Terminale Spécialité / Algorithmes 39 exercices (100% corrigés)

a
1. Suites: boucles itératives E.5804 On considère la suite numérique v n définie par : v 0 = 1 ; v n +1 = 9 6 − v n 1 On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un en-tier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. Algorithme 1 Variables : v est un réel. i et n sont des entiers naturels Début algorithme : Lire n v prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à n faire v prend la valeur 9 6 − v Fin pour Afficher v Fin algorithme Algorithme 2 Variables : v est un réel. i et n sont des entiers naturels Début algorithme : Lire n Pour i allant de 1 à n faire v prend la valeur 1 v prend la valeur 9 6 − v Fin pour Afficher v Fin algorithme Algorithme 3 Variables : v est un réel. i et n sont des entiers naturels Début algorithme : Lire n v prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à n faire Afficher v v prend la valeur 9 6 − v Fin pour Afficher v Fin algorithme 2 Pour n =10 , on obtient l’affichage suivant : 1 1 ; 800 2 ; 143 2 ; 333 2 ; 455 2 ; 538 2 ; 600 2 ; 647 2 ; 684 2 ; 714 Pour n =100 , on obtient l’affichage suivant : 2,967 2 ; 968 2 ; 968 2 ; 968 2 ; 969 2 ; 969 2 ; 969 2 ; 970 2 ; 970 2 ; 970 Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite v n ? E.5839 On considère la suite u n définie par u 0 =1 et, pour tout entier naturel n : u n +1 = 2 · u n On considère la fonction f issue d’un algorithme où l’argument n est un entier naturel non-nul : Fonction f(n) u ← 1 Pour i variant de 1 à n u ← 2 · u Fin de Pour Renvoyer u 1 Donner une valeur approchée à 10 − 4 près de la valeur renvoyée par cette fonction lorsque son appel s’effectue avec pour argument la valeur n =3 . 2 Quelle interprétation peut-on donner de la valeur ren-voyée par la fonction u ? 3 Par plusieurs appels à la fonction f , on a obtenu le tableau ci-dessous : n 1 5 10 15 20 Valeur renvoyée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999 Quelle conjecture peut-on émettre concernant la suite u n ? E.6887 On considère la suite définie par : u 0 = ln 2 ; u n +1 = 1 n + 1 − u n 1 Ci-dessous est présentée une fonction f partie d’un algo-rithme : Fonction f(n) u ← ... Pour i variant de 1 à ... u ← ... Fin Pour Renvoyer u Recopier et compléter le code de la fonction f afin qu’elle renvoie la valeur du terme u n lorsqu’elle est appelée avec pour argument la valeur n . 2 À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau des valeurs suivant : n 0 1 2 3 4 5 10 50 100 u n 0,6931 0,3069 0,1931 0,1402 0,1098 0,0902 0,0475 0,0099 0,0050 Quelles conjectures concernant le comportement de la suite u n peut-on émettre? E.6891 On considère l’algorithme suivant : Fonction f(p) u ← 5 Pour k variant de 1 à p u ← 0;5u+0;5 k − 1 − 1;5 Fin de Pour Renvoyer u On effectue un appel à la fonction avec pour valeur du paramètre p = 2 . Construire un tableau avec les valeurs des variables k , p et u au cours de cet appel à la fonction f . Quel nombre obtient-on en sortie de l’appel à la fonction g ? E.5842 On considère la fonction f extrait d’un algorithme où l’appel s’effectue en fournissant un argument n entier de valeur supérieur ou égale à 1 : Fonction f(n) A ← 1 B ← 1 Pour K variant de 1 à n A ← A+ A 2 +B 2 3 B ← B 3 Fin Pour Renvoyer A On appelle cette fonction avec la valeur 2 pour l’argument n . Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de cet appel à la fonction f (on ar-rondira les valeurs calculées à 10 − 4 près) K A B 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5804 sacados/5804 Extrait du bac Liban Mai 2013 chapExoCorrec/5839 sacados/5839 Extrait du Bac Am??rique du Nord Mai 2013 chapExoCorrec/6887 sacados/6887 Extrait Liban Mai 2017 chapExoCorrec/6891 sacados/6891 Extrait Antilles-Guyane Juin 2015 chapExoCorrec/5842 sacados/5842
