montrer que 3729 est divis-ible par 11 . b En utilisant cette méthode, étudier la divisibilité de 9 240 par 11 . 4 Étudier la divisibilité de 197 277 par 11 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3402 sacados/3402 chapExoCorrec/3365 sacados/3365 chapExoCorrec/4283 sacados/4283 Extrait de Metropole Septembre 2009 chapExoCorrec/5826 sacados/5826 Bac Montpellier Juin 1970 chapExoCorrec/4286 sacados/4286 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/3417 sacados/3417 Extrait de Liban Juin 2008 chapExoCorrec/4290 sacados/4290 chapExoCorrec/3406 sacados/3406 Term L Japon Juin 2003
E.3468 On considère les entiers : A = 8 387 592 115 ; B = 9 276 312 516 . 1 a Montrer que 1 000 est divisible par 8 . b Montrer que A est congru à 3 modulo 8 . c Donner l’entier naturel b strictement inférieur à 8 tel que B soit congru à b modulo 8 . 2 Déterminer les entiers naturels strictement inférieurs à 8 qui sont congrus respectivement à A + B et à A · B 3 a Montrer que B 2 est divisible par 8 . b Montrer que A 2 n’est pas divisible par 8 . c Montrer que A 100 n’est pas divisible par 8 . E.6804 On considère l’entier de Mersenne 2 33 − 1 . Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. 2 33 − 1 ÷ 3 2863311530 2 33 − 1 ÷ 4 2147483648 2 33 − 1 ÷ 12 715827882 ; 6 Il affirme que 3 divise 2 33 − 1 et 4 divise 2 33 − 1 et 12 ne divise pas 2 33 − 1 . 1 Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 2 33 − 1 . 2 En remarquant que 2 ≡− 1 ( mod. 3) , montrer que, en réalité, 3 , ne divise pas 2 33 − 1 . 3 Calculer la somme : S =1+2 3 + 2 3 2 + 2 3 3 + ··· + 2 3 10 4 En déduire que 7 divise 2 33 − 1 . E.3469 Le numéro I.N.S.E.E. est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à droite : Le premier chiffre est 1 s’il s’agit d’un homme, 2 s’il s’agit d’une femme ; les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l’année de naissance ; les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ; les deux chiffres suivants désignent le département de naissance ; les trois chiffres suivants désignent la commune de nais-sance ; les trois chiffres suivants désignent le numéro d’inscription sur le registre civil; les deux derniers chiffres désignent la clé K , calculée de la manière suivante : Soit A le nombre entier constitué par les 13 chiffres de gauche, soit r le reste de la division euclidienne de A par 97, alors K =97 − r Les 13 premiers chiffres (sans clé) du nombre I . N . S . E . E . de Sophie sont 2850786183048 . On note A cet entier et r le reste de la division euclidienne de A par 97. 1 Donner le mois de l’année de naissance de Sophie. 2 a Déterminer les deux entiers a et b tels que : A = a × 10 6 + b avec 0 b< 10 6 . b En utilisant le reste de 100 dans sa division euclidienne par 97; montrer que : 10 6 ≡ 27 ( mod. 97) c En déduire le reste r de la division euclidienne de A par 97. 3 Déterminer la clé K du numéro I.N.S.E.E. de Sophie. 4 Sophie, à qui l’on demande les treize premiers chiffres de son numéro I.N.S.E.E., inverse les deux derniers chiffres et répond 2850786183084 à la place de 2850786183048. On note B la réponse de Sophie. a Calculer la différence B − A et en déduire que le reste de la division euclidienne de B par 97 est égal à 21. b L’erreur faite par Sophie peut-elle être détectée ? 4. Congruence et expression E.3388 Démontrer que, pour tout entier naturel n , 4 n est congru à 1 modulo 3 . E.4274 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n non nul par : u n =2 n +3 n + 6 n − 1 1 Calculer les six premiers termes de la suite. 