Terminale Option Experte / Opérations sur les matrices 61 exercices (100% corrigés)

a
1. Addition E.6809 Définition: soit m , n deux entiers naturels non-nuls ( m;n ∈ N ∗ ) . On considère deux matrices A et B de dimen-sions m × n et on note respectivement a ij et b ij leurs coeffi-cients. La somme des matrices A et B est la matrice de di-mensions m × n notée A + B dont les coefficients c ij , sont définis par : c ij = a ij + b ij ∀ i ∈ [[1 ; m ]] ; ∀ j ∈ [[1 ; n ]] Effectuer les additions de matrices suivantes : a 1 2 − 1 0 + 2 − 3 − 1 − 2 b − 4 0 1 1 2 0 + 1 1 − 3 0 1 4 E.6155 Effectuer les opérations suivantes : a 1 0 2 4 1 − 1 + 0 2 1 − 1 − 1 0 b 2 3 4 1 + 5 − 2 − 1 − 1 + − 2 1 0 − 1 2. Multiplication par un réel et addition E.6154 Définition: soit – un nombre réel ( – ∈ R ) et A une ma-trice de dimension m × n ( m;n ∈ N ∗ ) dont les coefficients sont notés a ij On appelle produit de la matrice A par le scalaire λ , la matrice de dimensions m × n notée λ · A et dont les coefficients b ij sont définis par : b ij = – · a ij ∀ i ∈ [[1 ; m ]] ; ∀ i ∈ [[1 ; m ]] Effectuer les opérations suivantes : a 2 · 1 0 2 1 0 − 1 b 4 · − 1 1 0 1 2 − 3 4 1 − 2 0 0 3. Multiplication E.6165 Définition: soit m , n , p trois entiers naturels non-nuls ( m;n;p ∈ N ∗ ) . On considère les deux matrices A et B de dimensions re-spectives m × n et n × p . Le produit de la matrice A par la matrice B est une matrice de dimensions m × p dont les coefficients c ij sont définis par : c ij = n k =0 a ik × b kj ∀ i ∈ [[1 ; m ]] ; ∀ j ∈ [[1 ; p ]] Vérifier les égalités suivantes : a 1 2 0 1 3 1 · 1 2 = 5 2 5 b 3 1 1 1 2 1 · 1 1 2 1 = 5 4 3 2 4 3 c 1 2 4 1 · 3 1 1 2 = 5 5 13 6 E.5355 Effectuer les produits suivants de matrices : a 2 1 − 1 3 · 4 − 1 0 2 b 2 − 1 1 0 − 2 1 1 0 1 · 2 − 1 1 1 3 − 1 0 1 1 E.3107 Effectuer les produits de matrices suivantes : a 2 1 − 1 − 3 1 0 · 0 4 1 − 1 2 1 b 5 2 − 1 2 · 2 − 1 − 3 1 E.5072 Effectuer les produits de matrices suivantes : a − 1 1 0 2 − 1 1 · 4 1 2 b − 1 2 1 0 2 2 − 2 3 1 · 1 − 2 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6809 sacados/6809 chapExoCorrec/6155 sacados/6155 chapExoCorrec/6154 sacados/6154 chapExoCorrec/6165 sacados/6165 r641-0 chapExoCorrec/5355 sacados/5355 chapExoCorrec/3107 sacados/3107 chapExoCorrec/5072 sacados/5072
E.6157 Effectuer les produits de matrices suivantes : a 2 1 1 3 1 0 · 0 4 1 − 1 2 1 b 5 2 1 2 · 2 1 3 1 E.6158 Effectuer les produits de matrices suivantes : a − 1 1 0 2 1 1 · 4 1 2 b 1 2 1 0 2 2 2 3 1 · 1 2 1 E.6172 Effectuer les produits matriciels suiv-ants : a 1 2 0 1 · 1 0 3 2 1 1 b 1 1 0 1 2 2 · 1 1 − 1 1 E.6197 Une entreprise nécessite chaque an-née des fournitures de bureau pour faire fonctionner ses dé-partements ˇ administratifs ı et ˇ productions ı. Le tableau ci-dessous recense ses besoins pour une année en milliers d’unités : Rames de feuilles ( M 1 ) Stylo ( M 2 ) Tubes de colle ( M 3 ) Administration ( D 1 ) 3 4 1 Production ( D 2 ) 1 2 3 Un appel d’offres est lancé auquel répondent deux entreprises. Le tableau ci-dessous représente le prix unitaire en euros de chacun des fournitures nécessaires à cette entreprise : Rames de feuilles ( M 1 ) Stylo ( M 2 ) Tubes de colle ( M 3 ) Fournisseur PasTropCher ( F 1 ) 2 3 1 Fournisseur BonPrix ( F 2 ) 3 1 2 1 a Écrire la matrice A = a ij où le coefficient a ij est la quantité du matériel M j nécessaire au département D i . b Écrire la matrice B = b ij où le coefficient b ij est le prix proposé par le fournisseur F j pour le matériel M i . 