Terminale Spécialité / Annales exponentielles, logarithmes, intégrales 14 exercices (dont 13 corrigés)

a
1. Fonctions exponentielles E.5844 Soit f la fonction dérivable et définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = e x + 1 x 1 Étude d’une fonction auxiliaire : a Soit la fonction g dérivable, définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x 2 · e x − 1 Étudier le sens de variation de la fonction g . b Démontrer qu’il existe un unique réel a appartenant à 0 ; + ∞ tel que g ( a )=0 . Démontrer que a appartient à l’intervalle 0 ; 703 ; 0 ; 704 . c Déterminer le signe de g ( x ) sur 0 ; + ∞ . 2 Étude de la fonction f : a Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en + ∞ . b On note f la fonction dérivée de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Démontrer que pour tout réel strictement positif : f ( x ) = g ( x ) x 2 c En déduire le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variations sur l’intervalle 0 ; + ∞ . d Démontrer que la fonction f admet pour minimum le nombre réel: m = 1 a 2 + 1 a e Justifier que : 3 ; 43 <m< 3 ; 45 . E.5850 On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par : f ( x ) = e x ; g ( x ) = 1 − e − x Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement C f et C g sont fournies dans la figure ci-dessous : Partie A Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure ci-dessus. Partie B Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes com-munes. On note D l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe C f au point A d’abscisse a et tangente à la courbe C g au point d’abscisse b . 1 a Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point A . b Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe C g au point B . c En déduire que : b = − a . 2 Démontrer que le réel a est solution de l’équation: 2( x − 1)e x + 1 = 0 Partie C On considère la fonction ’ définie sur R par : ’ ( x ) = 2( x − 1)e x + 1 1 a Calculer les limites de la fonction ’ en −∞ et + ∞ . b Calculer la dérivée de la fonction ’ , puis étudier son signe. c Dresser le tableau de variations de la fonction ’ sur R . Préciser la valeur de ’ (0) . 2 a Démontrer que l’équation ’ ( x )=0 admet exacte-ment deux solutions dans R . b On note ¸ la solution négative de l’équation ’ ( x )=0 et ˛ la solution positive de cette équation. À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de ¸ et ˛ arrondies au centième. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5844 sacados/5844 chapExoCorrec/5850 sacados/5850 xxyy-5-4-3-2-12345I-3-2-12345JOCfCg
Partie D Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B . On note E le point de la courbe C f d’abscisse ¸ et F le point de la courbe C g d’abscisse − ¸ ( ¸ est le nombre réel défini dans la partie C ) . 1 Démontrer que la droite ( EF ) est tangente à la courbe C f au point E . 2 Démontrer que ( EF ) est tangente à C g au point F . E.6934 Le directeur d’un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. Voici le schéma : Partie A : Modélisation Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe C représen-tant la fonction f définie sur l’intervalle 1 ; 8 par : f ( x ) = a · x + b · e − x où a et b sont deux entiers naturels. La courbe C est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l’unité est le mètre. 1 On souhaite que la tangente à la courbe C en son point d’abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l’entier b . 2 On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre 3 ; 5 et 4 mètres de haut. Déterminer la valeur de l’entier a . Partie B: Un aménagement pour les visiteurs On admet dans la suite que la fonction f introduite dans la partie A est définie pour tout réel x ∈ 1 ; 8 par : f ( x ) = 10 · x · e − x Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d’exercice. Sur le devis qu’il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint. 1 Soit g la fonction définie sur 1 ; 8 par : g ( x ) = 10 · − x − 1 · e − x Déterminer la fonction dérivée de la fonction g . 