Terminale Option Experte / Pgcd, nombres premiers entre eux, théorème de Bezout et de Gauss 80 exercices (100% corrigés)

a
1. Proprietes des nombres premiers E.3363 Préciser si les entiers suivants sont premiers ou non : a 37 b 127 c 541 d 2 × 3 × 5 × 7 + 1 E.4279 Établir que pour tout entier naturel k ( 2 k n ) , l’entier n !+ k n’est pas un entier premier. E.6771 Pour tout entier naturel n non nul, on appelle S ( n ) le nombre égal à la somme des diviseurs posi-tifs de n . 1 Vérifier que : S (6)=12 et calculer S (7) . 2 a Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : S ( n ) 1+ n b Quels sont les entiers naturels n tels que S ( n )=1+ n ? E.6924 Ci-dessous est donnée une fonction d’un algorithme suivant où MOD(N,k) représente le reste de la division euclidienne de N par k . Fonction f(a) k ← 2 Tant que MOD(a;k) = 0 et k √ a k ← k+1 Fin Tant que Si k> √ a Alors Renvoyer 0 Sinon Alors Renvoyer 1 Fin Si 1 Quelle est la valeur de k lorsque cette fonction est appelée avec pour paramètre a=127 ? Et si on saisit a=119 ? 2 Que peut-on dire de l’entier a passé en paramètre lorsque la valeur renvoyée par la fonction f est 0 ? Justifier votre réponse. E.3667 On dit qu’un entier na-turel est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs pro-pres (c’est-à-dire autres que lui-même) . 1 a Vérifier que 6 et 28 sont parfaits. b Vérifier que ces deux entiers peuvent s’écrire sous la forme 2 n 2 n +1 − 1 où 2 n +1 − 1 est premier. 2 Nous allons montrer que tout entier de cette forme est un entier parfait. a Soit p un entier premier et a l’entier: a =2 n · p . Quels sont ses diviseurs propres? Calculer leur somme en fonction de n et p . b Supposons de plus que : p =2 n +1 − 1 . Exprimer la somme des diviseurs propres de l’entier a en fonction de n où : a = 2 n 2 n +1 − 1 c En déduire que a est parfait. 3 Énoncer le résultat démontré. Donner deux autres entiers parfaits. En revanche, aucun entier parfait impair n’est connu pour l’instant. 2. Factorisation et nombres premiers E.3620 Soit a ∈ N , considérons l’expression : ( E ): a 4 − 3 a 2 +1 1 Établir l’égalité suivante : a 4 − 3 a 2 + 1 = a 2 − a − 1 · a 2 + a − 1 2 a Résoudre les équations suivantes : a 2 − a − 1 = 1 ; a 2 + a − 1 = 1 b Déterminer pour quelle (s) valeur (s) de a , l’expression ( E ) définit un entier premier. E.3621 Pour a un entier naturel, on consid-ère l’expression : ( F ) : a 3 − 5 a Justifier que l’entier ( F ) ne peut pas être un entier premier. E.8614 Pour a un entier naturel, on consid-ère l’expression : ( E ) : a 3 − 5 · a 2 + 7 a 1 Exprimer ( E ) sous la forme d’un produit d’un polynôme de degré un et d’un polynôme de degré deux. 2 Déterminer les valeurs de a pour lesquelles l’expression ( E ) définisse un entier premier. E.3633 1 Soit x un nombre réel. a Montrer que : x 4 +4= x 2 +2 2 − 4 · x 2 b En déduire que x 4 +4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coefficient entiers. 2 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On con-sidère les deux entiers suivants : A = n 2 − 2 n + 2 ; B = n 2 + 2 n + 2 a Montrer que n 4 +4 n’est pas premier. b Montrer que, tout diviseur de A qui divise également n est un diviseur du nombre 2 . c Montrer que, tout diviseur commun de A et de B , di-vise 4 n . E.3668 1 Soit x et p étant deux entiers naturels, calculer la somme : 1 − x + x 2 + ··· +( − 1) p · x p 2 a Démontrer que, quels que soient les entiers naturels x et n , l’entier x 2 n +1 +1 est multiple de x +1 . b On remarquera que si k est impair alors (2 q ) k +1 est divisible par 2 q +1 . 3 Soit m un entier naturel. Démontrer l’hypothèse ˇ m est une puissance de 2 ı est une condition nécessaire pour que 2 m +1 soit un entier premier. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3363 sacados/3363 chapExoCorrec/4279 sacados/4279 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/6771 sacados/6771 chapExoCorrec/6924 sacados/6924 chapExoCorrec/3667 sacados/3667 chapExoCorrec/3620 sacados/3620 chapExoCorrec/3621 sacados/3621 chapExoCorrec/8614 sacados/8614 chapExoCorrec/3633 sacados/3633 chapExoCorrec/3668 sacados/3668
