Terminale Option Experte / Nombres complexes 40 exercices (100% corrigés)

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1. Ecriture algébrique d’un nombre complexe E.6788 Sachant que i 2 = − 1 , simplifier l’écriture des expressions suivantes : a i 2 b i 3 c i 4 d i 5 e i 14 f i 100 g i − 1 h i − 3 E.3782 Déterminer l’écriture algébrique de chacun des nombres complexes ci-dessous : a z 1 = 3 · 2 − i + i · 3 + 2 · i b z 2 = 5 + 2 · i · 1 − i E.8649 Déterminer l’écriture algébrique de chacun des nombres complexes ci-dessous : a z 3 = − 5 · i · 5 − 4 · i − 3 · i b z 4 = 5 + 2 · i · 5 − 2 · i E.6107 Déterminer l’écriture algébrique de chacun des nombres complexes ci-dessous : a z 1 = 5 + 2 · i 2 b z 5 = 2 − i 2 − 2 · 1 + 3 · i 2 E.3788 Soit x un nombre réel. On considère le nombre complexe z défini par l’égalité: z = x + 2 · i · 1 − x · i 1 Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe z . 2 a Pour quelle (s) valeur (s) de x , z est un nombre réel? b Pour quelle (s) valeur (s) de x , z est un imaginaire pur? 2. Calcul avec une expression E.5310 1 On considère le polynôme P à coefficient dans R définie sur C par : P =2 · z 3 + z 2 +2 · z +1 Vérifier que les trois nombres ci-dessous sont des racines du polynôme P : z 1 = − i ; z 2 = i ; z 3 = − 1 2 2 On considère le polynôme Q à coefficient dans C définie sur C par : Q =i · z 2 + 2+i · z +2 Vérifier que le nombre complexe z 4 =2 · i est une racine du polynôme Q . E.5311 1 On considère le polynôme P défini sur C par : P = 2 · z 3 + 3 · z 2 + 2 · z − 2 Vérifier que les deux complexes z 1 et z 2 sont des racines du polynôme P où : z 1 = − 1 + i ; z 2 = − 1 − i 2 On considère le polynôme Q défini sur C par : Q = z 3 + z 2 + 3 · z − 5 Vérifier que les deux complexes z 3 et z 4 sont des racines du polynôme Q où : z 3 = − 1 − 2 · i ; z 4 = − 1 + 2 · i 3. Equations E.5324 1 Dans C , on considère l’équation ( E ) définie par : ( E ) : z + 2 − i = (1 + i) · z Montrer que le nombre complexe − 1 − 2i est solution de l’équation ( E ) . 2 Dans C , on considère l’équation ( F ) définie par : ( F ) : ( z − 1 + 2 · i)( z + 2 · i) = z 2 − i Montrer que le nombre complexe − i est solution de l’équation ( F ) . E.3799 Rappel: un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Considérons l’équation ( E ) : i · z + 2 = i 1 En notant a +i · b l’écriture algébrique d’une solution z de l’équation ( E ) , montrer que : 2 − b +i · a − 1 =0 2 En déduire l’écriture algébrique de l’unique solution de l’équation ( E ) . E.8650 Dans C , résoudre les équations suiv-antes : a z + 2 · i · z = i b z + 2 − i · ( z + 1) = 0 E.8560 Résoudre, dans C , l’équation suiv-ante : (3 + i) · z − 3 · (5 · z − 2) = 0 E.6250 Résoudre, dans C , les équations : a z − 5 z − i = i b 2 − 3 · z z + i = − 2 · i + z Indication pour la seconde équation: l’ensemble C des nombres complexes est dit intègre . C’est-à-dire qu’il vérifie la propriété pour tout nombre complexe a et b : a · b =0 = ⇒ a =0 ou b =0 4. Conjugué: définitions https://chingmath.fr chapExoCorrec/6788 sacados/6788 chapExoCorrec/3782 sacados/3782 chapExoCorrec/8649 sacados/8649 chapExoCorrec/6107 sacados/6107 chapExoCorrec/3788 sacados/3788 chapExoCorrec/5310 sacados/5310 chapExoCorrec/5311 sacados/5311 chapExoCorrec/5324 sacados/5324 chapExoCorrec/3799 sacados/3799 chapExoCorrec/8650 sacados/8650 chapExoCorrec/8560 sacados/8560 chapExoCorrec/6250 sacados/6250
