Terminale Spécialité / Annales sur les équations différentielles 11 exercices corrigés

a
1. Anciennes annales (avant 2012) E.3134 Dans tout l’exercice, – désigne un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 1] . 1 On se propose d’étudier les fonctions dérivables sur −∞ ; 1 2 vérifiant l’équation différentielle: ( E λ ) : y = y 2 + – · y et la condition y (0)=1 . On suppose qu’il existe une solution y 0 de ( E λ ) stricte-ment positive sur −∞ ; 1 2 . On pose sur −∞ ; 1 2 : z = 1 y 0 Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z . 2 Question de cours : PRE-REQUIS Les solutions de l’équation différentielle y = − – · y sont les fonctions : x ↦−→ C · e − λx où C est une constante réelle. a Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle: ( E λ ) : z = − ( – · z + 1) telle que : z (0)=1 b Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z 0 . On veut maintenant montrer que la fonction z 0 ne s’annule pas sur l’intervalle −∞ ; 1 2 . 3 a Démontrer que : ln(1+ – ) > – – +1 . On pourra étudier sur ]0 ; 1] la fonction f définie par : f ( x ) = ln(1+ x ) − x x + 1 . b En déduire que : 1 – · ln(1+ – ) > 1 2 . 4 En déduire que la fonction z 0 ne s’annule pas sur l’intervalle −∞ ; 1 2 . Démontrer alors que ( E λ ) admet une solution strictement positive sur −∞ ; 1 2 que l’on précisera. E.3180 QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0 ; 75 point, chaque erreur enlève 0 ; 25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0. Répondre sur votre copie en indiquant le numéro de la ques-tion et la lettre correspondant à votre réponse : 1 L’équation e 2 x − 3e x − 4=0 admet dans R : a 0 solution b 1 solution c 2 solutions d plus de 2 solutions 2 L’expression − e − x a n’est jamais négative b est toujours négative c n’est négative que si x est positif d n’est négative que si x est négatif 3 lim x ↦→ + ∞ 2e x − 1 e x + 2 = a − 1 2 b 1 c 2 d + ∞ 4 L’équation différentielle y =2 y − 1 a pour ensemble de so-lutions : a x ↦→ k e 2 x − 1 avec k ∈ R b x ↦→ k e 1 2 x + 1 avec k ∈ R c x ↦→ k e 1 2 x − 1 avec k ∈ R d x ↦→ k e 2 x + 1 2 avec k ∈ R https://chingmath.fr chapExoCorrec/3134 sacados/3134 France Septembre 2006 6 points chapExoCorrec/3180 sacados/3180 Antilles-Guyane Juin 2006 3 points
E.3259 Partie A : une équation dif-férentielle. On considère l’équation différentielle: ( E ) : y − 3 y = − 3 e 1 + e − 3 x 2 On donne une fonction ’ dérivable sur R et la fonction f définie sur R par : f ( x )=e − 3 x ’ ( x ) 1 Montrer que f est dérivable sur R et pour tout réel x , exprimer ’ ( x ) − 3 ’ ( x ) en fonction de f ( x ) . 2 Déterminer f de sorte que ’ soit solution de ( E ) sur R et vérifie ’ (0)= e 2 . Partie B: étude d’une fonction. Soit f la fonction f définie sur R par : f ( x )= e 1 − 3 x 1+e − 3 x On désigne par C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm . 1 Déterminer les limites de f en −∞ et en + ∞ , puis étudier les variations de f . 2 Tracer C . 3 Pour ¸ réel non nul, on pose : I α = α 0 f ( x ) dx a Donner le signe et une interprétation graphique de I α en fonction de ¸ . b Exprimer I α en fonction de ¸ . c Déterminer la limite de I α lorsque ¸ tend vers + ∞ . Partie C : étude d’une suite. On définit sur N ∗ la suite ( u n ) par : u n = 1 0 f ( x ) · e x n dx où f est la fonction définie dans la partie B. On ne cherchera pas à calculer u n . 1 a Donner, pour tout n de N , le signe de u n . b Donner le sens de variation de la suite ( u n ) . c La suite ( u n ) est-elle convergente? 2 a Montrer que pour tout n de N : I 1 u n e 1 n · I 1 où I 1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour ¸ égal à 1 . b En déduire la limite de la suite ( u n ) . Donner sa valeur exacte. E.3150 Partie A La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = 20 x + 10 e − 1 2 x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j (unité graphique 1 cm ) . 1 Étudier la limite de la fonction f en + ∞ . 2 Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. 