Terminale Option Experte / Nombres complexes et trigonométrie 45 exercices (100% corrigés)

a
1. Rappels E.2304 Voici la table de trigonométrie des angles remarquables : α 0 ı 6 ı 4 ı 3 ı 2 cos α 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 sin α 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 tan α 0 √ 3 3 1 √ 3 × Déterminer les valeurs exactes des expressions ci-dessous : a sin 7 ı 3 b cos − 5 ı 4 c cos 5 ı 6 E.7605 Proposition: formule des angles associés cos( − x ) = cos x sin( − x ) = − sin x cos( ı + x ) = − cos x sin( ı + x ) = − sin x cos( ı − x ) = − cos x sin( ı − x ) = sin x cos ı 2 + x = − sin x sin ı 2 + x = cos x cos ı 2 − x = sin x sin ı 2 − x = cos x Soit ¸ un nombre réel. Simplifier les écritures suivantes : a cos ı 2 + ¸ b sin ¸ +3 · ı c cos ¸ − ı 2 d sin ı 2 − ¸ E.2575 À l’aide de la relation: tan x = sin x cos x où x = ı 2 + k · ı simplifier les expressions suivantes : a tan x + ı b tan ı 2 − x E.8577 Exprimer l’expression suivante à l’aide des rapports trigonométriques de ı 5 : A = 2 · cos 4 ı 5 + 3 · sin 6 ı 5 − 4 · sin 3 ı 10 E.2230 1 Établir l’égalité: cos ı 6 + cos 5 ı 6 = 0 2 Déterminer la valeur des coefficients ¸ et ˛ réalisant l’égalité suivante : 2 · cos − ı 7 +3 · cos 8 ı 7 − 2 · sin 6 ı 7 +sin − ı 7 = ¸ · cos ı 7 + ˛ · sin ı 7 2. Formules d’addition E.6808 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé O ; I ; J , on considère les points M et N tel que : −−→ OM = a ; −−→ ON = b −→ OI ; −−→ OM = ¸ ; −→ OI ; −−→ ON = ˛ 1 a Déterminer les coordonnées des points M et N . b Donner une expression du produit scalaire −−→ OM · −−→ ON 2 a Donner la mesure de l’angle orienté : −−→ OM ; −−→ ON b Donner une autre expression de −−→ OM · −−→ ON . 3 En déduire l’égalité: cos ˛ − ¸ = cos ˛ · cos ¸ + sin ˛ · sin ¸ E.2616 Formules d’addition et de différence cos( a + b ) = cos a · cos b − sin a · sin b cos( a − b ) = cos a · cos b + sin a · sin b sin( a + b ) = sin a · cos b + cos a · sin b sin( a − b ) = sin a · cos b − cos a · sin b Déterminer une simplification des expressions suivantes : 1 cos 2 x · cos x − sin 2 x · sin x 2 sin 3 x · cos 2 x − sin 2 x · cos 3 x E.2614 1 En remarquant l’égalité ı 12 = ı 3 − ı 4 , déterminer les valeurs de cos ı 12 et sin ı 12 . 2 Déterminer les valeurs de : cos 7 ı 12 ; sin 7 ı 12 E.3794 1 a Développer l’expression : sin x + ı 4 . b Résoudre l’équation: sin x +cos x =1 2 a Développer l’expression : cos x + ı 3 . b Résoudre l’équation: cos x − 3 · sin x =1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2304 sacados/2304 chapExoCorrec/7605 sacados/7605 chapExoCorrec/2575 sacados/2575 chapExoCorrec/8577 sacados/8577 chapExoCorrec/2230 sacados/2230 chapExoCorrec/6808 sacados/6808 ˛o¸oOIJMN chapExoCorrec/2616 sacados/2616 chapExoCorrec/2614 sacados/2614 chapExoCorrec/3794 sacados/3794
