a
Collège
6e
5e
4e
3e
Ressource
hp-collège
Lycée
2de
1re spé
1re stmg
tstmg
1re spécifique
Terminale Spécialité
Terminale Complémentaire
Terminale Experte
Ressource
hp-lycée
4
3
2
1
Terminale Spécialité
/ Annales sur l'espace
23 exercices corrigés
a
Droites et plan
(7 exercices)
Distance, volume dans l'espace
(4 exercices)
Projeté orthogonal
(5 exercices)
Qcm, affirmations...
(5 exercices)
1.
Dr
oites
et
plan
E.3260
L’espace
est
rapp
orté
à
un
rep
ère
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
orthonormé.
Soit
t
un
nom
bre
réel.
On
donne
les
p
oin
ts
A
8
;
0
;
8
,
B
10
;
3
;
10
ainsi
que
la
droite
D
d’équations
paramétriques
:
x
=
−
5
+
3
·
t
y
=
1
+
2
·
t
z
=
−
2
·
t
où
t
∈
R
1
a
Donner
un
système
d’équations
paramétriques
de
la
droite
Δ
définie
par
A
et
B
.
b
Démon
trer
que
D
et
Δ
son
t
non
coplanaires.
2
a
Le
plan
P
est
parallèle
à
D
et
con
tien
t
Δ
.
Mon
trer
que
le
v
ecteur
−
→
n
2
;
−
2
;
1
est
un
v
ecteur
normal
à
P
.
Déterminer
une
équation
cartésienne
de
P
.
b
Mon
trer
que
la
distance
d’un
p
oin
t
quelconque
M
de
D
à
P
est
indép
endan
te
de
M
.
(hors
programme
2012)
c
Donner
un
système
d’équations
paramétriques
de
la
droite
définie
par
l’in
tersection
de
P
a
v
ec
le
plan
xO
y
)
.
3
La
sphère
S
est
tangen
te
à
P
au
p
oin
t
C
10
;
1
;
6
.
Le
cen
tre
Ω
de
S
se
trouv
e
à
la
distance
d
=
6
de
P
,
du
même
côté
que
O
.
Donner
l’équation
cartésienne
de
S
.
E.6427
AB
C
D
E
F
GH
est
un
cub
e.
I
est
le
milieu
du
segmen
t
[
AB
]
,
J
est
le
milieu
du
segmen
t
[
E
H
]
,
K
est
le
milieu
du
segmen
t
[
B
C
]
et
L
est
le
milieu
du
segmen
t
[
C
G
]
.
On
m
unit
l’espace
du
rep
ère
or-
thonormé
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
1
a
Démon
trer
que
la
droite
(
F
D
)
est
orthogonale
au
plan
(
I
J
K
)
.
b
En
déduire
une
équation
cartésienne
du
plan
(
I
J
K
)
.
2
Déterminer
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
F
D
)
.
3
Soit
M
le
p
oin
t
d’in
tersection
de
la
droite
(
F
D
)
et
du
plan
(
I
J
K
)
.
Déterminer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
M
.
4
Déterminer
la
nature
du
triangle
I
J
K
et
calculer
son
aire.
5
Calculer
le
v
olume
du
tétraèdre
F
I
J
K
.
6
Les
droites
(
I
J
)
et
(
K
L
)
son
t-elles
sécan
tes?
E.6881
Un
catadioptre
est
un
disp
ositif
optique
formé
de
trois
miroirs
en
forme
de
ˇ
coin
de
cub
e
ı,
les
faces
réfléc
hissan
tes
tournées
v
ers
l’in
térieur.
On
en
trouv
e
dans
les
réflecteurs
de
certains
v
éhicules
ainsi
que
dans
les
appareils
de
top
ographie.
Les
p
oin
ts
O
,
A
,
B
et
C
son
t
des
sommets
d’un
cub
e,
de
telle
sorte
que
le
rep
ère
O
;
−
→
O
A
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
soit
un
rep
ère
orthonormé.
On
utilisera
ce
rep
ère
dans
tout
l’exercice.
Les
trois
miroirs
du
catadioptre
son
t
représen
tés
par
les
plans
(
O
AB
)
,
(
O
B
C
)
et
(
O
AC
)
.
Les
ra
y
ons
lumineux
son
t
mo
d-
élisés
par
des
droites.
Règles
de
réflexion
d’un
ra
y
on
lumineux
admises
:
lorsqu’un
ra
y
on
lumineux
de
v
ecteur
directeur
−
→
v
a
;
b
;
c
est
réfléc
hi
par
le
plan
(
O
AB
)
,
un
v
ecteur
directeur
du
ra
y
on
réfléc
hi
est
−
→
v
a
;
b
;
−
c
;
lorsqu’un
ra
y
on
lumineux
de
v
ecteur
directeur
−
→
v
a
;
b
;
c
est
réfléc
hi
par
le
plan
(
O
B
C
)
,
un
v
ecteur
directeur
du
ra
y
on
réfléc
hi
est
−
→
v
−
a
;
b
;
c
;
lorsqu’un
ra
y
on
lumineux
de
v
ecteur
directeur
−
→
v
a
;
b
;
c
est
réfléc
hi
par
le
plan
(
O
AC
)
,
un
v
ecteur
directeur
du
ra
y
on
réfléc
hi
est
−
→
v
a
;
−
b
;
c
;
1
Propriété
des
catadioptres
En
utilisan
t
les
règles
précéden
tes,
démon
trer
que
si
un
ra
y
on
lumineux
de
v
ecteur
directeur
−
→
v
a
;
b
;
c
est
réfléc
hi
successiv
emen
t
par
les
plans
(
O
AB
)
,
(
O
B
C
)
et
(
O
AC
)
,
le
ra
y
on
final
est
parallèle
au
ra
y
on
initial.
P
our
la
suite,
on
considère
un
ra
y
on
lumineux
mo
délisé
par
une
droite
d
1
de
v
ecteur
directeur
−
→
v
1
−
2
;
−
1
;
−
1
qui
vien
t
frapp
er
le
plan
O
AB
au
p
oin
t
I
1
2
;
3
;
0
.
Le
ra
y
on
réfléc
hi
est
mo
délisé
par
la
droite
d
2
de
v
ecteur
directeur
−
→
v
2
−
2
;
−
1
;
1
et
passan
t
par
le
p
oin
t
I
1
.
2
Réflexion
de
d
2
sur
le
plan
(
O
B
C
)
a
Donner
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
d
2
.
b
Donner,
sans
justification,
un
v
ecteur
normal
au
plan
(
O
B
C
)
et
une
équation
cartésienne
de
ce
plan.
c
Soit
I
2
le
p
oin
t
de
co
ordonnées
0
;
2
;
1
.
Vérifier
que
le
plan
(
O
B
C
)
et
la
droite
d
2
son
t
sécan
ts
en
I
2
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3260
sacados/3260
chapExoCorrec/6427
sacados/6427
Liban Mai 2015
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
chapExoCorrec/6881
sacados/6881
Asie Juin 2016
−
n
O
A
B
C
Vue en perspective cavalière de la réπexion
d’un rayon lumineux sur le plan
(
OAB
On
note
d
3
la
droite
qui
représen
te
le
ra
y
on
lumineux
après
réflexion
sur
le
plan
(
O
B
C
)
.
d
3
est
donc
la
droite
de
v
ecteur
directeur
−
→
v
3
2
;
−
1
;
1
passan
t
par
le
p
oin
t
I
2
0
;
2
;
1
.
