Terminale Option Experte / Utilisation des matrices 32 exercices (100% corrigés)

a
1. Système d’équations linéaires sans calculatrice E.6173 On souhaite résoudre le système suivant : ( S ) : x + 2 y + z = 8 x + 2 z = 7 x + 3 y = 7 1 a Effectuer le produit matriciel suivant : 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z b Que peut-on dire des solutions de l’équation matricielle suivante : 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z = 8 7 7 2 a Effectuer le produit matriciel suivant : − 6 3 4 2 − 1 − 1 3 − 1 − 2 · 1 2 1 1 0 2 1 3 0 b En utilisant la question précédente, simplifier l’équation suivante : - 6 3 4 2 -1 -1 3 -1 -2 · 1 2 1 1 0 2 1 3 0 · x y z = -6 3 4 2 -1 -1 3 -1 -2 · 8 7 7 c Donner le triplet ( x ; y ; z ) solution du système ( S ) d’équations. E.6183 On considère les deux matrices A et B définies par : A = 1 1 − 2 0 − 3 2 − 2 0 3 ; B = 9 3 4 4 1 2 6 2 3 1 Effectuer le produit matriciel: A · B 2 On considère le système d’équations linéaires à trois in-connues : ( S ): x + y − 2 z = 1 − 3 y + 2 z = − 1 − 2 x + 3 z = − 1 a Justifier que le système ( S ) admet pour ensemble de solution celui de l’équation matricielle: A · x y z = 1 − 1 − 1 b En déduire l’ensemble des solutions du système ( S ) . E.6184 On considère les deux matrices A et B : A = 2 1 − 2 1 − 1 1 3 − 1 0 ; B = 1 2 − 1 3 6 − 4 2 5 − 3 1 Effectuer le produit : A · B 2 On considère le système ci-dessous de trois équations à trois inconnues : ( S ): x + 2 y − z = 5 3 x + 6 y − 4 z = 13 2 x + 5 y − 3 z = 11 Déterminer l’ensemble des triplets solutions de ( S ) . E.6096 On considère la matrice: A = 4 1 3 2 1 a Calculer la matrice 6 · A − A 2 . b En déduire que A est inversible et que sa matrice in-verse, notée A − 1 , peut s’écrire sous la forme : A − 1 = ¸ · I + ˛ · A , où ¸ et ˛ sont deux réels que l’on déterminera. c Établir que la matrice A − 1 admet pour expression : A − 1 = 2 5 − 1 5 − 3 5 4 5 2 Proposer une résolution du système : 4 x + y = 4 3 x + 2 y = − 1 2. Système d’équations linéaires avec calculatrice E.6195 On considère le système ( S ) d’équations défini par : ( S ) : x + 2 y + 3 z = 7 − x − 2 z = − 4 x + y + 2 z = 5 1 À l’aide de la calculatrice, donner la matrice inverse de la matrice M où : M = 1 2 3 − 1 0 − 2 1 1 2 2 a On considère la matrice X définie par : X = x y z . Donner les deux matrices A et B telle que l’équation matricielle A · X = B ait les mêmes solutions que le sys-tème ( S ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6173 sacados/6173 chapExoCorrec/6183 sacados/6183 chapExoCorrec/6184 sacados/6184 chapExoCorrec/6096 sacados/6096 chapExoCorrec/6195 sacados/6195
b Donner l’ensemble des solutions du système ( S ) . E.6185 1 À l’aide de la calculatrice, déterminer l’inverse de la ma-trice A définie par : A = − 1 1 − 2 3 − 2 3 3 − 1 − 1 2 Résoudre le système suivant : ( S ) : − x + y − 2 z = 1 3 x − 2 y + 3 z = − 4 3 x − y − z = − 5 E.6186 1 À l’aide de la calculatrice, déterminer l’inverse de la ma-trice A définie par : A = 2 1 − 2 1 − 1 − 2 1 1 − 1 2 Résoudre le système suivant : 2 x + y − 2 z = 1 x − y − 2 z = 1 x + y − z = 0 E.5113 On considère la matrice carrée A d’ordre 3 définie par : A = 1 − 2 − 2 − 1 1 2 0 2 − 1 1 À l’aide d’un logiciel de calcul matriciel, établir que la matrice A est inversible et donner la matrice inverse de la matrice A . 2 Résoudre le système d’équations suivant : ( S ) : x − 2 y − 2 z = 11 − x + y + 2 z = − 9 2 y − z = − 3 E.5114 Résoudre le système d’équations ci-dessous en utilisant un logiciel de calcul formel et les matrices : ( S ) : 3 x − 3 y − 2 z = 0 3 x + y + z = − 2 − 2 x + 3 y + 2 z = − 1 E.8635 Résoudre le système d’équations ci-dessous en utilisant un logiciel de calcul formel et les matrices : ( S ) : 2 x − 3 y + z = − 8 − 3 x + 2 y − 3 z = 3 x − y + z = − 1 E.8636 Résoudre le système d’équations ci-dessous en utilisant un logiciel de calcul formel et les matrices : ( S ) : − x − 3 y − 2 z = − 1 − 3 x − 2 y + 2 z = 0 3 x + 3 y − z = − 1 E.8637 Résoudre le système d’équations ci-dessous en utilisant un logiciel de calcul formel et les matrices : ( S ) : − 2 x − 3 y − 2 z = 2 − 3 x − 3 y + 2 z = 1 x + 2 y + 3 z = − 2 E.6208 Lors d’une campagne de mar-keting, l’entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l’entreprise 0 ; 80 e par stylo et 1 ; 20 e par porte-clés distribué. À la fin de la journée l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 e . On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués. 1 Écrire un système traduisant cette situation. 