Terminale Option Experte / Nombres complexes et équations polynomiales 29 exercices (100% corrigés)

a
1. Introduction aux équations du second degré dans C E.8588 1 Dans C , on considère l’équation z 2 +1=0 . a Vérifier que le nombre complexe z 1 = i est une solution de cette équation. b Proposer une autre solution de cette équation. c Que peut-on dire de ces deux racines? 2 Dans C , on considère l’équation 2 · z 2 − 2 · z +1=0 . a Vérifier que les deux nombres complexes : z 3 = 1 2 + 1 2 · i ; z 4 = 1 2 − 1 2 · i b Que peut-on dire de ces deux racines de l’équation? E.3787 1 Résoudre dans R l’équation suivante : x 2 + x + 1 = 0 2 On considère le nombre complexe j = − 1 2 +i · 3 2 . a Déterminer l’écriture algébrique des deux nombres complexes : j 2 ; j 3 b Déterminer l’écriture algébrique des nombres com-plexes suivants : 1+ j + j 2 ; 1+ j + j 2 c Dans C , de quelle équation du second degré, les nom-bres j et j sont-ils solutions? E.8589 Dans C , on considère l’équation: z 2 + z +1=0 1 Soit z une solution de cette équation admettant pour écriture algébrique a +i · b où a;b ∈ R . Montrer que les deux nombres réels a et b vérifient le système d’équations : a 2 + a + 1 − b 2 = 0 2 · a · b + b = 0 2 a En déduire que cette équation admet deux solutions dont on donnera les écritures algébriques. b Que peut-on dire des deux solutions de cette équation? 2. Equations du second degré dans C E.3802 Résoudre dans C les équations du second degré suivantes : a z 2 − 3 · z + 4 = 0 b z 2 − 4 · z + 4 = 0 c 3 · z 2 + 3 · z + 2 = 0 d z 2 − 4 · z − 1 = 0 E.5332 Résoudre dans C les équations suiv-antes : a 2 z 2 + 2 z + 1 = 0 b − z 2 + 2 z − 3 = 0 c z 2 + 3 z + 3 = 0 d − z 2 − 3 z − 2 = 0 E.8586 Résoudre dans C l’équation: 2 · z 2 − 6 · z +9=0 E.6101 Résoudre dans C l’équation: Z 2 +4 · Z +16=0 . Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponen-tielle. E.3810 1 Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation: z 2 − 2 z + 4 = 0 Les solutions seront notées z et z , z désignant la solu-tion dont la partie imaginaire est positive. Donner l’écriture algébrique puis l’écriture exponentielle des solutions de cette équation. 2 Donner l’écriture exponentielle exacte du nombre com-plexe z 2 004 , puis son écriture algébrique. E.6781 Dans C , on considère l’équation E λ dépendant du paramètre – ∈ R ; x 2 − 3 · x + 4 = – Pour quelles valeurs de – , l’équation E λ admet deux solu-tions distinctes conjuguées. E.6811 On note C l’ensemble des nom-bres complexes et ( E ) l’équation d’inconnue complexe z : ( E ) : z 2 + 2 · a · z + a 2 + 1 = 0 où a désigne un nombre réel quelconque. Une seule des propositions suivante est exacte. Recopier la réponse choisie et justifier cette proposition a Pour toute valeur de a , ( E ) n’a pas de solution dans C . b Pour toute valeur de a , les solutions de ( E ) dans C ne sont pas réelles et elles sont conjuguées. c Pour toute valeur de a , les solutions de ( E ) dans C ne sont pas réelles et elles ne sont pas conjuguées. d Il existe une valeur de a pour laquelle ( E ) admet au moins une solution réelle. E.3803 On considère la fonction complexe définie sur C \{ 2 } par la relation: f : z ↦−→ z − 4 z − 2 Déterminer l’ensemble des nombres complexes invariants par cette fonction. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8588 sacados/8588 chapExoCorrec/3787 sacados/3787 chapExoCorrec/8589 sacados/8589 chapExoCorrec/3802 sacados/3802 chapExoCorrec/5332 sacados/5332 chapExoCorrec/8586 sacados/8586 chapExoCorrec/6101 sacados/6101 chapExoCorrec/3810 sacados/3810 Extrait Pondichery Avril 2004 chapExoCorrec/6781 sacados/6781 chapExoCorrec/6811 sacados/6811 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2016 chapExoCorrec/3803 sacados/3803