2 Quel est le montant du devis de l’artiste? Partie C : une contrainte à vérifier Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. On considère un point M de la courbe C , d’abscisse différent de 1 . On appelle ¸ l’angle aigu formé par la tangente en M à C à l’axe des abscisses. La figure suivante illustre la situation. Les contraintes imposent que l’angle ¸ soit inférieur à 55 de-grés. 1 On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle 1 ; 8 . On admet que, pour tout x de l’intervalle 1 ; 8 : f ( x )=10 · 1 − x · e − x Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle 1 ; 8 . 2 Soit x un réel de l’intervalle 1 ; 8 et soit M le point d’abscisse x de la courbe C . Justifier que : tan ¸ = ⏐ ⏐ f ( x ) ⏐ ⏐ 3 Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées? https://chingmath.fr chapExoCorrec/6934 sacados/6934 2345678I2345JO MPL¸
E.3121 Partie A : Étude d’une fonc-tion auxiliaire : La fonction d est définie sur − 1 ; + ∞ par : d ( x ) = e x x +1 1 Calculer la fonction dérivée d . En déduire les variations de d . 2 Déterminer les limites de d en − 1 et en + ∞ . 3 Montrer que, pour tout x> − 1 : 0 <d ( x ) <e Partie B: étude de la fonction f Dans cette partie, on s’intéresse à la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; + ∞ par : f ( x ) = x + 1 − e x x +1 On appelle ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé, l’unité graphique étant 5 cm . On désigne par f et f  les dérivées première et seconde de f . 1 a Pour x ∈ − 1 ; + ∞ , calculer f ( x ) et f  ( x ) . Vérifier que : f  ( x ) = 2 x + 1 ( x + 1) 4 · e x x +1 En déduire le sens de variations de f . b Dresser le tableau de variations de f . On admettra que lim x ↦→− 1 f ( x )= lim x ↦→ + ∞ f ( x )=1 2 a Démontrer que l’équation f ( x )=0 admet sur l’intervalle − 1 ; + ∞ deux solutions dont l’une est 0. Dans la suite du problème, on notera ¸ la solution non-nulle. b Donner une valeur approchée de ¸ au centième près. 3 a Étudier les variations de f . b Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. c Dresser le tableau de variations de f . Partie C : Prolongement de la fonction f en − 1 : On considère la fonction g définie sur − 1 ; + ∞ par : g ( − 1) = 0 g ( x ) = f ( x ) pour tout x> − 1 On appelle C la courbe représentative de la fonction g dans le repère de la partie B . 1 a Montrer que l’on peut écrire: g ( x ) − g ( − 1) x − ( − 1) = 1 − 1 x · x x + 1 · e x x +1 b Pour x ∈ − 1 ; + ∞ , déterminer la limite lorsque x tend vers − 1 de x x +1 puis de x x +1 · e x x +1 . c En déduire que g est dérivable en − 1 et préciser son nombre dérivé g ( − 1) . 2 Construire ( D ) et ( C ) . Préciser les tangentes à C aux points d’abscisses − 1 , ¸ , 0 . E.5855 Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x · e 1 − x 1 Vérifier que pour tout réel x : f ( x ) = e × x e x 2 Déterminer la limite de la fonction f en −∞ . 3 Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . Interpréter graphiquement cette limite. 4 Déterminer la dérivée de la fonction f . 5 Étudier les variations de la fonction f sur R , puis dresser le tableau de variation. Partie B Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions g n et h n définies sur R par : g n ( x ) = 1 + x + x 2 + · · · + x n h n ( x ) = 1 + 2 x + · · · + n · x n − 1 1 Vérifier que, pour tout réel x : (1 − x ) · g n ( x ) = 1 − x n +1 On obtient alors pour tout réel x =1 : g n ( x ) = 1 − x n +1 1 − x 2 Comparer les fonctions h n et g n , g n étant la dérivée de la fonction g n . En déduire, que pour tout réel x =1 : h n ( x ) = n · x n +1 − n + 1 · x n + 1 1 − x 2 3 Soit S n = f (1)+ f (2)+ ··· + f ( n ) , f étant la fonction définie dans la partie A . En utilisant les résultats de la partie B , déterminer une expression de S n , puis sa limite quand n tend vers + ∞ . 2. Exponentielles et suites E.3158 Le plan est rapporté à un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j . Soit la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = e − x cos(4 x ) et Γ sa courbe représentative tracée dans le repère O ; −→ i ; −→ j : On considère également la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3121 sacados/3121 chapExoCorrec/5855 sacados/5855 chapExoCorrec/3158 sacados/3158 234I-1JO