2 Montrer que le système précédent est équivalent à: R · X = T où R = 1 1 0 ; 8 1 ; 2 et X et T sont des matrices que l’on précisera. 3 Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Inter-préter le résultat. 3. Système d’équations linéaires et modélisation E.6207 L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants : Nombre de recharges en milliers 1 3 5 Coût total annuel de production en centaines d’euros 11 27 ; 4 83 Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel x de l’intervalle 0 ; 10 par : C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 où a , b et c sont des nombres réels. Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, C ( x ) est le coût total de production en centaines d’euros. Justifier que le triplet ( a ; b ; c ) est solution du système ( S ) . ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6185 sacados/6185 chapExoCorrec/6186 sacados/6186 chapExoCorrec/5113 sacados/5113 chapExoCorrec/5114 sacados/5114 chapExoCorrec/8635 sacados/8635 chapExoCorrec/8636 sacados/8636 chapExoCorrec/8637 sacados/8637 chapExoCorrec/6208 sacados/6208 chapExoCorrec/6207 sacados/6207
E.6215 L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants : Nombre de recharges en milliers 1 3 5 Coût total annuel de production en centaines d’euros 11 27 ; 4 83 Le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel x de l’intervalle 0 ; 10 par : C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 où a , b et c sont des nombres réels. Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, C ( x ) est le coût total de production en centaines d’euros. On admet que le triplet ( a ; b ; c ) est solution du système ( S ) . ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 On pose : X = a b c 1 a Écrire ce système sous la forme M · X = Y où M et Y sont des matrices que l’on précisera. b On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet ( a ; b ; c ) solution du système ( S ) . 2 En utilisant cette modélisation, quel serait le coût to-tal annuel de production pour 8 000 recharges d’eau pro-duites? E.6110 L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants : Nombre de recharges en milliers 1 3 5 Coût total annuel de produc-tion en centaines d’euros 11 27 ; 4 83 le coût total de production est modélisé par une fonction C définie pour tout nombre réel x de l’intervalle 0 ; 10 par : C ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 10 où a , b , c des nombres réels. Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites, C ( x ) est le coût total de production en centaines d’euros. On admet que le triplet ( a ; b ; c ) est solution du système ( S ) : a + b + c = 1 27 a + 9 b + 3 c = 17 ; 4 125 a + 25 b + 5 c = 73 On pose : X = a b c . 1 a Écrire ce système sous la forme M · X = Y où M et Y sont des matrices que l’on précisera. b On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet ( a ; b ; c ) solution du système ( S ) . 2 En utilisant cette modélisation, quel serait le coût to-tal annuel de production pour 8 000 recharges d’eau pro-duites? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6215 sacados/6215 chapExoCorrec/6110 sacados/6110
E.6233 Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d’accrobranches. Les différents parcours sont modélisés par le graphe Γ ci-dessous où les sommets correspondent aux cinq arbres mar-quant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut être réalisé dans les deux sens. 1 a Donner, sans justifier, le degré de chacun des som-mets (la réponse pourra être présentée sous forme de tableau où les sommets seront mis dans l’ordre numérique) . b Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l’ordre numérique) . 2 Parmi les graphes ci-dessous, lesquels représentent un sous-graphe du graphe de départ : a b c On ne justifiera sa réponse que dans le cas où on n’est pas en présence d’un sous-graphe. 