3
Réflexion
de
d
3
sur
le
plan
(
O
AC
)
Calculer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
d’in
tersection
I
3
de
la
droite
d
3
a
v
ec
le
plan
(
O
AC
)
.
On
note
d
4
la
droite
qui
représen
te
le
ra
y
on
lumineux
après
réflexion
sur
le
plan
(
O
AC
)
.
Elle
est
donc
parallèle
à
la
droite
d
1
.
4
Étude
du
tra
jet
de
la
lumière
On
donne
le
v
ecteur
−
→
u
1
;
−
2
;
0
,
et
on
note
P
le
plan
défini
par
les
droites
d
1
et
d
2
.
a
Démon
trer
que
le
v
ecteur
−
→
u
est
un
v
ecteur
normal
au
plan
P
.
b
Les
droites
d
1
,
d
2
et
d
3
son
t-elles
situées
dans
un
même
plan?
c
Les
droites
d
1
,
d
2
et
d
4
son
t-elles
situées
dans
un
même
plan?
E.6883
On
considère
la
p
yramide
régulière
S
AB
C
D
de
sommet
S
constitué
de
la
base
carrée
AB
C
D
et
de
triangles
équilatéraux
représen
tée
ci-dessous.
Le
p
oin
t
O
est
le
cen
tre
de
la
base
AB
C
D
a
v
ec
O
B
=
1
.
On
rapp
elle
que
le
segmen
t
[
S
O
]
est
la
hauteur
de
la
p
yramide
et
que
toutes
les
arêtes
on
t
la
même
longueur.
1
Justifier
que
le
rep
ère
O
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
;
−
→
O
S
est
or-
thonormé.
Dans
la
suite
de
l’exercice,
on
se
place
dans
le
rep
ère
O
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
;
−
→
O
S
.
2
On
définit
le
p
oin
t
K
par
la
relation
−
−
→
S
K
=
1
3
·
−
→
S
D
et
on
note
I
le
milieu
du
segmen
t
[
S
O
]
.
a
Déterminer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
K
.
b
En
déduire
que
les
p
oin
ts
B
,
I
et
K
son
t
alignés.
c
On
note
L
le
p
oin
t
d’in
tersection
de
l’arête
[
S
A
]
a
v
ec
le
plan
(
B
C
I
)
.
Justifier
que
les
droites
(
AD
)
et
(
K
L
)
son
t
parallèles.
d
Déterminer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
L
.
3
On
considère
le
v
ecteur
−
→
n
1
;
1
;
2
dans
le
rep
ère
O
;
−
−
→
O
B
;
−
−
→
O
C
;
−
→
O
S
.
a
Mon
trer
que
−
→
n
est
un
v
ecteur
normal
au
plan
(
B
C
I
)
.
b
Mon
trer
que
les
v
ecteurs
−
→
n
,
−
→
AS
et
−
→
D
S
son
t
coplanaires.
c
Quelle
est
la
p
osition
relativ
e
des
plans
(
B
C
I
)
et
(
S
AD
)
?
E.5452
On
considère
un
cub
e
AB
C
D
E
F
GH
d’arête
de
longueur
1
.
On
se
place
dans
le
rep
ère
orthonormé
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
On
considère
les
p
oin
ts
:
I
1
;
1
3
;
0
;
J
0
;
2
3
;
1
;
K
3
4
;
0
;
1
;
L
a
;
1
;
0
a
v
ec
a
un
nom
bre
réel
appartenan
t
à
l’in
terv
alle
0
;
1
.
Les
parties
A
et
B
son
t
indép
endan
tes.
P
artie
A
1
Déterminer
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
I
J
)
.
2
Démon
trer
que
la
droite
(
K
L
)
a
p
our
représen
tation
paramétrique
:
x
=
3
4
+
t
·
a
−
3
4
y
=
t
z
=
1
−
t
où
t
∈
R
.
3
Démon
trer
que
les
droites
(
I
J
)
et
(
K
L
)
son
t
sécan
tes
si,
et
seulemen
t,
si
a
=
1
4
.
P
artie
B
Dans
toute
la
suite
de
l’exercice,
on
p
ose
a
=
1
4
.
Le
p
oin
t
L
a
donc
p
our
co
ordonnées
1
4
;
1
;
0
.
1
Démon
trer
que
le
quadrilatère
I
K
J
L
est
un
parallélo-
gramme.
2
La
figure
ci-dessous
fait
apparaître
l’in
tersection
du
plan
(
I
J
K
)
a
v
ec
les
faces
du
cub
e
AB
C
D
D
E
F
GH
telle
qu’elle
a
été
obten
ue
à
l’aide
d’un
logiciel
de
géométrie
dynamique.
On
désigne
par
M
le
p
oin
t
d’in
tersection
du
plan
(
I
J
K
)
et
de
la
droite
(
B
F
)
et
par
N
le
p
oin
t
d’in
tersection
du
plan
(
I
J
K
)
et
de
la
droite
(
D
H
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6883
sacados/6883
A
B
C
D
O
I
S
chapExoCorrec/5452
sacados/5452
A
B
C
D
E
F
G
H
Le
but
de
cette
question
est
de
déterminer
les
co
ordon-
nées
des
p
oin
ts
M
et
N
.
a
Prouv
er
que
le
v
ecteur
−
→
n
de
co
ordonnées
8
;
9
;
5
est
un
v
ecteur
normal
au
plan
(
I
J
K
)
.
b
En
déduire
que
le
plan
(
I
J
K
)
a
p
our
équation
:
8
x
+
9
y
+
5
z
−
11
=
0
c
En
déduire
les
co
ordonnées
des
p
oin
ts
M
et
N
.
E.6268
On
considère
un
cub
e
AB
C
D
D
E
F
GH
donné
ci-dessous
:
On
note
M
le
milieu
du
segmen
t
[
E
H
]
,
N
celui
de
[
F
C
]
et
P
le
p
oin
t
tel
que
:
−
−
→
H
P
=
1
4
·
−
−
→
H
G
.
P
artie
A
:
Section
du
cub
e
par
le
plan
(
M
N
P
)
1
Justifier
que
les
droites
(
M
P
)
et
(
F
G
)
son
t
sécan
tes
en
un
p
oin
t
L
.
Construire
le
p
oin
t
L
.
2
On
admet
que
les
droites
(
LN
)
et
(
C
G
)
son
t
sécan
tes
et
on
note
T
leur
p
oin
t
d’in
tersection.
On
admet
que
les
droites
(
LN
)
et
(
B
F
)
son
t
sécan
tes
et
on
note
Q
leur
p
oin
t
d’in
tersection.
a
Construire
les
p
oin
ts
T
et
Q
en
laissan
t
apparen
ts
les
traits
de
construction.
b
Construire
l’in
tersection
des
plans
(
M
N
P
)
et
(
AB
F
)
.