2 Effectuer le produit matriciel suivant : A · B . 3 a Afin de réaliser des économies, quel fournisseur l’entreprise doit choisir. b Pour ce fournisseur, donner le montant de l’achat des fournitures de bureau. 4. Multiplication et matrice identitée E.6166 Définition: on appelle matrice identité d’ordre n ( n ∈ N ∗ ) la matrice carrée d’ordre n dont les coefficients ont pour valeur 1 sur la diagonale principale et 0 ailleurs. On la note I n . Pour I n = a ij , on a: a ii = 1 ∀ i ∈ [[1; n ]] a ij = 0 ∀ ( i;j ) ∈ [[1; n ]] 2 et i = j 1 Effectuer les produits matriciels suivants : a 1 2 3 4 · 1 0 0 1 b 1 0 0 0 1 0 0 0 1 · 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Que peut-on donner comme caractéristique à une matrice ne comportant que des 1 sur sa diagonale principale et des zéros ailleurs? E.5144 On souhaite déterminer l’ensemble des matrices carrées de dimensions 2 vérifiant : A 2 = I 2 Pour cela, on considère la matrice A = a b c d où a , b , c et d sont quatre réels quelconques. 1 a Exprimer la matrice A 2 en fonction des réels a , b , c et d . b Déterminer un système d’équations vérifié par les réels a , b , c et d . 2 Pour étudier ce problème, nous allons effectuer une dis-jonction de cas : a Si b =0 , exprimer la matrice A en fonction du réel c . b Si b =0 , exprimer la matrice A en fonction des réels a et b . 5. Commutativité de la multiplication E.6167 Définition: soit A et B deux matrices carrées d’ordre n ( n ∈ N ∗ ) , on dit que le produit des matrices A et B est com-mutatif si : A · B = B · A https://chingmath.fr chapExoCorrec/6157 sacados/6157 chapExoCorrec/6158 sacados/6158 chapExoCorrec/6172 sacados/6172 chapExoCorrec/6197 sacados/6197 chapExoCorrec/6166 sacados/6166 chapExoCorrec/5144 sacados/5144 chapExoCorrec/6167 sacados/6167
1 Effectuer les deux produits matriciels suivants : a 1 3 2 1 · 3 3 2 3 b 3 3 2 3 · 1 3 2 1 2 Effectuer les deux produits matriciels suivants : a 2 1 1 2 · 0 3 2 3 b 0 3 2 3 · 2 1 1 2 3 Peut-on obtenir une règle sur les produits A · B et B · A de deux matrices? E.5076 On considère les deux matrices suiv-antes : A = 1 − 2 2 − 4 ; B = 2 6 1 3 1 Démontrer que : A · B = 0 2 Déterminer la matrice produit B · A . E.5093 Pour chaque question, montrer que le produit des matrices A et B est commutatif. a A = − 4 − 2 − 1 0 ; B = − 3 − 2 − 1 1 b A = − 4 − 2 2 4 ; B = − 2 − 1 1 2 E.8620 Pour chaque question, vérifier si le produit des matrices A et B est commutatif ou non. a A = − 2 − 1 1 3 ; B = − 3 1 1 2 b A = 2 2 3 4 ; B = 1 2 3 3 6. Multiplication et résolutions de systèmes d’équations linéaires E.5073 Soit a et b deux nombres réels véri-fiant l’égalité ci-dessous : 5 2 − 1 3 · a b = 4 - 11 Déterminer les valeurs des réels a et b . E.8629 Soit a et b deux nombres réels véri-fiant l’égalité ci-dessous : − 1 3 2 1 · a b = − 2 11 Déterminer les valeurs des réels a et b . E.5074 Soit a , b et c sont trois nombres réels réalisant l’égalité suivante : 3 1 4 2 − 1 0 1 − 1 1 · a b c = 5 0 − 1 Déterminer les valeurs des réels a , b , c . E.8630 Soit a , b et c sont trois nombres réels vérifiant l’égalité: 2 − 1 1 3 1 − 1 1 1 1 · a b c = 2 8 2 Déterminer la valeur de ces réels. E.5075 Soit a , b et c solutions de l’équation: 4 − 2 1 1 2 3 2 − 6 − 5 · a b c = 7 7 − 7 Déterminer l’ensemble des triplets ( a ; b ; c ) solutions de cette équation. E.8631 Soit a , b et c sont trois nombres réels solutions de l’équation: − 1 3 1 1 0 2 − 1 6 4 · a b c = 5 7 6 Déterminer l’ensemble des triplets ( a ; b ; c ) solutions de cette équation. 