Terminale Option Experte / Nombres complexes et géométries 41 exercices (100% corrigés)

a
1. Module E.8594 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v , on considère les trois points A , B , C ayant pour affixe respectif a , b , c définis par : a = √ 3 − i · 3 ; b = − 1 − i ; c = 1 − 3 · i 1 Établir que : a − b c − b = 3 2 + 1 2 · i 2 Établir que le triangle ABC est isocèle en B . E.4099 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on considère les trois points A , B , C d’affixes respectives a , b , c définies par : a = − 3 + 3 · i ; b = − 3 2 − i ; c = 5 2 − 5 2 · i Établir que le triangle ABC est isocèle en B . 2. Argument et mesure d’angles E.8593 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v , on considère les trois points A , B , C ayant pour affixe respectif a , b , c définis par : a = 2 3 + i · 3 ; b = 1 − 2 · i ; c = 3 − i Déterminer la mesure de l’angle ABC . E.5358 On considère le plan muni du repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct et les trois points A , B et C d’affixes respectives : z A = 1 − 2 · i ; z B = − 3 − 4 · i ; z C = − 2 3 − i · 3 1 a Donner l’écriture algébrique du nombre complexe Z défini par le quotient : Z = z C − z A z B − z A b En déduire l’écriture trigonométrique du nombre com-plexe Z . 2 a Déduire des questions précédentes que le triangle ABC est un triangle isocèle en A . b Donner la mesure de l’angle BAC . E.5535 On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O ; −→ u ; −→ v . 1 On considère les points A , B et C d’affixes respectives : a =2 ; b =3+i √ 3 ; c =2i 3 . Déterminer une mesure de l’angle ABC . 2 En déduire que l’affixe ! du centre Ω du cercle circonscrit au triangle ABC est 1+i · √ 3 . E.5360 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on considère les trois points A , B et C d’affixes respectives : z A = − 2 + i ; z B = − 3 · i ; z C = 6 + 5 · i 1 Placer ces trois points dans le repère ci-dessous : 2 Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 3 On considère le point D d’affixe z D où : z D =4 − i a Donner l’écriture algébrique du nombre complexe Z définie par : Z = z B − z A z D − z A b Justifier que la demi-droite [ AD ) est la bissectrice de l’angle −−→ AB ; −→ AC . 3. Argument et orthogonalité E.8592 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on considère les points E , F , G et H d’affixes respectives : z E = 5 − 3 · i ; z F = 4 + i · − 3 + 3 z G = i ; z H = − 2 3 − i 1 Établir l’égalité: z F − z E z H − z G = − 1 2 · i 2 En déduire que les droites ( EF ) et ( GH ) sont perpendic-ulaires. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8594 sacados/8594 chapExoCorrec/4099 sacados/4099 chapExoCorrec/8593 sacados/8593 chapExoCorrec/5358 sacados/5358 chapExoCorrec/5535 sacados/5535 Extrait du Liban 2012 chapExoCorrec/5360 sacados/5360 -3-2-101234567-4-3-2-112345uv chapExoCorrec/8592 sacados/8592
E.4320 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On prendra 2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d’affixe i . 1 On considère les points A , B , C , H d’affixes respectives : a = − 3 − i ; b = − 2 + 4 · i ; c = 3 − i ; h = − 2 . Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice. 2 Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC . Préciser le rayon du cercle C . 3 Donner l’écriture algébrique du nombre complexe b − c h − a . En déduire que les droites ( AH ) et ( BC ) sont perpendic-ulaires. E.3875 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Soit A et B les points d’affixes respectives : z A = i ; z B = 2 + 2 · i 1 Soit I un point du plan dont l’affixe z I vaut : z I = − 4 + 23 2 · i Montrer que le point I appartient à la médiatrice du seg-ment [ AB ] . 2 Soit M un point du plan d’affixe (2+i) . Montrer que le point M appartient au cercle de diamètre [ AB ] . 4. Argument et parallélisme E.3862 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives : z A = 4 − 3 · i ; z B = 4 − 3 + i · 1 − 3 z C = − 1 + 2 · i ; z D = 2 3 − 1 1 Établir l’égalité: z B − z A z D − z C = − 1 2 2 En déduire que les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles. E.3847 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On pose : a =3 ; b =5 − 2 · i ; c =5+2 · i On désigne par A , B et C les points d’affixes respectives a , b et c . Soit M un point d’affixe z du plan, distinct des points A et B . 