2 Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n est pair. 3 Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, u n est divisible par 4 . E.3632 1 Montrer que pour tout entier naturel n , 3 divise l’entier 2 2 n − 1 . 2 Soit p un entier naturel. Montrer que parmi les entiers p , p +10 , p +20 , un et un seul d’entre eux est divisible par 3. E.3598 Soit n un entier relatif. Indi-quer si la proposition suivante est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie : n 2 + n +3 ≡ 0 ( mod. 5) si, et seulement si, n ≡ 1 ( mod. 5) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3468 sacados/3468 chapExoCorrec/6804 sacados/6804 chapExoCorrec/3469 sacados/3469 chapExoCorrec/3388 sacados/3388 chapExoCorrec/4274 sacados/4274 chapExoCorrec/3632 sacados/3632 chapExoCorrec/3598 sacados/3598
E.3405 1 a Montrer que 1999 est congru à 4 modulo 7 . b Déterminer le plus petit nombre entier naturel congru à 2007 modulo 7 . 2 Soit n un nombre entier naturel congru à 5 modulo 7 . a Déterminer un nombre entier naturel congru à n 3 mod-ulo 7 . b En déduire que ( n 3 +1) est divisible par 7 . 3 Montrer que si n est un nombre entier naturel congru à 4 modulo 7 alors ( n 3 − 1) est divisible par 7 . 4 On considère l’entier: A =1999 3 +2007 3 . Sans calculer A , montrer en utilisant les résultats précé-dents que A est divisible par 7 . E.4287 Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a =0 . On considère le nombre N = a × 10 3 + b . On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme : N = a 00 b On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers na-turels N ceux qui sont divisibles par 7 . 1 Vérifier que : 10 3 ≡− 1 ( mod. 7) 2 En déduire tous les nombres entiers N cherchés. E.6925 Soit p , q , r trois entiers relat-ifs vérifiant : − 3 p + q + 2 r ≡ 0 ( mod. 6) 3 p − 3 q ≡ 0 ( mod. 6) 6 p + 2 q − 2 r ≡ 0 ( mod. 6) En déduire que ces entiers vérifient le système : q − r ≡ 0 ( mod. 3) p − q ≡ 0 ( mod. 2) 5. Etude des restes d’une expression E.3493 Soit n un entier naturel. 1 Développer ( n +3) 4 . 2 Montrer que : ( n + 3) 4 ≡ n 4 + 2 n 2 + 1 ( mod. 4) 3 Étudier en fonction du reste de la division euclidienne de n par 4, la divisibilité de ( n +3) 4 par 4 . E.5830 1 Étudier, suivant les valeurs de l’entier naturel n , le reste de la division par 7 de l’entier: A = n 2 − n +1 2 En déduire les entiers n tels que l’entier A soit divisible par 7 . 3 Déterminer le reste de la division par 7 de l’entier: B = 2 753 2 − 2 753 + 1 E.4278 On considère l’équation ( E ) : x 2 + y 2 ≡ 0 ( mod. 3) où ( x ; y ) est un couple d’entiers relatifs. Établir que si un couple est solution de l’équation ( E ) alors c’est un couple de multiple de 3 . E.3278 Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. 1 Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x 2 par 7 ? 2 Démontrer que 7 divise x 2 + y 2 si, et seulement si, 7 divise x et 7 divise y . 