3. Nombres premiers et congruence E.3619 Soit p un entier premier supérieur ou égal à 5 . 1 Justifier que l’entier p vérifie l’une des deux conditions suivantes : p ≡ 1 ( mod. 6) ; p ≡ 5 ( mod. 6) 2 Justifier que l’entier p 2 − 1 est divisible par 24 . E.3624 On se propose dans cet exer-cice d’étudier le problème suivant : ˇ Les entiers dont l’écriture décimale n’utilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils être premiers? ı Pour tout entier naturel p 2 , on pose N p =1 ::: 1 où 1 apparaît p fois. On rappelle dès lors que : N p = 10 p − 1 + 10 p − 2 + · · · + 10 0 . 1 Les entiers N 2 =11 , N 3 =111 , N 4 =1111 sont-ils premiers? 2 Prouver que N p = 10 p − 1 9 . Peut-on être certain que 10 p − 1 est divisible par 9 ? 3 On se propose de démontrer que si p n’est pas premier, alors N p n’est pas premier. On rappelle que pour tout nombre réel x et tout entier naturel n non nul, x n − 1 = x − 1 x n − 1 + x n − 2 + · · · + x + 1 a On suppose que p est pair et on pose p =2 q , où q est un entier naturel plus grand que 1 . Montrer que N p est divisible par N 2 =11 . b On suppose que p est un multiple de 3 et on pose p =3 q , où q est un entier naturel plus grand que 1 . Montrer que N p est divisible par N 3 =111 . c On suppose p non premier et on pose p = k · q où k et q sont des entiers naturels plus grands que 1 . En déduire que N p est divisible par N k . 4 Énoncer une condition nécessaire pour que N p soit pre-mier. Cette condition est-elle suffisante? E.3669 On cherche à savoir pour quelle(s) valeurs (s) de l’entier naturel n , sin(2 n ) est le plus grand possible, 2 n étant la mesure d’un angle en degrés. 1 Décomposer 360 en facteurs premiers. 2 Démontrer que pour tout n 3 : 2 n +12 ≡ 2 n ( mod. 360) 3 En déduire qu’il suffit d’observer les valeurs de sin(2 n ) pour 0 n 14 . 4 Quelle est la valeur maximale de sin(2 n ) ? 4. PGCD et décomposition en produit de facteurs premiers E.8610 1 Déterminer la décomposition en produit de facteurs pre-miers des nombres 1764 et 198 . 2 En déduire le PGCD des nombres 1764 et 198 . E.282 Définition: deux entiers sont dits premiers entre eux , si l’entier 1 est le seul diviseur commun à ces deux nombres. Proposition: deux entiers sont premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD a pour valeur 1 . 1 Déterminer le PGCD des différents couples d’entiers : a (15 ; 21) b (18 ; 28) c (15 ; 22) 2 Déterminer si les deux entiers 56 et 45 sont premiers en-tre eux E.3721 Dans chaque cas, à l’aide de la dé- composition en produits de facteurs premiers, déterminer le PGCD du couple ( a ; b ) d’entiers : 1 a = 35 × 21 ; b = 36 × 25 2 a = 6 2 × 12 ; b = 21 4 × 15 2 3 a = 35 280 201 ; b = 6 804 131 E.256 1 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des deux entiers suivants : a 36 × 26 b 12 × 21 2 En déduire le PGCD de 936 et 252. 3 Réduire la fraction : 936 4 252 5 E.3723 Soit n un entier naturel inférieur à 120 . Déterminer l’ensemble des valeurs de n tels que : pgcd ( n ; 120) = 6 5. Propriété caractéristique du PGCD E.3724 Déterminer l’ensemble des couples ( m ; n ) d’entiers naturels tels que : pgcd ( m ; n ) =6 ; m + n =72 E.6022 Déterminer l’ensemble des couples ( m ; n ) d’entiers naturels vérifiant le système : S : m 2 − n 2 = 5440 pgcd ( m ; n ) = 8 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3619 sacados/3619 chapExoCorrec/3624 sacados/3624 chapExoCorrec/3669 sacados/3669 chapExoCorrec/8610 sacados/8610 chapExoCorrec/282 sacados/282 chapExoCorrec/3721 sacados/3721 chapExoCorrec/256 sacados/256 chapExoCorrec/3723 sacados/3723 chapExoCorrec/3724 sacados/3724 chapExoCorrec/6022 sacados/6022 Lyon Juin 1977 3 points
