Terminale Spécialité / Annales sur l'espace 23 exercices (dont 21 corrigés)

a
ABCDEFGHIJKL −nOABCVue en perspective cavalière de la réπexiond’un rayon lumineux sur le plan(OAB 1. Droites et plan E.3260 L’espace est rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé. Soit t un nombre réel. On donne les points A 8 ; 0 ; 8 , B 10 ; 3 ; 10 ainsi que la droite D d’équations paramétriques : x = − 5 + 3 · t y = 1 + 2 · t z = − 2 · t où t ∈ R 1 a Donner un système d’équations paramétriques de la droite Δ définie par A et B . b Démontrer que D et Δ sont non coplanaires. 2 a Le plan P est parallèle à D et contient Δ . Montrer que le vecteur −→ n 2 ; − 2 ; 1 est un vecteur normal à P . Déterminer une équation cartésienne de P . b Montrer que la distance d’un point quelconque M de D à P est indépendante de M . (hors programme 2012) c Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan xOy ) . 3 La sphère S est tangente à P au point C 10 ; 1 ; 6 . Le centre Ω de S se trouve à la distance d =6 de P , du même côté que O . Donner l’équation cartésienne de S . E.6427 ABCDEFGH est un cube. I est le milieu du segment [ AB ] , J est le milieu du segment [ EH ] , K est le milieu du segment [ BC ] et L est le milieu du segment [ CG ] . On munit l’espace du repère or-thonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 a Démontrer que la droite ( FD ) est orthogonale au plan ( IJK ) . b En déduire une équation cartésienne du plan ( IJK ) . 2 Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( FD ) . 3 Soit M le point d’intersection de la droite ( FD ) et du plan ( IJK ) . Déterminer les coordonnées du point M . 4 Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire. 5 Calculer le volume du tétraèdre FIJK . 6 Les droites ( IJ ) et ( KL ) sont-elles sécantes? E.6881 Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de ˇ coin de cube ı, les faces réfléchissantes tournées vers l’intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie. Les points O , A , B et C sont des sommets d’un cube, de telle sorte que le repère O ; −→ OA ; −−→ OB ; −−→ OC soit un repère orthonormé. On utilisera ce repère dans tout l’exercice. Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans ( OAB ) , ( OBC ) et ( OAC ) . Les rayons lumineux sont mod-élisés par des droites. Règles de réflexion d’un rayon lumineux admises : lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi par le plan ( OAB ) , un vecteur directeur du rayon réfléchi est −→ v a ; b ; − c ; lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi par le plan ( OBC ) , un vecteur directeur du rayon réfléchi est −→ v − a ; b ; c ; lorsqu’un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi par le plan ( OAC ) , un vecteur directeur du rayon réfléchi est −→ v a ; − b ; c ; 1 Propriété des catadioptres En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur −→ v a ; b ; c est réfléchi successivement par les plans ( OAB ) , ( OBC ) et ( OAC ) , le rayon final est parallèle au rayon initial. Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite d 1 de vecteur directeur −→ v 1 − 2 ; − 1 ; − 1 qui vient frapper le plan OAB au point I 1 2 ; 3 ; 0 . Le rayon réfléchi est modélisé par la droite d 2 de vecteur directeur −→ v 2 − 2 ; − 1 ; 1 et passant par le point I 1 . 2 Réflexion de d 2 sur le plan ( OBC ) a Donner une représentation paramétrique de la droite d 2 . b Donner, sans justification, un vecteur normal au plan ( OBC ) et une équation cartésienne de ce plan. c Soit I 2 le point de coordonnées 0 ; 2 ; 1 . Vérifier que le plan ( OBC ) et la droite d 2 sont sécants en I 2 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3260 sacados/3260 Polyn??sie Septembre 2003 5 points chapExoCorrec/6427 sacados/6427 Liban Mai 2015 chapExoCorrec/6881 sacados/6881 Asie Juin 2016