6. Equations E.3404 1 a Pour tout n ∈ N , notons a le reste de la division eu-clidienne de 8 n par 5; compléter le tableau suivant : n 0 1 2 3 4 a b Montrer que, dans Z , l’équation 8 n ≡ 4 ( mod. 5) admet pour ensemble de solution tous les entiers relatifs dont le reste par la division euclidienne par 5 vaut 3 . On notera cet ensemble : S = 3+5 · k ⏐ ⏐ k ∈ Z 2 Établir que l’équation 5 n ≡ 2 ( mod. 6) admet dans Z pour ensemble de solution : S = 4+6 · k ⏐ ⏐ k ∈ Z 3 Dans Z , justifier que l’équation 6 n ≡ 5 ( mod. 4) n’admet aucune solution. E.5455 Soit x un entier relatif. En étudiant les restes possibles de la division euclidienne de x par 6 , résoudre dans Z les équations suivantes : a 5 · x ≡ 2 ( mod. 6) b 2 · x ≡ 3 ( mod. 6) E.8611 Soit x un entier relatif. En étudiant les restes possibles de la division euclidienne d’un entier x par 7 , résoudre dans Z les équations suivantes : a 4 · x ≡ 1 ( mod. 7) b 6 · x ≡ 3 ( mod. 7) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3405 sacados/3405 Term L Antille-guyane Juin 2002 chapExoCorrec/4287 sacados/4287 Extrait de Metropole Juin 2009 chapExoCorrec/6925 sacados/6925 chapExoCorrec/3493 sacados/3493 chapExoCorrec/5830 sacados/5830 Bac Cambodge et Laos Juin 1968 chapExoCorrec/4278 sacados/4278 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/3278 sacados/3278 chapExoCorrec/3404 sacados/3404 chapExoCorrec/5455 sacados/5455 chapExoCorrec/8611 sacados/8611
E.3599 On considère l’ensemble : A 7 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 1 Pour tout élément a de A 7 , écrire dans le tableau ci-dessous l’unique élément y de A 7 tel que : a · y ≡ 1 ( mod. 7) . a 1 2 3 4 5 6 y 6 2 Pour x entier relatif, démontrer que l’équation: 3 x ≡ 5 ( mod. 7) équivaut à x ≡ 4 ( mod. 7) . 3 Soit a un élément de A 7 , montrer que les seuls entiers re-latifs x solutions de l’équation a · x ≡ 0 ( mod. 7) sont les multiples de 7 . 7. Puissances congru à 0 E.5454 1 Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n réal-isant la congruence : 6 n ≡ 0 ( mod. 8) 2 Pour tout entier naturel n , déterminer la valeur du reste de l’entier A défini ci-dessous par la division euclidienne par 8 : A =6 n +9 n E.5453 1 Déterminer le plus petit entier k réalisant l’équivalence : 6 k ≡ 0 ( mod. 4) 2 Pour tout entier naturel a , à l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir la congruence ci-dessous pour tout en-tier naturel n non-nul : ( a + 6) n ≡ a n + 6 · n · a n − 1 ( mod. 4) E.3492 Dans l’exercice, n représente un en-tier naturel. 1 a Étudier le reste de la division euclidienne de 2 n par la division euclidienne par 4 en fonction des valeurs de n . b Étudier le reste de la division euclidienne de 3 n par la division euclidienne par 4 en fonction des valeurs de n . Indication : on effectuera une disjonction de cas sur la parité de n . 2 En déduire, en fonction de n , le reste, par la division euclidienne par 4, de la somme : 1 n + 2 n + 3 n + 4 n + 5 n 8. Puissances cycliques E.3403 1 Compléter le tableau ci-dessous où r n représente le reste de la division euclidienne de 7 n par 4: n 0 1 2 3 4 5 r n 2 En déduire le reste de la division euclidienne de 7 235 par 4. E.8612 1 Compléter le tableau ci-dessous où r n représente le reste de la division euclidienne de 12 n par 5: n 0 1 2 3 4 5 r n 2 Établir que l’entier 12 39 − 3 est divisible par 5 . E.5037 1 Compléter le tableau de valeurs suivant : n 0 1 2 3 4 3 n Reste de 3 n par 5 2 Justifier que pour tout entier naturel n , on a: 2008 4 · n ≡ 1 ( mod. 5) 3 En déduire que 2008 2008 − 31 est divisible par 5 . E.3571 1 Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 009 par 11. 2 Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11. 3 Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2 009 + 2 009 par 11. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3599 sacados/3599 chapExoCorrec/5454 sacados/5454 chapExoCorrec/5453 sacados/5453 chapExoCorrec/3492 sacados/3492 chapExoCorrec/3403 sacados/3403 chapExoCorrec/8612 sacados/8612 chapExoCorrec/5037 sacados/5037 chapExoCorrec/3571 sacados/3571 Extrait de Metropole et Reunion Septembre 2009