1 Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle. 2 Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre complexe: z − 3 z − 5 + 2 · i 3 Déterminer alors l’ensemble des points M d’affixe z tels que z − 3 z − 5+2 · i soit un nombre réel strictement négatif. 5. Nature d’un triangle E.5965 On munit le plan d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère les deux points A et B d’affixes respectives : z A = 2 + 2 · i ; z B = 1 − i 1 Donner l’écriture trigonométrique du nombre complexe z A z B . 2 En déduire la nature du triangle OAB . E.3809 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct (unité graphique 4 cm ) . Soit I le point d’affixe 1 . On note C le cercle de diamètre [ OI ] et on nomme son centre Ω . On pose a 0 = 1 2 + 1 2 · i et on note A 0 son image. 1 Montrer que le point A 0 appartient au cercle C . 2 Soit B le point d’affixe b , avec b = − 1+2 · i , et B le point d’affixe b telle que b = a 0 · b . a Calculer b . b Démontrer que le triangle OBB est rectangle en B . E.8597 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère les points A , B , C d’affixes respectives : z A = 1 + i ; z B = 2 + i · ( 3 + 1) ; z C = (1 − 3) + i · 2 1 Déterminer l’écriture algébrique du quotient : z C − z A z B − z A 2 Déterminer le module et un argument du quotient précé-dent. 3 Établir que le triangle ABC est rectangle isocèle. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4320 sacados/4320 Extrait d'Antilles Juin 2011 chapExoCorrec/3875 sacados/3875 chapExoCorrec/3862 sacados/3862 chapExoCorrec/3847 sacados/3847 Extrait Polynesie Septembre 2006 chapExoCorrec/5965 sacados/5965 chapExoCorrec/3809 sacados/3809 Extrait Amerique du Sud Novembre 2003 chapExoCorrec/8597 sacados/8597
E.3823 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct d’unité graphique 2 cm On considère les points A , B et C d’affixes respectives : z A = − 2 · i ; z B = − 3 + i ; z C = 3 + i 1 a Donner l’écriture exponentielle des nombres z A , z B et z C . b En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A , B et C . c Faire une figure et placer le point A , tracer le cercle Γ , puis placer les points B et C . 2 a Donner l’écriture algébrique du complexe z B − z A z C − z A , puis son écriture exponentielle. b En déduire la nature du triangle ABC . E.3861 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère les points D , E , F d’affixes respectives : z D = 4 − 3 · i ; z E = 4 + 3 + i · − 1 − 3 z F = − 3 + 2 · i + 4 1 Déterminer l’écriture algébrique du quotient : z E − z D z F − z D 2 Déterminer le module et un argument du quotient précé-dent. 3 Établir que le triangle DEF est équilatéral. E.4237 On munit le plan d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère les points C , D , E d’affixes respectives : z C = 3 + 1 + 3 · i ; z D = 2 − i ; z E = i 1 Déterminer l’écriture algébrique du nombre z C − z E z D − z E , puis son écriture trigonométrique. 2 En déduire la nature du triangle CDE . 6. Nature d’un quadrilatère E.3854 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on con-sidère les points A , B , C , D d’affixes respectives : z A = − 3 − i ; z B = 1 − i · 3 z C = 3 + i ; z D = − 1 + i · 3 1 Donner le module et un argument de chacun des quatre nombres complexes z A , z B , z C et z D . 2 Construire à la règle et au compas les points A , B , C et D (on prendra pour unité graphique 2 cm ) . 3 Déterminer le milieu du segment [ AC ] , celui du segment [ BD ] . Calculer le quotient z A z B . En déduire la nature du quadrilatère ABCD . E.5359 On considère le plan muni du repère ( O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct et les quatre points A , B , C et D d’affixes respectives : z A = − 2+i ; z B = − 3 · i ; z C =3 − 2 · i ; z D =3+2 · i 1 a Donner l’écriture algébrique du nombre complexe Z défini par le quotient : Z = z C − z A z D − z B b En déduire l’écriture trigonométrique du complexe Z . 2 a Justifier que le quadrilatère ABCD a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur. b Le quadrilatère ABCD est-il un losange? E.8595 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on considère les quatre points A , B , C , D d’affixe respectifs a , b , c , d définis par : a = 6 ; b = 2 + 2 · i ; c = 1 ; d = 5 − 2 · i Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle, mais n’est pas un carré. 