3
En
déduire
une
construction
de
la
section
du
cub
e
par
le
plan
(
M
N
P
)
.
P
artie
B
L’espace
est
rapp
orté
au
rep
ère
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
1
Donner
les
co
ordonnées
des
p
oin
ts
M
,
N
et
P
dans
ce
rep
ère.
2
Déterminer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
L
.
3
On
admet
que
le
p
oin
t
T
a
p
our
co
ordonnées
1
;
1
;
5
8
.
Le
triangle
T
P
N
est-il
rectangle
en
T
?
E.3238
1
Soit
[
K
L
]
un
segmen
t
de
l’espace
;
on
note
I
son
milieu.
On
app
elle
plan
médiateur
de
[
K
L
]
le
plan
p
erp
endicu-
laire
en
I
à
la
droite
(
K
L
)
.
Démon
trer
que
le
plan
médiateur
de
[
K
L
]
est
l’ensem
ble
des
p
oin
ts
de
l’espace
équidistan
ts
de
K
et
L
.
2
Ici,
l’espace
est
m
uni
d’un
rep
ère
orthonormé
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
;
on
considère
les
p
oin
ts
:
A
4
;
0
;
−
3
;
B
2
;
2
;
2
;
C
3
;
−
3
;
−
1
;
D
0
;
0
;
−
3
a
Démon
trer
que
le
plan
médiateur
de
[
AB
]
a
p
our
équa-
tion
:
4
x
−
4
y
−
10
z
−
13
=
0
On
admet
p
our
la
suite
que
les
plans
médiateurs
de
[
B
C
]
et
[
C
D
]
on
t
resp
ectiv
emen
t
p
our
équation
:
2
x
−
10
y
−
6
z
−
7
=
0
;
3
x
−
3
y
+
2
z
−
5
=
0
b
Démon
trer,
en
résolv
an
t
un
système
d’équations
linéaires,
que
ces
trois
plans
on
t
un
unique
p
oin
t
com-
m
un
E
don
t
on
donnera
les
co
ordonnées.
c
En
utilisan
t
la
question
1
mon
trer
que
les
p
oin
ts
A
,
B
,
C
et
D
son
t
sur
une
sphère
de
cen
tre
E
.
Quel
est
le
ra
y
on
de
cette
sphère?
2.
Distanc
e,
volume
dans
l’esp
ac
e
E.6884
AB
C
D
E
F
GH
est
un
cub
e
d’arête
égale
à
1
.
L’espace
est
m
uni
du
rep
ère
orthonormé
D
;
−
−
→
D
C
;
−
−
→
D
A
;
−
−
→
D
H
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
chapExoCorrec/6268
sacados/6268
A
B
C
D
E
F
G
H
M
P
N
chapExoCorrec/3238
sacados/3238
Antilles-Guyane Juin 2005 6 points
chapExoCorrec/6884
sacados/6884
Antilles-Guyane Juin 2016
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
Dans
ce
rep
ère,
on
a
:
D
0
;
0
;
0
C
1
;
0
;
0
A
0
;
1
;
0
H
0
;
0
;
1
E
0
;
1
;
1
Soit
I
le
milieu
de
[
AB
]
.
Soit
P
le
plan
parallèle
au
plan
(
B
GE
)
et
passan
t
par
le
p
oin
t
I
.
On
admet
que
la
section
du
cub
e
par
le
plan
P
représen
tée
ci-dessus
est
un
hexagone
don
t
les
sommets
I
,
J
,
K
,
L
,
M
et
N
appartiennen
t
resp
ectiv
emen
t
aux
arêtes
[
AB
]
,
[
B
C
]
,
[
C
G
]
,
[
GH
]
,
[
H
E
]
et
[
AE
]
.
1
a
Mon
trer
que
le
v
ecteur
−
−
→
D
F
est
normal
au
plan
(
B
GE
)
.
b
En
déduire
une
équation
cartésienne
du
plan
P
.
2
Mon
trer
que
le
p
oin
t
N
est
le
milieu
du
segmen
t
[
AE
]
.
3
a
Déterminer
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
H
B
)
.
b
En
déduire
que
la
droite
(
H
B
)
et
le
plan
P
son
t
sécan
ts
en
un
p
oin
t
T
don
t
on
précisera
les
co
ordonnées.
4
Calculer,
en
unités
de
v
olume,
le
v
olume
du
tétraèdre
F
B
GE
.
E.6265
Dans
l’espace
m
uni
d’un
rep
ère
orthonormé
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
,
on
considère
le
tétraèdre
AB
C
D
don
t
les
sommets
on
t
p
our
co
ordonnées
:
A
1
;
−
3
;
0
;
B
1
;
3
;
0
;
C
−
2
;
0
;
0
;
D
0
;
0
;
2
2
1
Démon
trer
que
le
plan
(
AB
D
)
a
p
our
équation
cartési-
enne
4
x
+
z
2
=
4
2
On
note
D
la
droite
don
t
une
représen
tation
paramétrique
est
:
x
=
t
y
=
0
z
=
t
2
où
t
∈
R
a
Démon
trer
que
D
est
la
droite
qui
est
parallèle
à
(
C
D
)
et
passe
par
O
.
b
Déterminer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
G
,
in
tersection
de
la
droite
D
et
du
plan
(
AB
D
)
.
3
a
On
note
L
le
milieu
du
segmen
t
[
AC
]
.
Démon
trer
que
la
droite
(
B
L
)
passe
par
le
p
oin
t
O
et
est
orthogonale
à
la
droite
(
AC
)
.
b
Prouv
er
que
le
triangle
AB
C
est
équilatéral
et
déter-
miner
le
cen
tre
de
son
cen
tre
circonscrit.
4
Démon
trer
que
le
tétraèdre
AB
C
D
est
régulier,
c’est-
à-dire
un
tétraèdre
don
t
les
six
arêtes
on
t
la
même
longueur.
E.6406
Soit
un
cub
e
AB
C
D
E
F
GH
d’arête
1
.
Dans
le
rep
ère
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
,
on
considère
les
p
oin
ts
M
,
N
et
P
de
co
ordonnées
resp
ectiv
es
:
M
1
;
1
;
3
4
;
N
0
;
1
2
;
1
;
P
1
;
0
;
−
5
4
.
1
Placer
M
,
N
et
P
sur
la
figure
ci-dessous.
2
Déterminer
les
co
ordonnées
des
v
ecteurs
−
−
→
M
N
et
−
−
→
M
P
.
En
déduire
que
les
p
oin
ts
M
,
N
et
P
ne
son
t
pas
alignés.
3
On
considère
la
fonction
f
de
l’algorithme
1
ci-dessous
:
Fonction
f(
x
M
,
y
M
,
z
M
,
x
N
,
y
N
,
z
N
,
x
P
,
y
P
,
z
P
)
d
←
x
N
−
x
M
e
←
y
N
−
y
M
f
←
z
N
−
z
M
g
←
x
p
−
x
M
h
←
y
p
−
y
M
i
←
z
P
−
z
M
k
←
d
×
g+e
×
h+f
×
i
Renvoyer
k
a
Quelle
est
la
v
aleur
ren
v
o
y
ée
par
la
fonction
f
lorsque
l’app
el
s’effectue
a
v
ec
les
co
ordonnées
des
p
oin
ts
M
,
N
et
P
donnés
ci-dessus?
b
À
quoi
corresp
ond
cette
v
aleur?