2. Suites: boucles conditionnelles à étudier E.5379 On considère la suite u n définie par : u 0 = 5 et u n +1 = u n ln u n pour tout n ∈ N On donne l’algorithme ci-contre : X ← 5 Y ← 0 Tant que X>2;72 X ← X ln X Y ← Y+1 Fin Tant que À l’aide du tableau suivant, obtenu à l’aide d’un tableur, déterminer la valeur de la variable Y en fin d’exécution de l’algorithme. n 0 1 2 3 4 5 u n 5 3,1066746 2,7406525 2,7183726 2,71828183 2,7182818 E.5838 On considère la suite p n définie par : p 1 = 0 ; p n +1 = 0 ; 2 · p n + 0 ; 04 pour tout n ∈ N ∗ On admet que la suite p n est croissante et converge vers 0 ; 05 . On considère la fonction f ci-dessous issue d’un algorithme où l’argument k fourni lors de l’appel est un entier supérieur ou égal à 2 : Fonction f(k) P ← 0 J ← 1 Tant que P<0;05 − 10 − k P ← 0;2 × P+0;04 J ← J+1 Fin Tant que Renvoyer J 1 Comment interpréter la valeur renvoyée par la fonction f relativement à la valeur de l’argument k fourni lors de l’appel à cette fonction? 2 Pourquoi est-on sûr que l’appel à la fonction f s’arrête? E.6899 Soit f la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 2 x · e − x On admet que la fonction f admet la limite: lim x ↦→ + ∞ f ( x )=0 On donne l’algorithme suivant : t ← 3;5 p ← 0;25 C ← 0;21 Tant que C>5 × 10 − 3 t ← t+p C ← f(t) Fin Tant que En considérant une exécution pas à pas de l’algorithme, com-pléter le tableau ci-dessous avec les valeurs prises par les vari-ables p , t et C au cours de son exécution. Arrondir les valeurs à 10 − 2 près. Initialisation Étape 1 Étape 2 p 0 ; 25 t 3 ; 5 C 0 ; 21 E.5836 On définit la suite d n par : d 0 = 1 ; d n +1 = 1 2 · d n 2 pour tout n ∈ N On considère la fonction f , issue d’un algorithme, prenant pour argument p un entier strictement positif : Fonction f(p) d ← 1 n ← 0 Tant que d>10 − p d ← 0;5 · d 2 n ← n+1 Fin Tant que Renvoyer n En appelant la fonction f avec la valeur 9 pour l’argument p , celle-ci renvoie le nombre 5 . En déduire l’inégalité vérifiée par le nombre d 5 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5379 sacados/5379 Extrait du bac Antilles-Guyane Septembre 2012 chapExoCorrec/5838 sacados/5838 Extrait du Bac Pondich??ry Avril 2013 chapExoCorrec/6899 sacados/6899 Extrait de Polyn??sie Juin 2016 chapExoCorrec/5836 sacados/5836 Extrait du Bac M??tropole Septembre 2012
E.6049 Soit r n une suite géométrique de raison 3 2 et de premier terme 1 . On considère la fonction f d’un algorithme: Fonction f(p) r ← 1 n ← 0 Tant que r>p n ← n+1 R ← 3 2 · R Fin tant que Renvoyer n 1 Quelle est la valeur renvoyée par la fonction f appelée avec la valeur 0 ; 5 de l’argument p ? 2 Appelée avec la valeur 0 ; 01 , la fonction f renvoie la valeur 33 . Que représente la valeur renvoyée par cette fonction? E.5837 On considère la suite I n définie pour n entier naturel non nul par : I n = 1 0 x n · e x 2 d x On admet que les termes de la suite I n qui vérifie la relation suivante pour tout entier n , supérieur ou égal à 1 : I 1 = 1 2 · e − 1 2 ; I n +2 = 1 2 · e − n + 1 2 · I n On considère l’algorithme suivant : À la fin de l’exécution de l’algorithme, à quel terme de la suite I n correspond la valeur de la variable u ? n ← 1 u ← 1 2 e − 1 2 Tant que n<21 u ← 1 2 · e − n +1 2 · u n ← n+2 3. Suites: boucles conditionnelles à construire E.6894 Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour. La société met en place le dispositif industriel suivant. Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on rem-place le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdues. L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bac-téries. On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite u n définie de la façon suivante : u 0 = 1 000 ; u n +1 = 1 ; 2 · u n − 100 L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg . On peut utiliser l’algorithme suivant pour répondre au prob-lème posé. Recopier et compléter cet algorithme. u ← 1 000 n ← 0 Tant que ... u ← ... n ← n+1 Fin Tant que E.5803 L’objet de cet exercice est l’étude de la suite u n définie par son premier terme u 1 = 3 2 et la relation de récurrence : u n +1 = n · u n + 1 2( n + 1) Pour calculer le terme u 9 de la suite, un élève propose l’algorithme ci-contre où la variable u sera affecté de cette valeur en fin d’exécution de cet algorithme. Il a oublié de compléter deux lignes : n ← 1 u ← 1;5 Tant que n<9 u ← ... n ← ... Fin Tant que 1 Recopier et compléter les deux lignes de l’algorithme où figurent des points de suspension. 2 En exécutant pas à pas cet algorithme, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: n 1 2 3 4 5 6 · · · 99 100 u n 1 ; 5 0 ; 625 0 ; 375 0 ; 2656 0 ; 2063 0 ; 1693 · · · 0 ; 0102 0 ; 0101 Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6049 sacados/6049 Extrait Pondich??ry Avril 2014 chapExoCorrec/5837 sacados/5837 Extrait du bac Centres ??trangers Juin 2012 chapExoCorrec/6894 sacados/6894 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/5803 sacados/5803 Extrait du bac Centres ??trangers Juin 2013
E.5998 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par la formule : u n = 2 · e − 1 2 n ln 2 On admet que : La suite u n est strictement croissante sur N La suite u n est convergente et converge vers 2 . Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les in-structions du traitement et de la sortie, de sorte qu’en fin d’exécution, la variable n soit affectée de la plus petite valeur de n telle que u n > 1 ; 999 . n ← 0 u ← 1 Tant que ... ... ... Fin Tant que E.5362 On considère la suite u n définie par : u n = ln( n ) n pour tout n ∈ N ∗ On admet que : La suite u n est strictement décroissante à partir du terme de rang 2 . La suite v n est convergente et converge vers 0 . Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier n 0 supérieur ou égal à 2 tel que ⏐ ⏐ u n 0 ⏐ ⏐ 10 − 2 . 4. Suites et boucles E.5363 On considère la fonction f , ex-trait d’un algorithme, où la valeur passée en argument est un entier naturel. Fonction f(N) U ← 0 Pour k allant de 0 à N − 1 U ← 3 · U − 2k+3 Fin pour Renvoyer U 1 Quelle est la valeur renvoyée par la fonction f lorsque la valeur passée en argument est N =3 ? 2 On considère la suite u n définie par : u 0 = 0 ; u n +1 = 3 · u n − 2 · n + 3 pour tout n ∈ N On admet que la suite u n est croissante et admet pour limite: lim n ↦→ + ∞ u n = + ∞ Proposer une fonction f d’un algorithme qui, pour une valeur p passée en argument, renvoie la valeur du plus petit entier n 0 tel que : Pour tout n n 0 , on ait: u n 10 p 5. Somme des termes d’une suite E.5378 Soit u n la suite définie pour tout entier strictement positif par : u n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln n 1 On considère la fonction f ci-dessous, extrait d’un algo-rithme et prenant pour argument n un entier strictement positif.: Fonction f(n) u ← 0 Pour i variant de 1 à n u ← u+ 1 i Fin Pour Renvoyer u Donner la valeur exacte renvoyée par cette fonction lorsque l’utilisateur appelle la fonction f avec la valeur n =3 . 2 Recopier et compléter l’algorithme précédent afin que la valeur renvoyée soit le terme u n de rang n lorsque la fonction f est appelée avec la valeur n . 3 Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, ar- rondis à 10 − 3 . n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000 u n 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0,578 0,577 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite u n et son éventuelle con-vergence. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5998 sacados/5998 Inspir?? d'Am??rique du Nord Mai 2013 chapExoCorrec/5362 sacados/5362 Extrait Am??rique du Nord Mai 2012 chapExoCorrec/5363 sacados/5363 Extrait Polyn??sie Juin 2012 chapExoCorrec/5378 sacados/5378 Extrait du Bac M??tropole Juin 2012