E.6794 On donne le nombre complexe: j = − 1 2 +i · 3 2 1 Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation: z 2 + z + 1 = 0 2 Démontrer les égalités suivantes : a j 3 = 1 b j 2 = − 1 − j 3 On suppose l’existence de trois nombres complexes a , b et c vérifiant l’égalité: a + j · b + j 2 · c = 0 a Démontrer l’égalité: a − c = j · c − b b Démontrer l’égalité: a − b = j 2 · b − c 3. Equation du second degré et factorisation E.3818 Résoudre dans C l’équation: z − 2 · i z 2 − 2 · z +2 =0 Donner l’écriture algébrique et l’écriture exponentielle des so-lutions de cette équation (justifier les réponses) . E.6780 Dans C , on considère l’équation: ( E ) : z 3 + z 2 − 2 = 0 1 Montrer que le nombre complexe z 1 , définie par z 1 = − 1 − i , est solution de l’équation E . 2 Justifier que le nombre complexe z 2 , définie par z 2 = z 1 , est également solution de l’équation ( E ) . 3 En remarquant que 1 est également solution de ( E ) , pro-poser une forme factorisée dans C du polynôme z 3 + z 2 − 2 . On développera cette forme pour établir la factorisation. E.8590 On veut résoudre dans C l’équation: ( E ) : z 3 + 4 · z 2 + 2 · z − 28 = 0 1 Déterminer deux réels a et b tels que l’équation ( E ) s’écrive : z − 2 z 2 + a · z + b = 0 2 Résoudre ( E ) . E.5331 On considère dans C l’équation: ( E ) : z 3 + 4 · z 2 + 2 · z − 28 = 0 1 Déterminer deux réels a et b tels que l’équation ( E ) s’écrive : ( E ) : z − 2 z 2 + a · z + b = 0 2 Résoudre l’équation ( E ) . E.3850 On considère l’équation ( E ) : z 3 − (4 + i) · z 2 + (7 + i) · z − 4 = 0 où z désigne un nombre complexe. 1 Montrer que ( E ) admet une solution réelle, noté z 1 . 2 Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z on ait: z 3 − (4+i) · z 2 +(7+i) · z − 4 = ( z − z 1 )( z − 2 − 2 · i)( a · z + b ) 3 Résoudre ( E ) . E.5958 Pour tout nombre z , on pose : P ( z )= z 4 − 1 . 1 Factoriser P ( z ) en produit de facteurs du premier degré. 2 En déduire les solutions dans l’ensemble C des nombres complexes de l’équation P ( z )=0 , d’inconnue z . 3 Déduire de la question précédente les solutions dans C de l’équation d’inconnue z : 2 · z + 1 z − 1 4 = 1 4. Racine d’un nombre complexe E.8591 On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à ı 3 . 1 Calculer a 2 sous forme algébrique. 2 En déduire les deux solutions dans C de l’équation: z 2 = − 2 + 2 · i 3 . On écrira les solutions sous forme algébrique. E.5534 Le plan complexe est rap-porté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On consid- ère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z telle que : z = z 2 . 1 Déterminer l’ensemble Γ 1 des points M du plan tels que : f ( M )= M . 2 Soit A le point d’affixe : a = 2 − i 2 a Exprimer a sous écriture exponentielle. b En déduire les affixes des deux antécédents de A par f . 3 Déterminer l’ensemble Γ 2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z du point M soit un nombre imaginaire pur. 5. Equations avec changement de variables https://chingmath.fr chapExoCorrec/6794 sacados/6794 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/3818 sacados/3818 Extrait de Liban Juin 2004 chapExoCorrec/6780 sacados/6780 chapExoCorrec/8590 sacados/8590 chapExoCorrec/5331 sacados/5331 chapExoCorrec/3850 sacados/3850 Extrait Nouvelle-Caledonie Novembre 2006 chapExoCorrec/5958 sacados/5958 Extrait d'Asie Juin 1999 chapExoCorrec/8591 sacados/8591 chapExoCorrec/5534 sacados/5534