E.2615 Montrer la relation suivante : sin( a + b ) · cos( a − b ) = sin a · cos a + cos b · sin b E.3089 1 Simplifier l’expression suivante : cos x + ı 4 − cos x − ı 4 2 Établir l’égalité suivante : sin 5 x sin 2 x + sin 2 x sin x = sin 3 x 2 sin(2 x ) · sin( x ) 3 Résoudre l’équation suivante : 3 2 · cos(2 x ) + 1 2 · sin(2 x ) = cos ı 7 E.4722 On considère le carré ABCD . Soit M un point appartenant au demi-cercle C de diamètre [ AB ] se situant hors du carré ABCD . On considère les points N , P et Q tels que le quadrilatère MNPQ soit un carré dont les points A , B , C , D appartien-nent respectivement aux droites ( MQ ) , ( MN ) , ( NP ) , ( PQ ) . 1 Montrer que les triangles AMB , ADQ , CDP et BCN sont isométriques. 2 On note A l’aire du carré ABCD , A l’aire du carré MNPQ et ¸ la mesure géométrique de l’angle BAM . Montrer que l’égalité: A A =1+sin(2 ¸ ) 3 Pour quelle valeur de ¸ , l’aire A est le double de l’aire A . 3. Formules de duplication E.2613 Formules de duplication cos(2 a ) = cos a 2 − sin a 2 cos(2 a ) = 2 · cos a 2 − 1 cos(2 a ) = 1 − 2 · sin a 2 sin(2 a ) = 2 · sin a · cos a 1 Établir la relation suivante : cos ı 8 2 = 1 4 · 2 + 2 2 En déduire la valeur de cos ı 8 . 3 Établir la relation: sin ı 8 = 1 2 2 − 2 4. Opération sur les écritures trigonométrique E.8578 On considère les deux nombres com-plexes : z 1 = 1 + i ; z 2 = 3 + 3 · i 1 Déterminer l’écriture trigonométrique des nombres com-plexes z 1 et z 2 . 2 Effectuer le produit z 1 · z 2 . En déduire l’écriture trigonométrique de ce produit. 3 a Exprimer le module du produit z 1 · z 2 en fonction des modules de z 1 et z 2 . b Exprimer l’argument du produit z 1 · z 2 en fonction des arguments de z 1 et z 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2615 sacados/2615 chapExoCorrec/3089 sacados/3089 chapExoCorrec/4722 sacados/4722 de moi verifier si correct ABCDMNPQ chapExoCorrec/2613 sacados/2613 chapExoCorrec/8578 sacados/8578
E.8579 On considère les deux nombres com-plexes : z 1 = 2 − 2 · i ; z 2 = − 1 + 3 · i 1 Déterminer l’écriture trigonométrique des nombres com-plexes z 1 et z 2 . 2 Donner l’écriture trigonométrique du quotient z 1 z 2 . 3 a Exprimer le module du produit z 1 z 2 en fonction des modules de z 1 et z 2 . b Exprimer l’argument du produit z 1 z 2 en fonction des arguments de z 1 et z 2 . E.5952 Donner l’écriture trigonométrique des nombres complexes : a z 1 = 2 · cos ı 4 − i · sin ı 4 b z 2 = − 3 · cos 2 ı 3 + i · sin 2 ı 3 c z 3 = cos ı 6 + i · sin − ı 6 d z 4 = 2 · cos ı 4 + i · sin 3 ı 4 E.3828 Rechercher tous les couples ( z 1 ; z 2 ) de nombres complexes satisfaisant aux conditions : z 1 · z 2 = 1 2 z 1 + 2 · z 2 = 3 Déterminer l’écriture trigonométrique de chacun des nombres ainsi obtenus. E.3826 On considère les deux nom-bres complexes : z 1 = 6 − i · 2 2 ; z 2 = 1 − i 1 Donner l’écriture trigonométrique des nombres com-plexes z 1 et z 2 . 2 a Établir l’égalité suivante : cos − ı 6 + i · sin − ı 6 cos − ı 4 + i · sin − ı 4 = cos ı 12 + i · sin ı 12 b On définit le nombre Z par la relation: Z = z 1 z 2 Déterminer l’écriture trigonométrique du nombre com-plexe Z . 3 En déduire que : cos ı 12 = 6 + 2 4 ; sin ı 12 = 6 − 2 4 4 On considère l’équation d’inconnue réelle x : 6 + 2 · cos x + 6 − 2 · sin x = 2 Résoudre cette équation dans R . 