On note d 3 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan ( OBC ) . d 3 est donc la droite de vecteur directeur −→ v 3 2 ; − 1 ; 1 passant par le point I 2 0 ; 2 ; 1 . 3 Réflexion de d 3 sur le plan ( OAC ) Calculer les coordonnées du point d’intersection I 3 de la droite d 3 avec le plan ( OAC ) . On note d 4 la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan ( OAC ) . Elle est donc parallèle à la droite d 1 . 4 Étude du trajet de la lumière On donne le vecteur −→ u 1 ; − 2 ; 0 , et on note P le plan défini par les droites d 1 et d 2 . a Démontrer que le vecteur −→ u est un vecteur normal au plan P . b Les droites d 1 , d 2 et d 3 sont-elles situées dans un même plan? c Les droites d 1 , d 2 et d 4 sont-elles situées dans un même plan? E.6883 On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constitué de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous. Le point O est le centre de la base ABCD avec OB =1 . On rappelle que le segment [ SO ] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur. 1 Justifier que le repère O ; −−→ OB ; −−→ OC ; −→ OS est or-thonormé. Dans la suite de l’exercice, on se place dans le repère O ; −−→ OB ; −−→ OC ; −→ OS . 2 On définit le point K par la relation −−→ SK = 1 3 · −→ SD et on note I le milieu du segment [ SO ] . a Déterminer les coordonnées du point K . b En déduire que les points B , I et K sont alignés. c On note L le point d’intersection de l’arête [ SA ] avec le plan ( BCI ) . Justifier que les droites ( AD ) et ( KL ) sont parallèles. d Déterminer les coordonnées du point L . 3 On considère le vecteur −→ n 1 ; 1 ; 2 dans le repère O ; −−→ OB ; −−→ OC ; −→ OS . a Montrer que −→ n est un vecteur normal au plan ( BCI ) . b Montrer que les vecteurs −→ n , −→ AS et −→ DS sont coplanaires. c Quelle est la position relative des plans ( BCI ) et ( SAD ) ? E.5452 On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 . On se place dans le repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . On considère les points : I 1 ; 1 3 ; 0 ; J 0 ; 2 3 ; 1 ; K 3 4 ; 0 ; 1 ; L a ; 1 ; 0 avec a un nombre réel appartenant à l’intervalle 0 ; 1 . Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1 Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( IJ ) . 2 Démontrer que la droite ( KL ) a pour représentation paramétrique : x = 3 4 + t · a − 3 4 y = t z = 1 − t où t ∈ R . 3 Démontrer que les droites ( IJ ) et ( KL ) sont sécantes si, et seulement, si a = 1 4 . Partie B Dans toute la suite de l’exercice, on pose a = 1 4 . Le point L a donc pour coordonnées 1 4 ; 1 ; 0 . 1 Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélo-gramme. 2 La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan ( IJK ) avec les faces du cube ABCDDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par M le point d’intersection du plan ( IJK ) et de la droite ( BF ) et par N le point d’intersection du plan ( IJK ) et de la droite ( DH ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6883 sacados/6883 Am??rique du Nord Juin 2016 chapExoCorrec/5452 sacados/5452 Centres ??trangers Juin 2012 4 points
ABCDEFGHIJKLMN ABCDEFGHIJKLMN Le but de cette question est de déterminer les coordon-nées des points M et N . a Prouver que le vecteur −→ n de coordonnées 8 ; 9 ; 5 est un vecteur normal au plan ( IJK ) . b En déduire que le plan ( IJK ) a pour équation : 8 x + 9 y + 5 z − 11 = 0 c En déduire les coordonnées des points M et N . E.6268 On considère un cube ABCDDEFGH donné ci-dessous : On note M le milieu du segment [ EH ] , N celui de [ FC ] et P le point tel que : −−→ HP = 1 4 · −−→ HG . Partie A : Section du cube par le plan ( MNP ) 1 Justifier que les droites ( MP ) et ( FG ) sont sécantes en un point L . Construire le point L . 2 On admet que les droites ( LN ) et ( CG ) sont sécantes et on note T leur point d’intersection. On admet que les droites ( LN ) et ( BF ) sont sécantes et on note Q leur point d’intersection. a Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. b Construire l’intersection des plans ( MNP ) et ( ABF ) . 