E.5344 Dans le système d’équation ci-dessous, les entiers x et y ci-dessous représentent des entiers naturels où x<y : x · y = 135 pgcd ( x ; y ) = 3 Résoudre ce système d’équations. 6. PGCD et diviseurs E.3715 On désigne par p un entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n l’entier: A n =2 n + p . On note d n le PGCD de A n et A n +1 . 1 Montrer que d n divise 2 n . 2 Déterminer la parité de A n en fonction de celle de p . Jus-tifier. E.6021 Soit n un entier relatif. 1 On note d le PGCD des entiers 9 n +4 et 2 n − 1 . Justifier que d divise 17 . 2 Établir l’équivalence suivante : n ≡ 9 ( mod. 17) ⇐⇒ pgcd (9 n +4 ; 2 n − 1)=17 E.6076 Pour tout entier naturel n , on considère les deux entiers ¸ et ˛ définis par : ¸ =2 n +1 ; ˛ = n +3 On note d le PGCD des entiers ¸ et ˛ : d = pgcd ( ¸ ; ˛ ) 1 a Justifier que l’entier d est un diviseur de 5 . b Quelles peuvent être les valeurs possibles de d ? 2 Établir l’équivalence suivante : ¸ et ˛ sont des multiples de 5 ⇐⇒ n − 2 est multiple de 5 . E.4272 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on pose : A ( n ) = n 4 + 1 1 Étudier la parité de l’entier A ( n ) . 2 Montrer que, quel que soit l’entier n , A ( n ) n’est pas un multiple de 3 . 3 Montrer que tout entier d diviseur de A ( n ) est premier avec n . 4 Montrer que, pour tout entier d diviseur de A ( n ) : n 8 ≡ 1 ( mod. d ) 7. Réduction du PGCD E.3722 Proposition: (lemme pour l’algorithme d’Euclide) soit a et b deux entiers relatifs non-nuls et pour tout entier relatif k tels que a + k · b soit non-nul, on a: pgcd ( a ; b ) = pgcd ( a + k · b ; b ) 1 Déterminer le PGCD de deux entiers naturels pairs con-sécutifs. 2 Déterminer le PGCD de deux entiers naturels impairs consécutifs. E.3720 Pour tout entier naturel n non nul, on considère les entiers : a n = 4 × 10 n − 1 ; b n = 2 × 10 n − 1 ; c n = 2 × 10 n +1 1 Calculer a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 et c 3 . 2 Combien les écritures décimales des entiers a n et c n ont-elles de chiffres? Montrer que a n et c n sont divisibles par 3 . 3 Montrer, en utilisant la liste des entiers premiers, in-férieurs à 100 , donnée ci-dessous, que b 3 est premier. 4 Montrer que, pour tout entier naturel non nul n : b n × c n = a 2 n . En déduire une décomposition en produit de facteurs pre-miers de a 6 . 5 Montrer que : pgcd ( b n ; c n )= pgcd ( c n ; 2) . En déduire que b n et c n sont premiers entre eux. Liste des entiers premiers inférieurs à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 E.5300 On considère deux entiers na-turels x et y . Montrer que si x et y sont premiers entre eux alors il en est de même pour les entiers 2 x + y et 5 x +2 y . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5344 sacados/5344 chapExoCorrec/3715 sacados/3715 Extrait de Metropole Septembre 2009 chapExoCorrec/6021 sacados/6021 chapExoCorrec/6076 sacados/6076 chapExoCorrec/4272 sacados/4272 Extrait de Extrait d'Amerique du Sud Novembre 2010 chapExoCorrec/3722 sacados/3722 chapExoCorrec/3720 sacados/3720 France Juin 1999 chapExoCorrec/5300 sacados/5300 Extrait Bac C Juin 1981
E.5729 On considère les deux entiers : A =10 n +7 et B =2 n +1 . 1 Déterminer les entiers réels a et b vérifiant l’égalité: 10 n + 7 2 n + 1 = a + b 2 n + 1 2 Justifier que les entiers A et B sont premiers entre eux. E.6025 1 a En supposant que a =9 p +4 q et b =2 p + q , démontrer que les entiers a et b d’une part ; p et q d’autre part ont le même PGCD. b Démontrer que les entiers 9 p +4 et 2 p +1 sont premiers entre eux. 2 Déterminer le PGCD des entiers relatifs 9 p +4 et 2 p − 1 en fonction des valeurs de p . E.5305 Soit k un élément de Z . 1 Démontrer que les entiers 2 k +1 et 9 k +4 sont premiers entre eux. 2 a Démonter que le PGCD des entiers 2 k − 1 et 9 k +4 est nécessairement 1 ou 17 . b Établir l’affirmation suivante : pgcd (2 k − 1 ; 9 k +4) = 17 ⇐⇒ k ≡ 9 ( mod. 17) E.8823 On considère la suite F n de Fi-bonacci définie par : F 0 =0 ; F 1 =1 ; F n +2 = F n +1 + F n pour tout n =2 Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , les entiers F n +1 et F n sont premiers entre eux. 8. Propriété d’homogénéité du PGCD E.5297 Proposition: (propriété d’homogénéité) Pour tout nombre relatif a , b , k non-nuls, on a: pgcd ( k · a ; k · b ) = k · pgcd ( a ; b ) Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que : pgcd ( a ; b ) = d ; pgcd ( a + b ; ab ) = d Montrer que d est un diviseur de d . E.6023 Soit a et b deux entiers na-turels avec a>b . Montrer l’équivalence : a b est irréductible ⇐⇒ a − b a · b est irréductible. 