7. Distributivité E.5078 On considère les deux matrices suiv-antes : A = 2 1 5 3 ; B = 1 6 − 1 2 1 Calculer: A + B . 2 a Calculer: A + B 2 b Calculer: A 2 +2 · A · B + B 2 3 En tenant compte des propriétés algébriques du pro-duit matriciel, donner le développement de l’expression A + B 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5076 sacados/5076 chapExoCorrec/5093 sacados/5093 chapExoCorrec/8620 sacados/8620 chapExoCorrec/5073 sacados/5073 chapExoCorrec/8629 sacados/8629 chapExoCorrec/5074 sacados/5074 chapExoCorrec/8630 sacados/8630 chapExoCorrec/5075 sacados/5075 chapExoCorrec/8631 sacados/8631 chapExoCorrec/5078 sacados/5078
E.5098 Soit A une matrice carrée d’ordre n et la matrice unité I n d’ordre n . 1 Développer les expressions suivantes : a 2 · A + I n · I n − A b A + 2 · I n 2 2 Calculer chacune de ces deux expressions dans le cas où : n =2 ; A = 4 − 1 2 − 2 E.5099 Soit A et B deux matrices d’ordre n dont le produit est commutatif. 1 Développer les expressions suivantes : a A + 2 · B · B − A b 2 · A − B 2 2 Dans le cas d’ordre 2 , calculer les deux expressions précé-dentes avec les deux matrices ci-dessous dont le produit est commutatif : A = 1 − 3 − 1 − 1 ; B = − 2 3 1 0 E.6824 On définit les matrices A , B et M par : A = 0 ; 8 0 ; 8 0 ; 2 0 ; 2 ; B = 0 ; 2 − 0 ; 8 − 0 ; 2 0 ; 8 ; M = 0 ; 9 0 ; 4 0 ; 1 0 ; 6 1 Démontrer que : M = A +0 ; 5 · B 2 Vérifier que A 2 = A , et que : A · B = B · A = 0 0 0 0 3 Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n strictement positif : A n = A On admet que, pour tout entier naturel n strictement positif : B n = B . 4 Démontrer que, pour tout entier naturel n : M n = A + 0 ; 5 n · B . 8. Puissances n -ième de matrices E.8625 On considère la matrice: A = − 3 − 3 1 2 2 − 1 − 2 − 3 0 1 Déterminer la matrice A 2 . 2 En déduire l’expression de A 101 . E.8624 On considère la matrice: A = − 2 1 − 3 1 1 Déterminer les matrices A 2 et A 3 . 2 En déduire l’expression de A 50 . E.3745 On considère les deux matrices A et B définies par : A = 2 − 2 4 − 2 2 − 4 − 2 2 − 4 ; B = 1 − 3 − 4 − 1 3 4 1 − 3 − 4 1 Déterminer le carré de chacune de ces matrices. 2 Pour tout entier naturel n , déterminer une expression de A n et une expression de B n . E.5100 On considère la matrice: A = 1 3 − 1 1 1 Établir l’égalité: A 3 = − 8 · I 2 . 2 En déduire l’expression de A 11 . E.6069 On considère les deux matri-ces A et B définies par : A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; B = k · A où k ∈ R . Pour quelles valeurs de k la matrice B vérifie l’égalité: B 2 = B 9. Puissances n -ième de matrices, cyclicité et congruence E.5129 On considère la matrice A définie par : A = 3 − 2 4 − 3 Déterminer l’expression de la puissance n -ième de la matrice A . E.5126 On considère la matrice A définie par : A = 1 − 4 − 4 − 1 1 2 1 − 2 − 3 Déterminer l’expression de A n pour tout entier naturel n non-nul. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5098 sacados/5098 chapExoCorrec/5099 sacados/5099 chapExoCorrec/6824 sacados/6824 Extrait Liban Mai 2015 chapExoCorrec/8625 sacados/8625 chapExoCorrec/8624 sacados/8624 chapExoCorrec/3745 sacados/3745 chapExoCorrec/5100 sacados/5100 chapExoCorrec/6069 sacados/6069 chapExoCorrec/5129 sacados/5129 chapExoCorrec/5126 sacados/5126
