Terminale Spécialité / Annales sur l'intégration 29 exercices (100% corrigés)

a
Temps (en jours)020406080100120140160180200220Hauteur (en mètres)0.20.40.60.811.21.41.61.822.2 IJOCf ijC1d1 ijC2d2 ijC3d3 1. Aires et études de fonctions E.5429 Partie 1 On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissance par une fonction lo-gistique du type : h ( t ) = a 1 + b · e − 0 , 04 t où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h ( t ) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu’initialement, pour t =0 , le plan mesure 0 ; 1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m . Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corre-sponde à la croissance du plant de maïs étudié. Partie 2 On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur 0 ; 250 par : f ( t ) = 2 1 + 19 · e − 0 , 04 t 1 Déterminer f ( t ) en fonction de t ( f désignant la fonc-tion dérivée de la fonction f ) . En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 250 . 2 Déterminer le nombre de jours nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1 ; 5 m . 3 a Vérifier que pour tout réel t appartenant à l’intervalle 0 ; 250 , on a: f ( t ) = 2e 0 , 04 t e 0 , 04 t + 19 . Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle 0 ; 250 par F ( t )=50 · ln e 0 , 04 t +19 est une primitive de la fonction f . b Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle 50 ; 100 . En donner une valeur approchée à 10 − 2 près et inter-préter ce résultat. 4 On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction f . La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t . En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur de celle-ci, arrondie au millimètre près. Estimer alors la hauteur du plant. E.6009 Soit f la fonction définie et dériv-able sur R . On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Partie A Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C 1 , C 2 , C 3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0 . 1 Donner par lecture graphique, le signe de f ( x ) selon les valeurs de x . 2 On désigne par F une primitive de la fonction f sur R . a À l’aide de la courbe C , déterminer F (0) et F ( − 2) . b L’une des courbes C 1 , C 2 , C 3 est la courbe représenta-tive de la fonction F . Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres. Partie B Dans cette partie, on admet que la fonction f évoquée dans la partie A est la fonction définie sur R par : f ( x ) = ( x + 2) · e 1 2 x 1 L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum. a Démontrer que pour tout réel x : f ( x ) = 1 2 · x + 4 · e 1 2 x b En déduire une validation de la conjecture précédente. 2 On pose : I = 1 0 f ( x ) d x . a Interpréter géométriquement le réel I . b Soient u et v les fonctions définies sur R par : u ( x ) = x ; v ( x ) = e 1 2 · x Vérifier que : f = 2 · u · v + u · v . c En déduire la valeur exacte de l’intégrale I . 3 On donne la fonction f de l’algorithme ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5429 sacados/5429 Temps (en jours)020406080100120140160180200220Hauteur (en mètres)0.20.40.60.811.21.41.61.822.2 chapExoCorrec/6009 sacados/6009 IJOCf ijC1d1 ijC2d2 ijC3d3
IJOC ijABC Fonction f(n) s ← 0 Pour k allant de 0 à n − 1 s ← s+ 1 n · f k n Fin de boucle Renvoyer s On note s n le nombre renvoyé par la fonction f lorsqu’elle est appelée avec l’entier n strictement positif. a Justifier que s 3 représente l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur. b Que dire de la valeur renvoyée par la fonction f lorsque la valeur passée en argument n , lors de l’appel, devient grand? E.6409 Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j , la courbe représentative C d’une fonction f définie et dériv-able sur l’intervalle 0 ; + ∞ . On dispose des informations suivantes : les points A , B , C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0) , (1 ; 2) , (0 ; 2) ; la courbe C passe par le point B et la droite ( BC ) est tangente à C en B ; il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x : f ( x )= a + b · ln x x 1 a En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f (1) . b Vérifier que pour tout réel strictement positif x : f ( x ) = ( b − a ) − b · ln x x 2 c En déduire les réels a et b . 