E.3408 1 a Déterminer les restes de la division euclidienne par 7 des entiers 3 n pour n ∈ N où n 6 . On complétera le tableau suivant : Puissance de 3 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 Reste modulo 7 b En déduire que, pour tout k ∈ N , 3 6 k est congru à 1 modulo 7 . 2 a Déterminer le plus petit entier naturel congru à 1515 modulo 7 . b Après avoir remarqué que 2004=6 × 334 , déduire de la question 1 le reste de la division euclidienne de 1515 2004 par 7 . c Montrer que dans la division euclidienne de 1515 2006 par 7 , le reste est 2 . E.8613 Déterminer le reste de la division euclidienne de 17 159 541 par 7. Indication : on utilisera la congruence : 2 3 ≡ 1 ( mod. 7) E.3491 1 On s’intéresse, pour tout entier naturel n , au reste de la division euclidienne de 2 n par 7. a Compléter le tableau suivant : n 0 1 2 3 4 Reste de la division de 2 n par 7 b On note r le reste de la division euclidienne de n par 3 ; justifier l’égalité suivante : 2 n ≡ 2 r ( mod. 7) 2 a En déduire que pour tout entier naturel k , l’entier 2 3 · k − 1 est un multiple de 7. b Montrer que pour tout entier naturel k , l’entier 2 3 · k +1 − 2 est un multiple de 7. E.3489 1 a Déterminer le reste de la division euclidienne de 10 3 par 27 . b En déduire le reste de la division euclidienne par 27 de l’entier suivant : A =345 948 546 421 2 Déterminer le reste de la division euclidienne par 16 du nombre suivant : B =15 × 33 51 − 9 × 18 152 +15 37 E.3553 Soit n un entier naturel. 1 Trouver suivant les valeurs de n , les restes de la division de 5 n par 13 . 2 En déduire que 1981 1981 − 5 est divisible par 13 . 3 Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , l’entier N =31 4 n +1 +18 4 n − 1 est divisible par 13. E.4309 On considère l’entier N =11 2011 . Montrer que l’entier N est congru à 4 modulo 7 . E.4282 Pour n un entier naturel non-nul, on considère l’équation notée ( G ) : 3 · x 2 +7 · y 2 =10 2 · n où x et y sont des entiers relatifs. 1 Montrer que : 100 ≡ 2 ( mod. 7) Démontrer que si ( x ; y ) est solution de ( G ) alors: 3 · x 2 ≡ 2 n ( mod. 7) . 2 Reproduire et compléter le tableau suivant : Reste de la division euclidienne de x par 7 0 1 2 3 4 5 6 Reste de la division euclidienne de 3 · x 2 par 7 3 Démontrer que 2 n est congru à 1 , 2 , ou 4 modulo 7 . En déduire que l’équation ( G ) n’admet pas de solution. E.4277 On considère la relation: ( F ): 7 n − 3 × 2 m =1 1 On suppose m 4 . Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions. 2 On suppose maintenant que m 5 . a Montrer que si le couple ( n ; m ) vérifie la relation ( F ) alors: 7 n ≡ 1 ( mod. 32) . b En étudiant les restes de la division par 32 des puis-sances de 7 , montrer que ( n ; m ) vérifie la relation ( F ) alors n est divisible par 4 . c En déduire que si le couple ( n ; m ) vérifie la relation ( F ) alors 7 n ≡ 1 ( mod. 5) 9. Raisonnement par récurrence E.3457 Montrer par un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n , l’entier 5 n − 1 est un multiple de 4. E.3296 Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel n , on a: 5 n +2 ≡ 25 ( mod. 100) E.3294 On considère la suite u n d’entiers naturels définie par : u 0 = 14 ; u n +1 = 5 u n − 6 pour tout n ∈ N Montrer que, pour tout entier naturel n , u n +2 ≡ u n ( mod. 4) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3408 sacados/3408 chapExoCorrec/8613 sacados/8613 chapExoCorrec/3491 sacados/3491 chapExoCorrec/3489 sacados/3489 chapExoCorrec/3553 sacados/3553 chapExoCorrec/4309 sacados/4309 chapExoCorrec/4282 sacados/4282 Extrait de Nouvelle-Caledonie Novembre 2009 chapExoCorrec/4277 sacados/4277 chapExoCorrec/3457 sacados/3457 chapExoCorrec/3296 sacados/3296 chapExoCorrec/3294 sacados/3294