9. PGCD et ensemble des diviseurs communs E.12 Proposition: soit a et b deux nombres relatifs non-nuls. L’ensemble des diviseurs commun à a et à b est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD. 1 Effectuer la décomposition en facteurs premiers des nom- bres suivants : 27 × 90 ; 20 × 21 2 Déterminer le PGCD des entiers 2430 et 420. 3 Donner l’ensemble de diviseurs commun à ces deux en-tiers. 10. Identité et Théorème de Bézout E.4284 Proposition: (Identité de Bézout) Soient a et b deux entiers relatifs. Si d est le PGCD de a et de b alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que : u · a + v · b = d Théorème de Bézout: Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement, s’il existe deux entiers relatifs tels que : u · a + v · b = 1 En utilisant le théorème de Bézout, montrer que les couples ci-dessous définissent un couple d’entiers premiers entre eux : a (10 ; 3) b (15 ; 11) c (5 ; 17) E.6926 On considère l’équation dio-phantienne x 2 − 8 · y 2 =1 où x et y désignent deux entiers re-latifs. 1 Donner deux couples d’entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solutions de ( E ) . 2 Démontrer que, si un couple d’entiers relatifs non nuls ( x ; y ) est solution de ( E ) , alors les entiers relatifs x et y sont premiers entre eux. E.3776 Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et don-ner une justification de la réponse choisie : Pour tout entier naturel n non nul, n et 2 n +1 sont premiers entre eux. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5729 sacados/5729 chapExoCorrec/6025 sacados/6025 Poitier Juin 1982 chapExoCorrec/5305 sacados/5305 Bac C - Lyon Septembre 1979 chapExoCorrec/8823 sacados/8823 A finaliser la correction chapExoCorrec/5297 sacados/5297 chapExoCorrec/6023 sacados/6023 Extrait de Maroc Juin 1967 chapExoCorrec/12 sacados/12 chapExoCorrec/4284 sacados/4284 chapExoCorrec/6926 sacados/6926 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/3776 sacados/3776
E.5303 Soit n un entier relatif. On définit la valeur des entiers a et b en fonction de celle de n par : a =3 n − 1 ; b = − 2 n +1 Montrer que les entiers a et b sont premiers entre eux quelle que soit la valeur de l’entier naturel n . E.3750 Soit n un entier relatif. On définit la valeur des entiers a et b en fonction de celle de n par : a =6 n +1 ; b = 9 n + 1 Montrer que les entiers a et b sont premiers entre eux quelle que soit la valeur de l’entier naturel n . E.5308 Établir que, quelle que soit la valeur de n , les deux entiers n +3 et − 2 n 2 − n +14 sont premiers entre eux. E.4291 Indiquer si la proposition suiv-ante est vraie ou fausse : ˇ S’il existe deux entiers relatifs u et v tels que a · u + b · v =2 alors le PGCD de a et de b est égal à 2 . ı E.9480 On considère le triangle ABC rectangle en B , représenté ci-dessous, tel que BC = AB +2 et ses mesures soient entières : On modélise la situation en notant AB = x et AC = y . 1 a Exprimer y 2 en fonction de x sous la forme d’une expression développée et réduite. b En déduire que l’entier y est pair. 2 a Justifier que 2 · x 2 +4 · x +4 est un multiple de 4 . b En déduire que l’entier x est pair. 3 Compléter l’algorithme ci-dessous nous donnant les valeurs de x et de y (avec y< 1000 ) réalisant les dimen-sions de ce triangle: import math for x in range(...): y=math.sqrt(...) if math.floor(...)==...: print(x,y) 11. Application du théorème de Bezout E.6927 À chaque lettre de l’alphabet, on associe grâce au tableau ci-dessous un entier compris entre 0 et 25 : A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape 1: à la lettre que l’on veut coder, on associe l’entier x correspondant dans le tableau ci-dessus. Étape 2: on calcule l’entier x défini par les relations : x ≡ 9 · x + 2 ( mod. 26) ; 0 x 25 Étape 3: à l’entier x , on associe la lettre correspon-dante dans le tableau. 1 Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J . 2 Citer le théorème qui permet d’affirmer l’existence de deux entiers relatifs u et v tels que 9 · u +26 · v =1 . Donner sans justifier un couple ( u ; v ) qui convient. 3 Démontrer que : x ≡ 9 · x +2 ( mod. 26) équivaut à x ≡ 3 · x +20 ( mod. 26) . 