3 En déduire une construction de la section du cube par le plan ( MNP ) . Partie B L’espace est rapporté au repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Donner les coordonnées des points M , N et P dans ce repère. 2 Déterminer les coordonnées du point L . 3 On admet que le point T a pour coordonnées 1 ; 1 ; 5 8 . Le triangle TPN est-il rectangle en T ? E.3238 1 Soit [ KL ] un segment de l’espace ; on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [ KL ] le plan perpendicu-laire en I à la droite ( KL ) . Démontrer que le plan médiateur de [ KL ] est l’ensemble des points de l’espace équidistants de K et L . 2 Ici, l’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k ; on considère les points : A 4 ; 0 ; − 3 ; B 2 ; 2 ; 2 ; C 3 ; − 3 ; − 1 ; D 0 ; 0 ; − 3 a Démontrer que le plan médiateur de [ AB ] a pour équa-tion : 4 x − 4 y − 10 z − 13 = 0 On admet pour la suite que les plans médiateurs de [ BC ] et [ CD ] ont respectivement pour équation : 2 x − 10 y − 6 z − 7 = 0 ; 3 x − 3 y + 2 z − 5 = 0 b Démontrer, en résolvant un système d’équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point com-mun E dont on donnera les coordonnées. c En utilisant la question 1 montrer que les points A , B , C et D sont sur une sphère de centre E . Quel est le rayon de cette sphère? 2. Distance, volume dans l’espace E.6884 ABCDEFGH est un cube d’arête égale à 1 . L’espace est muni du repère orthonormé D ; −−→ DC ; −−→ DA ; −−→ DH . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6268 sacados/6268 Am??rique du Nord Mai 2014 chapExoCorrec/3238 sacados/3238 Antilles-Guyane Juin 2005 6 points chapExoCorrec/6884 sacados/6884 Antilles-Guyane Juin 2016
ABCDEFGH Dans ce repère, on a: D 0 ; 0 ; 0 C 1 ; 0 ; 0 A 0 ; 1 ; 0 H 0 ; 0 ; 1 E 0 ; 1 ; 1 Soit I le milieu de [ AB ] . Soit P le plan parallèle au plan ( BGE ) et passant par le point I . On admet que la section du cube par le plan P représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets I , J , K , L , M et N appartiennent respectivement aux arêtes [ AB ] , [ BC ] , [ CG ] , [ GH ] , [ HE ] et [ AE ] . 1 a Montrer que le vecteur −−→ DF est normal au plan ( BGE ) . b En déduire une équation cartésienne du plan P . 2 Montrer que le point N est le milieu du segment [ AE ] . 3 a Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( HB ) . b En déduire que la droite ( HB ) et le plan P sont sécants en un point T dont on précisera les coordonnées. 4 Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre FBGE . E.6265 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère le tétraèdre ABCD dont les sommets ont pour coordonnées : A 1 ; − 3 ; 0 ; B 1 ; 3 ; 0 ; C − 2 ; 0 ; 0 ; D 0 ; 0 ; 2 2 1 Démontrer que le plan ( ABD ) a pour équation cartési-enne 4 x + z 2=4 2 On note D la droite dont une représentation paramétrique est : x = t y = 0 z = t 2 où t ∈ R a Démontrer que D est la droite qui est parallèle à ( CD ) et passe par O . b Déterminer les coordonnées du point G , intersection de la droite D et du plan ( ABD ) . 3 a On note L le milieu du segment [ AC ] . Démontrer que la droite ( BL ) passe par le point O et est orthogonale à la droite ( AC ) . b Prouver que le triangle ABC est équilatéral et déter-miner le centre de son centre circonscrit. 4 Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont les six arêtes ont la même longueur. E.6406 Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1 . Dans le repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE , on considère les points M , N et P de coordonnées respectives : M 1 ; 1 ; 3 4 ; N 0 ; 1 2 ; 1 ; P 1 ; 0 ; − 5 4 . 1 Placer M , N et P sur la figure ci-dessous. 2 Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→ MN et −−→ MP . En déduire que les points M , N et P ne sont pas alignés. 