7. Utilisation des équations cartésiennes E.8596 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé direct et les deux points C et D d’affixes respectifs c et d définis par : c = 1 + i ; d = 3 − 2 · i Pour tout nombre complexe z différent de d , on note z 0 le nombre complexe défini par : z 0 = z − c z − d 1 En notant a +i · b , où a; b ∈ R , l’écriture algébrique du nom-bre z , déterminer l’écriture algébrique du quotient z 0 . 2 On souhaite caractériser l’ensemble E des points du plan d’affixe z , tels que le nombre z 0 soit un nombre réel. a Déterminer une relation sur les nombres réels a et b afin que le nombre z 0 soit un nombre réel. b Justifier que l’ensemble E est l’ensemble des points M du plan distinct de D tels que les points C , D , M soient alignés https://chingmath.fr chapExoCorrec/3823 sacados/3823 chapExoCorrec/3861 sacados/3861 chapExoCorrec/4237 sacados/4237 chapExoCorrec/3854 sacados/3854 Pondichery Avril 2008 chapExoCorrec/5359 sacados/5359 chapExoCorrec/8595 sacados/8595 chapExoCorrec/8596 sacados/8596
E.8598 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé direct et les deux points C et D d’affixes respectifs c et d définis par : c = 2 − i ; d = 1 + 2 · i Pour tout nombre complexe z différent de d , on note z 0 le nombre complexe défini par : z 0 = z − c z − d 1 En notant a +i · b , où a; b ∈ R , l’écriture algébrique du nom- bre z , déterminer l’écriture algébrique du quotient z 0 . 2 On souhaite caractériser l’ensemble E des points du plan d’affixe z , tels que le nombre z 0 soit un imaginaire pur. a Déterminer une relation sur les nombres réels a et b afin que le nombre z 0 soit un imaginaire pur. b Justifier que l’ensemble E est le cercle de diamètre [ CD ] privé du point D . 8. Transformation du plan E.3841 Le plan complexe P est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, unité graphique 2 cm . On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1 . On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice. On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O , d’affixe z , associe le point M = F ( M ) d’affixe z définie par : z = z + i − 1 z On considère les points A et B d’affixes respectives a =i et b =e i · π 6 et leurs images A et B par F d’affixes respectives a et b . 1 Calculer a et b . 2 Placer les points A , A , B et B . 3 Démontrer que : − b b − b = √ 3 3 · i 4 En déduire la nature du triangle OBB . E.5532 Dans le plan complexe rap-porté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et − 1 . Soit f la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z =1 , associe le point M d’affixe z tel que : z = 1 − z z − 1 Soit C le point d’affixe : z C = − 2+i . 1 Calculer l’affixe z C du point C image de C par la trans-formation f , et placer les points C et C dans le repère donné ci-dessous : 2 Montrer que le point C appartient au cercle C de centre O et de rayon 1 . 3 Montrer que les points A , C et C sont alignés. E.3814 Le plan complexe P est rapporté au repère O ; −→ e 1 ; −→ e 2 orthonormé direct d’unité graphique 1 cm . Soit A le point d’affixe 3 · i . On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z , distinct de A , associe le point M d’affixe z définie par : z = 3 · i · z − 7 z − 3 · i Recherche des points invariants par f . 1 Développer ( z − 7 · i)( z +i) . 2 Montrer que f admet deux nombres invariants qui sont les affixes de deux points qu’on notera B et C . Définition: soit f une fonction complexe (de C dans C ) . On dit que le nombre z est un invariant de la fonction f si f ( z )= z . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8598 sacados/8598 chapExoCorrec/3841 sacados/3841 chapExoCorrec/5532 sacados/5532 -2-101-11uv chapExoCorrec/3814 sacados/3814 Extrait Asie Juin 2004
E.5533 Dans le plan complexe rap-porté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on désigne par A le point d’affixes 1 . Soit f la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z =1 , associe le point M d’affixe z tel que : z = 1 − z z − 1 1 Montrer que, pour tout nombre complexe z =1 , z − z z − 1 est réel. 2 Que peut-on en déduire pour les points A , M et M ? E.4239 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on considère les points A et B d’affixes respectives 2 et ( − 2) . On définit l’application f qui, à tout point M d’affixe z et différent de A , associe le point M d’affixe : z = z · ( z − 2) z − 2 1 Montrer que pour tout nombre complexe z , le nombre ( z − 2)( z − 2) est réel. 2 En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2 : z +2 z − 2 est réel. 3 Montrer que les droites ( AM ) et ( BM ) sont parallèles. 