E.6889 Soit v n la suite définie par : v 1 = ln 2 ; v n +1 = ln 2 − e − v n pour tout n ∈ N On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel n non nul. On définit ensuite la suite S n pour tout entier naturel n non-nul par : S n = n k =1 v k = v 1 + v 2 + · · · + v n 1 Recopier et compléter la fonction f qui renvoie la valeur de S n pour une valeur de n passée en argument : Fonction f(n) v ← ... S ← ... Pour k variant de ... à ... faire ... ← ... ... ← ... Fin Pour Renvoyer S 2 Par appels successifs de cette fonction, on obtient quelques valeurs de S n . Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous : n 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 S n 2 ; 4 4 ; 6 6 ; 9 9 ; 2 11 ; 5 13 ; 8 En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite S n . E.6730 On considère la suite A n dont les termes sont obtenus par l’étude des valeurs successives prises par la variable A lors de l’exécution pas à pas de cet algorithme: Fonction f(n) A ← 0 Pour k allant de 0 à n − 1 A ← A+ 1 2 × sin 2 ı n × 1+ k n 1+ k+1 n Fin Pour On appelle la fonction f avec la valeur 10 pour l’argument n . Recopier et compléter, en arrondissant au millième près, le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l’algorithme: k 0 1 2 3 4 5 6 A 0 ; 323 0 ; 711 1 ; 170 1 ; 705 2 ; 322 3 ; 027 3 ; 826 k 7 8 9 A 4 ; 726 6. Suites définies conjointement E.6000 On considère les deux suites x n et y n définies par : x 0 = − 1 x n = 5 4 · x + 3 4 · y ; y 0 = 5 y n = 3 4 · x + 5 4 · y On considère la fonction f d’un algorithme présentée ci-dessous. Appeler avec un argument n entier supérieur ou égal à 1 , son exécution permet de renvoyer le couple ( x n ; y n ) dont les coordonnées sont les valeurs des termes des suites x n et y n de rang n . La fonction ne renvoie pas les valeurs attendues. Modifier le code de cette fonction en conséquence : Fonction f(n) x ← − 1 y ← 5 Pour i allant de 1 à n x ← 5 4 x+ 3 4 y y ← 3 4 x+ 5 4 y Fin Pour Renvoyer (x; y) E.6893 On considère deux suites de nom-bres réels d n et a n définies par d 0 =300 , a 0 =450 et, pour tout entier naturel n 0 : d n +1 = 1 2 · d n + 100 a n +1 = 1 2 · d n + 1 2 · a n + 70 1 Calculer d 1 et a 1 . 2 On souhaite écrire une fonction dans un algorithme qui prendra pour argument un entier naturel n et qui ren-verra le couple de valeurs ( d n ; a n ) associé au rang n . On propose la fonction suivante est proposée : Fonction f(n) D ← 300 A ← 450 Pour k variant de 1 à n D ← D 2 +100 A ← A 2 + D 2 +70 Fin pour Renvoyer ( D ; A) a Quel couple de nombres est renvoyé par l’appel à la fonction f avec pour argument n =1 ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1 ? b Corriger cette fonction pour qu’elle renvoie les résul-tats souhaités. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6889 sacados/6889 Extrait de Polyn??sie Juin 2015 chapExoCorrec/6730 sacados/6730 Extrait de Centre ??tranger Juin 2016 chapExoCorrec/6000 sacados/6000 Extrait d'Asie Juin 2012 chapExoCorrec/6893 sacados/6893 Nouvelle Cal??donie Novembre 2015
KWUV012 E.5841 On définit les suites u n et v n sur l’ensemble N des entiers naturels par : u 0 = 0 ; v 0 = 1 ; u n +1 = u n + v n 2 v n +1 = u n + 2 · v n 3 , pour tout n ∈ N Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites u n et v n . 1 Calculer u 1 et v 1 . 2 On considère la fonction f extrait d’un algorithme dont l’appel s’effectue avec pour passage d’argument un entier n supérieur ou égal à 1 : Fonction f(n) u ← 0 v ← 1 Pour k variant de 1 à n w prend la valeur u u ← w+v 2 v ← w+2 · v 3 Fin du Pour Renvoyer ( u ; v) a On appelle la fonction f avec pour valeur 2 de l’argument N . Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’appel à cette fonction : k w u v 1 2 b Pour un nombre n donné strictement positif, à quoi correspond le couple de valeurs ( u ; v) renvoyé par l’appel à la fonction f par rapport à la situation étudiée dans cet exercice? E.5377 On considère l’algorithme suivant : Entrée Saisir un réel strictement positif non nul a . Saisir un réel strictement positif non nul b ( b>a ) Saisir un entier naturel non nul N Initialisation Affecter à u la valeur a Affecter à v la valeur b Affecter à n la valeur 0 Traitement TANT QUE: n<N Affecter à n la valeur n +1 Affecter à u la valeur a + b 2 Affecter à v la valeur a 2 + b 2 2 Affecter à a la valeur u Affecter à b la valeur v . Sortie Afficher u , afficher v Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonc-tionner cet algorithme pour a =4 , b =9 et N =2 . Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième. n a b u v 0 4 9 1 2 E.5853 On considère la fonction f extrait d’un algorithme prenant pour argument le paramètre n de valeur entière strictement positive. Fonction f(n) K ← 0 U ← 2 V ← 10 Tant que K<n K ← K+1 W ← U U ← 2 · U+V 3 V ← W + 3 · V 4 Fin tant que Renvoyer ( U ; V) On appelle la fonction f avec la valeur n =2 . Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous en don-nant les valeurs prises successivement par ses variables lors de l’appel à la fonction f . 7. Vers les probabilités https://chingmath.fr chapExoCorrec/5841 sacados/5841 Extrait du Bac Antilles-Guyane Juin 2013 chapExoCorrec/5377 sacados/5377 Extrait du Bac Asie Juin 2012 chapExoCorrec/5853 sacados/5853 Extrait du Baccalaur??at Nouvelle-Cal??donie Novembre 2013
E.5364 On considère l’algorithme: C ← 0 Pour i allant de 1 à 9 A ← valeur aléatoire entière entre 1 et 7 Si A>5 Alors C ← de C+1 Fin Si Fin Pour Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précé-dent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur de la variable C en fin d’exécution de l’algorithme. Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres. 8. Prévoir le fonctionnement d’un algorithme E.6895 Soit m et m deux entiers relatifs. On considère l’équation ( E ) définie par : m · m 4 2 + m − 1 · m − 1 + m · m 4 = 0 On considère l’algorithme suivant : Pour m allant de − 10 à 10 Pour m allant de − 10 à 10 Si m · m 2 +16 · m − 1 · m − 1 +4 · m · m =0 Alors ( a ; b) ← (m ; m ) Fin Si Fin du Pour Fin du Pour Lors de l’exécution pas à pas, on s’intéresse aux valeurs prises successivement par les variables a et b . 1 Quel est le rôle de cet algorithme? 2 Lors de l’exécution de cet algorithme, le couple ( a ; b) se verra affecter de six couples d’entiers dont : ( − 4 ; 1) ; (0 ; 1) ; (5 ; − 4) . Écrire les six couples dans l’ordre de leur affectation suc-cessive au cours de l’exécution de l’algorithme. E.6200 On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. Une machine effectue à l’instant 0 une injection de 10 m‘ de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en dessous de 5 m‘ , la machine réinjecte 4 m‘ de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel n , on note v n la quantité de médica-ment, en m‘ , restant dans le sang à la minute n . On considère l’algorithme ci-dessous : v ← 10 Pour n allant de 1 à 15 v ← 0;8 × v Si v<5 Alors v ← v+4 Fin Si p ← v Fin Pour En exécutant ce programme pas à pas et en observant les valeurs prises par la variable p , on obtient la quantité restante de médicament, minute par minute. 1 Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à 10 − 2 et pour n supérieur ou égal à 1 , la quantité restante de médicament, minute par minute, obtenue avec l’algorithme. n 0 1 2 3 4 5 6 7 v n 10 8 6 ; 4 8 ; 15 n 8 9 10 11 12 13 14 15 v n 6 ; 52 5 ; 21 8 ; 17 6 ; 54 5 ; 23 8 ; 18 6 ; 55 5 ; 24 2 Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médica-ments a été injectée dans l’organisme? 