Qu’en
déduire
p
our
le
triangle
M
N
P
?
4
On
considère
la
fonction
g
d’un
algorithme
2
donné
ci-
dessous.
Fonction
g(
x
M
,
y
M
,
z
M
,
x
N
,
y
N
,
z
N
,
x
P
,
y
P
,
z
P
)
d
←
x
N
−
x
M
e
←
y
N
−
y
M
f
←
z
N
−
z
M
g
←
x
p
−
x
M
h
←
y
p
−
y
M
i
←
z
P
−
z
M
k
←
d
×
g+e
×
h+f
×
i
...
Le
recopier
et
le
compléter
afin
que
la
fonction
g
ren
v
oie
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6265
sacados/6265
chapExoCorrec/6406
sacados/6406
A
B
C
D
E
F
G
H
la
v
aleur
1
si
le
triangle
M
N
P
est
rectangle
et
iso
cèle
en
M
et
la
v
aleur
0
sinon.
5
On
considère
le
v
ecteur
−
→
n
5
;
−
8
;
4
normal
au
plan
(
M
N
P
)
.
a
Déterminer
une
équation
cartésienne
du
plan
(
M
N
P
)
.
b
On
considère
la
droite
(Δ)
passan
t
par
F
et
de
v
ecteur
directeur
−
→
n
.
Déterminer
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(Δ)
.
6
Soit
K
le
p
oin
t
d’in
tersection
du
plan
(
M
N
P
)
et
de
la
droite
(Δ)
.
a
Démon
trer
que
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
K
son
t
4
7
;
24
35
;
23
35
.
b
On
donne
:
F
K
=
27
35
.
Calculer
le
v
olume
du
tétraèdre
M
N
P
F
.
E.6261
Dans
l’espace,
on
considère
un
té-
traèdre
AB
C
D
don
t
les
faces
AB
C
,
AC
D
et
AB
D
son
t
des
triangles
rectangles
et
iso
cèles
en
A
.
On
désigne
par
E
,
F
et
G
les
milieux
resp
ectifs
des
côtés
[
AB
]
,
[
B
C
]
et
[
C
A
]
.
On
c
hoisit
AB
p
our
unité
de
longueur
et
on
se
place
dans
le
rep
ère
orthonormé
A
;
−
−
→
AB
;
−
→
AC
;
−
−
→
AD
de
l’espace.
1
On
désigne
par
P
le
plan
qui
passe
par
A
et
qui
est
or-
thogonal
à
la
droite
(
D
F
)
.
On
note
H
le
p
oin
t
d’in
tersection
du
plan
P
et
de
la
droite
(
D
F
)
.
a
Donner
les
co
ordonnées
des
p
oin
ts
D
et
F
.
b
Donner
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
D
F
)
.
c
Déterminer
une
équation
cartésienne
du
plan
P
.
d
Calculer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
H
.
e
Démon
trer
que
l’angle
E
H
G
est
un
angle
droit.
2
On
désigne
par
M
un
p
oin
t
de
la
droite
(
D
F
)
et
par
t
le
réel
tel
que
−
−
→
D
M
=
t
·
−
−
→
D
F
.
On
note
¸
la
mesure
en
radians
de
l’angle
géométrique
E
M
G
.
Le
but
de
cette
question
est
de
déterminer
la
p
osition
du
p
oin
t
M
p
our
que
¸
soit
maximale.
a
Démon
trer
que
:
M
E
2
=
3
2
·
t
2
−
5
2
·
t
+
5
4
b
Démon
trer
que
le
triangle
M
E
G
est
iso
cèle
en
M
.
En
déduire
que
:
M
E
·
sin
¸
2
=
1
2
·
√
2
.
c
Justifier
que
¸
est
maximale
si,
et
seulemen
t
si,
sin
¸
2
est
maximal.
En
déduire
que
¸
est
maximale
si,
et
seulemen
t
si,
M
E
2
est
minimal.
d
Conclure.
3.
Pr
ojeté
ortho
gonal
E.6943
P
artie
A
:
un
calcul
de
v
olume
sans
rep
ère
On
considère
une
p
yramide
équilatère
S
AB
C
D
(pyr
amide
à
b
ase
c
arr
é
e
dont
toutes
les
fac
es
latér
ales
sont
des
triangles
é
quilatér
aux)
représen
tée
ci-con
tre.
Les
diagonales
du
carré
AB
C
D
mesuren
t
24
cm
.
On
note
O
le
cen
tre
du
carré
AB
C
D
.
On
admettra
que
:
O
S
=
O
A
1
Sans
utiliser
de
rep
ère,
démon
trer
que
la
droite
S
O
est
orthogonale
au
plan
AB
C
.
2
En
déduire
le
v
olume,
en
cm
3
,
de
la
p
yramide
S
AB
C
D
.
P
artie
B
:
dans
un
rep
ère
On
considère
le
rep
ère
orthonormé
O
;
−
→
O
A
;
−
−
→
O
B
;
−
→
O
S
.
1
On
note
P
et
Q
les
milieux
resp
ectifs
des
segmen
ts
[
AS
]
et
[
B
S
]
.
a
Justifier
que
−
→
n
1
;
1
;
−
3
est
un
v
ecteur
normal
au
plan
P
QC
.
b
En
déduire
une
équation
cartésienne
du
plan
P
QC
.
2
Soit
H
le
p
oin
t
du
plan
P
QC
tel
que
la
droite
S
H
est
orthogonale
au
plan
P
QC
.
a
Donner
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
S
H
)
.
b
Calculer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
H
.
c
Mon
trer
alors
que
la
longueur
S
H
,
en
unité
de
longueur,
est
2
11
11
3
On
admettra
que
l’aire
du
quadrilatère
P
QC
D
,
en
unité
d’aire,
est
égale
à
3
11
8
.
Calculer
le
v
olume
de
la
p
yramide
S
P
QC
D
,
en
unité
de
v
olume.
P
artie
C
:
partage
équitable
P
our
l’anniv
ersaire
de
ses
deux
jumelles
Anne
et
F
ann
y
.
Madame
No
v
a
a
confectionné
un
joli
gâteau
en
forme
de
p
yra-
mide
équilatère
don
t
les
diagonales
du
carré
de
base
mesuren
t
24
cm
.
Elle
s’apprête
à
le
partager
en
deux,
équitablemen
t,
en
plaçan
t
son
couteau
sur
le
sommet.
C’est
alors
qu’Anne
ar-
rête
son
geste
et
lui
prop
ose
une
découp
e
plus
originale
:
ˇ
Place
la
lame
sur
le
milieu
d’une
arête,
parallèlemen
t
à
un
côté
de
la
base,
puis
coup
e
en
te
dirigean
t
v
ers
le
côté
opp
osé
ı
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/6261
sacados/6261
chapExoCorrec/6943
sacados/6943
A
B
C
D
O
S
F
ann
y
a
des
doutes,
les
parts
ne
lui
sem
blen
t
pas
équitables.