3 On considère la fonction f de l’algorithme 1 ci-dessous : Fonction f( x M , y M , z M , x N , y N , z N , x P , y P , z P ) d ← x N − x M e ← y N − y M f ← z N − z M g ← x p − x M h ← y p − y M i ← z P − z M k ← d × g+e × h+f × i Renvoyer k a Quelle est la valeur renvoyée par la fonction f lorsque l’appel s’effectue avec les coordonnées des points M , N et P donnés ci-dessus? b À quoi correspond cette valeur? Qu’en déduire pour le triangle MNP ? 4 On considère la fonction g d’un algorithme 2 donné ci-dessous. Fonction g( x M , y M , z M , x N , y N , z N , x P , y P , z P ) d ← x N − x M e ← y N − y M f ← z N − z M g ← x p − x M h ← y p − y M i ← z P − z M k ← d × g+e × h+f × i ... Le recopier et le compléter afin que la fonction g renvoie https://chingmath.fr chapExoCorrec/6265 sacados/6265 M??tropole Septembre 2014 chapExoCorrec/6406 sacados/6406 Pondich??ry Avril 2015 5 points
la valeur 1 si le triangle MNP est rectangle et isocèle en M et la valeur 0 sinon. 5 On considère le vecteur −→ n 5 ; − 8 ; 4 normal au plan ( MNP ) . a Déterminer une équation cartésienne du plan ( MNP ) . b On considère la droite (Δ) passant par F et de vecteur directeur −→ n . Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) . 6 Soit K le point d’intersection du plan ( MNP ) et de la droite (Δ) . a Démontrer que les coordonnées du point K sont 4 7 ; 24 35 ; 23 35 . b On donne : FK = 27 35 . Calculer le volume du tétraèdre MNPF . E.6261 Dans l’espace, on considère un té-traèdre ABCD dont les faces ABC , ACD et ABD sont des triangles rectangles et isocèles en A . On désigne par E , F et G les milieux respectifs des côtés [ AB ] , [ BC ] et [ CA ] . On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé A ; −−→ AB ; −→ AC ; −−→ AD de l’espace. 1 On désigne par P le plan qui passe par A et qui est or- thogonal à la droite ( DF ) . On note H le point d’intersection du plan P et de la droite ( DF ) . a Donner les coordonnées des points D et F . b Donner une représentation paramétrique de la droite ( DF ) . c Déterminer une équation cartésienne du plan P . d Calculer les coordonnées du point H . e Démontrer que l’angle EHG est un angle droit. 2 On désigne par M un point de la droite ( DF ) et par t le réel tel que −−→ DM = t · −−→ DF . On note ¸ la mesure en radians de l’angle géométrique EMG . Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que ¸ soit maximale. a Démontrer que : ME 2 = 3 2 · t 2 − 5 2 · t + 5 4 b Démontrer que le triangle MEG est isocèle en M . En déduire que : ME · sin ¸ 2 = 1 2 · √ 2 . c Justifier que ¸ est maximale si, et seulement si, sin ¸ 2 est maximal. En déduire que ¸ est maximale si, et seulement si, ME 2 est minimal. d Conclure. 3. Projeté orthogonal E.6943 Partie A : un calcul de volume sans repère On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm . On note O le centre du carré ABCD . On admettra que : OS = OA 1 Sans utiliser de repère, démontrer que la droite SO est orthogonale au plan ABC . 2 En déduire le volume, en cm 3 , de la pyramide SABCD . Partie B: dans un repère On considère le repère orthonormé O ; −→ OA ; −−→ OB ; −→ OS . 1 On note P et Q les milieux respectifs des segments [ AS ] et [ BS ] . a Justifier que −→ n 1 ; 1 ; − 3 est un vecteur normal au plan PQC . b En déduire une équation cartésienne du plan PQC . 2 Soit H le point du plan PQC tel que la droite SH est orthogonale au plan PQC . a Donner une représentation paramétrique de la droite ( SH ) . b Calculer les coordonnées du point H . c Montrer alors que la longueur SH , en unité de longueur, est 2 11 11 3 On admettra que l’aire du quadrilatère PQCD , en unité d’aire, est égale à 3 11 8 . Calculer le volume de la pyramide SPQCD , en unité de volume. Partie C : partage équitable Pour l’anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny. Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyra-mide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24 cm . Elle s’apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C’est alors qu’Anne ar-rête son geste et lui propose une découpe plus originale: ˇ Place la lame sur le milieu d’une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé ı https://chingmath.fr chapExoCorrec/6261 sacados/6261 M??tropole Juin 2014 chapExoCorrec/6943 sacados/6943 Am??rique du sud Novembre 2016
