Terminale Option Experte / Nombres complexes, modules et arguments 37 exercices (100% corrigés)

a
1. Rappel de trigonométrie E.3792 Soit ¸ un nombre réel. Simplifier les écritures suivantes : a cos ı 2 + ¸ b sin ¸ +3 · ı c cos ¸ − ı 2 d sin ı 2 − ¸ E.3793 Résoudre les équations suivantes : a sin x + ı 4 = √ 3 2 b cos 2 x + ı 3 = 2 2 2. Représentation graphique et écriture algébrique E.3784 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct et les cinq points représentés ci-dessous : 1 Déterminer les écritures algébriques des affixes des points A , B , C , D , E . 2 Placer dans le plan les points F , G , H et I d’affixes respectives z 1 , z 2 , z 3 et z 4 définies par : z 1 = 3 − i ; z 2 = 3 2 · i z 3 = − 7 4 + 2 · i ; z 4 = 3 2 + 9 4 · i 3 Déterminer l’affixe du milieu du segment [ EF ] . E.6792 On munit le plan complexe d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On définit la suite z n de nombres complexes par : z 0 = 1 ; z n +1 = 3 4 + √ 3 4 · i · z n 1 Déterminer l’écriture algébrique des quatre premiers ter-mes de la suite z n . 2 à l’aide de votre calculatrice, donner l’écriture algébrique des termes z 4 et z 5 en arrondissant les parties réelles et imaginaires à 10 − 2 près. 3 Pour tout entier naturel n , on note M n les images du nombre complexe z n . a Placer les points M 0 ,. . . , M 5 dans le repère ci-dessous : b Quelle conjecture peut-on faire sur la nature des trian-gles OM 0 M 1 , OM 1 M 2 et OM 2 M 3 ? 3. Module d’un nombre complexe E.5345 Déterminer le module des nombres complexes suivants : a 1 − 2 · i b − 5 · i c (3 − 2 · i)(2 + i) E.8568 Déterminer le module des nombres complexes suivants : a − i · (1 − 2 · i) b 1 + i · √ 3 3 · i c 3 − i · √ 3 − 3 + i 4. Géométrie et module https://chingmath.fr chapExoCorrec/3792 sacados/3792 chapExoCorrec/3793 sacados/3793 chapExoCorrec/3784 sacados/3784 -4-3-2-101234-2-1123uvABCDE chapExoCorrec/6792 sacados/6792 -0,6-0,4-0,20,20,40,60,81,2I-0,20,20,40,60,8JO chapExoCorrec/5345 sacados/5345 chapExoCorrec/8568 sacados/8568
E.3843 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v , on considère les points A , B , C d’affixes respectives : z A =1+3 · i ; z B = − 2+2 · i ; z C = 2 2 +i · 6 2 +2 Soit I le point du plan d’affixe z I =2 · i Montrer que les points A , B , C appartiennent à un même cercle de centre I . Préciser le rayon de ce cercle. 5. Relation ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ 2 = z · z E.8569 Pour tout nombre complexe z , on définit le nombre complexe z par : z = (3 + 4 · i) · z + 5 · z 6 1 Pour tout nombre complexe z , établir l’égalité: z − z 1 + 2 · i = z + z 6 + i · z − z 3 2 En déduire que le nombre z − z 1+2 · i est un nombre réel. E.8570 Établir les égalités ci-dessous : a ⏐ ⏐ ⏐ 5 · i 5 − 5 · i ⏐ ⏐ ⏐ = 2 2 b ⏐ ⏐ ⏐ 1 + 2 · i 5 + 5 · i ⏐ ⏐ ⏐ = 10 10 6. Module: propriétés algébriques E.3846 Établir l’égalité suivante pour tout nombre complexe z non nul : 1 z 2 − 1 z 2 − 1 = − z 2 · ⏐ ⏐ ⏐ 1 z 2 − 1 ⏐ ⏐ ⏐ 2 7. Modules et équations cartésiennes E.3844 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct : 1 Soit z un nombre complexe solution de l’équation ( E ) : ( E ) : | z − 2 + i | = 5 On note M l’image du nombre complexe z a Traduire l’équation ( E ) en termes de distance. b Justifier que l’ensemble des points M d’affixe z vérifi-ant la relation ( E ) est un cercle. Préciser son centre et son rayon. c Soit a +i · b l’écriture algébrique de l’affixe du point M ; déterminer une relation sur a et b caractérisant la re-lation ( E ) . 