Est-ce
le
cas?
Justifier
la
rép
onse.
E.3186
On
considère
le
cub
e
AB
C
D
E
F
GH
représen
té
sur
la
feuille
annexe.
Dans
tout
l’exercice,
l’espace
est
rapp
orté
au
rep
ère
orthonormé
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
.
On
note
I
le
p
oin
t
de
co
ordonnées
1
3
;
1
;
1
.
1
Placer
le
p
oin
t
I
sur
la
figure.
2
Le
plan
(
AC
I
)
coup
e
la
droite
(
E
H
)
en
J
.
Démon
trer
que
les
droites
(
I
J
)
et
(
AC
)
son
t
parallèles.
3
On
note
R
le
pro
jeté
orthogonal
de
I
sur
la
droite
(
AC
)
.
a
Justifier
que
les
deux
conditions
suiv
an
tes
son
t
v
éri-
fiées
:
i
Il
existe
un
réel
k
tel
que
:
−
→
AR
=
k
·
−
→
AC
ii
−
→
I
R
·
−
→
AC
=
0
b
Calculer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
R
.
c
En
déduire
que
la
distance
I
R
s’exprime
par
:
I
R
=
√
11
3
.
4
Démon
trer
que
le
v
ecteur
−
→
n
de
co
ordonnées
3
;
−
3
;
2
est
normal
au
plan
(
AC
I
)
.
En
déduire
une
équation
cartésienne
du
plan
(
AC
I
)
.
5
Démon
trer
que
la
distance
du
p
oin
t
F
au
plan
(
AC
I
)
est
5
√
22
.
E.3248
On
app
elle
hauteur
d’un
tétraè-
dre
toute
droite
con
tenan
t
l’un
des
sommets
de
ce
tétraèdre
et
p
erp
endiculaire
au
plan
de
la
face
opp
osée
à
ce
sommet.
Un
tétraèdre
est
ortho
cen
trique
si
ses
quatre
hauteurs
son
t
concouran
tes.
P
artie
A
On
considère
un
tétraèdre
AB
C
D
et
on
note
H
le
pro
jeté
orthogonal
du
p
oin
t
A
sur
le
plan
(
B
C
D
)
.
Démon
trer
que,
si
les
hauteurs
du
tétraèdre
AB
C
D
issues
des
p
oin
ts
A
et
B
son
t
concouran
tes,
alors
la
droite
(
B
H
)
est
une
hauteur
du
triangle
B
C
D
.
P
artie
B
Dans
l’espace
m
uni
d’un
rep
ère
orthonormé
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
,
on
donne
les
p
oin
ts
:
A
3
;
2
;
−
1
;
B
−
6
;
1
;
1
;
C
4
;
−
3
;
3
;
D
−
1
;
−
5
;
−
1
1
a
Vérifier
qu’une
équation
cartésienne
du
plan
(
B
C
D
)
est
:
−
2
x
−
3
y
+
4
z
−
13
=
0
b
Déterminer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
H
,
pro
jeté
or-
thogonal
du
p
oin
t
A
sur
le
plan
(
B
C
D
)
.
c
Calculer
le
pro
duit
scalaire
:
−
−
→
B
H
·
−
−
→
C
D
d
Le
tétraèdre
AB
D
est-il
ortho
cen
trique?
2
On
définit
les
p
oin
ts
I
1
;
0
;
0
,
J
0
;
1
;
0
,
K
0
;
0
;
1
.
Le
tétraèdre
O
I
J
K
est-il
ortho
cen
trique?
E.3139
L’espace
est
m
uni
d’un
rep
ère
or-
thonormé
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
Soit
(
P
1
)
le
plan
d’équation
cartésienne
−
2
x
+
y
+
z
−
6
=
0
et
(
P
2
)
le
plan
d’équation
cartésienne
x
−
2
y
+4
z
−
9
=
0
.
1
Mon
trer
que
(
P
1
)
et
(
P
2
)
son
t
p
erp
endiculaires.
On
rapp
elle
que
deux
plans
son
t
p
erp
endiculaires
si,
et
seulemen
t
si,
un
v
ecteur
normal
non
n
ul
à
l’un
est
or-
thogonal
à
un
v
ecteur
normal
non
n
ul
à
l’autre.
2
Soit
(
D
)
la
droite
d’in
tersection
de
(
P
1
)
et
(
P
2
)
.
Mon
trer
qu’une
représen
tation
paramétrique
de
(
D
)
est
:
x
=
−
7
+
2
t
y
=
−
8
+
3
t
z
=
t
où
t
∈
R
3
Soit
M
un
p
oin
t
quelconque
de
(
D
)
de
paramètre
t
et
soit
A
le
p
oin
t
de
co
ordonnées
−
9
;
−
4
;
−
1
.
a
Vérifier
que
A
n’appartien
t
ni
à
(
P
1
)
,
ni
à
(
P
2
)
.
b
Exprimer
AM
2
en
fonction
de
t
.
c
Soit
f
la
fonction
définie
sur
R
par
f
(
t
)
=
2
t
2
−
2
t
+3
.
Étudier
les
v
ariations
de
f
.
P
our
quel
p
oin
t
M
,
la
distance
AM
est-elle
mini-
male?
Dans
la
suite,
on
désignera
ce
p
oin
t
par
I
.
Préciser
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
I
.
4
Soit
(
Q
)
le
plan
orthogonal
à
(
D
)
passan
t
par
A
.
a
Déterminer
une
équation
de
(
Q
)
.
b
Démon
trer
que
I
est
le
pro
jeté
orthogonal
de
A
sur
(
D
)
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3186
sacados/3186
H
G
F
E
D
C
B
A
chapExoCorrec/3248
sacados/3248
chapExoCorrec/3139
sacados/3139
E.3172
L’espace
est
m
uni
d’un
rep
ère
orthonormé
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
P
artie
A
(c
ette
p
artie
c
onstitue
une
r
estitution
or
ganisé
e
de
c
onnaissanc
es)
Soit
a
,
b
,
c
et
d
des
réels
tels
que
:
(
a
;
b
;
c
)
=
0
;
0
;
0
.
Soit
P
le
plan
d’équation
:
a
·
x
+
b
·
y
+
c
·
z
+
d
=
0
.
On
considère
le
p
oin
t
I
de
co
ordonnées
(
x
I
;
y
I
;
z
I
)
et
le
v
ecteur
−
→
n
de
co
ordonnées
(
a
;
b
;
c
)
.
Le
but
de
cette
partie
est
de
démon
trer
que
la
distance
de
I
au
plan
P
est
égale
à
:
⏐
⏐
a
·
x
I
+
b
·
y
I
+
c
·
z
I
+
d
⏐
⏐
a
2
+
b
2
+
c
2
1
Soit
Δ
la
droite
passan
t
par
I
et
orthogonale
au
plan
P
.
Déterminer,
en
fonction
de
a
,
b
,
c
,
x
I
,
y
I
et
z
I
,
un
sys-
tème
d’équations
paramétriques
de
Δ
.