4 Décoder la lettre R . E.3772 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on pose : A ( n ) = n 4 + 1 1 Étudier la parité de l’entier A (11) . 2 Montrer que, quel que soit l’entier n , A ( n ) n’est pas un multiple de 3 . 3 Montrer que tout entier d diviseur de A ( n ) est premier avec n . 4 Montrer que, pour tout entier d diviseur de A ( n ) : n 8 ≡ 1 ( mod. d ) E.6024 Soit n un entier naturel, on pose : a = 2 n + 8 ; b = 3 n + 15 On note d le PGCD de a et de b . 1 Démontrer que, pour tout n ∈ N , d divise 6 . 2 On considère l’ensemble S des entiers naturels n pour lesquels d =6 . C’est-à-dire que l’ensemble S est défini par : S = n ∈ N ⏐ ⏐ ⏐ pgcd (2 n +8 ; 3 n +15)=6 a Montrer que si n ∈S alors il existe un entier k tel que : n = − 4+3 · k . b En déduire l’ensemble S . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5303 sacados/5303 chapExoCorrec/3750 sacados/3750 chapExoCorrec/5308 sacados/5308 chapExoCorrec/4291 sacados/4291 Extrait de Liban Juin 2007 chapExoCorrec/9480 sacados/9480 DE moi mais adapter l'exercice pour qu'il puisse montrer que seul 2 peut etre le pgcd de x et de y ABCxyx chapExoCorrec/6927 sacados/6927 Extrait d'Antilles-Guyanne Juin 2015 chapExoCorrec/3772 sacados/3772 chapExoCorrec/6024 sacados/6024 Montpellier Juin 1980 3 points
E.5828 On pose : u =2+ 3 et v =2 − 3 . 1 Démontrer par récurrence que, n désignant un entier posi-tif, on peut écrire: u n = a n + b n · 3 ; v n = a n − b n · 3 où a n et b n sont des entiers positifs. Exprimer a n +1 et b n +1 en fonction de a n et b n . 2 Établir les égalités: a n 2 − 3 · b n 2 = 1 ; a n · b n +1 − a n +1 · b n = 1 En déduire que les fractions a n b n , a n +1 a n , b n +1 b n sont irré-ductibles. E.3261 On désigne par p un entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n = p 4 − 1 est divisible par 240 , puis d’appliquer ce résultat. 1 Montrer que p est congru à − 1 ou à 1 modulo 3 En déduire que n est divisible par 3 . 2 En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe un entier naturel k tel que p 2 − 1=4 · k · ( k +1) , puis, que n est divisible par 16 . 3 En considérant tous les restes possibles de la division eu-clidienne de p par 5 , démontrer que 5 divise n . 4 a Soient a , b et c trois entiers naturels. Démontrer que si a divise c et b divise c , avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c . b Déduire de ce qui précède que 240 divise n . 5 Existe-t-il quinze entiers premiers p 1 , p 2 ,. . . , p 15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l’entier: A = p 1 4 + p 2 4 + ··· + p 15 4 soit un entier premier? 12. Théorème de Gauss E.8615 Théorème de Gauss: Soit a , b , n trois entiers relatifs non-nuls tels que n divise a · b . Si n est premier avec a alors il divise b . Déterminer l’ensemble des couples ( x ; y ) ∈ Z 2 solutions de l’équation: 12 · x = 13 · y E.4285 Soient a et b deux entiers relatifs. 1 Montrer que si a · b ≡ 0 ( mod. 47) alors a ≡ 0 ( mod. 47) ou b ≡ 0 ( mod. 47) . 2 En déduire que si a 2 ≡ 1 ( mod. 47) alors a ≡ 1 ( mod. 47) ou a ≡ − 1 ( mod. 47) . E.3573 On considère le système de congruence : ( S ) : n ≡ 2 ( mod. 3) n ≡ 1 ( mod. 5) où n désigne un entier relatif. 1 Montrer que 11 est solution de ( S ) . 2 Montrer que si n est solution de ( S ) alors n − 11 est divis-ible par 3 . 3 Montrer que les solutions de ( S ) sont tous les entiers de la forme 11+15 · k , où k désigne un entier relatif. E.5299 On considère l’équation ( E ) définie par : ( E ) : 17 x − 15 y = 3 où l’ensemble de résolution est l’ensemble des couples ( x ; y ) d’entiers relatifs. Démontrer que, pour tout couple ( x ; y ) solution de ( E ) , x est un multiple de 3 . E.3791 Soit x et y deux entiers véri-fiant l’égalité: y · y − x = x · 2 − x On suppose que l’entier x est un entier premier. 1 Démontrer que l’entier x divise y . 2 On pose y = k · x avec k ∈ Z : a Montrer que x divise 2 , puis, que x =2 . b En déduire les valeurs possibles de k . E.3718 Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie : Soit N un entier naturel dont l’écriture en base 10 est aba 7 10 Si N est divisible par 7 alors a + b est divisible 7 . E.3775 Soit ( E ) l’ensemble des en-tiers naturels écrits, en base 10, sous la forme abba où a est un chiffre supérieur ou égal à 2 et b est un chiffre quelconque. Exemples d’éléments de ( E ) : 2002 ; 3773 ; 9119 . 