2 a Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ , f ( x ) a le même signe que − ln x . b Déterminer les limites de f en 0 et en + ∞ . On pourra remarquer que pour tout réel x strictement positif : f ( x ) = 2 x + 2 · ln x x c En déduire le tableau de variations de la fonction f . 3 a Démontrer que l’équation f ( x )=1 admet une unique solution ¸ sur l’intervalle 0 ; 1 . b Par un raisonnement analogue, on démontre qu’il ex-iste un unique réel ˛ de l’intervalle 1 ; + ∞ tel que : f ( ˛ )=1 . Déterminer l’entier n tel que : n<˛ <n +1 4 On donne l’algorithme ci-dessous : a ← 0 b ← 1 Tant que b − a>0;1 m ← 1 2 · a + b Si f(m)<1 Alors a ← m Sinon b ← m Fin de Si Fin de Tant que a Exécuter pas à pas cet algorithme et compléter dans le tableau ci-dessous les valeurs prises successivement par les variables a , b et m . Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4 Étape 5 a 0 b 1 b − a m b Que représentent les valeurs des variables a et b lors de la fin de l’exécution de cet algorithme? c Modifier l’algorithme ci-dessous pour que les valeurs a et b en fin d’exécution de l’algorithme soient les deux bornes d’un encadrement de ˛ d’amplitude 10 − 1 . 5 Le but de cette question est de démontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en deux domaines d’aires égales. a Justifier que cela revient à démontrer que : 1 1 e f ( x ) d x = 1 b En remarquant que l’expression de f ( x ) peut s’écrire 2 x +2 × 1 x × ln x , terminer la démonstration. 2. Aires, études de fonctions et suites https://chingmath.fr IJOC chapExoCorrec/6409 sacados/6409 ijABC
E.3257 Partie A - Étude préliminaire d’une fonction f définie sur R par ’ ( x )=(2 − x )e x − 1 . 1 Déterminer les limites de la fonction ’ en −∞ et + ∞ . 2 Montrer que la fonction ’ est continue et dérivable sur R et étudier le signe de sa dérivée. En déduire les variations de la fonction ’ et préciser les valeurs de ’ ( − 2) , ’ (0) , ’ (1) et ’ (2) . 3 Prouver que la fonction ’ s’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommera ¸ et ˛ . On prendra ¸<˛ . Étudier alors le signe de la fonction ’ sur l’ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau. 4 À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10 − 2 des valeurs ¸ et ˛ . 5 Montrer que : e α = 1 2 − ¸ Partie B - Étude d’une fonction f définie par f ( x )= e x − 1 e x − x et calcul intégral. 1 Montrer que e x − x ne s’annule pas sur R . En déduire que f est définie sur R . 2 Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et + ∞ . 3 Calculer la dérivée f de la fonction f puis, à l’aide des résultats de la partie A , construire le tableau des varia-tions de f . 4 Montrer que f ( ¸ )= 1 ¸ − 1 , le nombre ¸ étant la plus pe-tite des deux valeurs pour lesquelles la fonction ’ de la partie A s’annule. 5 Déterminer une primitive de la fonction f sur R . Donner une valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 0 ; 01 près de l’intégrale: 1 0 e x − 1 e x − x dx Partie C - Étude de deux suites. 1 Préciser l’ensemble de définition D g de la fonction g définie sur cet ensemble par g ( x )=ln 1 2 − x où ln désigne la fonction logarithme népérien. Prouver que la fonction g est croissante sur son ensem-ble de définition et que l’image par g de l’intervalle I =[ − 2 ; 0] est incluse dans cet intervalle. 2 a Soit la suite ( u n ) définie pour tout entier naturel n par : u 0 = − 2 u n +1 = g ( u n ) Montrer que u 1 appartient à l’intervalle I =[ − 2 ; 0] . Prouver par récurrence, à l’aide des variations de la fonction g , que la suite ( u n ) a tous ses termes dans l’intervalle I et est croissante. b On considère la suite ( v n ) définie pour tout entier na-turel n par : v 0 = 0 v n +1 = g ( v n ) Calculer le terme v 1 et montrer que : − 2 u 1 v 1 v 0 0 . Établir par récurrence, à l’aide de la croissance de la fonction g sur l’intervalle [ − 2 ; 0] , que pour tout entier naturel n strictement positif, on a: − 2 u n v n v n − 1 0 Préciser le sens de variation de la suite ( v n ) . 