2 Soit z un nombre complexe solution de l’équation ( F ) : ( F ) : | z + i | = | z + 1 − 2 · i | On note M l’image du nombre complexe z a Traduire l’équation ( F ) en termes de distance. b Justifier que l’ensemble des points M d’affixe z vérifi-ant la relation ( F ) est une droite. Préciser sa nature. c Soit a +i · b l’écriture algébrique de l’affixe du point M ; déterminer une relation sur a et b caractérisant la re-lation ( E ) . E.3813 Le plan est rapporté au repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère les points A et B d’affixes respectives : z A = − 1 + i · 3 ; z B = − 1 − i · 3 1 Établir que l’ensemble Γ 2 des points M d’affixe z qui vérifient : 2( z + z ) + z · z = 0 est un cercle de centre Ω d’affixe − 2 . Préciser son rayon. Construire Γ 2 . 2 Vérifier que les points A et B sont des éléments de Γ 2 . 8. Ensemble U E.8573 Définition: on note U l’ensemble des nombres complexes z vérifiant ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ = 1 . On peut noter : U = z ∈ C ⏐ ⏐ | z | =1 ; U ⊂ C 1 Justifier que les nombres complexes ci-dessous appartien-nent à U : a z 1 = − i b z 2 = 3 2 − 1 2 · i c z 3 = − 2 2 + 2 2 · i 2 Soit z et z deux nombres complexes appartenant à U , montrer que le produit z · z appartient à U . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3843 sacados/3843 chapExoCorrec/8569 sacados/8569 chapExoCorrec/8570 sacados/8570 chapExoCorrec/3846 sacados/3846 chapExoCorrec/3844 sacados/3844 chapExoCorrec/3813 sacados/3813 chapExoCorrec/8573 sacados/8573
3 Soit z un élément de U , montrer que les trois expressions ci-dessous définissent un nombre complexe appartenant à U : a − z b 1 z c z 2 4 Montrer que, pour tout nombre complexe z ( z ∈ C ) , le nombre complexe z ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ appartient à U . E.8574 Établir que les nombres complexes ci-dessous appartiennent à U : a z 1 = 1 − 7 · i − 5 + 5 · i b z 2 = 2 − 9 · i − 6 + 7 · i c z 3 = 4 + 7 · i 8 − i 9. Argument dans l’ensemble U E.8575 Définition: On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Pour tout nombre complexe z appartenant à U , on appelle argument de z la mesure de l’angle orienté −→ u ; −−→ OM où M est l’image du point z . 1 Dans la représentation ci-dessous du plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, placer les points M 1 , M 2 , M 3 appartenant au cercle trigonométrique et dont les arguments respectifs des af-fixes de ces points ont pour valeurs : a „ 1 = ı 4 b „ 2 = 5 ı 6 c „ 3 − 2 ı 3 Proposition: dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Le point M appartenant au cercle trigonométrique dont l’affixe z a pour argument „ admet pour écriture algébrique: z = cos „ + i · sin „ 2 Donner les écritures algébriques des affixes des points M 1 , M 2 , M 3 définis à la question 1 . 10. Argument et angles remarquables E.5565 Définition: on considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Soit z un nombre complexe non-nul, on appelle argument de z la valeur de l’argument du nombre complexe z ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ Déterminer les arguments des nombres complexes ci-dessous : a z 1 = 1 + i b z 2 = − 3 + 3 · 3 · i c z 3 = 3 − i E.3795 Interprétation géométrique: dans le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, pour tout point M différent de O . L’argument de l’affixe du point M a pour valeur la mesure de l’angle orienté −→ u ; −−→ OM . On considère le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct représenté ci-dessous : Le cercle C de centre O et de rayon 2 est représenté en pointillé; les points C et D appar-tiennent au cercle C . 1 Déterminer les modules et les arguments des affixes des points A , B , C , D et E . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8574 sacados/8574 chapExoCorrec/8575 sacados/8575 -3-2-10123-2-112uv chapExoCorrec/5565 sacados/5565 chapExoCorrec/3795 sacados/3795 -2-1012-2-112uvABCDE