1 Montrer que : ˇ n est divisible par 3 équivaut à a + b est divisible par 3 ı 2 Montrer que : ˇ n est divisible par 7 équivaut à b est divisible par 7 ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/5828 sacados/5828 Bac Madagascar Septembre 1969 chapExoCorrec/3261 sacados/3261 chapExoCorrec/8615 sacados/8615 chapExoCorrec/4285 sacados/4285 chapExoCorrec/3573 sacados/3573 Extrait de Antilles-Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/5299 sacados/5299 Extrait du Bac - Etranger Juin 1981 chapExoCorrec/3791 sacados/3791 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2009 chapExoCorrec/3718 sacados/3718 chapExoCorrec/3775 sacados/3775
E.3716 On se propose d’étudier des couples ( a ; b ) d’entiers strictement positifs, tels que : a 2 = b 3 Soit ( a ; b ) un tel couple. On note d = pgcd ( a ; b ) et u , v les deux entiers naturels vérifiant : a = d · u ; b = d · v . 1 Montrer que : u 2 = d · v 3 . 2 En déduire que v divise u , puis, que v =1 . 3 Soit ( a ; b ) un couple d’entiers strictement positifs. Démontrer que l’on a a 2 = b 3 si, et seulement si, a et b sont respectivement le cube et le carré d’un même entier. E.5298 On souhaite déterminer l’ensemble des couples ( a ; b ) d’entiers naturels non-nuls so-lutions de l’équation: a 2 − 3 · a · b + b 2 = 0 On suppose l’existence d’un couple ( a ; b ) solution de cette équation : 1 Justifier l’existence d’entiers naturels a et b premiers entre eux vérifiant l’égalité: a 2 − 3 · a · b + b 2 = 0 2 Montrer que a divise b 2 , puis, que a divise b . 3 Établir que b vérifie la relation: 1 − 3 b + b 2 = 0 . 4 Conclure. E.4273 Soit ( x ; y ; z ) un triplet solu-tion des deux équations suivantes : z = ( x − y ) 2 ; z = x · y 1 Montrer que si x =0 , alors le triplet ( x ; y ; z ) a pour valeur 0 ; 0 ; 0 . 2 On suppose dorénavant que l’entier x n’est pas nul. a Montrer que les entiers x , y , z vérifient : x 2 − 3 · x · y + y 2 = 0 En déduire qu’il existe alors des entiers naturels x et y premiers entre eux tels que : x 2 − 3 · x · y + y 2 = 0 b Montrer que x divise y 2 , puis, que x divise y . c Établir que y vérifie la relation; 1 − 3 · y + y 2 =0 d Conclure. 13. Corollaire A du théorème de Gauss E.4281 Corollaire : (du théorème de Gauss) Soit a , b , c trois entiers relatifs non-nuls tels que a divise c et que b divise c . Si les entiers a et b sont premiers entre eux alors le produit a · b divise c . On considère le polynôme A = n 3 − 6 · n 2 − n +6 où n ∈ Z . 1 Établir la factorisation : A = n − 6 n − 1 n + 1 2 a Établir que pour tout entier relatif n , l’entier A est divisible par 2 . b Établir que pour tout entier relatif n , l’entier A est divisible par 3 . c En déduire que pour tout entier relatif n , l’entier A est divisible par 6 . E.8616 On considère le polynôme A = n 3 − 3 · n 2 + n − 6 où n ∈ Z . 1 Établir la factorisation : A = n − 3 n 2 +2 2 Prouver que l’entier A est divisible par 6 pour tout n ∈ Z E.8618 Pour tout entier naturel n , on définit l’entier a par : a = n · 2 n + 1 7 n + 1 1 Justifier que l’entier a est pair. 2 Justifier que l’entier a est divisible par 6 . 14. Corollaire B du théorème de Gauss E.8617 Corollaire : (du théorème de Gauss) Soit a , b , c trois entiers relatifs non-nuls. Si a et b sont premiers entre eux et si a et c sont premiers entre eux alors a est premiers avec le produit b · c . Ce qui peut se traduire par : pgcd ( a ; b ) = 1 pgcd ( a ; c ) = 1 = ⇒ pgcd ( a ; b · c ) = 1 On considère le polynôme 6 · n 3 − 7 · n 2 − 5 · x +1 où n ∈ Z . 1 Établir la factorisation : A = 6 · n − 1 n 2 − n − 1 2 Établir que pour tout entier relatif n , l’entier A n’est pas divisible par 6 . 15. Corollaire C du théorème de Gauss https://chingmath.fr chapExoCorrec/3716 sacados/3716 chapExoCorrec/5298 sacados/5298 chapExoCorrec/4273 sacados/4273 chapExoCorrec/4281 sacados/4281 chapExoCorrec/8616 sacados/8616 chapExoCorrec/8618 sacados/8618 chapExoCorrec/8617 sacados/8617