3 On souhaite programmer la machine afin qu’elle injecte 2 m‘ de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 m‘ et qu’elle s’arrête au bout de 30 minutes. Recopier l’algorithme précédent en le modifiant afin, que par une exécution pas à pas de l’algorithme, la variable p prenne pour valeur la quantité de médicament, en m‘ , restant dans le sang avec ce nouveau protocole, minute par minute. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5364 sacados/5364 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2012 chapExoCorrec/6895 sacados/6895 Extrait de Nouvelles cal??donie Mars 2016 chapExoCorrec/6200 sacados/6200 Extrait M??tropole Septembre 2014
-112345678910-2-112O E.6001 Le robot Tom doit emprunter un pont sans garde-corps de 10 pas de long et de 2 pas de large. Sa démarche est très particulière: Soit, il avance d’un pas tout droit ; Soit, il se déplace en diagonale vers la gauche (déplace-ment équivalent à un pas vers la gauche et un pas tout droit) ; Soit, il se déplace en diagonale vers la droite (déplace-ment équivalent à un pas vers la droite et un pas tout droit) . On suppose que ces trois types de déplacement sont aléatoires et équiprobables. L’objectif de cet exercice est d’estimer la probabilité est d’estimer la probabilité p de l’événement S ˇ Tom traverse le pont ı ; c’est-à-dire ˇ Tom n’est pas tombé dans l’eau et se trouve encore sur le pont au bout de 10 déplacements ı. On schématise le pont par un rectangle dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J comme l’indique la figure ci-dessous. On suppose que Tom se trouve au point de co-ordonnée (0 ; 0) au début de la traversée. On note ( x ; y ) les coordonnées de Tom après x déplacements. On a écrit l’algorithme suivant qui simule la position de Tom. À la fin de son exécution, les valeurs des variables x et y représentent la position de Tom à la fin de son parcours : x ← 0 y ← 0 Tant que (y − 1) et (y 1) et (x 9) n ← valeur choisie au hasard entre − 1 , 0 et 1 y ← y+n x ← x+1 Fin tant que 1 On donne les couples suivants : ( − 1 ; 1) ; (10 ; 0) ; (2 ; 4) ; (10 ; 2) Lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme? Jus-tifier la réponse. 2 Modifier cet algorithme pour qu’à la place de ˇ la position de Tom est ( x ; y ) ı, il affiche finalement ˇ Tom a réussi la traversée ı ou ˇ Tom est tombé ı. E.5361 Un groupe de 50 coureurs, por-tant des dossards numérotés de 1 à 50 , participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépen-dantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes. 1 À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs? 2 On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel: ˇ rand(1,50) ı permet d’obtenir un nombre entier aléa-toire appartenant à l’intervalle 1 ; 50 ; l’écriture ˇ x := y ı désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x . a ← 0 b ← 0 c ← 0 d ← 0 e ← 0 Tant que (a=b) ou (a=c) ou (a=d) ou (a=e) ou (b=c) ou (b=d) ou (b=e) ou (c=d) ou (c=e) ou (d=e) a ← rand(1;50) b ← rand(1;50) c ← rand(1;50) d ← rand(1;50) e ← rand(1;50) Fin Tant que On s’intéresse à l’ensemble composé de 5 entiers naturels formés par les valeurs des variables a , b , c , d , e obtenues à l’issue de l’exécution de l’algorithme. a Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus à l’aide de cet algorithme: L 1 = 2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15 ; L 2 = 8 ; 17 ; 41 ; 34 ; 6 L 3 = 12 ; 17 ; 23 ; 17 ; 50 ; L 4 = 45 ; 19 ; 43 ; 21 ; 18 b Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6001 sacados/6001 Antilles-Guyane Septembre 2013 chapExoCorrec/5361 sacados/5361 Extrait de Pondich??ry Avril 2012