3 a Soit m la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : m ( x ) = x − ln(1+ x ) Montrer que m est croissante et calculer m (0) . En dé-duire que, pour tout x positif, on a: ln(1+ x ) x b Vérifier que, pour tout entier n : v n +1 − u n +1 = ln 1+ v n − u n 2 − v n . En déduire que : v n +1 − u n +1 v n − u n 2 − v n Sachant que, pour tout entier n , les termes de la suite ( v n ) appartiennent à l’intervalle − 2 ; 0 , donner un en-cadrement de 1 2 − v n et établir que : v n +1 − u n +1 1 2 v n − u n Prouver alors que, pour tout entier naturel n , v n − u n 1 2 n v 0 − u 0 Que peut-on en déduire pour la suite de terme général v n − u n et pour les suites ( u n ) et ( v n ) ? 4 Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10 − 4 de u 10 et v 10 . 3. Aire entre deux courbes E.6046 Partie A f est une fonction définie et dérivable sur R . f est la fonction dérivée de la fonction f . Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on nomme C 1 la courbe représentative de la fonction f et C 2 la courbe représentative de la fonction f . Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe C 1 . Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe C 2 . 1 Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative C 1 de la fonction f . Sur l’une d’entre elles, la courbe C 2 de la fonction dérivée f est tracé conven-ablement. Laquelle? Expliquer le choix effectué. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3257 sacados/3257 Antilles chapExoCorrec/6046 sacados/6046
xxyy-2024-2246810C1C2Situation 1 xxyy-2024-2246810C1C2Situation 2 xxyy-2024-2246810C1C2Situation 3 ijDEGFC1 2 Déterminer l’équation réduite de la droite Δ tangente à la courbe C 1 en A . 3 On sait que pour tout réel x , f ( x )=e − x + ax + b où a et b sont deux nombres réels. a Déterminer la valeur de b en utilisant les renseigne-ments donnés par l’énoncé. b Prouver que a =2 . 4 Étudier les variations de la fonction f sur R . 5 Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . Partie B Soit g la fonction définie sur R par : g ( x )= f ( x ) − ( x +2) . 1 a Montrer que la fonction g admet 0 comme minimum sur R . b En déduire la position de la courbe C 1 par rapport à la droite Δ La figure 2 ci-dessous représente le logo d’une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s’est servi de la courbe C 1 et de la droite Δ , comme l’indique la figure 3 ci-dessous. Afin d’estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l’aire de la partie colorée en gris. Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où : D est le point de coordonnées ( − 2 ; 0) , E est le point de coordonnées (2 ; 0) , F est le point d’abscisse 2 de la courbe C 1 , G est le point d’abscisse − 2 de la courbe C 2 . La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite Δ , la courbe C 1 , la droite d’équation x = − 2 et la droite d’équation x =2 . 2 Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du logo col-orée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 − 2 du résultat) . E.6257 Soient f et g les fonctions définies sur R par : f ( x ) = e x ; g ( x ) = 2 · e x 2 − 1 On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal. 1 Démontrer que les courbes C f et C g ont un point com-mun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente Δ dont on déterminera une équation. 2 Étude de la position relative de la courbe C g et de la droite Δ . Soit h la fonction définie sur R par : h ( x )=2 · e x 2 − x − 2 a Déterminer la limite de la fonction h en −∞ . b Justifier que, pour tout réel x non-nul : h ( x ) = x · e x 2 x 2 − 1 − 2 x . En déduire la limite de la fonction h en + ∞ . c On note h la fonction dérivée de la fonction h sur R . Pour tout réel x , calculer h ( x ) et étudier le signe de h ( x ) suivant les valeurs de x . d Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R . e En déduire que, pour tout réel x : 2 · e x 2 − 1 x − 1 f Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe C g et de la droite Δ ? 3 Étude de la position relative des courbes C f et C g . a Pour tout réel x , développer l’expression e x 2 − 1 2 . b Déterminer la position relative des courbes C f et C g . 4 Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes C f et C g et les droites d’équations respectives x =0 et x =1 . https://chingmath.fr xxyy-2024-2246810C1C2Situation 1 xxyy-2024-2246810C1C2Situation 2 xxyy-2024-2246810C1C2Situation 3 ijDEGFC1 chapExoCorrec/6257 sacados/6257