3 On installe un toboggan géant sur l’arbre 4 . La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction f dont la courbe C est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé. Cette courbe passe par les points I , J et K de coordon-nées respectives (2 ; 8 ; 1) , (10 ; 2 ; 5) et (20 ; 0) . La fonction f est définie sur 0 ; 20 par : f ( x ) = ax 2 + bx + c où a , b et c sont trois nombres réels. a Justifier que a , b et c sont solutions du système : 400 a + 20 b + c = 0 100 a + 10 b + c = 2 ; 5 4 a + 2 b + c = 8 ; 1 b Déterminer les matrices X et V pour que le système précédent soit équivalent à: U · X = V où U = 400 20 1 100 10 1 4 2 1 c Déterminer a , b et c . E.6216 On considère la fonction f définie par le polynôme du troisième degré : f ( x ) = a · x 3 + b · x 2 + c · x + 2 où a , b , c ∈ R La fonction f admet les images suivantes : f ( − 1) = − 8 ; f (1) = 8 ; f (2) = 28 1 Écrire un système ( S ) de trois équations et de trois in-connues dont le triplet ( a ; b ; c ) est solution. 2 On note X la matrice colonne a b c . a Exprimer deux matrices A et Y tel que l’équation ( E ) matrice ci-dessous admet le même triplet solution du système ( S ) d’équations : ( E ) : A · X = Y . b À l’aide de la calculatrice, donnerle triplet solution de ( S ) . 4. Graphes et chemins de longueurs p E.6156 Le graphe ci-dessous représentent les villes principales des départements D 1 , D 2 et D 3 et les axes routiers les reliant. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6233 sacados/6233 02468101214161820246810IJK chapExoCorrec/6216 sacados/6216 chapExoCorrec/6156 sacados/6156 D1D2D3M1M2M3N1N2P1P2
1 a Combien de chemins permettent de relier la ville M 1 à la ville P 1 ? b Combien de chemins permettent de relier la ville M 3 à la ville P 2 ? 2 a Donner la matrice A = a ij où le coefficient a ij représente ˇ le nombre de routes reliant la ville M i avec la ville N j ı pour i ∈ [[1;3]] et j ∈ [[1;2]] . b Donner la matrice B = b ij où le coefficient b ij représente ˇ le nombre de routes reliant la ville N i avec la ville P j ı pour i ∈ [[1;2]] et j ∈ [[1;2]] . 3 a Donner la matrice C = c ij de dimension 3 × 2 obtenue par le produit de la matrice A par la matrice B . b Donner les valeurs des coefficients c 11 et c 32 . 4 Quelle conjecture peut-on émettre en comparant les ré-sultats des questions 1 et 3 ? E.6164 Trois amies Abondance, Fortune et Désirée (on les considèrera dans cet ordre tout au long de l’exercice) s’échangent chaque début de semaine leur produit de maquillage. Dans le graphe ci-dessous, est représenté les différentes possibilités d’échanges entre deux semaines : 1 a Combien de possibilités d’échanges permettent à Abondance de retrouver ses produits de maquillage en début de semaine 40 ? b Combien de possibilités d’échanges permettent à For-tune d’avoir, en semaine 40 , les produits de maquil-lages d’Abondance en semaine 38 ? 2 a On note M la matrice représentant les échanges en-tre la semaine 38 et la semaine 39 . Plus précisément, le coefficient m ij représente le nombre de possibilités d’échanges au cours de la première semaine entre la i ième amie et la j ième amie. b On note N la matrice représentant les échanges au cours de la seconde semaine. Plus précisément, le co-efficient n ij représente le nombre d’échanges au cours de la seconde semaine entre la i ième amie et la j ième amie. 3 On note P = p ij la matrice, carrée d’ordre 3 , produit de la matrice M par la matrice N : a Donner la matrice C . b Donner les valeurs des coefficients p 11 et p 22 . 4 En comparant les résultats des questions 1 et 3 b , quelle conjecture peut-on émettre? E.6341 Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d’un pic rocheux. La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-dessous. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sen-tiers possibles entre ces lieux. 1 Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois, mais n’empruntant pas forcément tous les sentiers. 2 Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois? Justifier votre réponse. 3 On note M la matrice d’adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l’ordre alphabétique. On donne M 5 . M 5 = 56 78 75 82 59 57 54 40 26 31 78 88 95 89 96 57 50 65 48 30 75 95 68 68 77 68 46 73 52 23 82 89 68 62 98 49 29 79 67 13 59 96 77 98 50 82 80 40 24 46 57 57 68 49 82 36 25 68 49 16 54 50 46 29 80 25 10 73 60 5 40 65 73 79 40 68 73 32 14 48 26 48 52 67 24 49 60 14 6 39 31 30 23 13 46 16 5 48 39 2 a Que représente le nombre 89 situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne? b Déterminer le nombre d’itinéraires allant de D à A em-pruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le pic rouge. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6164 sacados/6164 Lundi 12/09S. 38Lundi 19/09S. 39Lundi 26/09S. 40AFDAFDAFD chapExoCorrec/6341 sacados/6341 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2013 DA1.Départ3.Rochepercée5.Picrouge7.Colvert9.Cascadedesanglais2.Passerelle4.Coldes3vents6.Refuge8.PontNapoléon10.Arrivée