E.5939 Voici un algorithme applicable à des entiers de trois chiffres dont le chiffre des centaines n’est pas égal à celui des unités : Étape 1 : Inverser l’ordre des chiffres (par exemple 275 devient 572) Étape 2 : Calculer la différence du plus grand et du plus petit de ces deux nombres. Étape 3 : Réitérer l’étape 1 sur le nombre obtenu. Étape 4 : Additionner ces deux derniers nombres 1 a Appliquer l’algorithme aux nombres 123 , 448 et 946 . b Que peut-on conjecturer? 2 Pour implémenter cet algorithme, l’étape 2 , implicite lorsqu’on effectue les calculs ˇà la mainı , nécessite de dis-socier l’entier saisi d’en isoler le chiffre des unités, celui des dizaines puis celui des centaines. Compléter la fonction suivante, issue d’un algorithme, dont le rôle est de prendre en argument un entier n de trois chiffres et d’effectuer cette dissociation. Dans cet al-gorithme a est le chiffre des centaines, b celui des dizaines et c celui des unités du nombre n que l’on souhaite dé-composer. Fonction f(n) a ← 0 b ← 0 c ← 0 Tant que n 100 a ← a+1 n ← n − 100 Fin Tant que Tant que n ...... b ← ...... ...... ← ...... Fin Tant que c la valeur ...... Renvoyer ( a ; b ; c) 9. Utilisation de la calculatrice E.6897 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= x − ln x 2 +1 On admet que la fonction f admet le tableau de variations suivant : On considère l’algorithme suivant : Fonction g(A) N ← 0 Tant que N − ln N 2 +1 <A N ← N+1 Fin Tant que Renvoyer N où la fonction g est appelée avec un argument A qui est un nombre réel. 1 Quel sens donne-t-on à la valeur renvoyée par la fonction g ? 2 Déterminer la valeur N renvoyée par l’appel à la fonction g est effectuée avec la valeur 100 de son paramètre A . E.6896 Dire si l’affirmation ci-dessous est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= 3 4+6 · e − 2 x En fin d’exécution, cet algorithme affecte à la variable X la valeur 0 ; 54 . X ← 0 Y ← 3 10 Tant que Y<0;5 X ← X+0;01 Y ← 3 4+6 · e − 2X Fin Tant que E.6888 On considère la suite u n définie par : u 0 = 0 ; 02 ; u n +1 = e 2 · u n − e u n pour tout n ∈ N On admet que la suite u n est croissante et a pour limite: lim n ↦→ + ∞ u n = + ∞ La fonction f de l’algorithme suivant a pour but de renvoyer le plus petit entier n tel que u n >M , où M est un réel positif transmis en paramètre lors de l’appel de f . Cet algorithme est incomplet : Fonction f(M) u ← 0;02 n ← 0 Tant que ... ... ... Fin tant que Renvoyer n 1 Recopier la partie ˇ Traitement ı en la complétant. 2 À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur ren-voyée par la fonction f lorsque l’appel s’effectue avec l’argument M =60 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5939 sacados/5939 Extrait des olympiade acad??mique de Besancon 2012 chapExoCorrec/6897 sacados/6897 Extrait de M??tropole Juin 2016 chapExoCorrec/6896 sacados/6896 Extrait de Liban Mai 2016 chapExoCorrec/6888 sacados/6888 Extrait Centres ??trangers Juin 2015
Cf01 10. Autour de la dichotomie E.6890 On considère l’algorithme suivant : Fonction f(x) Renvoyer .... Fonction g(a,b) Tant que b − a>0;3 x ← a + b 2 Si f(x) · f(a)>0 alors a ← x sinon b ← x Fin Si Fin Tant que Renvoyer a + b 2 Indiquer si l’affirmation ci-dessous est vraie ou fausse et jus-tifier la réponse. On complète l’algorithme pour que la fonction f puisse ren-voyer les images du paramètre x pour la fonction : f ( x )= x 3 − 3 . On effectue un appel à la fonction g avec les valeurs des paramètres a=1 et b=2 . La valeur renvoyée par cet appel à la fonction g est le nom-bre 1 ; 6875 . E.6898 On considère la fonction f définie sur 0 ; 5 par : f ( x ) = e x − 1 On admet que la fonction f est strictement croissante et on note m la valeur e 5 − 1 . On considère l’algorithme ci-dessous : a ← 2 b ← 2e Tant que b − a>10 − 3 c ← (a+b)=2 Si f(c)<3;5 Alors a ← c Sinon b ← c Fin Si Fin Tant que d ← f(c) Interpréter la valeur de la variable d en fin d’exécution de l’algorithme. E.5843 