HGFEDCBA Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. Est-ce le cas? Justifier la réponse. E.3186 On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . On note I le point de coordonnées 1 3 ; 1 ; 1 . 1 Placer le point I sur la figure. 2 Le plan ( ACI ) coupe la droite ( EH ) en J . Démontrer que les droites ( IJ ) et ( AC ) sont parallèles. 3 On note R le projeté orthogonal de I sur la droite ( AC ) . a Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées : i Il existe un réel k tel que : −→ AR = k · −→ AC ii −→ IR · −→ AC = 0 b Calculer les coordonnées du point R . c En déduire que la distance IR s’exprime par : IR = √ 11 3 . 4 Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées 3 ; − 3 ; 2 est normal au plan ( ACI ) . En déduire une équation cartésienne du plan ( ACI ) . 5 Démontrer que la distance du point F au plan ( ACI ) est 5 √ 22 . E.3248 On appelle hauteur d’un tétraè-dre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes. Partie A On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan ( BCD ) . Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite ( BH ) est une hauteur du triangle BCD . Partie B Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on donne les points : A 3 ; 2 ; − 1 ; B − 6 ; 1 ; 1 ; C 4 ; − 3 ; 3 ; D − 1 ; − 5 ; − 1 1 a Vérifier qu’une équation cartésienne du plan ( BCD ) est : − 2 x − 3 y + 4 z − 13 = 0 b Déterminer les coordonnées du point H , projeté or-thogonal du point A sur le plan ( BCD ) . c Calculer le produit scalaire: −−→ BH · −−→ CD d Le tétraèdre ABD est-il orthocentrique? 2 On définit les points I 1 ; 0 ; 0 , J 0 ; 1 ; 0 , K 0 ; 0 ; 1 . Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique? E.3139 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Soit ( P 1 ) le plan d’équation cartésienne − 2 x + y + z − 6=0 et ( P 2 ) le plan d’équation cartésienne x − 2 y +4 z − 9=0 . 1 Montrer que ( P 1 ) et ( P 2 ) sont perpendiculaires. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal non nul à l’un est or-thogonal à un vecteur normal non nul à l’autre. 2 Soit ( D ) la droite d’intersection de ( P 1 ) et ( P 2 ) . Montrer qu’une représentation paramétrique de ( D ) est : x = − 7 + 2 t y = − 8 + 3 t z = t où t ∈ R 3 Soit M un point quelconque de ( D ) de paramètre t et soit A le point de coordonnées − 9 ; − 4 ; − 1 . a Vérifier que A n’appartient ni à ( P 1 ) , ni à ( P 2 ) . b Exprimer AM 2 en fonction de t . c Soit f la fonction définie sur R par f ( t )=2 t 2 − 2 t +3 . Étudier les variations de f . Pour quel point M , la distance AM est-elle mini-male? Dans la suite, on désignera ce point par I . Préciser les coordonnées du point I . 4 Soit ( Q ) le plan orthogonal à ( D ) passant par A . a Déterminer une équation de ( Q ) . b Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur ( D ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3186 sacados/3186 Asie juin 2006 5 points Non sp??cialit?? chapExoCorrec/3248 sacados/3248 R??union Juin 2005 4 points chapExoCorrec/3139 sacados/3139 Polyn??sie Septembre 2006 5 points