E.3817 Dans l’ensemble C des nom-bres complexes : 1 Montrer que : (1 + i) 6 = − 8 · i . 2 On considère l’équation ( E ) : z 2 = − 8 · i a Déduire de 1 une solution de l’équation ( E ) . b L’équation ( E ) possède une autre solution ; écrire cette solution sous écriture algébrique. 3 Déduire également de 1 une solution de l’équation: ( E ) : z 3 = − 8 · i E.6204 1 Dans C , on considère le polynôme: z 2 +6 z +25 . Déter-miner ses racines. 2 a Donner l’écriture algébrique du nombre complexe a et b définis par : a = (1 + 2 · i) 2 ; b = (1 − 2 · i) 2 b En déduire les solutions de l’équation: z 4 + 6 z 2 + 25 = 0 E.6205 1 Dans C , on considère le polynôme: 4 z 2 − 16 z +25 . Déter-miner ses racines. 2 a Donner l’écriture algébrique du nombre complexe a et b définis par : a = 3 2 + 1 2 · i 2 ; b = 3 2 − 1 2 · i 2 b En déduire les solutions de l’équation: 4 z 4 − 16 z 2 + 25 = 0 6. Equations non-polynômiales ou à coefficients non-réels E.3835 1 Déterminer l’ensemble des racines du polynôme: P = i · z 2 − 2 · i · z + 3 · i 2 On considère le polynôme: Q =i · z 2 +2 · z − 10 · i a Vérifier que le nombre complexe z 1 est une racine du polynôme Q où : z 1 = − 3 + i b Déterminer la forme factorisée du polynôme Q . Indication : On pourra chercher les deux nombres complexes a et b réalisant la factorisation : Q = z +3 − i a · z + b E.4238 Le plan complexe P est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1 . On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O , d’affixe z , associe le point M = f ( M ) d’affixe z définie par : z = z + i − 1 z On recherche l’ensemble ( E ) des points du plan P privé du point O qui ont pour image par F , le point O . 1 Démontrer que, pour tout nombre complexe z : z 2 + i · z − 1 = z + 3 2 + 1 2 · i z − √ 3 2 + 1 2 · i 2 En déduire les affixes des points de l’ensemble ( E ) . 3 Démontrer que les points ( E ) appartiennent à (Γ) . E.3812 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on note ( H ) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : z 2 − 4 = 4 − z 2 1 On note x et y les parties réelle et imaginaire de l’affixe z d’un point M . Montrer que : M appartient à ( H ) si, et seulement si, x 2 − y 2 =4 2 Soient A , B et C les points d’affixes respectives : 2 ; − 3 − i · 5 ; − 3 + i · 5 Vérifier que A , B et C appartient à ( H ) . E.3851 1 Déterminer le nombre complexe ¸ tel que : ¸ · (1 + i) = 1 + 3 · i i · ¸ 2 = − 4 + 3 · i 2 Pour tout nombre complexe z , on pose : f ( z ) = z 2 − (1 + 3 · i) · z + ( − 4 + 3 · i) Montrer que f ( z ) admet pour expression z − ¸ z − i · ¸ . En déduire les écritures algébriques des solutions de l’équation f ( z )=0 . 7. Factorisation de z n − a n par z − a E.6105 Soit a un nombre complexe différent de 1 et z un nombre complexe quelconque. 1 On considère la suite u n géométrique de premier terme 1 et de raison z a . Soit n un entier naturel non-nul. Établir l’égalité: u 0 + u 1 + u 2 + ··· + u n − 1 = 1 − z n a n 1 − z a 2 En déduire la factorisation : z n − a n = z − a z n − 1 + z n − 2 a + z n − 3 a 2 + ··· + z 2 a n − 3 + za n − 2 + a n − 1 Remarque: cette factorisation peut également se noter : z n − a n = z − a · n − 1 k =0 a k · z n − k − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3817 sacados/3817 Extrait France Juin 2004 chapExoCorrec/6204 sacados/6204 chapExoCorrec/6205 sacados/6205 chapExoCorrec/3835 sacados/3835 chapExoCorrec/4238 sacados/4238 chapExoCorrec/3812 sacados/3812 Extrait Amerique du Nord Mai 2004 chapExoCorrec/3851 sacados/3851 Antilles Guyane Septembre 2007 chapExoCorrec/6105 sacados/6105
8. Exercices non-classés E.6251 Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une ab-sence de réponse n’est pas pénalisée. 1 L’équation z − 4 z 2 − 4 · z +8 =0 admet 3 solutions dans C dont une est réelle et les 2 autres sont conjuguées entre elles. 2 Dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation: ( E ) : z − z + 2 − 4 · i = 0 admet une solution unique. 3 On considère la suite z n de nombres complexes définie par : z 0 = 2 ; z n +1 = 1 + i · z n Le cinquième terme de la suite est un nombre réel. 4 À tout nombre complexe z , on associe un nombre com-plexe z défini par : z = z 2 + 2 z + 9 L’ensemble des nombres complexes z tels que z soit un réel est l’ensemble des nombres complexes z = x +i · y où y =0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6251 sacados/6251