-123456I-1-0.50.51.5JO E.3268 Partie A : étude d’une fonc-tion auxiliaire Soit ’ la fonction définie sur R par : ’ ( x ) = x 2 + x + 1 · e − x − 1 1 a Déterminer les limites de ’ en −∞ et en + ∞ . b Étudier le sens de variations de ’ puis dresser son tableau de variations sur R . 2 Démontrer que l’équation ’ ( x )=0 admet deux solutions dans R , dont l’une dans l’intervalle 1 ; + ∞ , qui sera notée ¸ . Déterminer un encadrement d’amplitude 10 − 2 de ¸ . 3 En déduire le signe de ’ ( x ) sur R et le présenter dans un tableau. Partie B: étude de la position relative de deux courbes et calcul d’aire Sur la feuille annexe sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions f et g . Les fonctions f et g sont définies sur R par : f ( x ) = (2 x + 1) · e − x ; g ( x ) = 2 x + 1 x 2 + x + 1 Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j sont notées C f et C g . 1 a Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente. b Démontrer que, pour tout nombre réel x : f ( x ) − g ( x ) = (2 x + 1) · ’ ( x ) x 2 + x + 1 où ’ est la fonction étudiée dans la partie A . c à l’aide d’un tableau, étudier le signe de f ( x ) − g ( x ) sur R . d En déduire la position relative des courbes C f et C g . 2 a Montrer que la fonction h définie sur R par : h ( x ) = ( − 2 x − 3) · e − x − ln x 2 + x + 1 est une primitive sur R de la fonction x ↦→ f ( x ) − g ( x ) . b En déduire l’aire A , exprimée en unités d’aire, de la partie du plan délimitée par les deux courbes C f et C g et les droites d’équations x = − 1 2 et x =0 . Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10 − 4 de cette aire. E.3168 Partie A On considère les fonctions f et g définies sur R par : f ( x ) = e − x 2 ; g ( x ) = x 2 e − x 2 On note respectivement C f et C g les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j , dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera com-plétée et rendue avec la copie. 1 Identifier C f et C g sur la figure fournie. (Justifier la réponse apportée) . 2 Étudier la parité des fonctions f et g ( hors programme ) . 3 Étudier le sens de variation de f et g . Étudier les limites éventuelles de f et de g en + ∞ . 4 Étudier la position relative de C f et C g . Partie B On considère la fonction G définie sur R par : G ( x ) = x 0 t 2 e − t 2 d t 1 Que représente G pour la fonction g ? 2 Donner, pour x> 0 , une interprétation de G ( x ) en termes d’aires. 3 Étudier le sens de variations de G sur R . On définit la fonction F sur R par : F ( x ) = x 0 e − t 2 d t pour tout réel x 4 Démontrer que : G ( x ) = 1 2 F ( x ) − x e − x 2 pour tout réel x (on pourra commencer par comparer les fonctions dérivées de G et de x ↦−→ 1 2 F ( x ) − x e − x 2 ) . On admet que la fonction F admet une limite finie ‘ en + ∞ , et que cette limite ‘ est égale à l’aire, en unités d’aire, du do-maine A limité par la courbe C f et les demi-droites O ; −→ i et O ; −→ j . 5 a Démontrer que la fonction G admet une limite en + ∞ que l’on précisera. b Interpréter en termes d’aires le réel: N = 1 0 1 − t 2 e − t 2 d t . c En admettant que la limite de G en + ∞ représente l’aire P en unités d’aire du domaine D limité par la demi-droite O ; −→ i et la courbe C g , justifier graphiquement que : 1 0 1 − t 2 e − t 2 d t ‘ 2 (on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3268 sacados/3268 -123456I-1-0.50.51.5JO chapExoCorrec/3168 sacados/3168
-3-2-123IJO AABB00.20.40.60.80.511.522.53Cf E.4017 Partie A On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x − 1 x + 1 − e − x et l’on désigne par ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité 3 cm . 1 Calculer la limite de f ( x ) lorsque x tend vers + ∞ . Que peut-on en déduire pour la courbe ( C ) ? 2 Calculer f ( x ) , en déduire les variations de f pour x ap-partenant à 0 ; + ∞ . 3 Déterminer une équation de la tangente ( T ) à ( C ) en son point d’abscisse 0 . 4 Montrer que l’équation f ( x )=0 admet une solution unique u . Montrer que u appartient à 1 ; 2 et déter-miner un encadrement d’amplitude 10 − 1 de u . 5 Tracer ( T ) et ( C ) sur la même figure. 