2
On
note
H
le
p
oin
t
d’in
tersection
de
Δ
et
P
.
a
Justifier
qu’il
existe
un
réel
k
tel
que
:
−
→
I
H
=
k
−
→
n
.
b
Déterminer
l’expression
de
k
en
fonction
de
a
,
b
,
c
,
d
,
x
I
,
y
I
et
z
I
.
c
En
déduire
que
:
I
H
=
⏐
⏐
a
·
x
I
+
b
·
y
I
+
c
·
z
I
+
d
⏐
⏐
a
2
+
b
2
+
c
2
P
artie
B
Le
plan
Q
d’équation
x
−
y
+
z
−
11
=
0
est
tangen
t
à
une
sphère
S
de
cen
tre
le
p
oin
t
Ω
de
co
ordonnées
1
;
−
1
;
3
.
1
Déterminer
le
ra
y
on
de
la
sphère
S
.
2
Déterminer
un
système
d’équations
paramétriques
de
la
droite
Δ
passan
t
par
Ω
et
orthogonale
au
plan
Q
.
3
En
déduire
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
d’in
tersection
de
la
sphère
S
et
du
plan
Q
.
4.
Qcm,
affirmations...
E.3195
Soit
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
un
rep
ère
orthonormé
de
l’espace.
On
considère
les
p
oin
ts
:
A
2
;
4
;
1
;
B
0
;
4
;
−
3
;
C
3
;
1
;
−
3
D
1
;
0
;
−
2
;
E
3
;
2
;
−
1
;
I
3
5
;
4
;
−
9
5
P
our
c
hacune
des
cinq
affirmations
suiv
an
tes,
dire,
sans
le
justifier,
si
elle
est
vraie
ou
si
elle
est
fausse.
P
our
c
haque
question,
il
est
compté
un
p
oin
t
si
la
rép
onse
est
exacte
et
zéro
sinon.
1
Une
équation
du
plan
(
AB
C
)
est
:
2
x
+
2
y
−
z
−
11
=
0
2
Le
p
oin
t
E
est
le
pro
jeté
orthogonal
de
D
sur
le
plan
(
AB
C
)
.
3
Les
droites
(
AB
)
et
(
C
D
)
son
t
orthogonales.
4
La
droite
(
C
D
)
est
donnée
par
la
représen
tation
paramétrique
suiv
an
te
:
(
C
D
)
:
x
=
−
1
+
2
t
y
=
−
1
+
t
z
=
1
−
t
où
t
∈
R
5
Le
p
oin
t
I
est
sur
la
droite
AB
.
E.5531
P
our
c
hacune
des
questions,
qua-
tre
prop
ositions
de
rép
onse
son
t
données
don
t
une
seule
est
ex-
acte.
P
our
c
hacune
des
questions,
indiquer,
sans
justification,
la
b
onne
rép
onse
sur
la
copie.
Une
rép
onse
exacte
rapp
orte
1
p
oin
t.
Une
rép
onse
fausse
ou
l’absence
de
rép
onse
ne
rap-
p
orte
ni
n’enlèv
e
aucun
p
oin
t.
Il
en
est
de
même
dans
le
cas
où
plusieurs
rép
onses
son
t
données
p
our
une
même
question.
L’espace
est
rapp
orté
à
un
rep
ère
orthonormé.
t
et
t
désig-
nen
t
des
paramètres
réels.
Le
plan
(
P
)
a
p
our
équation
:
x
−
2
y
+3
z
+5
=
0
Le
plan
(
S
)
a
p
our
représen
tation
paramétrique
:
x
=
−
2
+
t
+
2
t
y
=
−
t
−
2
t
z
=
−
1
−
t
+
3
t
où
t
∈
R
,
t
∈
R
La
droite
(
d
)
a
p
our
représen
tation
paramétrique
:
x
=
−
2
+
t
y
=
−
t
z
=
−
1
−
t
où
t
∈
R
On
donne
les
p
oin
ts
de
l’espace
M
−
1
;
2
;
3
et
N
1
;
−
2
;
9
.
1
Une
représen
tation
paramétrique
du
plan
(
P
)
est
:
a
x
=
t
y
=
1
−
2
t
z
=
−
1
+
3
t
b
x
=
t
+
2
t
y
=
1
−
t
+
t
z
=
−
1
−
t
c
x
=
t
+
t
y
=
1
−
t
−
2
t
z
=
1
−
t
−
3
t
d
x
=
1
+
2
t
+
t
y
=
1
−
2
t
+
2
t
z
=
−
1
−
t
2
a
La
droite
(
d
)
et
le
plan
(
P
)
son
t
sécan
ts
au
p
oin
t
A
−
8
;
3
;
2
.
b
La
droite
(
d
)
et
le
plan
(
P
)
son
t
p
erp
endiculaires.
c
La
droite
(
d
)
est
une
droite
du
plan
(
P
)
.
d
La
droite
(
d
)
et
le
plan
(
P
)
son
t
strictemen
t
parallèles.
3
a
La
droite
(
M
N
)
et
la
droite
(
d
)
son
t
orthogonales.
b
La
droite
(
M
N
)
et
la
droite
(
d
)
son
t
parallèles.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3172
sacados/3172
chapExoCorrec/3195
sacados/3195
France Juin 2006 4 points
chapExoCorrec/5531
sacados/5531
c
La
droite
(
M
N
)
et
la
droite
(
d
)
son
t
sécan
tes.
d
La
droite
(
M
N
)
et
la
droite
(
d
)
son
t
confondues.
4
a
Les
plans
(
P
)
et
(
S
)
son
t
parallèles.
b
La
droite
(Δ)
de
représen
tation
paramétrique
:
x
=
t
y
=
−
2
−
t
z
=
−
3
−
t
t
∈
R
est
la
droite
d’in
tersection
des
plans
(
P
)
et
(
S
)
.
c
Le
p
oin
t
M
appartien
t
à
l’in
tersection
des
plans
(
P
)
et
(
S
)
.
d
Les
plans
(
P
)
et
(
S
)
son
t
p
erp
endiculaires.
E.3140
Dans
l’espace
rapp
orté
à
un
rep
ère
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
orthonormé,
on
considère
les
p
oin
ts
:
A
de
co
ordonnées
3
;
1
;
−
5
;
B
de
co
ordonnées
0
;
4
;
−
5
;
C
de
co
ordonnées
−
1
;
2
;
−
5
;
D
de
co
ordonnées
2
;
3
;
4
.
P
our
c
hacune
des
six
affirmations
ci-dessous,
préciser
si
elle
est
vraie
ou
fausse.
Aucune
justification
n’est
demandée.
Le
candidat
doit
indiquer
sur
sa
copie
le
n
uméro
de
la
question
et
la
men
tion
ˇVRAIı
ou
ˇF
A
UXı.
On
attribue
0,5
p
oin
ts
par
rép
onse
correcte
et
on
retranc
he
0
;
25
p
oin
t
par
rép
onse
incor-
recte.
L’absence
de
rép
onse
n’est
pas
p
énalisée.
Un
év
en
tuel
total
négatif
est
ramené
à
0.
1
Les
p
oin
ts
A
,
B
et
D
son
t
alignés.
2
La
droite
(
AB
)
est
con
ten
ue
dans
le
plan
d’équation
cartésienne
:
x
+
y
=
4
.