9. Transformation du plan et image d’un ensemble E.3873 Le plan complexe P est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On appelle (Γ) le cercle de centre O et de rayon 1 . On appelle F l’application du plan P privé du point O dans P qui, à tout point M différent de O , d’affixe z , associe le point M = F ( M ) d’affixe z définie par : z = z +i − 1 z On note A le point d’affixe i et „ un réel. 1 On note A l’image du point A par la transformation F . Déterminer l’affixe du point A . 2 Démontrer que si z =e i · θ alors z = 2 · sin „ +1 · i 3 En déduire que si M appartient au cercle (Γ) alors M appartient au segment [ A C ] où C a pour affixe − 1 . E.4078 Dans le plan complexe rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On note A le point d’affixe i . Pour tout point M d’affixe z tel que z =i , on définit le point M dont l’affixe z est défini par : z = 1 3 · ( z − i) 1 Établir la proposition suivante : Si M est un point du cercle de centre A de rayon r , alors M est un point du cercle de centre O de rayon 1 3 · r . 2 Démontrer que : arg( z ) = − −→ u ; −−→ AM 10. Transformation du plan et image réciproque d’un ensemble E.3825 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on considère la trans-formation f du plan complexe qui, à tout point M d’affixe z , associe le point M d’affixe z définie par : z = z 2 +i · z +1 − i 1 On considère les points A et B d’affixes respectives : 3 + 2 · i ; − 3 · i Déterminer l’image de ces deux points par la transforma-tion f . 2 a Soit M un point du plan. On note a +i · b l’affixe du point M . Exprimer en fonction de a et de b la partie réelle et la partie imaginaire du point M . b Déterminer une condition sur a et b afin que le point M appartienne à l’axe des réels. c Déterminer une condition sur a et b afin que le point M appartienne à l’axe des imaginaires. E.6086 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère les points : A (0 ; 1) ; B (2 ; − 1) À tout point du plan M , différent de A et de B , d’affixe z , on associe un point M d’affixe z définie par la relation: z = z − 2 + i z − i 1 Interpréter géométriquement la longueur OM et l’angle −→ u ; −−−→ OM en utilisant les points A , B et M . 2 On considère le point M (4 ; 1) . Déterminer l’écriture al-gébrique et exponentielle du nombre complexe z associé à z . 3 Dans cette question, on souhaite caractériser l’ensemble des points M du plan tel que le point M appartiennent à l’axe des ordonnées : a On note z = x +i · y . Établir la propriété suivante : ˇ z est un imaginaire pur si x 2 + y 2 − 2 x − 1=0 ı b Justifier que l’ensemble recherché est le cercle de di-amètre [ AB ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5533 sacados/5533 chapExoCorrec/4239 sacados/4239 chapExoCorrec/3873 sacados/3873 chapExoCorrec/4078 sacados/4078 chapExoCorrec/3825 sacados/3825 chapExoCorrec/6086 sacados/6086
E.3801 Le plan P est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Soit f l’application qui, à tout point M de P d’affixe non nulle z , associe le point M d’affixe : z = 1 2 · z + 1 z On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure . 1 Soit E le point d’affixe z E = − i . Déterminer l’affixe du point E , image de E par f . 2 Déterminer l’ensemble des points M tels que M = M . 3 On note A et B les points d’affixes respectives 1 et − 1 . Soit M un point distinct des points O , A et B . a Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0 , 1 et − 1 , on a: z + 1 z − 1 = z + 1 z − 1 2 b En déduire une expression de M B M A en fonction de MB MA , puis une expression de l’angle −−→ M A ; −−−→ M B en fonction de l’angle −−→ MA ; −−→ MB . 4 Soit Δ la médiatrice du segment [ AB ] . Montrer que si M est un point de Δ distinct du point O , alors M est un point de Δ . 5 Soit Γ le cercle de diamètre [ AB ] . a Montrer que si le point M appartient à Γ alors le point M appartient à la droite ( AB ) . b Tout point de la droite ( AB ) a-t-il un antécédent par f ? 11. Racine n -ièmes de l’unité E.6106 On s’intéresse à l’ensemble U 4 défini par l’ensemble des solutions de l’équation: z 4 = 1 1 a Factoriser l’expression z 4 − 1 en produit de facteurs premiers. b Donner l’écriture algébrique, puis l’écriture exponen-tielle de l’ensemble U 4 . 