5. Ecritures exponentielles E.5365 Donner l’écriture algébrique des nombres complexes suivants : a z 1 = 3 · e i · π b z 2 = 2 · e i · π 4 c z 3 = 2 3 · e − i · π 6 E.3848 Déterminer l’écriture exponentielle des nombres complexes suivants : a z 1 = 5 b z 2 = − 3 c z 3 = − 3 · i d z 4 = − 3 + 3 · i e z 5 = − 2 3 − 2 · i f z 6 = 3 − 3 · i E.3831 1 Soit z un nombre complexe admettant la forme exponen-tielle: z = r · e i · θ où r ∈ R ∗ + , „ ∈ R Déterminer la forme exponentielle des nombres com-plexes suivants : a z b − z 2 a Justifier l’égalité suivante : 2 · e − i · π 3 = − 2 · e i · 2 π 3 b En déduire l’écriture exponentielle de : 2 · e − i · π 3 + 3 · e i · 2 π 3 6. Produit, quotient d’écriture exponentielle E.3798 1 Donner l’écriture exponentielle des deux nombres com-plexes suivants : z 1 =1 − i ; z 2 =1+i 2 En déduire l’écriture exponentielle du nombre complexe: z = 1 − i 1 + i E.8581 Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe z 3 définie par : z 3 = 1+i 1 −√ 3 · i E.6104 On considère les deux nombres com-plexes : z 1 = 1 + i ; z 2 = 3 + i 1 Déterminer les écritures exponentielles des nombres z 1 et z 2 . 2 On note z 3 et z 4 les deux nombres complexes définis par : z 3 = z 1 · z 2 ; z 4 = z 1 z 2 Déterminer les écritures exponentielles des nombres z 3 et https://chingmath.fr chapExoCorrec/8579 sacados/8579 chapExoCorrec/5952 sacados/5952 chapExoCorrec/3828 sacados/3828 Extrait Bordeaux 1976 chapExoCorrec/3826 sacados/3826 chapExoCorrec/5365 sacados/5365 chapExoCorrec/3848 sacados/3848 chapExoCorrec/3831 sacados/3831 chapExoCorrec/3798 sacados/3798 chapExoCorrec/8581 sacados/8581 chapExoCorrec/6104 sacados/6104
z 4 . E.5366 On considère les deux nombres com-plexes donnés ci-dessous : z 1 = 3 · e i · π 3 ; z 2 = 6 · e − i · π 6 Déterminer une expression simplifiée des calculs suivants : a z 1 · z 2 b z 1 z 2 c z 1 + z 2 E.4253 Dans C , on considère les deux nombres complexes suivants : z A = 1 − i ; z B = 2 + 3 + i 1 Déterminer le module et un argument de z A . 2 Écrire z B z A sous écriture algébrique. 3 Montrer que : z B z A =(1+ 3) · e i · π 3 4 En déduire l’écriture exponentielle de z B . E.3827 On considère dans C les nom-bres complexes z 1 et z 2 de module 1 et d’arguments respectifs ¸ et ˛ . Montrer que : z 1 + z 2 2 z 1 · z 2 est un réel positif ou nul. E.6380 On considère la suite de nom-bres complexes z n définie par : z 0 = 3 − i ; z n +1 = 1 + i · z n pour tout n ∈ N 1 Déterminer la forme algébrique de z 1 . 2 Déterminer la forme exponentielle de z 0 et 1+i . En déduire la forme exponentielle de z 1 . 3 Déduire des questions précédentes la valeur exacte de cos ı 12 . E.8582 On considère le nombre complexe z défini par : z = 1 + i 3 + 3 · i 1 Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe z . 