6 a Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x =1 : x − 1 x + 1 = a + b x + 1 b En déduire l’aire en cm 2 du domaine plan limité par ( T ) , ( C ) et la droite d’équation x =1 (on admettra que T est au-dessus de ( C ) ) . Partie B n désigne un entier naturel non nul. On considère la fonction f n définie sur 0 ; + ∞ par : f n ( x ) = x − n x + n − e − x 1 Calculer f n ( x ) et donner son signe sur 0 ; + ∞ . Préciser f n (0) et lim n ↦→ + ∞ f n ( x ) . Dresser le tableau de variations de f n . 2 a Calculer f n ( n ) ; quel est son signe? b Démontrer par récurrence que, pour tout n de N : e n +1 > 2 · n + 1 En déduire le signe de f n ( n +1) . c Montrer que l’équation f n ( x )=0 admet une solution unique sur n ; n +1 ; cette solution est notée u n . 3 Calculer lim n ↦→ + ∞ u n , puis lim n ↦→ + ∞ u n n . 4 a En remarquant que, pour tout x de 0 ; + ∞ : x − n x + n = 1 − 2 · n x + n Montrer que la valeur moyenne M n de f n sur 0 ; u n est égale à: 1 − 1 u n + e − n u n − 2 · n u n · ln u n n +1 b En déduire : lim n ↦→ + ∞ M n . E.5241 Soit f la fonction définie sur 0 ; 1 par : f ( x ) = x · e x On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j . Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle 0 ; 1 . Sur la courbe C , tracée ci-dessus, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1 . On a tracé les segments [ OA ] et [ AB ] . On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [ OA ] et [ AB ] et la courbe C . On a placé les points : A ( a ; 0) ; B (1 ; 0) . Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachuré en annexe est minimale. Partie A : 1 a Montrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie par : F ( x ) = ( x − 1) · e x b Établir que : 1 0 x · e x d x = 1 2 a Donner l’aire du triangle OAA et montrer que l’aire du trapèze ABB A est égale à: 1 2 · − a 2 · e a + a · e a − a · e + e b En déduire que l’aire de la partie du plan hachurée est égale à: 1 2 · a · e a − a · e + e − 2 Partie B: Soit g la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x · e x − e + e − 2 1 Soit g la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g ( x ) pour tout réel x de 0 ; + ∞ . Vérifier que la fonction dérivée seconde g  est définie sur 0 ; + ∞ par : g  ( x ) = (2 + x ) · e x https://chingmath.fr -3-2-123IJO chapExoCorrec/4017 sacados/4017 chapExoCorrec/5241 sacados/5241 AABB00.20.40.60.80.511.522.53Cf
−∞02∞∞04e−20xVariationdef -3-2-12345I246810121416JO(C 2 En déduire les variations de la fonction g sur 0 ; + ∞ . 3 Établir que l’équation g ( x )=0 admet une solution unique ¸ dans l’intervalle 0 ; + ∞ . Déterminer une valeur approchée de ¸ à 10 − 1 près. 4 En déduire les variations de la fonction g sur 0 ; + ∞ . 5 En utilisant les réponses aux questions des parties A et B , montrer qu’il existe une valeur de a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de a . E.3209 Partie A On donne le tableau de variations d’une fonction f dérivable sur R : On définit la fonction F sur R par : F ( x )= x 2 f ( t ) d t 1 Déterminer les variations de la fonction F sur R . 2 Montrer que : 0 F (3) 4 · e − 2 Partie B La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur R par : f ( x )= x 2 e − x On appelle g la fonction définie sur R par : g ( x )=e − x On désigne par ( C ) et (Γ) les courbes représentant respec-tivement les fonctions f et g dans un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j Les courbes sont tracées en annexe. 1 a Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie A . On ne demande pas de justifier les limites. b Étudier les positions relatives des courbes ( C ) et (Γ) . 2 Soit h la fonction définie sur R par : h ( x )= x 2 − 1 · e − x a Montrer que la fonction H définie sur R par : H ( x ) = − x 2 − 2 x − 1 · e − x est une primitive de la fonction h sur R . b Soit un réel ¸ supérieur ou égal à 1 . On considère la partie du plan limitée par les courbes ( C ) et (Γ) et les droites d’équations x =1 et x = ¸ . Déterminer l’aire A ( ¸ ) , exprimée en unité d’aire, de cette partie du plan. c Déterminer la limite de A ( ¸ ) lorsque ¸ tend vers + ∞ . 