3
Une
équation
cartésienne
du
plan
(
B
C
D
)
est
:
18
x
−
9
y
−
5
z
+
11
=
0
4
Les
p
oin
ts
A
,
B
,
C
et
D
son
t
coplanaires.
5
Une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
B
D
)
est
:
x
=
1
−
2
k
y
=
7
2
+
k
z
=
−
1
2
−
9
k
où
k
∈
R
E.3149
Première
partie
L’espace
est
rapp
orté
à
un
rep
ère
orthonormé
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
On
considère
:
Les
p
oin
ts
:
A
0
;
0
;
3
;
B
2
;
0
;
4
;
C
−
1
;
1
;
2
;
D
1
;
−
4
;
0
.
les
plans
:
(
P
1
)
:
7
x
+4
y
−
3
z
+9
=
0
;
(
P
2
)
:
x
−
2
y
=
0
.
Les
droites
(Δ
1
)
et
(Δ
2
)
définies
par
leurs
systèmes
d’équations
paramétriques
resp
ectifs
:
x
=
−
1
+
t
y
=
−
8
+
2
t
z
=
−
10
+
5
t
où
t
∈
R
x
=
7
+
2
t
y
=
8
+
4
t
z
=
8
−
t
où
t
∈
R
P
our
c
haque
question,
une
seule
des
quatre
prop
ositions
est
exacte.
Le
candidat
indiquera
sur
la
copie
le
n
uméro
de
la
question
et
la
lettre
corresp
ondan
t
à
la
rép
onse
c
hoisie.
Au-
cune
justification
n’est
demandée.
Une
rép
onse
exacte
rapp
orte
0
;
5
p
oin
t
;
une
rép
onse
inexacte
enlèv
e
0
;
25
p
oin
t
;
l’absence
de
rép
onse
est
comptée
0
p
oin
t.
Si
le
total
est
négatif,
la
note
est
ramenée
à
0.
1
Le
plan
(
P
1
)
est
:
a
le
plan
(
AB
C
)
b
le
plan
(
B
C
D
)
c
le
plan
(
AC
D
)
d
le
plan
(
AB
D
)
2
La
droite
(Δ
1
)
con
tien
t
:
a
le
p
oin
t
A
b
le
p
oin
t
B
c
le
p
oin
t
C
d
le
p
oin
t
D
3
P
osition
relativ
e
de
(
P
1
)
et
de
(Δ
2
)
:
a
(Δ
2
)
est
strictemen
t
parallèle
à
(
P
1
)
b
(Δ
2
)
est
incluse
dans
(
P
1
)
c
(Δ
2
)
coup
e
(
P
1
)
d
(Δ
2
)
est
orthogonal
à
(
P
1
)
4
P
osition
relativ
e
de
(Δ
1
)
et
de
(Δ
2
)
:
a
(Δ
1
)
est
strictemen
t
parallèle
à
(Δ
2
)
b
(Δ
1
)
et
(Δ
2
)
son
t
confondues
c
(Δ
1
)
et
(Δ
2
)
son
t
sécan
tes
d
(Δ
1
)
et
(Δ
2
)
son
t
non
coplanaires.
5
L’in
tersection
de
(
P
1
)
et
de
(
P
2
)
est
une
droite
don
t
une
représen
tation
paramétrique
est
:
a
x
=
t
y
=
−
2
+
1
2
·
t
z
=
3
·
t
b
x
=
2
·
t
y
=
t
z
=
3
+
6
·
t
c
x
=
5
·
t
y
=
1
−
2
·
t
z
=
t
d
x
=
−
1
+
t
y
=
2
+
t
z
=
−
3
·
t
Deuxième
partie
L’espace
est
rapp
orté
à
un
rep
ère
orthonormé
O
;
−
→
i
;
−
→
j
;
−
→
k
.
On
considère
la
droite
(
D
)
passan
t
par
A
0
;
0
;
3
et
don
t
un
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3140
sacados/3140
chapExoCorrec/3149
sacados/3149
v
ecteur
directeur
est
−
→
u
1
;
0
;
−
1
et
la
droite
(
D
)
passan
t
par
B
2
;
0
;
4
et
don
t
un
v
ecteur
directeur
est
−
→
v
0
;
1
;
1
.
L’ob
jectif
est
de
démon
trer
qu’il
existe
une
droite
unique
p
er-
p
endiculaire
à
la
fois
à
(
D
)
et
à
(
D
)
,
de
la
déterminer
et
de
dégager
une
propriété
de
cette
droite.
1
On
considère
un
p
oin
t
M
appartenan
t
à
(
D
)
et
un
p
oin
t
M
appartenan
t
à
(
D
)
définis
par
−
−
→
AM
=
a
·
−
→
u
et
−
−
−
→
B
M
=
b
·
−
→
v
,
où
a
et
b
son
t
des
nom
bres
réels.
Exprimer
les
co
ordonnées
de
M
,
de
M
puis
du
v
ecteur
−
−
−
→
M
M
en
fonction
de
a
et
de
b
.
2
Démon
trer
que
la
droite
(
M
M
)
est
p
erp
endiculaire
à
(
D
)
et
à
(
D
)
si,
et
seulemen
t
si,
le
couple
(
a
;
b
)
est
solu-
tion
du
système
:
2
a
+
b
=
1
a
+
2
b
=
−
1
3
Résoudre
ce
système.
En
déduire
les
co
ordonnées
des
deux
uniques
p
oin
ts
M
et
M
,
que
nous
noterons
ici
H
et
H
,
tels
que
la
droite
(
H
H
)
soit
bien
p
erp
endiculaire
comm
une
à
(
D
)
et
à
(
D
)
.
Mon
trer
que
H
H
=
3
unités
de
longueur.
4
On
considère
un
p
oin
t
M
quelconque
de
la
droite
(
D
)
et
un
p
oin
t
M
quelconque
de
la
droite
(
D
)
.
a
En
utilisan
t
les
co
ordonnées
obten
ues
à
la
question
1
,
démon
trer
que
:
M
M
2
=
(
a
+
b
)
2
+
(
a
−
1)
2
+
(
b
+
1)
2
+
3
b
En
déduire
que
la
distance
M
M
minimale
lorsque
M
est
en
H
et
M
est
en
H
.
E.3167
Dans
cet
exercice,
une
rép
onse
par
ˇ
VRAIı
ou
ˇ
F
A
UXı,
sans
justification,
est
demandée
au
candidat
en
regard
d’une
liste
d’affirmations.
T
oute
rép
onse
conforme
à
la
réalité
mathématique
donne
0
;
4
p
oin
t.
T
oute
rép
onse
erronée
enlèv
e
0
;
1
p
oin
t.
L’absence
de
rép
onse
n’est
pas
comptabilisée.
Le
total
ne
saurait
être
négatif.
On
donne
le
cub
e
AB
C
D
E
F
GH
,
d’arête
de
longueur
1
,
et
les
milieux
I
et
J
des
arêtes
[
AB
]
et
[
C
G
]
.
Les
élémen
ts
utiles
de
la
figure
son
t
donnés
ci-con
tre.
Le
candidat
est
app
elé
à
juger
c
hacune
des
10
affirmations
suiv
an
tes.