E.3458 On considère la suite u n d’entiers naturels définie par : u 0 = 14 ; u n +1 = 5 · u n − 6 pour tout n ∈ N 1 Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel : 2 · u n = 5 n +2 + 3 2 a Justifier que pour tout entier naturel n , 2 · u n est un multiple de 4. b Montrer que pour tout entier naturel n , on a: 2 · u n ≡ 28 ( mod. 100) E.3596 Partie A 1 Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 009 2 par 16 . 2 En déduire que : 2 009 8 001 ≡ 2 009 ( mod. 16) Partie B On considère la suite u n définie sur N par u 0 =2 009 2 − 1 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = u n +1 5 − 1 . 1 a Démontrer que u 0 est divisible par 5 . b Démontrer, en utilisant la formule du binôme de New-ton, que pour tout entier naturel n : u n +1 = u n · u 4 n + 5 · u 3 n + 2 · u 2 n + 2 · u n + 1 c Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , u n est divisible par 5 n +1 . 2 a Vérifier que u 3 =2 009 250 − 1 puis en déduire que 2 009 250 ≡ 1 ( mod. 625) . b Démontrer alors que : 2 009 8 001 ≡ 2 009 ( mod. 625) 10. Ecriture des entiers dans une base E.3407 Un entier naturel N s’écrit cabc dans le système de numération à base cinq où a , b , c sont non nuls, c’est-à-dire : N = c × 5 3 + a × 5 2 + b × 5 + c où a , b , c sont des entiers tels que : 0 <a < 5 ; 0 <b < 5 ; 0 <c < 5 Ce même entier N s’écrit aba dans le système de numération à base huit. 1 Montrer que N =65 a +8 b et en déduire que : 40 a = 126 c − 3 b . 2 a Justifier que : 40 a ≡ 0 ( mod. 3) . En déduire la valeur de a . b Montrer que : b ≡ 0 ( mod. 2) . Déterminer les valeurs de b et c . c Donner l’écriture de l’entier N dans les bases cinq, huit et dix. E.3323 Partie A : Question de cours Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances? Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplica-tion. Partie B On note 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , ¸ , ˛ les chiffres de l’écriture d’un entier en base 12. Par exemple: ˛¸ 12 = ˛ × 12 2 + ¸ × 12 + 7 = 11 × 12 2 + 10 × 12 + 7 = 1711 en base 10 1 a Soit N 1 l’entier s’écrivant en base 12: N 1 = ˛ 1 ¸ 12 Déterminer l’écriture de N 1 en base 10. b Soit N 2 l’entier s’écrivant en base 10: N 2 = 1131 = 1 × 10 3 + 1 × 10 2 + 3 × 10 + 1 Déterminer l’écriture de N 2 en base 12. Dans toute la suite , un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 : N = a n · · · a 1 a 0 12 2 a Démontrer que N ≡ a 0 ( mod. 3) . En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un entier écrit en base 12. b À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N 2 est divisible par 3 . Confirmer avec son écriture en base 10. 3 a Démontrer que N ≡ a n + ··· + a 1 + a 0 ( mod. 11) . En dé-duire un critère de divisibilité par 11 d’un entier écrit en base 12. b À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si N 1 est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10. 4 Un entier N s’écrit x 4 y 12 . Déterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33. 