E.3595 Corollaire : (du théorème de Gauss ) Soit a , b , c trois entiers relatifs non-nuls tels que p soit un entier premier. Si p divise le produit a · b alors p divise a ou p divise b . Soient a et b deux entiers relatifs. 1 Montrer que : Si a · b ≡ 0 ( mod. 47) alors a ≡ 0 ( mod. 47) ou b ≡ 0 ( mod. 47) . 2 En déduire que : Si a 2 ≡ 1 ( mod. 47) alors a ≡ 1 ( mod. 47) ou a ≡ − 1 ( mod. 47) . E.4324 On considère l’équation: ( F ) : 11 · x 2 − 7 · y 2 = 5 où x et y sont des entiers relatifs. 1 a Démontrer que si le couple ( x ; y ) est solution de ( F ) , alors: x 2 ≡ 2 · y 2 ( mod. 5) b Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants : Modulo 5 , x est congru à 0 1 2 3 4 Modulo 5 , x 2 est congru à Modulo 5 , y est congru à 0 1 2 3 4 Modulo 5 , 2 y 2 est congru à Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x 2 et de 2 · y 2 par 5 ? c En déduire que si le couple ( x ; y ) est solution de ( F ) , alors x et y sont des multiples de 5 . 2 Démontrer que si x et y sont des multiples de 5 , alors le couple ( x ; y ) n’est pas solution de ( F ) . Que peut-on en déduire pour l’équation ( F ) ? E.4306 On considère l’équation ( E ) sur les triplets ( x ; y ; z ) définie par : x 2 + y 2 = 5 2 · z 2 Considérons un triplet ( x ; y ; z ) d’entiers relatifs vérifiant l’équation ( E ) : 1 Vérifier que le triplet A 1 ; 3 ; 2 est solution de ( E ) . 2 Démontrer que z est divisible par 2 et x 2 + y 2 est divisible par 10 . 3 Supposons que y =3 , montrer alors l’équivalence suiv-ante : x 2 ≡ 1 ( mod. 10) 4 Déterminer un triplet ( x ; y ; z ) à valeur entières solutions de ( E ) où y est un entier impair. E.6019 Soit a et b deux entiers na-turels dont la somme et le produit ont pour PGCD le carré d’un entier premier p . 1 Montrer que p 2 divise a 2 . (on pourra remarquer que a 2 = a · ( a + b ) − a · b ) . En déduire que p divise a . Montrer que p divise b . 2 Démontrer que le PGCD de a et b est, soit p , soit p 2 . E.5286 Soient a et b des entiers na-turels non nuls tels que : pgcd ( a + b ; ab ) = p où p est un entier premier. 1 Démontrer que p divise a 2 . (On remarquera que: a 2 = a ( a + b ) − ab ) 2 En déduire que p divise a . On constate donc, de même que p divise b . 3 Démontrer que : pgcd ( a ; b ) = p . 16. Théorème de Bezout et de Gauss E.5304 1 Déterminer l’ensemble U des entiers relatifs n tels que n +2 divise 2 n − 1 . 2 Montrer que pour tout entier relatif, les entiers n +2 et 2 n 2 +3 n − 1 sont premiers entre eux. 3 Déterminer l’ensemble V des entiers relatifs n = − 2 tels que (2 n − 1)(2 n 2 +3 n − 1) ( n 2 − 2)( n +2) soit un entier relatif. E.4058 Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2 et a un entier naturel non-nul tel que a et p sont premiers entre eux : 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier n non-nul, les entiers a n et p sont pre-miers entre eux. 2 Établir l’existence d’un entier naturel n non-nul tel que : a n ≡ 1 ( mod. p ) 17. Equation diophantienne E.6098 1 Démontrer que le couple ( − 2 ; 17) est solution de l’équation: 12 x +31 y =503 2 En déduire que : Si un couple d’entiers relatifs ( x ; y ) est solution de l’équation 12 x +31 y =503 alors le couple vérifie la relation 12 · x +2 =31 · 17 − y 3 Déterminer l’ensemble de tous les couples d’entiers relat-ifs ( x ; y ) solutions de l’équation: 12 x +31 y =503 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3595 sacados/3595 chapExoCorrec/4324 sacados/4324 Extrait d'Antilles Juin 2011 chapExoCorrec/4306 sacados/4306 chapExoCorrec/6019 sacados/6019 chapExoCorrec/5286 sacados/5286 Extrait Antilles-Guyanne Septembre 2001 chapExoCorrec/5304 sacados/5304 Bac C - Reims Juin 1982 4 points chapExoCorrec/4058 sacados/4058 chapExoCorrec/6098 sacados/6098