Affirmation
V
rai
F
aux
1
−
→
AC
·
−
→
AI
=
1
2
2
−
→
AC
·
−
→
AI
=
−
→
AI
·
−
−
→
AB
3
−
−
→
AB
·
−
→
I
J
=
−
−
→
AB
·
−
→
I
C
4
−
−
→
AB
·
−
→
I
J
=
AB
×
I
C
×
cos
ı
3
On
utilise
à
présen
t
le
rep
ère
orthonormé
A
;
−
−
→
AB
;
−
−
→
AD
;
−
→
AE
5
Une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
I
J
)
est
:
x
=
t
+
1
y
=
2
t
z
=
t
où
t
∈
R
6
Une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
I
J
)
est
:
x
=
1
2
t
+
1
y
=
t
+
1
z
=
1
2
t
+
1
2
où
t
∈
R
.
7
6
x
−
7
y
+8
z
−
3=0
est
une
équation
cartésienne
de
la
droite
(
I
J
)
.
8
L’in
tersection
des
plans
(
F
I
J
)
et
(
AB
C
)
est
la
droite
passan
t
par
I
et
par
le
mi-
lieu
de
l’arête
[
D
C
]
9
Le
v
ecteur
de
co
ordonnées
-4
1
2
est
un
v
ecteur
normal
au
plan
(
F
I
J
)
10
Le
v
olume
du
tétraèdre
E
F
I
J
est
égal
à
1
6
5.
Exer
cic
es
non-classés
E.8137
On
se
place
dans
l’espace
m
uni
d’un
rep
ère
orthonormé
don
t
l’origine
est
le
p
oin
t
A
.
On
considère
les
p
oin
ts
B
10
;
−
8
;
2
,
C
−
1
;
−
8
;
5
et
D
14
;
4
;
8
.
1
a
Déterminer
un
système
d’équations
paramétriques
de
c
hacune
des
droites
(
AB
)
et
(
C
D
)
.
b
Vérifier
que
les
droites
(
AB
)
et
(
C
D
)
ne
son
t
pas
coplanaires.
2
On
considère
le
p
oin
t
I
de
la
droite
(
AB
)
d’abscisse
5
et
le
p
oin
t
J
de
la
droite
(
C
D
)
d’abscisse
4
.
a
Déterminer
les
co
ordonnées
des
p
oin
ts
I
et
J
et
en
déduire
la
distance
I
J
.
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
chapExoCorrec/3167
sacados/3167
H
G
F
E
D
C
B
A
I
J
sacados/8137
b
Démon
trer
que
la
droite
(
I
J
)
est
p
erp
endiculaire
aux
droites
(
AB
)
et
(
C
D
)
.
La
droite
(
I
J
)
est
app
elée
p
erp
endiculaire
comm
une
aux
droites
(
AB
)
et
(
C
D
)
.
3
Cette
question
a
p
our
but
de
v
érifier
que
la
distance
I
J
est
la
distance
minimale
en
tre
les
droites
(
AB
)
et
(
C
D
)
.
Sur
le
sc
héma
ci-dessous,
on
a
représen
té
les
droites
(
AB
)
et
(
C
D
)
,
les
p
oin
ts
I
et
J
,
et
la
droite
Δ
parallèle
à
la
droite
(
C
D
)
passan
t
par
I
.
On
considère
un
p
oin
t
M
de
la
droite
(
AB
)
distinct
du
p
oin
t
I
.
On
considère
un
p
oin
t
M
de
la
droite
(
C
D
)
distinct
du
p
oin
t
J
.
a
Justifier
que
la
parallèle
à
la
droite
(
I
J
)
passan
t
par
le
p
oin
t
M
coup
e
la
droite
Δ
en
un
p
oin
t
que
l’on
notera
P
.
b
Démon
trer
que
le
triangle
M
P
M
est
rectangle
en
P
.
c
Justifier
que
M
M
>
I
J
et
conclure.
E.8141
Un
artiste
souhaite
réaliser
une
sculp-
ture
comp
osée
d’un
tétraèdre
p
osé
sur
un
cub
e
de
6
mètres
d’arête.
Ces
deux
solides
son
t
représen
tés
par
le
cub
e
AB
C
D
D
E
F
GH
et
par
le
tétraè-
dre
S
E
LM
ci-dessous.
On
m
unit
l’espace
du
rep
ère
or-
thonormé
A
;
−
→
AI
;
−
→
AJ
;
−
−
→
AK
tel
que
:
I
∈
[
AB
]
,
J
∈
[
AD
]
,
K
∈
[
AE
]
et
AI
=
AJ
=
AK
=
1
,
l’unité
graphique
représen
tan
t
1
mètre.
Les
p
oin
ts
L
,
M
et
S
son
t
définis
de
la
façon
suiv
an
te
:
L
est
le
p
oin
t
tel
que
:
−
→
F
L
=
2
3
·
−
−
→
F
E
M
est
le
p
oin
t
d’in
tersection
du
plan
(
B
D
L
)
et
de
la
droite
(
E
H
)
;
S
est
le
p
oin
t
d’in
tersection
des
droites
(
B
L
)
et
(
AK
)
.
1
Démon
trer,
sans
calcul
de
co
ordonnées,
que
les
droites
(
LM
)
et
(
B
D
)
son
t
parallèles.
2
Démon
trer
que
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
L
son
t
2
;
0
;
6
3
a
Donner
une
représen
tation
paramétrique
de
la
droite
(
B
L
)
.
b
Vérifier
que
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
S
son
t
(
0
;
0
.
4
Soit
−
→
n
le
v
ecteur
de
co
ordonnées
3
;
3
;
2
.
a
Vérifier
que
−
→
n
est
normal
au
plan
(
B
D
L
)
.
b
Démon
trer
qu’une
équation
cartésienne
du
plan
(
B
D
L
)
est
:
3
x
+
3
y
+
2
z
−
18
=
0
c
On
admet
que
la
droite
(
E
H
)
a
p
our
représen
tation
paramétrique
:
x
=
0
y
=
s
(
s
∈
R
)
z
=
6
Calculer
les
co
ordonnées
du
p
oin
t
M
.
5
Calculer
le
v
olume
du
tétraèdre
S
E
LM
.
On
rapp
elle
que
le
v
olume
V
d’un
tétraèdre
est
donné
par
la
form
ule
suiv
an
te
:
V
=
1
3
×
Aire
de
la
base
×
Hauteur
6
L’artiste
souhaite
que
la
mesure
de
l’angle
S
LE
soit
com-
prise
en
tre
55
o
et
60
o
.
Cette
con
train
te
d’angle
est-elle
resp
ectée?
h
ttps:/
/c
hingmath.fr
(
C
D
I
J
M
P
(
AB
M
sacados/8141
Antilles-Guyane Juin 2018 5 points
A
B
C
D
E
F
G
H
L
S
M
I
J
K
ChingMath
by ChingLab
©
Collège
Sixième
Cinquième
Quatrième
Troisième
Lycée
Seconde
Première Spé.
Terminale Spé.
Term. opt. Complémentaire
Term. opt. Experte
Divers
Me contacter
F.A.Q
Autres sites
ChingWeb