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 2 x + 2 · ln x x On donne l’algorithme suivant : a ← 0 b ← 1 Tant que b − a>0;1 m ← 1 2 (a+b) Si f(m)<1 Alors a ← m Sinon b ← m Fin Si Fin Tant que Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau avec les valeurs prises par les variables successivement au cours de son exécution : étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5 a 0 b 1 b-a m 11. Autour des intégrales E.5999 On considère une fonction f décroissante sur l’intervalle 0 ; 1 . On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. On note D le domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x =0 et x =1 . 1 On représente ci-dessous une approximation de l’aire du domaine D à l’aide des quatre rectangles ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6890 sacados/6890 Extrait d'Asie Juin 2015 chapExoCorrec/6898 sacados/6898 Inspir?? d'Am??rique du Nord Juin 2016 chapExoCorrec/5843 sacados/5843 Extrait du Bac M??tropole Juin 2013 chapExoCorrec/5999 sacados/5999 Inspir?? Polyn??sie Juin 2013
00.511.522.50.511.5La distance entre le bas du portail et le sol est de0;05mCf Compléter l’algorithme ci-dessous afin que la valeur de la variable S , en fin d’exécution de l’algorithme, soit l’aire formée par les quatre rectangles : S ← 0 Pour k variant de 0 à ... S ← ... Fin Pour 2 Dans cette question, N est un nombre entier strictement supérieur à 1 . On découpe l’intervalle 0 ; 1 en N inter-valles de même longueur. Sur chacun des intervalles, on construit un rectangle en procédant de la même manière qu’à la question précédente. Modifier l’algorithme précédent afin que la valeur de la variable S en fin d’exécution de l’algorithme soit la somme des aires des N rectangles ainsi construits. E.6916 Soit f une fonction définit l’intervalle 0 ; 1 par : f ( x ) = x e x − x et dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous : On admet que la fonction f est positive sur l’intervalle 0 ; 1 . On définit dans un algorithme la fonction g dans lequel les variables sont : K et i des entiers naturels, K étant non nul ; A , x et h des réels. Fonction g(K) A ← 0 x ← 0 h ← 1 K Pour i variant de 1 à K A ← A+h × f(x) x ← x+h Fin pour Renvoyer A 1 Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en y indi-quant les valeurs des variables A et x lorsque la fonction g s’exécute pas à pas. On arrondira les valeurs successives de A au millième près. i A x 1 2 3 4 2 En l’illustrant sur la représentation graphique ci-dessus, donner une interprétation graphique de la valeur ren-voyée par la fonction g lorsque l’argument passé a pour valeur K=8 . 3 Que peut-on dire de la valeur renvoyée par la fonction g lorsque K devient grand? E.6270 On désire réaliser un portail comme indiqué ci-dessous. Chaque vantail mesure 2 mètres de large, la largeur de chaque planche est de 0 ; 2 m et la garde au sol de chaque vantail est de 0 ; 05 m : Voici un agrandi du vantail de droite : La position des coins supérieur-gauche de chacune des planches est modélisée par la courbe C f représentative d’une fonction f définie par : f ( x ) = x + 3 8 · e − 4 x + 5 4 1 On numérote les dix planches de la gauche vers la droite en commençant par 0 . On considère la planche k où k est un entier compris entre 0 et 9 : a Pour la planche de numéro k , donner la valeur de l’abscisse de son point supérieur-gauche. b Donner l’aire de la planche de numéro k . 2 Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’à la https://chingmath.fr chapExoCorrec/6916 sacados/6916 Extrait M??tropole - R??union Septembre 2015 chapExoCorrec/6270 sacados/6270 Inspir?? d'Am??rique du Sud Novembre 2014
fin de son exécution, l’aire totale des planches utilisées pour le vantail de droite soit la valeur de la variable S . S ← 0 Pour K allant de 1 à 9 S ← S+... Fin du Pour https://chingmath.fr