3 On admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4e − 2 , la droite d’équation y = m coupe la courbe ( C ) au point P ( x P ; m ) et la courbe (Γ) au point Q ( x Q ; m ) . L’objectif de cette question est de montrer qu’il ex-iste une seule valeur de x P , appartenant à l’intervalle −∞ ; − 1 telle que la distance PQ soit égale à 1. a Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P et Q tels que : x P ∈ −∞ ; − 1 et PQ =1 . b Exprimer la distance PQ en fonction de x p et x Q . Justifier l’égalité: f ( x P )= g ( x Q ) . c Déterminer la valeur de x P telle que : PQ =1 . 4. Avec des fonctions trigonométriques E.6936 Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante Partie A On rappelle que la partie réelle d’un nombre complexe z est noté Re ( z ) . 1 Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe: u =1 − i . 2 Déterminer, pour tout réel „ , la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe e i θ · 1 − i . 3 Déduire des questions précédentes que, pour tout réel „ : cos „ + sin „ = 2 · cos „ − ı 4 Partie B Dans cette partie, on admet que, pour tout réel „ : cos( „ ) + sin( „ ) = 2 · cos „ − ı 4 On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x )=e − x · cos x et g ( x ) = e − x . On définit la fonction h sur 0 ; + ∞ par : h ( x )= g ( x ) − f ( x ) Les représentations graphiques de C f , C g et C h des fonctions f , g et h sont données, ci-dessous, dans un repère orthogonal. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3209 sacados/3209 −∞02∞∞04e−20xVariationdef -3-2-12345I246810121416JO(C chapExoCorrec/6936 sacados/6936
234567I0,20,40,60,8JOCfCgCh ex0x0h2I2345JO 1 Conjecturer : a les limites des fonctions f et g en + ∞ . b la position relative de C f par rapport à C g ; c la valeur de l’abscisse x pour laquelle l’écart entre les deux courbes C f et C g est maximal. 2 Justifier que C g est située au-dessus de C f sur l’intervalle 0 ; + ∞ 3 Démontrer que la droite d’équation y =0 est asymptote horizontale aux courbes C f et C g . 4 a On note h la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle 0 ; + ∞ . Démontrer que, pour tout x de l’intervalle 0 ; + ∞ : h ( x ) = e − x · 2 · cos x − ı 4 − 1 b Justifier que, sur l’intervalle 0 ; ı 2 : 2 · cos x − ı 4 − 1 0 et que, sur l’intervalle ı 2 ; 2 ı : 2 · cos x − ı 4 − 1 0 c En déduire le tableau de variations de la fonction h sur l’intervalle 0 ; 2 ı . 5 On admet que, sur l’intervalle 0 ; + ∞ , la fonction H définie par : H ( x ) = 1 2 · e − x · − 2 + cos( x ) − sin( x ) est une primitive de la fonction h . On note D le domaine du plan délimité par les courbes C f et C g et les droites d’équations x =0 et x =2 ı . Calculer l’aire A du domaine D , exprimée en unités d’aire. 5. Encadrement d’integrales E.3232 On considère la fonction f , définie sur 1 ; + ∞ par : f ( t ) = e t t 1 a Justifier la continuité de f sur 1 ; + ∞ . b Montrer que f est croissante sur 1 ; + ∞ 2 Restitution organisée de connaissances On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel x 0 de [1 ; + ∞ [ , on note A ( x 0 ) l’aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 et x = x 0 . On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur 1 ; + ∞ est une primitive de f . a Que vaut A (1) ? b Soit x 0 un réel quelconque de [1 ; + ∞ [ et h un réel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant : f ( x 0 ) A ( x 0 + h ) − A ( x 0 ) h f ( x 0 + h ) c Lorsque x 0 > 1 , quel encadrement peut-on obtenir pour h< 0 tel que x 0 + h 1 ? d En déduire la dérivabilité en x 0 de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x 0 de la fonction A . e Conclure. 6. Suites et intégrales de familles de fonctions https://chingmath.fr 234567I0,20,40,60,8JOCfCgCh chapExoCorrec/3232 sacados/3232 ex0x0h2I2345JO