E.8621 On considère les matrices A et B définies par : A = 1 − 3 − 3 − 2 2 3 2 − 3 − 4 ; B = − 2 − 1 1 1 0 − 1 − 2 − 2 1 1 Déterminer les carrés des matrices A et B . 2 Pour tout entier nature n , déterminer une expression de A n et une expression de B n . E.8622 On considère la matrice A définie par : A = 1 − 1 3 − 2 Déterminer l’expression de la puissance n -ième de la matrice A . E.5127 On considère la matrice A définie par : A = 1 − 3 − 2 − 1 − 4 − 3 2 4 3 Déterminer l’expression de A n pour tout entier naturel n non-nul. E.8623 On considère la matrice A définie par : A = − 3 − 1 3 3 Déterminer l’expression de la puissance n -ième de la matrice A . E.5145 On considère la matrice A carrée de dimension 3 définie par : A = 1 − 3 − 2 − 1 1 − 4 − 1 2 − 2 1 Établir que : A 3 =2 · I 3 . 2 Donner une expression de A n pour tout entier naturel n . E.5128 On considère la matrice A définie par : A = 1 − 3 − 2 − 3 1 2 3 − 3 − 4 Déterminer l’expression de A n pour tout entier naturel n non-nul. 10. Puissances n -ième de matrices et raisonnement par récurrence E.5082 On considère la matrice A = 1 1 0 1 Établir, que pour tout n ∈ N , on a: A n = 1 n 0 1 E.8626 Montrer que pour tout entier naturel non-nul n , on a: 4 − 4 3 − 3 n = 4 − 4 3 − 3 E.5115 On considère la suite A définie par : A = 1 0 1 0 1 0 0 0 2 et la suite u n définie par : u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 n pour tout n ∈ N Établir que pour tout entier naturel n non-nul, on a l’égalité: A n = 1 0 u n 0 1 0 0 0 2 n Indication : on utilisera : A n +1 = A · A n E.7364 On considère la matrice B carrée d’ordre 3 définie par : B = 5 12 1 4 1 3 5 12 1 4 1 3 1 6 1 2 1 3 Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , la relation: B n = B 2 E.5083 On considère la matrice A = 2 0 1 1 Établir, que pour tout entier naturel n : A n = 2 n 0 2 n − 1 1 E.6100 Montrer que pour tout entier naturel n , on a: 5 − 4 3 − 2 n = 2 n +2 − 3 4 − 2 n +2 3 × 2 n − 3 4 − 3 × 2 n E.8627 Montrer que pour tout entier naturel non-nul n , on a: 2 4 1 2 n = 2 2 n − 1 2 2 n 2 2 n − 2 2 2 n − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/8621 sacados/8621 chapExoCorrec/8622 sacados/8622 chapExoCorrec/5127 sacados/5127 chapExoCorrec/8623 sacados/8623 chapExoCorrec/5145 sacados/5145 chapExoCorrec/5128 sacados/5128 chapExoCorrec/5082 sacados/5082 chapExoCorrec/8626 sacados/8626 chapExoCorrec/5115 sacados/5115 chapExoCorrec/7364 sacados/7364 chapExoCorrec/5083 sacados/5083 chapExoCorrec/6100 sacados/6100 chapExoCorrec/8627 sacados/8627
E.8628 Montrer que pour tout entier naturel non-nul n , on a: 2 3 − 2 − 3 n = − 2 × ( − 1) n − 3 × ( − 1) n 2 × ( − 1) n 3 × ( − 1) n E.6826 On considère la matrice: A = − 4 6 − 3 5 1 On appelle I la matrice identité d’ordre 2 . Vérifier que : A 2 = A +2 · I 2 En déduire une expression de A 3 et une expression de A 4 sous la forme ¸ · A + ˛ · I où ¸ et ˛ sont des réels. 3 On considère les suites r n et s n définies par r 0 =0 et s 0 =1 et, pour tout entier naturel n : r n +1 = r n + s n s n +1 = 2 · r n Démontrer que, pour tout entier naturel n : A n = r n · A + s n · I 11. Matrice inverse E.5094 Définition: soit n un entier naturel non-nul et A et B deux matrices carrées d’ordre n . On dit que la matrice B est la matrice inverse de la matrice A si : A · B = I n ; B · A = I n On considère les deux matrices A et B suivantes : A = − 1 1 3 1 − 2 − 5 − 1 2 4 ; B = − 2 − 2 − 1 − 1 1 2 0 − 1 − 1 1 Déterminer les matrices des produits A · B et B · A . 