2 En déduire la mesure principale de l’angle „ réalisant : cos „ = 2 + 6 4 ; sin „ = 6 − 2 4 7. Ecriture exponentielle et mesure principale de l’argument E.5381 On considère les deux nombres com-plexes suivants donnés sous leur forme exponentielle: z 1 = 2 · e i · 2 π 3 ; z 2 = 3 · e i · 3 π 4 Donner l’écriture exponentielle des expressions suivantes : a z 1 · z 2 b z 1 2 · z 2 c z 2 z 1 3 Indication : On donnera les mesures principales des argu-ments E.3829 1 a Soit z 1 le nombre complexe admettant pour écriture algébrique: z 1 = − 2 · 3+2 · i Déterminer l’écriture exponentielle de ce nombre. b Soit z 2 le nombre complexe vérifiant : | z 2 | = 2 ; arg( z 2 ) = 3 4 · ı Déterminer l’écriture algébrique du complexe z 2 2 Déterminer, à votre convenance, soit l’écriture al-gébrique, soit l’écriture exponentielle des nombres com-plexes suivants : a z 1 · z 2 b z 1 + z 2 Indication : On donnera les mesures principales des argu-ments E.3830 1 On définit les deux nombres complexes z et z par : z = 3 − 4 · i ; z = − 2 + i Déterminer l’écriture algébrique des nombres suivants : a z + z b z · z c z · z + i 2 Considérons les deux nombres complexes z et z admet-tant pour écriture algébrique: z = 2 · e i · π 4 ; z = e i · 5 π 6 Déterminer l’écriture exponentielle des nombres com-plexes suivants : a − z b z c z · z d z z Indication : On donnera les mesures principales des argu-ments E.6081 Le plan complexe est rapporté à un repère O ; −→ u ; −→ v orthonormé direct. On considère l’application z de C dans C définie par : f : z ↦−→ z 2 . On considère le complexe: a = 2 − i · 2 1 Exprimer a sous écriture exponentielle. 2 En déduire les nombres complexes antécédents du nom-bre a par f . 8. Puissance d’écriture exponentielle E.8583 On considère le nombre complexe z défini par : z =1+i Établir que le nombre z 100 est un nombre réel. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5366 sacados/5366 chapExoCorrec/4253 sacados/4253 Extrait de Liban Juin 2011 chapExoCorrec/3827 sacados/3827 Extrait Montpellier 1982 chapExoCorrec/6380 sacados/6380 Extrait de Liban Mai 2014 chapExoCorrec/8582 sacados/8582 chapExoCorrec/5381 sacados/5381 chapExoCorrec/3829 sacados/3829 chapExoCorrec/3830 sacados/3830 chapExoCorrec/6081 sacados/6081 chapExoCorrec/8583 sacados/8583
E.4325 Pour chacune des proposi-tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. 1 Soit z =3+i · 3 . Proposition 1: Pour tout entier naturel n non nul, z 3 · n est imaginaire pur. 2 Soit z un nombre complexe non nul. Proposition 2: Si ı 2 est un argument de z alors: ⏐ ⏐ i + z ⏐ ⏐ = 1 + ⏐ ⏐ z ⏐ ⏐ 3 Soit z un nombre complexe non nul. Proposition 3: Si le module de z est égal à 1 alors z 2 + 1 z 2 est un nombre réel. E.5325 On considère le nombre complexe: a = − 3+ i 2011 . Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse en justi-fiant la réponse : ˇ Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur. ı 9. Formule d’Euler E.8584 Définition: on linéarise une expression de la forme cos p ( x ) · sin q ( x ) , où p;q ∈ N lorsqu’on la transforme en une combinaison linéaire d’expression de la forme cos( n · x ) et sin( m · x ) , où n;m ∈ N Établir la linéarisation suivante : cos( x ) 2 · sin( x ) 2 = 1 8 − 1 8 · cos(4 x ) E.5947 On souhaite linéariser l’expression cos 3 ( x ) : 1 À l’aide de la formule d’Euler et la formule du binôme, établir: cos 3 ( x ) = e − 3i · x + 3 · e − i · x + 3 · e i · x + e 3i · x 8 2 En déduire l’identité: cos 3 ( x ) = cos(3 x ) + 3 · cos( x ) 4 E.599 Pour tout nombre réel x et pour tout entier k non-nul, établir la relation: cos( x ) 2 k = 1 4 k · 2 k k + 1 2 2 k − 1 · k − 1 =0 2 k ‘ · cos (2 k − 2 ‘ ) x 10. Formule de Moivre E.8585 Prérequis: pour tout entier naturel n et tout nombre réel „ , on a: cos „ + i · sin „ n = cos n · „ + i · sin n · „ 1 À l’aide de la formule du binôme, établir l’identité: cos „ +i · sin „ 3 = 4 · cos( „ ) 3 − 3 · cos „ +i 3 · sin „ − 4 · sin( „ ) 3 2 À l’aide de la formule de Moivre, établir les identités : cos(3 „ )=4 · cos( „ ) 3 − 3 · cos „ ; sin(3 „ )=3 · sin „ − 4 · sin( „ ) 3 11. Cours E.3299 Rappels: Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante : | z | = r arg z = „ à 2 ı près ⇐⇒ z = r cos „ + i sin „ r > 0 Pour tous nombres réels a et b : cos a + b = cos a · cos b − sin a · sin b sin a + b = sin a · cos b + sin b · cos a Soient z 1 et z 2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : | z 1 z 2 | = | z 1 | · | z 2 | arg( z 1 z 2 ) = arg ( z 1 ) + arg ( z 2 ) à 2 ı près. E.3301 On rappelle que pour tout vecteur −→ w non nul, d’affixe z , on a: | z | = −→ w ; arg( z ) = −→ u ; −→ w à 2 ı près. Prérequis: on sait que si z et z sont deux nombres com-plexes non nuls, alors: arg( z · z ) = arg( z ) + arg ( z ) Soient z et z deux nombres complexes non nuls. Démon-trer que : arg z z = arg( z ) − arg( z ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/4325 sacados/4325 Extrait de Polynesie Juin 2011 chapExoCorrec/5325 sacados/5325 chapExoCorrec/8584 sacados/8584 chapExoCorrec/5947 sacados/5947 chapExoCorrec/599 sacados/599 chapExoCorrec/8585 sacados/8585 chapExoCorrec/3299 sacados/3299 chapExoCorrec/3301 sacados/3301 Extrait d'Asie - Juin 2006
E.5951 On considère deux nombres complexes z et z non-nuls de modules respectifs r et r et d’arguments respectifs „ et „ . 1 Donner l’écriture trigonométrique des nombres com-plexes z et z . 2 Montrer que le nombre complexe z · z est un nombre com-plexe de module ( r · r ) et d’argument ( „ + „ ) . 3 Montrer que le nombre complexe z z est un nombre com-plexe de module r r et d’argument ( „ − „ ) . 12. Exercices non-classés E.5280 Soit les nombres complexes : z 1 = 2 + i · 6 ; z 2 = 2 + 2 · i ; Z = z 1 z 2 1 Écrire Z sous forme algébrique. 2 Donner les modules et les arguments de z 1 , z 2 et Z . 3 En déduire cos ı 12 et sin ı 12 . E.5281 On considère l’équation ( E ) suiv-ante : z 2 +2cos ı 5 · z +1=0 Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en jus-tifiant votre affirmation : ˇ L’équation ( E ) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 . ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/5951 sacados/5951 chapExoCorrec/5280 sacados/5280 chapExoCorrec/5281 sacados/5281 Extrait du Liban Juin 2008