g ( x ) = e − x et on nomme C sa courbe représentative dans le repère O ; −→ i ; −→ j . 1 a Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ : − e − x f ( x ) e − x b En déduire la limite de f en + ∞ . 2 Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γ et C . 3 On définit la suite u n sur N par : u n = f n · ı 2 . a Montrer que la suite u n est une suite géométrique. En préciser la raison. b En déduire le sens de variation de la suite u n et étudier sa convergence. 4 a Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ : f ( x ) = − e − x · cos(4 x ) + 4 · sin(4 x ) b En déduire que les courbes Γ et C ont même tangente en chacun de leurs points communs. 5 Donner une valeur approchée à 10 − 1 près par excès du coefficient directeur de la droite T tangente à la courbe Γ au point d’abscisse ı 2 . Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant T et C . 3. Fonctions logarithmiques E.3179 1 Restitution organisée des connaissances Pré-requis: La fonction logarithme népérien est dériv-able sur l’intervalle 0 ; + ∞ [ ; Sa fonction dérivée est la fonction inverse : x ↦−→ 1 x . ln(1) = 0 Démontrer que pour tous réels strictement positifs ¸ et x : ln( ¸ · x ) = ln( ¸ ) + ln( x ) 2 Utiliser le résultat précédent pour démontrer que : ln 1 a = − ln( a ) ; ln a b = ln( a ) − ln( b ) . pour tous réels strictement positifs a et b . 3 On donne : 0 ; 69 ln2 0 ; 70 et 1 ; 09 ln3 1 ; 10 . En déduire des encadrements de : ln 6 ; ln 1 6 ; ln 3 8 E.3898 Partie A Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x )= x − x · ln x 1 Déterminer les limites de la fonction g en 0 et + ∞ . 2 Montrer que g est dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ et que : g ( x ) = − ln x 3 Dresser le tableau de variations de la fonction g . Partie B Soit u n la suite définie pour tout n ∈ N ∗ par : u n = e n n n 1 Conjecturer, à l’aide de la calculatrice: a le sens de variation de la suite u n ; b la limite éventuelle de la suite u n . 2 Soit v n la suite définie pour tout n ∈ N ∗ par : v n = ln u n . a Montrer que : v n = n − n · ln n . b En utilisant la partie A , déterminer le sens de variation de la suite v n . c En déduire le sens de variation de la suite u n . 3 Montrer que la suite u n est bornée. 4 Montrer que la suite u n est convergente et déterminer sa limite. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3179 sacados/3179 Antilles-Guyane Juin 2006 3 points chapExoCorrec/3898 sacados/3898 Antilles Guyane Juin 2010 6 points
E.5433 On considère l’équation ( E ) d’inconnue x réelle: e x = 3 x 2 + x 3 Partie A : conjecture graphique Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f définie sur R par f ( x )=3 · x 2 + x 3 telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal. À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de so-lutions de l’équation ( E ) et leur encadrement par deux entiers consécutifs. Partie B: étude de la validité de la conjecture graphique 1 a Étudier selon les valeurs de x , le signe de x 2 + x 3 . b En déduire que l’équation ( E ) n’a pas de solution sur l’intervalle −∞ ; − 1 . c Vérifier que 0 n’est pas solution de ( E ) . 2 On considère la fonction h , définie pour tout nombre réel de − 1 ; 0 ∪ 0 ; + ∞ par : h ( x ) = ln 3 + ln x 2 + ln(1+ x ) − x Montrer que, sur − 1 ; 0 ∪ 0 ; + ∞ , l’équation ( E ) équiv-aut à h ( x )=0 . 