2 Placer les points F et G d’affixes respectives z et z véri-fiant : | z | = 2 arg z = − 3 ı 4 ; | z | = 2 arg z = − ı 2 11. Argument et valeur approchée E.8572 Pour chacun des nombres complexes ci-dessous, déterminer la valeur de leur argument, arrondie au centième de radian près. a z 1 = 2 + i b z 2 = − 3 − 2 · i c z 3 = 1 − 2 · i E.5346 On considère les nombres complexes ci-dessous : z 1 = 1 + 2 · i ; z 2 = 5 − 2 · i ; z 3 = − 1 − 2 · i 1 Déterminer le module de chacun des nombres complexes ci-dessus. 2 Déterminer, au centième de radian près, la valeur de l’argument de chacun des nombres complexes ci-dessus. 12. Ecriture trigonométrique E.5566 Déterminer l’écriture algébrique des nombres complexes z 5 et z 6 non-nuls définis par : a | z 5 | = 5 ; arg( z 5 ) = − ı 3 b | z 6 | = 2 ; arg( z 6 ) = − ı 2 E.3797 Déterminer l’écriture trigonométrique de chacun des nombres complexes ci-dessous : a z 1 = − 1 2 + i · 3 2 b z 2 = 3 + i c z 3 = − 1 − i d z 4 = 2 2 + i · 2 2 13. Module, argument et lieux géométriques E.5380 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé et direct. Pour chacune des parties du plan représentées ci-dessous, décrire ce sous-ensemble de C en utilisant l’écriture al-gébrique, le module, l’argument des affixes de leurs points. E.3796 On considère le plan muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. Décrire l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie les conditions suiv-antes : a | z | = 1 b | z | 3 c 1 | z | 2 d arg( z ) = ı 2 e ⏐ ⏐ arg( z ) ⏐ ⏐ = ı 4 14. Lieux géométrique E.6806 On considère les trois ensembles, définis ci-dessous, de couples de réels : E 1 = ( x ; y ) | 2 · x + y − 1=0 E 2 = ( x ; y ) | x 2 + y 2 − 2 · x +4 · y − 4=0 E 3 = ( x ; y ) | x · y +2 · y =0 On considère le plan muni d’un repère O ; I ; J orthonormé direct. Donner pour chacun des trois ensembles ci-dessus : la nature de leur représentation dans le plan, des éléments caractérisants leur représentation. E.6776 À tout nombre complexe z , on associe un nombre complexe z définit par : z = z 2 + 4 · z + 3 Déterminer l’ensemble E des nombres complexes z tel que z soit un nombre réel. https://chingmath.fr chapExoCorrec/8572 sacados/8572 chapExoCorrec/5346 sacados/5346 chapExoCorrec/5566 sacados/5566 chapExoCorrec/3797 sacados/3797 chapExoCorrec/5380 sacados/5380 uv2 uv2 uvπ6 chapExoCorrec/3796 sacados/3796 chapExoCorrec/6806 sacados/6806 chapExoCorrec/6776 sacados/6776
E.6782 On note C l’ensemble des nom-bres complexes. Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe: f ( z ) = z 2 + 2 · z + 9 Soit z un nombre complexe, tel que z = x +i · y où x et y sont des nombres réels. 1 Montrer que la forme algébrique de f ( z ) est : f ( z ) = x 2 − y 2 + 2 · x + 9 + i · 2 · x · y + 2 · y 2 On note ( E ) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z est telle que f ( z ) soit un nombre réel. Montrer que E est la réunion de deux droites D 1 et D 2 dont on précisera les équations. E.6353 Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. Laquelle? Justifier votre réponse. Considérons l’ensemble E des nombres complexes z vérifiant : 1 z 2 +1 soit un réel. L’ensemble E est : 1 l’ensemble des nombres réels ; 2 l’ensemble des imaginaires purs privé de i et de − i ; 3 la réunion de l’ensemble des nombres réels et de l’ensemble des imaginaires purs privé de i et − i ; 4 le nombre 0 . 15. Transformation du plan E.3785 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct ainsi que les points A et B représentés ci-dessous : On note z A et z B les affixes respectives des points A et B . 1 Donner les écritures algébriques des affixes des points A , B . 