E.6929 On considère l’équation: 51 · x − 26 · y =1 où x et y sont deux entiers relatifs. 1 Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple de solution. 2 a Donner un couple solution x 0 ; y 0 de cette équa-tion. b Déterminer l’ensemble des couples solutions de cette équation. E.3752 On considère l’équation ( E ) définit par : ( E ) : − 7 · x + 25 · y = 1 1 Déterminer un couple trivial ( x ; y ) d’entiers solutions de l’équation ( E ) . 2 En déduire l’ensemble des solutions entières de cette équation ( E ) . E.3790 On considère l’équation ( E ): 7 x − 6 y =1 où x et y sont des entiers naturels. 1 Donner une solution particulière de l’équation ( E ) . 2 Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels so-lutions de l’équation ( E ) . E.4276 On considère l’équation ( E ): 7 · x − 6 · y =1 où x et y sont des entiers naturels. 1 Donner une solution particulière de l’équation ( E ) . 2 Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels so-lutions de l’équation ( E ) . E.8619 On considère l’équation ( E ) définie par ( E ) : 135 · x + 18 · y = 9 . 1 Déterminer un couple trivial ( x ; y ) d’entiers solutions de l’équation ( E ) . 2 En déduire l’ensemble des solutions entières de l’équation ( E ) . E.4308 Déterminer l’ensemble des couples ( x ; y ) , où x et y sont deux entiers relatifs, solutions de l’équation: ( E ) : 2 · x + 11 · y = 7 E.6931 On considère l’équation suiv-ante d’inconnues x et y entiers relatifs : ( E ): 7 x − 3 y =1 Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Son but est, lors de son exécution pas à pas, de récupérer les valeurs prises par les variables a et b qui forment des couples solutions de l’équation ( E ) où ( a ; b) est un couple d’entiers solution tel que : − 5 a 10 ; − 5 b 10 . Pour X variant de − 5 à 10 (1) ... (2) ... Alors ( a ; b) ← ( X ; Y) Fin Si Fin Pour Fin Pour E.3476 Les questions 1 et 2 sont in-dépendantes. Soit n un entier naturel non nul. 1 On considère l’équation notée ( E ) : 3 x + 7 y = 10 2 n x et y sont des entiers relatifs. a Déterminer un couple ( u ; v ) d’entiers relatifs tels que : 3 u + 7 v = 1 . En déduire une solution particulière ( u 0 ; v 0 ) de l’équation ( E ) . b Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs ( x ; y ) solutions de ( E ) . 2 On considère l’équation notée ( G ) : 3 x 2 + 7 y 2 = 10 2 n où x et y sont des entiers relatifs. a Montrer que : 100 ≡ 2 ( mod. 7) . Démontrer que si ( x ; y ) est solution de ( G ) alors: 3 x 2 ≡ 2 n ( mod. 7) b Reproduire et compléter le tableau suivant : Reste de la division euclidienne de x par 7 0 1 2 3 4 5 6 Reste de la division euclidienne de 3 x 2 par 7 c Démontrer que 2 n est congru à 1 , 2 ou 4 modulo 7 . En déduire que l’équation ( G ) n’admet pas de solution. 18. Cours E.3384 Soient a , b et c trois entiers naturels. Démontrer que si a divise c et b divise c , avec a et b premiers entre eux, alors a · b divise c . E.6248 Le but de cette partie est de démontrer que l’ensemble des entiers premiers est infini en raisonnant par l’absurde. 1 On suppose qu’il existe un nombre fini d’entiers premiers notés p 1 , p 2 , . . . , p n . On considère l’entier E produit de tous les entiers pre-miers augmentés de 1 : E = p 1 × p 2 × · · · × p n + 1 Démontrer que E est un entier supérieur ou égal à 2 , et que E est premier avec chacun des entiers p 1 , p 2 , . . . , p n . 2 En utilisant le fait que E admet un diviseur premier, con-clure. E.6923 On désigne par a , b et c trois entiers naturels non nuls tels que : pgcd ( b ; c )=1 Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que : ˇSi b divise a et c divise a alors le produit b · c divise a ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/6929 sacados/6929 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2015 chapExoCorrec/3752 sacados/3752 chapExoCorrec/3790 sacados/3790 chapExoCorrec/4276 sacados/4276 chapExoCorrec/8619 sacados/8619 chapExoCorrec/4308 sacados/4308 chapExoCorrec/6931 sacados/6931 Extrait Antilles-Guyane Juin 2016 chapExoCorrec/3476 sacados/3476 chapExoCorrec/3384 sacados/3384 chapExoCorrec/6248 sacados/6248 Extrait d'Asie Juin 2014 chapExoCorrec/6923 sacados/6923
19. Exercices non-classés E.6930 Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement jus-tifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée. Proposition 1 Pour tout entier naturel n , le chiffre des unités de n 2 + n n’est jamais égal à 4 . On considère la suite u définie, pour n 1 , par : u n = 1 n · pgcd (20 ; n ) Proposition 2 : la suite u n est convergente. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6930 sacados/6930