E.3172 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances) Soit a , b , c et d des réels tels que : ( a ; b ; c ) = 0 ; 0 ; 0 . Soit P le plan d’équation : a · x + b · y + c · z + d =0 . On considère le point I de coordonnées ( x I ; y I ; z I ) et le vecteur −→ n de coordonnées ( a ; b ; c ) . Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à: ⏐ ⏐ a · x I + b · y I + c · z I + d ⏐ ⏐ a 2 + b 2 + c 2 1 Soit Δ la droite passant par I et orthogonale au plan P . Déterminer, en fonction de a , b , c , x I , y I et z I , un sys-tème d’équations paramétriques de Δ . 2 On note H le point d’intersection de Δ et P . a Justifier qu’il existe un réel k tel que : −→ IH = k −→ n . b Déterminer l’expression de k en fonction de a , b , c , d , x I , y I et z I . c En déduire que : IH = ⏐ ⏐ a · x I + b · y I + c · z I + d ⏐ ⏐ a 2 + b 2 + c 2 Partie B Le plan Q d’équation x − y + z − 11=0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées 1 ; − 1 ; 3 . 1 Déterminer le rayon de la sphère S . 2 Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite Δ passant par Ω et orthogonale au plan Q . 3 En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q . 4. Qcm, affirmations... E.3195 Soit O ; −→ i ; −→ j ; −→ k un repère orthonormé de l’espace. On considère les points : A 2 ; 4 ; 1 ; B 0 ; 4 ; − 3 ; C 3 ; 1 ; − 3 D 1 ; 0 ; − 2 ; E 3 ; 2 ; − 1 ; I 3 5 ; 4 ; − 9 5 Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon. 1 Une équation du plan ( ABC ) est : 2 x + 2 y − z − 11 = 0 2 Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan ( ABC ) . 3 Les droites ( AB ) et ( CD ) sont orthogonales. 4 La droite ( CD ) est donnée par la représentation paramétrique suivante : ( CD ) : x = − 1 + 2 t y = − 1 + t z = 1 − t où t ∈ R 5 Le point I est sur la droite AB . E.5531 Pour chacune des questions, qua-tre propositions de réponse sont données dont une seule est ex-acte. Pour chacune des questions, indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rap-porte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question. L’espace est rapporté à un repère orthonormé. t et t désig-nent des paramètres réels. Le plan ( P ) a pour équation : x − 2 y +3 z +5=0 Le plan ( S ) a pour représentation paramétrique : x = − 2 + t + 2 t y = − t − 2 t z = − 1 − t + 3 t où t ∈ R , t ∈ R La droite ( d ) a pour représentation paramétrique : x = − 2 + t y = − t z = − 1 − t où t ∈ R On donne les points de l’espace M − 1 ; 2 ; 3 et N 1 ; − 2 ; 9 . 1 Une représentation paramétrique du plan ( P ) est : a x = t y = 1 − 2 t z = − 1 + 3 t b x = t + 2 t y = 1 − t + t z = − 1 − t c x = t + t y = 1 − t − 2 t z = 1 − t − 3 t d x = 1 + 2 t + t y = 1 − 2 t + 2 t z = − 1 − t 2 a La droite ( d ) et le plan ( P ) sont sécants au point A − 8 ; 3 ; 2 . b La droite ( d ) et le plan ( P ) sont perpendiculaires. c La droite ( d ) est une droite du plan ( P ) . d La droite ( d ) et le plan ( P ) sont strictement parallèles. 3 a La droite ( MN ) et la droite ( d ) sont orthogonales. b La droite ( MN ) et la droite ( d ) sont parallèles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3172 sacados/3172 Pondich??ry Avril 2006 4 points chapExoCorrec/3195 sacados/3195 France Juin 2006 4 points chapExoCorrec/5531 sacados/5531 Pondich??ry Avril 2013
c La droite ( MN ) et la droite ( d ) sont sécantes. d La droite ( MN ) et la droite ( d ) sont confondues. 4 a Les plans ( P ) et ( S ) sont parallèles. b La droite (Δ) de représentation paramétrique : x = t y = − 2 − t z = − 3 − t t ∈ R est la droite d’intersection des plans ( P ) et ( S ) . c Le point M appartient à l’intersection des plans ( P ) et ( S ) . d Les plans ( P ) et ( S ) sont perpendiculaires. E.3140 Dans l’espace rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère les points : A de coordonnées 3 ; 1 ; − 5 ; B de coordonnées 0 ; 4 ; − 5 ; C de coordonnées − 1 ; 2 ; − 5 ; D de coordonnées 2 ; 3 ; 4 . Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention ˇVRAIı ou ˇFAUXı. On attribue 0,5 points par réponse correcte et on retranche 0 ; 25 point par réponse incor-recte. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à 0. 1 Les points A , B et D sont alignés. 