2 a Placer le point C d’affixe − z A . b Quelle transformation géométrique permet de trans-former le point A en C ? 3 a Placer le point D d’affixe z A . b Quelle transformation géométrique permet de trans-former le point A en D ? 4 a Placer le point E d’affixe − z A . b Quelle transformation géométrique permet de trans-former le point A en E ? 5 a Placer le point F d’affixe 1 2 · z A . b Que peut-on dire de la position du point F ? 6 a Placer le point G d’affixe z A + − 2 − 2 · i . b Quelle transformation géométrique permet de trans-former le point A en G ? 7 On considère le point H d’affixe z H vérifiant l’égalité: z H − z B = 1 2 · z A − z B a En résolvant l’équation, déterminer l’écriture al-gébrique de l’affixe z H du point H . b Que peut-on de la position du point H ? E.6796 On considère le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. 1 On considère les points A , B , C d’affixes respectives : z 1 = 0 ; 5 + 0 ; 5 · i ; z 2 = 1 + i ; z 3 = 2 + 2 · i Placer les points A , B et C . 2 On considère la fonction f définie sur l’ensemble des nom-bres complexes non-nul par : f ( z ) = − 1 z 2 a Déterminer les nombres complexes z 1 , z 2 , z 3 images respectives par la fonction f de z 1 , z 2 , z 3 . b Placer les points A , B , C images respectives des nom-bres complexes z 1 , z 2 , z 3 . 3 Peut-on dire que la transformation du plan obtenue à l’aide de la fonction complexe f est une isométrie? Jus-tifier votre réponse. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6782 sacados/6782 Extrait Antilles-Guyanes Septembre 2014 chapExoCorrec/6353 sacados/6353 fichierPlus/6353/ chapExoCorrec/3785 sacados/3785 -4-3-2-101234-2-1123uvAB chapExoCorrec/6796 sacados/6796 01212uv
16. Transformation du plan et lieu géométrique E.6020 À tout nombre complexe z tel que z =2 , on associe le nombre complexe z défini par : z = z + 3 z − 1 1 On note x +i · y , où x ∈ R et y ∈ R , l’écriture algébrique du nombre complexe z . Donner l’écriture algébrique du nombre z , associé à z , en fonction de x et de y . 2 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v or-thonormé direct : a On considère l’équation cartésienne : ( E ) : x 2 + y 2 + 2 x − 3 = 0 Justifier que, dans le plan, l’ensemble des solutions de ( E ) est le cercle C de centre ( − 1 ; 0) et de rayon 2 . b Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que le nombre complexe z associé soit un imaginaire pur. E.6797 On considère la fonction f définie sur C par la relation: f ( z ) = z + z 2 1 Notons a et b les nombres réels tels que z admettent pour écriture algébrique z = a +i · b . Donner l’écriture algébrique du nombre complexe f ( z ) . 2 Dans cette question, on cherche à déterminer l’ensemble E des nombres complexes z tels que f ( z ) est un réel. C’est-à-dire : E = z ∈ C ⏐ ⏐ Im f ( z ) =0 a Soit z un nombre complexe appartenant à E . Déter-miner l’ensemble E . b Dans le plan complexe représenté ci-dessous muni d’un repère O ; ; −→ u ; −→ v orthonormé direct, représenter en rouge l’ensemble E . E.6383 On note C l’ensemble des nombres complexes et on considère le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe: f ( z ) = z 2 + 2 · z + 9 1 Soit ( F ) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie: ⏐ ⏐ f ( z ) − 8 ⏐ ⏐ =3 Prouver que F ) est le cercle de centre Ω( − 1 ; 0) et de rayon 3 . Tracer ( F ) sur le graphique. 2 Soit z un nombre complexe, tel que z = x +i · y où x et y sont des nombres réels. a Montrer que la forme algébrique de f ( z ) est : x 2 − y 2 + 2 x + 9 + i · 2 · x · y + 2 · y b On note ( E ) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z telle que f ( z ) soit un nombre réel. Montrer que ( E ) est la réunion de deux droites ( d 1 ) et ( d 2 ) dont on précisera les équations. Compléter le graphique en traçant ces droites. 3 Déterminer les coordonnées des points d’intersection des ensembles ( E ) et ( F ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6020 sacados/6020 chapExoCorrec/6797 sacados/6797 -4-3-2-101234-4-3-2-11234uv chapExoCorrec/6383 sacados/6383 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2014 -2-1012-2-112uv