3 a Pour tout réel x appartenant à − 1 ; 0 ∪ 0 ; + ∞ , montrer qu’on a: h ( x ) = − x 2 + 2 x + 2 x ( x + 1) b Déterminer les variations de la fonction h . c Déterminer le nombre de solutions de l’équation: h ( x ) = 0 et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution. d Conclure quant à la conjecture de la partie A . E.5151 Partie A - Étude du signe d’une fonction On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x 2 + 4 · ln x 1 Déterminer le tableau de variations de la fonction f en précisant les limites de f en 0 et en + ∞ . 2 Démontrer que l’équation f ( x )=0 admet une solution ¸ et une seule dans l’intervalle 0 ; + ∞ . 3 En déduire le signe de f ( x ) selon les valeurs du réel strictement positif x . Partie B - Une valeur approchée du réel ¸ définie dans la partie A Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative de ( C ) de la fonction g définie sur R par : g ( x ) = e − 1 4 x 2 On a défini la suite u n par : u 0 =0 ; 5 ; u n +1 = g ( u n ) pour tout n ∈ N . 1 Vérifier que ¸ est l’unique solution de l’équation: g ( x ) = x . 2 Au moyen de la courbe ( C ) et de la droite d’équation y = x , représenter les termes u 1 , u 2 et u 3 de la suite u n sur l’axe des abscisses. Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite u n ? 3 On admet que pour tout entier naturel n : u 2 n a u 2 n +1 . En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit en-tier n pour lequel les trois premières décimales de u n et u n +1 sont identiques. En déduire que 0 ; 838 est une valeur approchée de ¸ à 10 − 3 près. Partie C - Un problème de distance On appelle (Γ) la courbe représentative, dans un repère or-thonormé, de la fonction ’ définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : ’ ( x ) = 2 ln x L’objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe (Γ) , il y en a un et un seul qui est plus proche de l’origine O que tous les autres. 1 Soient M un point de la courbe (Γ) et x son abscisse. Exprimer OM en fonction de x . 2 a Soit h la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : h ( x )= x 2 +4 · ln x 2 Étudier les variations de la fonction h . On pourra utiliser la partie A . b En déduire qu’il existe un unique point A de la courbe Γ tel que pour tout point M de Γ , distinct de A , on a OM >OA . 3 Démontrer que la droite ( OA ) est perpendiculaire à la tangente T à la courbe (Γ) au point A . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5433 sacados/5433 -6-5-4-3-2-12I-2-1234JO chapExoCorrec/5151 sacados/5151 -0.4-0.20.20.40.60.81.21.41.6I-0.20.20.40.60.81.2JO
4. Exponentielles et logarithme E.3965 1 On considère la fonction f 1 définie sur 0 ; + ∞ par : f 1 ( x ) = 2 · x − 2 + ln x 2 +1 a Déterminer la limite de f 1 en + ∞ . b Déterminer la dérivée de f 1 . c Dresser le tableau de variations de f 1 . 2 Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonc-tion f n , définie sur 0 ; + ∞ par : f n ( x ) = 2 · x − 2 + ln x 2 +1 n a Déterminer la limite de f n en + ∞ . b Démontrer que la fonction f n est strictement croissante sur 0 ; + ∞ . c Démontrer que l’équation f n ( x )=0 admet une unique solution ¸ n sur 0 ; + ∞ . d Justifier que, pour tout entier naturel non nul n : 0 <¸ n < 1 3 Montrer que pour tout entier naturel non nul n : f n ¸ n +1 > 0 4 Étude de la suite ¸ n : a Montrer que la suite ¸ n est croissante. b En déduire qu’elle est convergente. c Utiliser l’expression ¸ n =1 − ln ¸ 2 n +1 2 · n pour déter-miner la limite de cette suite. 5. Un peu plus loin E.3266 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 1 + e − x − 2e − 2 x et C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j . (unités graphiques: 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées) 1 a Soit le polynôme P défini sur R par : P ( X ) = 1 + X − 2 X 2 . Étudier le signe de P ( X ) . b En déduire le signe de f ( x ) sur R . c Que peut-on en déduire pour la courbe C ? 2 Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . Qu’en déduire pour la courbe C ? 3 Vérifier que f ( x )=e − 2 x · e 2 x +e x − 2 , puis déterminer la limite de f en −∞ . 