E.5326 Définition: pour tout nombre complexe z admettant l’écriture algébrique a +i · b , avec a ∈ R et b ∈ R , on appelle conjugué du nombre complexe z , le nombre complexe, notée z définie par : z = a − i · b Donner l’écriture algébrique du conjugué de chacun des nom-bres complexes suivants : a z = 1 + i b z = 2 · i − 3 c z = i · (1 + 2 · i) E.3789 Soit z un nombre complexe. 1 Démontrer que les deux nombres suivants sont des réels : z + z ; z · z 2 Démontrer que le nombre complexe z − z est un imagi-naire pur. 5. Conjugué: simplification de quotient E.8561 Méthode: considérons le nombre défini par z z , où z et z sont deux nombres complexes. Pour obtenir son écriture algébrique, on considère le quotient z · z z · z dont le dénomi-nateur est un nombre réel. Donner l’écriture algébrique de chacun des nombres com-plexes suivants : a z = 1 i b z = 2 2 − i c z = 3 1 + 2 · i E.3786 Déterminer l’écriture algébrique de chacun des nombres complexes ci-dessous : a z 1 = 2 i b z 2 = 3 2 − 4 · i c z 3 = − 2 1 + i E.5133 Donner l’écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous : a z 1 = 1 + i i b z 2 = 1 1 − i c z 3 = − 2 + i 2 + i E.5309 On considère les deux nombres com-plexes z 1 et z 2 définis par : z 1 = 1 + i ; z 2 = 5 − 2 · i Déterminer l’écriture algébrique des nombres suivants : a z 1 + z 2 b z 1 − z 2 c z 1 − 2 · z 2 d z 1 · z 2 e z 1 z 2 f z 2 z 1 − z 2 E.5327 Déterminer l’écriture algébrique de chacun des nombres complexes ci-dessous : a z = 2 + 2 · i − 1 + i b z = 3 − 4 · i 1 + i c z = 3 − i 1 + 3 · i E.8562 Déterminer l’écriture algébrique de chacun des nombres complexes ci-dessous : a z 4 = 3 − 2 · i 5 + 3 · i b z 5 = 2 + 3 · i 1 − i c z 6 = 2 2 + 1 1 + i E.4249 Soit z un nombre complexe distinct de 0 et de i . On considère les nombres complexes n , p et q dont leur affixe est définie par : n =i · z +1+i ; p = − z +1+i ; q = − i · z Établir l’égalité suivante : z − n p − n =i+ 1 z 6. Equations de la forme a · z = b E.8564 Résoudre les équations suivantes et donner les écritures algébriques de leurs solutions : a i · z = 1 + 2 · i b 1 + i · z = 5 c 4 · z = i − 2 E.8565 Résoudre les équations suivantes : a 3 · z + 2i · z = 3 − i b 5 − i z + 3 = i 7. Equations du premier degré E.8566 Résoudre les équations suivantes : a 2 − 3 · z z + i = − 2 · i + z b (1 + 2 · i)( z − 3 · i) = z + 2 + 3 · i 8. Conjugué: propriétés algébriques https://chingmath.fr chapExoCorrec/5326 sacados/5326 chapExoCorrec/3789 sacados/3789 chapExoCorrec/8561 sacados/8561 chapExoCorrec/3786 sacados/3786 chapExoCorrec/5133 sacados/5133 chapExoCorrec/5309 sacados/5309 chapExoCorrec/5327 sacados/5327 chapExoCorrec/8562 sacados/8562 chapExoCorrec/4249 sacados/4249 Extrait Amerique du Nord Juin 2011 chapExoCorrec/8564 sacados/8564 chapExoCorrec/8565 sacados/8565 chapExoCorrec/8566 sacados/8566