E.6340 Le graphe ci-dessous représente, dans un aéroport donné, toutes les voies emprun-tées par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles cir-culent les avions avant ou après atterrissage, sont appelées taxiways . Les arêtes du graphe représentent les voies de circulation (les ˇtaxiwaysı) et les sommets du graphe sont les intersections. 1 Écrire la matrice M associée à ce graphe (ranger les som-mets dans l’ordre alphabétique) . 2 Citer tous les chemins de longueur 3 reliant A à T . E.6342 Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie d’accès principale en-tre deux lieux correspondants. 1 Donner la matrice M associée au graphe (les sommets seront mis dans l’ordre alphabétique) . 2 On donne la matrice: M 3 = 2 7 8 5 5 5 3 7 8 12 13 12 8 5 8 12 12 15 13 13 5 5 13 15 12 13 12 8 5 12 13 13 10 12 5 5 8 13 12 12 8 7 3 5 5 8 5 7 2 Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste. E.6111 Le graphe ci-dessous représente, dans un aéroport donné, toutes les voies emprun-tées par les avions au roulage. Ces voies, sur lesquelles cir-culent les avions avant ou après atterrissage, sont appelées taxiways . Les arêtes du graphe représentent les voies de circulation (les ˇtaxiwaysı) et les sommets du graphe sont les intersections. Ce graphe est orienté pour indiquer le sens de circulation pour les avions dans les différentes voies : 1 Écrire la matrice M associée à ce graphe (ranger les som-mets dans l’ordre alphabétique) . 2 À l’aide de la calculatrice, donner la valeur du coefficient (1 ; 7) de M 3 . 3 Citer tous les chemins de longueur 3 reliant A à T . E.6241 On considère le graphe ci-contre. 1 Donner la matrice M d’adjacence de ce graphe. (on considérera les sommets du graphe à l’aide de l’ordre alphabétique) . 2 À l’aide de la calculatrice, donner l’expression de la ma-trice M 4 . E.6240 Dans le graphe ci-contre, on a indiqué, pour cette même ville, le sens de circulation pour les véhicules sur les différentes avenues. 1 Peut-on trouver un trajet de longueur quelconque qui permet d’aller de D à B en respectant le sens de circula-tion? Justifier la réponse. 2 Écrire la matrice M associée à ce graphe (on rangera les sommets dans l’ordre alphabétique) . 3 À l’aide de la calculatrice, donner l’expression de la ma-trice M 3 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6340 sacados/6340 ABCDEFT chapExoCorrec/6342 sacados/6342 ABCDEFG chapExoCorrec/6111 sacados/6111 ABCDEFT chapExoCorrec/6241 sacados/6241 ABCD chapExoCorrec/6240 sacados/6240 ABCDEF
E.8318 On considère le graphe G ci-dessous : 1 Donner la matrice M associée au graphe G (les sommets seront rangés dans l’ordre alphabétique) . 2 On donne : M 3 = 6 11 9 10 3 3 4 9 3 11 8 10 9 8 8 3 4 3 9 10 6 5 3 3 8 9 3 10 9 5 6 7 7 3 3 1 3 8 3 7 2 2 1 3 0 3 8 3 7 2 2 1 3 0 4 3 8 3 1 1 4 7 5 9 4 9 3 3 3 7 6 6 3 3 3 1 0 0 5 6 2 a Donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet B au sommet D . b Donner le nombre de chemins de longueur 4 reliant le sommet F au sommet I . 5. Suites définies conjointement E.5950 On définit les deux suites u n et v n par les relations : u 0 =0 ; v 0 =1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 v n 3 pour tout n ∈ N 1 Déterminer les valeurs des termes u 2 et v 2 . 