4 a Soit f la fonction dérivée de la fonction f , calculer f ( x ) . b Montrer que f ( x ) a le signe que (4 − e x ) , puis étudier le signe de f ( x ) . c Dresser le tableau de variations de f . On montrera que le maximum est un nombre rationnel. 5 a Démontrer que la courbe C et la droite D d’équation y =1 n’ont qu’un point d’intersection A dont on déter-minera les coordonnées. b Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D . 6 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A . 7 Tracer les droites D et T , puis la courbe C . 6. Exercices non-classés E.3255 Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x + ln x On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère orthog-onal O ; −→ i ; −→ j du plan. 1 a Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition. b Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 a Montrer que, pour tout entier naturel n , l’équation f ( x )= n admet une unique solution dans 0 ; + ∞ . On note ¸ n cette solution. On a donc : pour tout entier naturel n , ¸ n +ln ¸ n = n b Ci-dessous, on a tracé Γ dans le repère O ; −→ i ; −→ j . Placer les nombres ¸ 0 , ¸ 1 , ¸ 2 , ¸ 3 , ¸ 4 et ¸ 5 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de con-struction. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3965 sacados/3965 Amerique du Sud Novembre 2007 6 points chapExoCorrec/3266 sacados/3266 chapExoCorrec/3255 sacados/3255
c Préciser la valeur de ¸ 1 . d Démontrer que la suite ( ¸ n ) est strictement croissante. 3 a Déterminer une équation de la tangente Δ à la courbe Γ au point d’abscisse 1. b Étudier les variations de la fonction h définie sur 0 ; + ∞ par : h ( x ) = ln x − x + 1 En déduire la position de la courbe Γ par rapport à Δ . c Tracer Δ sur le graphique ci-dessus. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : n + 1 2 ¸ n . 4 Déterminer la limite de la suite ( ¸ n ) . Partie B On considère une fonction g continue, strictement croissante sur 0 ; + ∞ et telle que : lim x ↦→ 0 g ( x ) = −∞ et lim x ↦→ + ∞ g ( x ) = + ∞ . On admet que l’on peut, comme on l’a fait dans la partie A , définir sur N une suite ( ˛ n ) de réels tels que g ( ˛ n )= n , et que cette suite est strictement croissante. 1 Démonstration de cours : Prérequis : définition d’une suite tendant vers + ∞ . ˇUne suite tend vers + ∞ si, pour tout réel A , tous les ter-mes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A ı Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers + ∞ 2 Montrer que la suite ( ˛ n ) tend vers + ∞ . E.8142 Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt : Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = e − x · − cos x + sin x + 1 et g ( x ) = − e − x cos x . On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur R . Partie A - Étude de la fonction f . 1 Justifier que, pour tout x ∈ R : − e − x f ( x ) 3 e − x . 2 En déduire la limite de f en + ∞ . 3 Démontrer que, pour tout x ∈ R : f ( x ) = e − x 2 cos x − 1 où f est la fonction dérivée de f . 4 Dans cette question, on étudie la fonction f sur l’intervalle − ı ; ı . a Déterminer le signe de f ( x ) pour x appartenant à l’intervalle − ı ; ı . b En déduire les variations de f sur − ı ; ı . Partie B - Aire du logo. On note C f et C g les représentations graphiques des fonc-tions f et g dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . L’unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées ci-dessous : 1 Étudier la position relative de la courbe C f par rapport à la courbe C g sur R . 2 Soit H la fonction définie sur R par : H ( x ) = − cos x 2 − sin x 2 − 1 · e − x On admet que H est une primitive de la fonction x ↦−→ sin x +1 · e − x sur R . On note D le domaine délimité par la courbe C f , la courbe C g est les droites d’équation x = − ı 2 et x = 3 ı 2 . a Hachurer le domaine D sur le graphique ci-dessus. b Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine D , puis en donner une valeur approchée à 10 − 2 près en cm 2 . https://chingmath.fr 234567I-2-123456JO sacados/8142 Antilles-guyanes Juin 2018 5 points CfCg-2-1012345-2-1123ij