3 Établir que l’équation f ( x )=10 admet une unique so-lution strictement positive ¸ dans l’intervalle 0 ; + ∞ [ . Donner une valeur décimale approchée à 10 − 3 près de ¸ . 4 Tracer la courbe C . 5 Calculer l’intégrale: I = 3 0 f ( x ) d x . Partie B On note y ( t ) la valeur, en degré Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t , t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t =0 , est y (0)=10 . On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; + ∞ [ associe y ( t ) , est solution de l’équation dif-férentielle: ( E ) : y + 1 2 · y = 20 · e − 1 2 t 1 Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle ( E ) sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle ( E ) , définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ , qui prend la valeur 10 à l’instant 0. a On note g une solution quelconque de l’équation dif-férentielle ( E ) , définie sur [0 ; + ∞ [ vérifiant g (0)= 10 . Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle 0 ; + ∞ , de l’équation différentielle: ( E ) : y + 1 2 · y = 0 b Résoudre l’équation différentielle ( E ) . c Conclure. 3 Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale? Le résultat sera arrondi à la minute. 4 La valeur „ en degré Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 3 . Calculer la valeur exacte de „ , puis donner la valeur ap-prochée décimale de „ arrondie au degré. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3259 sacados/3259 France Septembre 2003 10 points chapExoCorrec/3150 sacados/3150 France Septembre 2005 7 points
E.3173 Les parties A et B sont indépen-dantes. Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une popula-tion animale qui semble en voie de disparition. Partie A En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (ex-primé en années à partir de l’origine 2000) . D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dériv-able, strictement positive sur [0 ; + ∞ [ , et satisfait l’équation différentielle: ( E ) : y = − 1 20 · y · 3 − ln y 1 Démontrer l’équivalence suivante : une fonction f , dérivable, strictement positive sur [0 ; + ∞ [ , vérifie f ( t )= − 1 20 f ( t ) 3 − ln f ( t ) , pour tout t de [0 ; + ∞ [ si, et seulement si, la fonction g =ln( f ) vérifie, pour tout t de 0 ; + ∞ , g ( t )= 1 20 g ( t ) − 3 20 2 Donner la solution générale de l’équation différentielle: ( H ) : z = 1 20 z − 3 20 . 3 En déduire qu’il existe un réel C tel que, pour tout t de [0 ; + ∞ [ : f ( t ) = exp 3 + C · exp t 20 (la notation exp désigne la fonction exponentielle na-turelle x ↦−→ e x ) . 4 La condition initiale conduit donc à considérer la fonc-tion f définie par : f ( t ) = exp 3 − 3 exp t 20 a Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . b Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; + ∞ [ . c Résoudre dans [0 ; + ∞ [ l’inéquation f ( t ) < 0 ; 02 . Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus? Partie B En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : ˇ La population testée comporte 50 % d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0 ; 1 % des cas ı. On note M l’événement ˇ l’animal est malade ı, M l’événement contraire et T l’événement ˇ le test est positif ı. 1 Déterminer P ( M ) , P M ( T ) , P M ( T ) . 2 En déduire P ( T ) . 3 Le laboratoire estime qu’un test est fiable, si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0 ; 999 . Ce test est-il fiable? E.3244 Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= 3e x 4 2+e x 4 1 Démontrer que : f ( x )= 3 1+2e − x 4 . 2 Étudier les limites de la fonction f en + ∞ et en −∞ . 