E.6789 Sans effectuer de calcul, justifier que les nombres complexes z 1 et z 2 sont des nombres complexes conjugués. a z 1 = (1+i) · (2 − i) ; z 2 = (1 − i ) · (2 + i ) b z 1 = i − 3 2 + 2 · i ; z 2 = − i − 3 2 − 2 · i c z 1 = (1 − i) 5 ; z 2 = (1 + i) 5 E.3824 Pour chacun des nombres complexes ci-dessous : sans calcul, donner une expression du nombre complexe conjugué du nombre z ; puis, donner l’écriture algébrique du nombre complexe z . a z = (2 − i)(5 + 3 · i) b z = i · (3 + 2 · i) − 3 + i E.8563 Pour chacun des nombres complexes, déterminer l’écriture algébrique de leur conjugué : a z = 5 − 2 · i i − 2 b z = (3 − 2 · i)(1 − i) 1 + i E.5333 On considère les deux nombres com-plexes z 1 et z 2 : z 1 = 3 − 2 · i 1 + i ; z 2 = 3 + 2 · i 1 − i 1 Que peut-on dire des nombres complexes z 1 et z 2 ? 2 a Déterminer l’écriture algébrique du nombre z 1 . b En déduire l’expression de z 1 + z 2 et z 1 − z 2 . 9. Equations avec z et z E.6790 Rappels: un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire est nulle. Ainsi, pour z ∈ C , cette propriété se traduit par : z =0 ⇐⇒ ( z )=0 et ( z )=0 Déterminer les valeurs des réels a et b réalisant l’égalité suiv-ante : 2 · a + b · 2 + i − 3 · i = a · i − 2 + b · 1 − 2 · i E.3800 Résoudre les équations suivantes : a z + z = 6 b z + z = i c z + 2 · z = 8 + i d i · z + 2 · ( z − 5) = 0 E.6194 Résoudre les équations suivantes : a 3 + i · z + 2 · i = z b (3 + i) · z − 3 · (5 · z − 2) = 0 E.6791 Résoudre les équations suivantes : a z z + 1 = 1 b 1 − z i · z + 2 = 2 10. Formule du binôme E.8567 Établir l’égalité: 2+i 5 = − 38+ 41 · i E.6108 Donner l’écriture algébrique du nom- bre : z = 4 k =0 1 + i k 11. Suite E.3783 1 Simplifier l’écriture de l’expression suivante : A = 1 + i + i 2 + i 3 2 Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe: B = 1 + i + i 2 + · · · + i 99 12. Cours - Nombres complexes E.4101 Prérequis soit z un nombre complexe tel que z = a +i · b où a et b sont deux nombres réels. On note z le nombre complexe défini par : z = a − i · b Questions 1 Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z : z × z = z × z 2 Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul et tout nombre complexe z : z n = z n https://chingmath.fr chapExoCorrec/6789 sacados/6789 chapExoCorrec/3824 sacados/3824 chapExoCorrec/8563 sacados/8563 chapExoCorrec/5333 sacados/5333 chapExoCorrec/6790 sacados/6790 chapExoCorrec/3800 sacados/3800 chapExoCorrec/6194 sacados/6194 chapExoCorrec/6791 sacados/6791 chapExoCorrec/8567 sacados/8567 chapExoCorrec/6108 sacados/6108 chapExoCorrec/3783 sacados/3783 chapExoCorrec/4101 sacados/4101
E.6812 Restitution organisée de con-naissance Prérequis: tout nombre complexe z admet une écriture : z = x +i · y où x ∈ R et y ∈ R Le conjugué de z est le nombre complexe défini par : z = x − i · y Démontrer que : Pour tous nombres complexes z 1 et z 2 : z 1 · z 2 = z 1 · z 2 Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul : z n = z n . E.3300 Prérequis: le module d’un nombre complexe z quel-conque, noté | z | , vérifie | z | 2 = z z où z est le conjugué de z . Démontrer que : pour tous nombres complexes z 1 et z 2 : ⏐ ⏐ z 1 × z 2 ⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ z 1 ⏐ ⏐ × ⏐ ⏐ z 2 ⏐ ⏐ . pour tout nombre complexe z non nul : ⏐ ⏐ ⏐ 1 z ⏐ ⏐ ⏐ = 1 | z | 13. Exercices non-classés E.8580 Déterminer l’écriture algébrique du nom-bre complexe z défini par : z = 1 − i 1+i E.8587 On considère le nombre complexe: j = − 1 2 +i · 3 2 . Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, l’égalité suivante pour tout entier naturel n : (1 + j ) 2 n +1 = − j n +2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6812 sacados/6812 chapExoCorrec/3300 sacados/3300 chapExoCorrec/8580 sacados/8580 chapExoCorrec/8587 sacados/8587