2 La droite ( AB ) est contenue dans le plan d’équation cartésienne : x + y = 4 . 3 Une équation cartésienne du plan ( BCD ) est : 18 x − 9 y − 5 z + 11 = 0 4 Les points A , B , C et D sont coplanaires. 5 Une représentation paramétrique de la droite ( BD ) est : x = 1 − 2 k y = 7 2 + k z = − 1 2 − 9 k où k ∈ R E.3149 Première partie L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère : Les points : A 0 ; 0 ; 3 ; B 2 ; 0 ; 4 ; C − 1 ; 1 ; 2 ; D 1 ; − 4 ; 0 . les plans : ( P 1 ) : 7 x +4 y − 3 z +9=0 ; ( P 2 ) : x − 2 y =0 . Les droites (Δ 1 ) et (Δ 2 ) définies par leurs systèmes d’équations paramétriques respectifs : x = − 1 + t y = − 8 + 2 t z = − 10 + 5 t où t ∈ R x = 7 + 2 t y = 8 + 4 t z = 8 − t où t ∈ R Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Au-cune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0 ; 5 point ; une réponse inexacte enlève 0 ; 25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. 1 Le plan ( P 1 ) est : a le plan ( ABC ) b le plan ( BCD ) c le plan ( ACD ) d le plan ( ABD ) 2 La droite (Δ 1 ) contient : a le point A b le point B c le point C d le point D 3 Position relative de ( P 1 ) et de (Δ 2 ) : a (Δ 2 ) est strictement parallèle à ( P 1 ) b (Δ 2 ) est incluse dans ( P 1 ) c (Δ 2 ) coupe ( P 1 ) d (Δ 2 ) est orthogonal à ( P 1 ) 4 Position relative de (Δ 1 ) et de (Δ 2 ) : a (Δ 1 ) est strictement parallèle à (Δ 2 ) b (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont confondues c (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont sécantes d (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont non coplanaires. 5 L’intersection de ( P 1 ) et de ( P 2 ) est une droite dont une représentation paramétrique est : a x = t y = − 2 + 1 2 · t z = 3 · t b x = 2 · t y = t z = 3 + 6 · t c x = 5 · t y = 1 − 2 · t z = t d x = − 1 + t y = 2 + t z = − 3 · t Deuxième partie L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère la droite ( D ) passant par A 0 ; 0 ; 3 et dont un https://chingmath.fr chapExoCorrec/3140 sacados/3140 chapExoCorrec/3149 sacados/3149 Nouvelle-Cal??donie Novembre 2006 6 points
vecteur directeur est −→ u 1 ; 0 ; − 1 et la droite ( D ) passant par B 2 ; 0 ; 4 et dont un vecteur directeur est −→ v 0 ; 1 ; 1 . L’objectif est de démontrer qu’il existe une droite unique per-pendiculaire à la fois à ( D ) et à ( D ) , de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite. 1 On considère un point M appartenant à ( D ) et un point M appartenant à ( D ) définis par −−→ AM = a · −→ u et −−−→ BM = b · −→ v , où a et b sont des nombres réels. Exprimer les coordonnées de M , de M puis du vecteur −−−→ MM en fonction de a et de b . 2 Démontrer que la droite ( MM ) est perpendiculaire à ( D ) et à ( D ) si, et seulement si, le couple ( a ; b ) est solu-tion du système : 2 a + b = 1 a + 2 b = − 1 3 Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points M et M , que nous noterons ici H et H , tels que la droite ( HH ) soit bien perpendiculaire commune à ( D ) et à ( D ) . Montrer que HH = 3 unités de longueur. 4 On considère un point M quelconque de la droite ( D ) et un point M quelconque de la droite ( D ) . a En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1 , démontrer que : MM 2 = ( a + b ) 2 + ( a − 1) 2 + ( b + 1) 2 + 3 b En déduire que la distance MM minimale lorsque M est en H et M est en H . E.3167 Dans cet exercice, une réponse par ˇVRAIı ou ˇFAUXı, sans justification, est demandée au candidat en regard d’une liste d’affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne 0 ; 4 point. Toute réponse erronée enlève 0 ; 1 point. L’absence de réponse n’est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif. On donne le cube ABCDEFGH , d’arête de longueur 1 , et les milieux I et J des arêtes [ AB ] et [ CG ] . Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. Le candidat est appelé à juger chacune des 10 affirmations suivantes. Affirmation Vrai Faux 1 −→ AC · −→ AI = 1 2 2 −→ AC · −→ AI = −→ AI · −−→ AB 3 −−→ AB · −→ IJ = −−→ AB · −→ IC 4 −−→ AB · −→ IJ = AB × IC × cos ı 3 On utilise à présent le repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE 5 Une représentation paramétrique de la droite ( IJ ) est : x = t + 1 y = 2 t z = t où t ∈ R 6 Une représentation paramétrique de la droite ( IJ ) est : x = 1 2 t + 1 y = t + 1 z = 1 2 t + 1 2 où t ∈ R . 7 6 x − 7 y +8 z − 3=0 est une équation cartésienne de la droite ( IJ ) . 8 L’intersection des plans ( FIJ ) et ( ABC ) est la droite passant par I et par le mi-lieu de l’arête [ DC ] 9 Le vecteur de coordonnées -4 1 2 est un vecteur normal au plan ( FIJ ) 10 Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à 1 6 5. Exercices non-classés E.8137 On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé dont l’origine est le point A . On considère les points B 10 ; − 8 ; 2 , C − 1 ; − 8 ; 5 et D 14 ; 4 ; 8 . 1 a Déterminer un système d’équations paramétriques de chacune des droites ( AB ) et ( CD ) . b Vérifier que les droites ( AB ) et ( CD ) ne sont pas coplanaires. 2 On considère le point I de la droite ( AB ) d’abscisse 5 et le point J de la droite ( CD ) d’abscisse 4 . a Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance IJ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3167 sacados/3167 Am??rique du Sud Novembre 2005 4 points sacados/8137 Am??rique du Nord Mai 2018 5 points
(CDIJMP(ABM ABCDEFGHLSMIJK b Démontrer que la droite ( IJ ) est perpendiculaire aux droites ( AB ) et ( CD ) . La droite ( IJ ) est appelée perpendiculaire commune aux droites ( AB ) et ( CD ) . 3 Cette question a pour but de vérifier que la distance IJ est la distance minimale entre les droites ( AB ) et ( CD ) . Sur le schéma ci-dessous, on a représenté les droites ( AB ) et ( CD ) , les points I et J , et la droite Δ parallèle à la droite ( CD ) passant par I . On considère un point M de la droite ( AB ) distinct du point I . On considère un point M de la droite ( CD ) distinct du point J . a Justifier que la parallèle à la droite ( IJ ) passant par le point M coupe la droite Δ en un point que l’on notera P . b Démontrer que le triangle MPM est rectangle en P . c Justifier que MM >IJ et conclure. E.8141 Un artiste souhaite réaliser une sculp-ture composée d’un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d’arête. Ces deux solides sont représentés par le cube ABCDDEFGH et par le tétraè-dre SELM ci-dessous. On munit l’espace du repère or-thonormé A ; −→ AI ; −→ AJ ; −−→ AK tel que : I ∈ [ AB ] , J ∈ [ AD ] , K ∈ [ AE ] et AI = AJ = AK =1 , l’unité graphique représentant 1 mètre. Les points L , M et S sont définis de la façon suivante : L est le point tel que : −→ FL = 2 3 · −−→ FE M est le point d’intersection du plan ( BDL ) et de la droite ( EH ) ; S est le point d’intersection des droites ( BL ) et ( AK ) . 1 Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites ( LM ) et ( BD ) sont parallèles. 2 Démontrer que les coordonnées du point L sont 2 ; 0 ; 6 3 a Donner une représentation paramétrique de la droite ( BL ) . b Vérifier que les coordonnées du point S sont (0 ; 0 . 4 Soit −→ n le vecteur de coordonnées 3 ; 3 ; 2 . a Vérifier que −→ n est normal au plan ( BDL ) . b Démontrer qu’une équation cartésienne du plan ( BDL ) est : 3 x + 3 y + 2 z − 18 = 0 c On admet que la droite ( EH ) a pour représentation paramétrique : x = 0 y = s ( s ∈ R ) z = 6 Calculer les coordonnées du point M . 5 Calculer le volume du tétraèdre SELM . On rappelle que le volume V d’un tétraèdre est donné par la formule suivante : V = 1 3 × Aire de la base × Hauteur 6 L’artiste souhaite que la mesure de l’angle SLE soit com-prise entre 55 o et 60 o . Cette contrainte d’angle est-elle respectée? https://chingmath.fr sacados/8141 Antilles-Guyane Juin 2018 5 points