3 Étudier les variations de la fonction f . Partie B 1 On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t , est notée g ( t ) . On définit ainsi une fonction g de l’intervalle 0 ; + ∞ dans R . La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L’unité choisie pour g ( t ) est la centaine d’individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l’intervalle 0 ; + ∞ , de l’équation différentielle: ( E 1 ) : y = y 4 a Résoudre l’équation différentielle ( E 1 ) . b Déterminer l’expression de g ( t ) lorsque, à la date t = 0 , la population comprend 100 rongeurs, c’est-à-dire g (0)=1 . c Après combien d’années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois? 2 En réalité, dans un secteur observé d’une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u ( t ) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u , ainsi définie, satisfait aux conditions : ( E 2 ) : u ( t ) = u ( t ) 4 − u ( t ) 2 12 u (0) = 1 pour tout nombre réel t positif ou nul et où u désigne la fonction dérivée de la fonction u . a On suppose que, pour tout réel positif t , on a u ( t ) > 0 . On considère, sur l’intervalle 0 ; + ∞ , la fonction h définie par h = 1 u . Démontrer que la fonction u satis-fait aux conditions ( E 2 ) si, et seulement si, la fonction h satisfait aux conditions. ( E 3 ) : h ( t ) = − 1 4 h ( t ) + 1 12 h (0) = 1 pour tout nombre réel t positif ou nul. b Donner les solutions de l’équation différentielle: y = − 1 4 y + 1 12 et en déduire l’expression de la fonction h , puis celle de la fonction u . c Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + ∞ ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3173 sacados/3173 chapExoCorrec/3244 sacados/3244 France Juin 2005 6 points
E.3247 On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur R vérifiant la condi-tion : ( C ) : f ( − x ) · f ( x ) = 1 pour tout nombre réel x f (0) = − 4 (où f désigne la fonction dérivée de la fonction f ) et de trou-ver cette fonction. 1 On suppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la con-dition ( C ) et on considère alors la fonction g définie sur R par : g ( x ) = f ( − x ) f ( x ) a Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur R . b Calculer la fonction dérivée de la fonction g . c En déduire que la fonction g est constante et déter-miner sa valeur. d On considère l’équation différentielle ( E ): y = 1 16 y . Montrer que la fonction f est solution de cette équa-tion et qu’elle vérifie f (0)= − 4 . 2 Question de cours a On sait que la fonction x ↦−→ e x 16 est solution de l’équation différentielle ( E ) . Démontrer alors que l’ensemble des solutions de l’équation ( E ) est l’ensemble des fonctions, définies sur R , de la forme x ↦−→ K e x 16 , où K est un nombre réel quelconque. b Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle ( E ) prenant la valeur − 4 et 0 . 3 Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition ( C ) et préciser qu’elle est cette fonction. E.3674 Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle: ( E ): y + y =e − x 1 Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par u ( x )= x · e − x est une solution de l’équation différentielle ( E ) . 2 On considère l’équation différentielle: ( E ) : y + y = 0 Résoudre l’équation différentielle ( E ) . 3 Soit v une fonction définie et dérivable sur R . Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différen-tielle ( E ) si et seulement si la fonction v − u est solution de l’équation différentielle ( E ) . 4 Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle ( E ) telle que g (0)=2 . Partie B: On considère la fonction f k définie sur l’ensemble R des nom-bres réels par : f k ( x ) = ( x + k ) · e − k où k est un nombre réel donné. On note C k la courbe représen-tative de la fonction f k dans un repère orthogonal. 1 Montrer que la fonction f k admet un maximum en : x =1 − k . 2 On note M k le point de la courbe C k d’abscisse 1 − k . Montrer que le point M k appartient à la courbe Γ d’équation y =e − x . 3 Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie) , le repère est orthogonal, mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les nombres des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes : la courbe Γ d’équation y =e − x . la courbe C k d’équation y =( x + k ) · e − x pour un certain nombre réel k donné. a Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 (à rendre avec la copie) . b En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes. 4 À l’aide d’une intégration par parties, calculer: 2 0 ( x + 2) · e − x dx . Donner une interprétation graphique de cette intégrale. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3247 sacados/3247 sacados/3674