11. Cours E.3373 Rappel: Pour deux entiers relatifs a et b , on dit que a est congru à b modulo 7 , et on écrit a ≡ b ( mod. 7) lorsqu’il existe un entier relatif k tel que a = b +7 k . Cette question constitue une restitution organisée de connais-sances : 1 Soient a , b , c et d des entiers relatifs. Démontrer que : Si a ≡ b ( mod. 7) et c ≡ d ( mod. 7) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3458 sacados/3458 chapExoCorrec/3596 sacados/3596 Extrait de Liban Juin 2009 chapExoCorrec/3407 sacados/3407 chapExoCorrec/3323 sacados/3323 chapExoCorrec/3373 sacados/3373
alors a · c ≡ b · d ( mod. 7) . 2 En déduire que : pour a et b entiers relatifs non nuls. Si a ≡ b ( mod. 7) alors pour tout entier naturel n , a n ≡ b n ( mod. 7) . E.738 Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2 et a un entier naturel non-nul Montrer que s’il existe un entier naturel n tel que a n ≡ 0 ( mod. p ) alors pour tout entier naturel k , on a l’implication: k n = ⇒ a k ≡ 0 ( mod. p ) 12. Exercices non-classés E.1716 1 Déterminer la division euclidienne de 1038 par 17. 2 En étudiant le carré (61 × 17+1) 2 , déterminer le reste de la division euclidienne de 1038 2 par 17. 3 Pour tout entier naturel n , en déduire une conjecture sur la division euclidienne de 1038 n par 17. E.3627 Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation Soient a et b deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a =0 . On considère l’entier N = a × 10 3 + b . On rappelle qu’en base 10 cet entier s’écrit sous la forme : N = a 00 b On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers na-turels N ceux qui sont divisibles par 7 . 1 Vérifier que : 10 3 ≡− 1 ( mod. 7) 2 En déduire tous les nombres entiers N cherchés. E.5301 On considère l’entier naturel A qui s’écrit 1 x 416 dans le système de numération de base sept. 1 Déterminer x pour que : a A soit divisible par six; b A soit divisible par cinq. En déduire qu’il existe x tel que A soit divisible par trente. 2 On donne à x la valeur zéro. Déterminer l’écriture déci-male de A . Quel est le nombre de diviseurs positifs de A ? Quel est l’ensemble des diviseurs positifs de A qui sont premiers avec trois? E.4289 1 Quel est le reste de la division euclidienne de 6 10 par 11 ? Justifier. 2 Quel est le reste de la division euclidienne de 6 4 par 5 ? Justifier. 3 En déduire que : 6 40 ≡ 1 ( mod. 11) et 6 40 ≡ 1 ( mod. 5) . 4 Démontrer que 6 40 − 1 est divisible par 55 . E.5038 1 Soit n un entier naturel. Exprimer le reste de la division euclidienne de n 2 par 8 en fonction du reste de la division euclidienne de n par 4 . 2 Soit a et b deux entiers. Établir la propriété suivante : ˇSi a 2 + b 2 est un entier divisible par 8 alors a et b sont des entiers pairsı E.3717 Pour chacune des deux proposi-tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Pour tout entier naturel n non nul : 1 ˇ 5 6 n +1 +2 3 n +1 est divisible par 5 ı. 2 ˇ 5 6 n +1 +2 3 n +1 est divisible par 7 ı. E.6078 Pour chaque question, préciser si la proposition faite est vraie ou fausse : 1 Pour tout entier naturel n , on a: 2 3 n − 1 ≡ 0 ( mod. 7) 2 Soit x un entier naturel. Si x 2 + x ≡ 0 ( mod. 12) alors x ≡ 0 ( mod. 4) https://chingmath.fr chapExoCorrec/738 sacados/738 chapExoCorrec/1716 sacados/1716 chapExoCorrec/3627 sacados/3627 chapExoCorrec/5301 sacados/5301 Bac C - Lyon Juin 1980 4 points chapExoCorrec/4289 sacados/4289 chapExoCorrec/5038 sacados/5038 chapExoCorrec/3717 sacados/3717 Extrait de Liban Juin 2008 chapExoCorrec/6078 sacados/6078