2 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v or-thonormé direct et, pour j ∈ 0 ; 1 ; 2 ; 3 , les points M j d’affixes : z j = e i · π 2 × j a Montrer que les points M j , pour j ∈ 0 ; 1 ; 2 ; 3 , ap-partiennent au cercle de centre O et de rayon 1 . b Établir, pour tout j ∈ 0 ; 1 ; 2 , l’égalité: M j OM j +1 = ı 2 c Préciser la nature du quadrilatère: M 0 M 1 M 2 M 3 E.8599 Définition: l’ensemble U 7 est l’ensemble des racines 7 -ième de l’unité. C’est-à-dire que ce sont les racines de l’équation z 7 − 1 . 1 Donner l’écriture exponentielle des éléments de U 7 . 2 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v or-thonormé direct, montrer que les images des nombres de U 7 sont les sommets d’un heptagone régulier. 3 a Établir la factorisation : z 7 − 1 = z − 1 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 b Établir l’égalité: ω ∈ U 7 w =0 E.8600 Résoudre dans C les équations ci-dessous : a z + i 4 = 1 b z 3 = 8 Indication : on donnera les écritures algébriques des solu-tions. 12. Cours E.3853 On suppose connus les résultats suivants : 1 Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z A , z B et z C trois points A , B et C alors: ⏐ ⏐ ⏐ z B − z C z A − z C ⏐ ⏐ ⏐ = CB CA arg z B − z C z A − z C = −→ CA ; −−→ CB (2 ı ) 2 Soit z un nombre complexe et soit „ un réel: z =e i · θ si, et seulement si, | z | =1 et arg( z )= „ +2 · k · ı où k est un entier relatif. Démonstration de cours : démontrer que la rotation r d’angle ¸ et de centre Ω d’affixe ! est la transformation du plan qui, à tout point m d’affixe z , associe le point M d’affixe z tel que : z − ! = e i · ω · ( z − w ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3801 sacados/3801 chapExoCorrec/6106 sacados/6106 chapExoCorrec/8599 sacados/8599 chapExoCorrec/8600 sacados/8600 chapExoCorrec/3853 sacados/3853 Pondichery Avril 2008
E.3849 Le plan complexe est rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v . Rappels: ˇ Pour tout vecteur ~ w non nul, d’affixe z on a: | z | = −→ w ; arg( z ) = −→ u ; −→ w ı. Soient M , N et P trois points du plan, d’affixes respectives m , n et p tels que m = n et m = p . 1 Démontrer que : arg p − m n − m = −−→ MN ; −−→ MP 2 Interpréter géométriquement le nombre : ⏐ ⏐ ⏐ p − m n − m ⏐ ⏐ ⏐ . E.4105 Dans le plan complexe muni du repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, on considère les points M et M distincts de O d’affixes respectives z et z . On pose : z = x + i · y ; z = x + i · y où x , x , y , y sont des nombres réels. On rappelle que z désigne le conjugué de z et que | z | désigne le module de z . 1 Exprimer le complexe z · z en fonction de x , x , y , y . 2 a Montrer que les vecteurs −−→ OM et −−−→ OM sont orthogo-naux si, et seulement si, Re z · z =0 . b Montrer que les points O , M et M sont alignés si, et seulement si, Im ( z · z )=0 E.8601 Définition: Pour n un entier naturel non-nul, on considère l’ensemble U n des racines n -ième de l’unité. On dit qu’une racine ! est une racine n -ième primitive de l’unité si les puissances successives de ! (c’est-à-dire ! , ! 2 , ! 3 ,. . . , ! n ) permettent de générer tous les éléments de U n . Montrer que si n est un entier premier alors tout élément de U n différent de 1 est une racine primitive n -ième de U n . 13. Suite E.6384 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Pour tout entier na-turel n , on note A n le point d’affixe z n défini par : z 0 = 1 ; z n +1 = 3 4 + √ 3 4 · i · z n 1 Déterminer les affixes des points A 1 et A 2 . 2 Démontrer que le triangle OA n A n +1 est rectangle en A n +1 . 3 On admet que, pour tout entier naturel n : z n = ⏐ ⏐ z n ⏐ ⏐ · e i · n · π 6 Placer les point A 0 , A 1 , A 2 , A 3 et A 4 dans le repère ci-dessous : 14. Exercices non-classés E.3815 Dans le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v , on considère les points B et C d’affixes respec-tives − i et 7 · i . Montrer que tout point M d’affixe z vérifiant : z = 3 · i + 4 · e i · θ où „ ∈ R appartient au cercle C de diamètre [ BC ] . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3849 sacados/3849 Extrait Amerique du Nord Novembre 2006 chapExoCorrec/4105 sacados/4105 chapExoCorrec/8601 sacados/8601 chapExoCorrec/6384 sacados/6384 011uv chapExoCorrec/3815 sacados/3815 Inspire Asie Juin 2004