E.3675 1 Dans cette question, on demande au candidat d’exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant : La fonction x ↦−→ e x est l’unique fonction ’ dérivable sur R telle que ’ = ’ , et ’ (0)=1 . Soit a un réel donné. a Montrer que la fonction f définie sur R par f ( x )=e ax est solution de l’équation y = a · y . b Soit g une solution de l’équation y = a · y . Soit h la fonction définie sur R par h ( x )= g ( x ) · e − a · x . Montrer que h est une fonction constante. c En déduire l’ensemble des solutions de l’équation: y = a · y . 2 On considère l’équation différentielle: ( E ) : y = 2 y + cos x . a Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonc-tion f 0 définie sur R par : f 0 ( x ) = a · cos x + b · sin x soit une solution f 0 de ( E ) . b Résoudre l’équation différentielle: ( E 0 ) : y = 2 y . c Démontrer que f est solution de ( E ) si et seulement si f − f 0 est solution de ( E 0 ) . d En déduire les solutions de ( E ) . e Déterminer la solution k de ( E ) vérifiant k ı 2 =0 . E.3839 1 Résoudre l’équation différentielle: 2 · y + y = 0 ( E ) dont l’inconnue est une fonction définie et dérivable sur R . 2 On considère l’équation différentielle: 2 · y + y = e − x 2 · ( x + 1) ( E ) a Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur R par : f ( x ) = e − x 2 · m · x 2 + p · x soit solution de ( E ) . b Soit g une fonction définie et dérivable sur R . Montrer que g est solution de l’équation ( E ) si, et seulement si, g − f est solution de l’équation ( E ) . Résoudre l’équation ( E ) . 3 Étudier les variations de la fonction h définie sur R par : h ( x ) = 1 4 · e − x 2 · x 2 + 2 x . 4 Déterminer les limites en −∞ et en + ∞ de la fonction h . 5 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j , on note C la courbe représentative de h et Γ celle de la fonction : x ↦−→ e − x 2 a Étudier les positions relatives de C et Γ . b Tracer ces deux courbes sur un même graphique. E.4080 Partie A : Restitution organisée de connaissances On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y = a · y où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par : g ( x ) = K · e a · x où K ∈ R . Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle: ( E ) : y = a · y + b où a ∈ R ∗ et b ∈ R . 1 Démontrer que la fonction u définie sur R par : u ( x ) = − b a est une solution de ( E ) . 2 Soit f une fonction définie et dérivable sur R . Démontrer l’équivalence suivante : f est solution de ( E ) ⇐⇒ f − u est solution de l’équation différentielle y = a · y . 3 En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle ( E ) . Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v ( t ) sa vitesse à l’instant t , où t est exprimé en secondes et v ( t ) en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dériv-able sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l’équation différen-tielle: 10 · v ( t ) + v ( t ) = 30 Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s’élance, sa vitesse initiale est nulle, c’est-à-dire que v (0)=0 . 1 Démontrer que : v ( t ) = 30 · 1 − e − t 10 2 a Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b Déterminer la limite de la fonction v en + ∞ . 3 On considère, dans cette situation, que la vitesse du cy-cliste est stabilisée lorsque son accélération v ( t ) est in-férieure à 0 ; 1 m · s − 2 . Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. 4 La distance d parcourue par ce cycliste entre les instants t 1 et t 2 est donnée par : d = t 2 t 1 v ( t ) d t Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes, arrondie au décimètre près. https://chingmath.fr sacados/3675 chapExoCorrec/3839 sacados/3839 chapExoCorrec/4080 sacados/4080 Nouvelle-Caledonie Mars 2011 6 points