E.6798 Dans le plan complexe muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé. On considère l’ensemble E défini par : E = a +i · a ⏐ ⏐ a ∈ R L’image de cet ensemble dans le plan est la première bissec-trice du plan. On considère la fonction complexe définie sur C par la rela-tion : f ( z ) = 1 z 2 + 1 Le but de l’exercice est de déterminer des caractéristiques de l’image de l’ensemble E dans le plan où : E = f ( z ) | z ∈E . C’est-à-dire la représentation dans le plan de toutes les images de l’ensemble E par la fonction f . 1 Soit z un élément de E ; il existe donc un réel a tel que : z = a + a · i Établir que : f ( z )= 1 1+4 · a 4 − 2 · a 2 1+4 · a 4 · i 2 a Démontrer que : ⏐ ⏐ f ( z ) − 0 ; 5 ⏐ ⏐ =0 ; 5 b Que peut-on dire de l’image de l’ensemble E dans le plan? c Montrer que le point A d’affixe 0 ; 5+0 ; 5 · i n’appartient pas à l’ensemble E . Affiner, si nécessaire, la réponse à la question b . 17. Suites E.6381 On considère la suite de nom-bres complexes z n définie par : z 0 = 3 − i ; z n +1 = 1 + i · z n Pour tout entier naturel n , on pose : u n = ⏐ ⏐ z n ⏐ ⏐ . 1 Calculer u 0 . 2 Démontrer que u n est la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 2 . 3 Pour tout entier naturel n , exprimer u n en fonction de n . 4 Déterminer la limite de la suite u n . E.6092 Le plan complexe est muni d’un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé. Pour tout entier naturel n , on note A n le point d’affixe z n défini par : z 0 = 1 ; z n +1 = 3 4 + 3 4 · i · z n pour tout n ∈ N . On définit la suite r n par r n = ⏐ ⏐ z n ⏐ ⏐ pour tout entier naturel n . 1 Donner la forme trigonométrique du nombre complexe: 3 4 + 3 4 · i . 2 Montrer que la suite r n est géométrique de raison 3 2 3 Déterminer, en fonction de n , la mesure du segment A n A n +1 . E.6382 On considère la suite z n de nombres complexes définies par : z 0 = 4 ; z n +1 = 1 + i 2 · z n pour tout n ∈ N Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O , on note A n le point image du nombre complexe z n . 1 a Calculer z 1 , z 2 et z 3 . b Placer les points A 1 , A 2 et A 3 dans le repère ci-dessous. 2 On note ‘ n la longueur de la ligne brisée qui relie le point A 0 au point A n en passant successivement par les points A 1 , A 2 , A 3 . . . Ainsi : ‘ n = n k =1 A k − 1 A k = A 0 A 1 + A 1 A 2 + ··· + A n − 1 A n a Établir la relation ci-dessous pour tout entier naturel n non-nul : A n − 1 A n = ⏐ ⏐ z n ⏐ ⏐ b À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n non-nul : A n − 1 A n = 2 2 · 2 2 n − 1 c Donner une expression de ‘ n en fonction de n . d Déterminer la limite éventuelle de la suite ‘ n . 18. Exercices non-classés E.3845 ⏐ ⏐ ⏐ z + 3 · i z − 6 ⏐ ⏐ ⏐ = 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6798 sacados/6798 chapExoCorrec/6381 sacados/6381 Extrait de Liban Mai 2014 chapExoCorrec/6092 sacados/6092 chapExoCorrec/6382 sacados/6382 -2-101234-1123uv sacados/3845
E.4314 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On désigne par P , Q et R les points d’affixes respectives : z P = 3 2 · 1 + i ; z Q = 3 2 · (1 − i) ; z R = − 2 · i · 3 On note S l’image du point R par la symétrie de centre Q . Vérifier que l’affixe z S du point S est : z S =3+i · 2 · 3 − 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4314 sacados/4314