2 Que peut-on dire des matrices A et B ? E.5095 On considère les deux matrices A et B suivantes : A = 1 − 2 − 2 − 2 1 2 − 1 1 1 ; B = − 1 0 − 2 0 − 1 2 − 1 1 − 3 1 Déterminer les produits A · B et B · A . 2 Que peut-on dire des matrices A et B ? E.5096 On considère les deux matrices A et B suivantes : A = 1 − 2 − 2 − 2 1 0 − 2 2 2 ; B = − 2 0 − 2 − 4 2 − 4 2 − 2 3 1 Déterminer les produits A · B et B · A . 2 En déduire la matrice inverse de la matrice A . 12. Matrice inverse et expressions algébriques E.5116 On considère la matrice carrée A d’ordre 3 définie par : A = 1 − 2 − 2 − 1 0 − 2 − 1 − 2 0 1 a Déterminer la matrice A 2 + A . b Exprimer la matrice inverse de A en fonction A et de I 3 . 2 En déduire la matrice inverse de la matrice A . E.5117 On considère la matrice carrée A d’ordre 3 définie par : A = 1 − 2 − 1 − 2 1 1 − 2 2 0 1 a Déterminer la matrice A 2 − 3 × A . b Exprimer la matrice inverse de A en fonction de A et de I 3 . 2 En déduire la matrice inverse de la matrice A . E.6871 On considère la matrice carrée A d’ordre 3 définie par : A = 1 − 4 − 2 − 2 3 − 1 − 4 − 4 3 1 a Déterminer la matrice A 2 . b Déterminer la matrice A 2 − 2 · A . c En déduire une expression de la matrice inverse de la matrice A en fonction de A et de I 3 . 2 En déduire la matrice inverse de la matrice A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/8628 sacados/8628 chapExoCorrec/6826 sacados/6826 chapExoCorrec/5094 sacados/5094 chapExoCorrec/5095 sacados/5095 chapExoCorrec/5096 sacados/5096 chapExoCorrec/5116 sacados/5116 chapExoCorrec/5117 sacados/5117 chapExoCorrec/6871 sacados/6871
E.6825 On donne les matrices : M = 1 1 1 1 − 1 1 4 2 1 ; I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 Déterminer la matrice M 2 . On donne : M 3 = 20 10 11 12 2 9 42 20 21 2 Vérifier que : M 3 = M 2 +8 · M +6 · I 3 3 En déduire que M est inversible et que : M − 1 = 1 6 · M 2 − M − 8 · I 3 4 En déduire la matrice inverse de la matrice M . 13. Matrice inverses de matrices d’ordre 2 E.8634 Définition: On considère A la matrice définie par : A = a b c d On appelle déterminant de la matrice A , noté det( A ) , le nombre : det( A ) = a · d − b · c Déterminer le déterminant des matrices suivantes : A = 1 3 3 − 1 ; B = 2 4 − 3 2 ; C = 6 3 4 2 E.5097 Proposition: On considère la matrice A = a b c d . La matrice A est inversible si, et seulement si, det( A ) =0 . On a alors: A − 1 = 1 det( A ) · d − b − c a Déterminer les inverses des matrices suivantes : a − 3 2 − 2 2 b − 2 − 1 − 1 − 1 c 3 4 4 4 E.6828 Établir que chacune des matrices ci-dessous sont inversibles et déterminer l’expression de leurs matrices inverses : a 1 − 1 − 3 2 b 2 1 − 1 − 1 c 3 − 1 − 1 0 E.8633 Déterminer les inverses des matrices suivantes : a 1 2 1 3 b 1 0 − 4 − 4 c 2 0 3 − 4 E.5112 1 Soit n un entier naturel non-nul. On considère A et B deux matrices carrées d’ordre n inversible et – un nombre réel non-nul. a Montrer que le produit A · B est une matrice inversible dont on précisera l’inverse. b Montrer que la matrice – · A est une matrice inversible dont on précisera l’inverse. 2 On considère les deux matrices A et B suivantes : A = 4 3 1 0 ; B = 3 − 4 − 2 3 Montrer que la relation suivante est fausse : A + B − 1 = A − 1 + B − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6825 sacados/6825 chapExoCorrec/8634 sacados/8634 chapExoCorrec/5097 sacados/5097 chapExoCorrec/6828 sacados/6828 chapExoCorrec/8633 sacados/8633 chapExoCorrec/5112 sacados/5112