2 On considère la matrice M : M = 1 2 1 2 1 3 2 3 a Vérifier, pour tout n ∈ N : u n +1 v n +1 = M · u n v n b Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, l’identité pour tout n ∈ N : u n v n = M n · 0 1 c À l’aide de la calculatrice, donner les valeurs des ter-mes u 10 et v 10 . E.5357 On considère les deux suites réelles a n et b n définies par : a n +1 = 0 ; 7 · a n + 0 ; 6 · b n b n +1 = 0 ; 3 · a n + 0 ; 4 · b n Pour tout entier n naturel, on définit la matrice-colonne U n définie par : U n = a n b n 1 Déterminer la matrice T réalisant pour tout entier na-turel n l’égalité suivante : U n +1 = T · U n 2 On suppose que : a 0 = 2 3 et b 0 = 1 3 . a Déterminer les valeurs de a 1 et b 1 à l’aide de la relation matricielle établie à la question 1 . b Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement des suites a n et b n ? 3 On suppose que : a 0 =0 ; 3 et b 0 =0 ; 7 . a Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n , on a la relation: U n = T n · U 0 b À l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel, déterminer l’expression des matrices U 2 , U 3 et U 5 à 10 − 6 près. c Que peut-on conjecturer sur le comportement des suites a n et b n ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/8318 sacados/8318 ABCDEFGHI chapExoCorrec/5950 sacados/5950 chapExoCorrec/5357 sacados/5357
E.6093 Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois mar-ques X , Y , Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel. On note : X n l’événement : ˇ la marque X est utilisée le mois n ı Y n l’événement : ˇ la marque Y est utilisée le mois n ı Z n l’événement : ˇ la marque Z est utilisée le mois n ı Les probabilités des événements X n , Y n , Z n sont notées re-spectivement x n , y n , z n . La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition : Un acheteur de la marque X le mois n , a le mois suivant : 50 % de chance de rester fidèle à cette marque ; 40 % de chance d’acheter la marque Y ; 10 % de chance d’acheter la marque Z . Un acheteur de la marque Y le mois n , a le mois suivant : 30 % de chance de rester fidèle à cette marque ; 50 % de chance d’acheter la marque X ; 20 % de chance d’acheter la marque Z . Un acheteur de la marque Z le mois n , a le mois suivant : 70 % de chance de rester fidèle à cette marque ; 10 % de chance d’acheter la marque X ; 20 % de chance d’acheter la marque Y . 1 Représenter le graphe de transitions associé à ce phénomène d’évolutions. 2 En notant U n la matrice colonne x n y n z n , déterminant l’expression de la matrice T réalisant la relation: U n +1 = T · U n 3 On suppose ce phénomène d’évolutions initialisé avec les valeurs : x 0 = 0 ; 3 ; y 0 = 0 ; 5 ; z 0 = 0 ; 2 À l’aide d’un calcul matriciel et manuel, déterminer le pourcentage d’acheteurs dévolus à chacune de ces mar-ques le second mois? 6. Matrice diagonalisable et suites E.5944 On définit les deux suites u n et v n par les relations : u 0 = 0 v 0 = 1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 v n 3 pour tout n ∈ N On définit la suite de matrice X n par la relation X n = u n v n On considère la matrice A définie par : 1 2 1 2 1 3 2 3 1 a Démontrer que pour tout entier naturel n , on a: X n +1 = A · X n b Démontrer par récurrence la relation suivante pour tout entier naturel n : X n = A n · X 0 2 On définit les matrices P et P : P = 4 5 6 5 − 6 5 6 5 ; P = 1 2 − 1 2 1 2 1 3 a Montrer que les matrices P et P sont inversibles. b Déterminer la matrice B diagonale réalisant l’égalité suivante : P · B · P = A c Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : A n = P · B n · P 3 a Donner l’expression de la matrice B n en fonction de n . b Établir que la matrice X n admet pour expression, pour tout entier naturel n : X n = 3 5 − 3 5 · 1 6 n 3 5 + 2 5 · 1 6 n 4 En déduire les limites des suites u n et v n . 7. Exercices non-classés E.8824 On considère la suite F n de Fibonacci définie par : u 0 =0 ; u 1 =1 ; F n +1 = F n + F n − 1 pour tout n ∈ N ∗ On note U n la matrice ligne F n F n +1 . 1 Donner la matrice carrée A d’ordre 2 à coefficients réels qui vérifie: U n +1 = U n · A 2 On considère les deux matrices : D = 1+ 5 2 0 0 1 − 5 2 P = 1 1 1+ 5 2 1 − 5 2 a Montrer que la matrice P est inversible, puis déter-miner sa matrice inverse. b Établir que : A = P · D · P − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6093 sacados/6093 chapExoCorrec/5944 sacados/5944 chapExoCorrec/8824 sacados/8824
c En déduire une expression du terme F n en fonction de n . Formule de Binet: (1843) Pour tout entier naturel n , le terme F n de rang n de la suite de Fibonacci a pour valeur: F n = 1 + 5 n − 1 − 5 n 2 n · 5 https://chingmath.fr