011ijDC1C2C3C4C5C15C60 011ijC0C1C2C3 E.6259 Partie A Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par C 1 la courbe représentative de la fonction f 1 définie sur R par : f 1 ( x ) = x + e − x 1 Justifier que C 1 passe par le point A de coordonnées (0 ; 1) . 2 Déterminer le tableau de variations de la fonction f 1 . On précisera les limites de f 1 en + ∞ et en −∞ . Partie B L’objet de cette partie est d’étudier la suite I n définie sur N par : I n = 1 0 x + e − n · x d x 1 Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j , pour tout entier naturel n , on note C n la courbe représen-tative de la fonction f n définie sur R par : f n ( x ) = x + e − n · x Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe C n pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite D d’équation x =1 . a Interpréter géométriquement l’intégrale I n . b En utilisant cette interprétation, formuler une conjec-ture sur le sens de variation de la suite I n et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s’appuie pour conjecturer. 2 Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 . I n +1 − I n = 1 0 e − ( n +1) · x · 1 − e x d x En déduire le signe de I n +1 − I n , puis démontrer que la suite I n est convergente. 3 Déterminer l’expression de I n en fonction de n et déter-miner la limite de la suite I n . E.3838 Soit n un entier naturel. On note f n , la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par : f n ( x ) = e − n · x 1 + e − x On note C n la courbe représentative de f n dans un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j . Les courbes C 0 , C 1 , C 2 et C 3 sont représentées ci-dessous : Partie A : Quelques propriétés des fonctions f n et des courbes C n . 1 Démontrer que pour tout entier naturel n les courbes C n ont un point A en commun. On précisera ses coordon-nées. 2 Étude de la fonction f 0 . a Étudier le sens de variation de f 0 . b Préciser les limites de la fonction f 0 en −∞ et + ∞ . Interpréter graphiquement ces limites. c Dresser le tableau de variations de la fonction f 0 sur R . 3 Étude de la fonction f 1 . a Démontrer que f 0 ( x )= f 1 ( − x ) pour tout nombre réel x . b En déduire les limites de la fonction f 1 en −∞ et + ∞ , ainsi que son sens de variation. c Donner une interprétation géométrique de la question 3 a pour les courbes C 0 et C 1 . 4 Étude de la fonction f n pour n 2 . a Vérifier que pour tout entier naturel n 2 et pour tout nombre réel x , on a: f n ( x ) = 1 e nx + e ( n − 1) x b Étudier les limites de la fonction f n en −∞ et en + ∞ . c Calculer la dérivée f n ( x ) et dresser le tableau de vari-ations de la fonction f n sur R . Partie B: Étude d’une suite liée aux fonctions f n On pose, pour tout entier naturel n : u n = 1 0 f n d x 1 Calculer u 1 puis montrer que u 0 + u 1 =1 . En déduire u 0 . 2 Démontrer que, pour tout entier n : https://chingmath.fr chapExoCorrec/6259 sacados/6259 011ijDC1C2C3C4C5C15C60 chapExoCorrec/3838 sacados/3838 011ijC0C1C2C3
xy00,20,40,60,810,20,40,60,81f1f2f3f50f200 0 u n 1 0 e − nx d x 3 Calculer l’intégrale: 1 0 e − nx d x . En déduire que la suite u n est convergente et préciser sa limite. E.6258 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On note f n la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 par : f n ( x ) = 1 1 + x n Pour tout entier n 1 , on définit le nombre I n par : I n = 1 0 f n ( x ) d x = 1 0 1 1 + x n d x 1 Les représentations graphiques de certaines fonctions f n obtenues à l’aide d’un logiciel sont tracés ci-après. En expliquant soigneusement votre démarche, conjec-turer, pour la suite I n l’existence et la valeur éventuelle de la limite, lorsque n tend vers + ∞ . 2 Calculer la valeur exacte de I 1 . 3 a Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 et pour tout entier naturel n 1 , on a: 1 1 + x n 1 b En déduire que, pour tout entier naturel n 1 , on a I n 1 . 4 Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 et pour tout entier naturel n 1 , on a: 1 − x n 1 1 + x n 5 Calculer l’intégrale: 1 0 1 − x n d x . 6 à l’aide des questions précédentes, démontrer que la suite I n est convergente et déterminer sa limite. 7 On considère la fonction f ci-dessous extraite d’un algo-rithme : Fonction f(n,p) I ← 0 . Pour k allant de 0 à p − 1 x ← k p I ← I+ 1 1+x n × 1 p Fin Pour Renvoyer I a Quelle valeur, arrondie au centième, renvoie cette fonc-tion lorsqu’on effectue un appel avec pour argument : n =2 ; p =5 ? On justifiera la réponse en reproduisant et en com-plétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, lors de l’appel à la fonction f . Les valeurs de I seront arrondies au millième. k x I 0 4 b Expliquer pourquoi la fonction f permet d’approcher l’intégrale I n . E.6007 Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque. Partie A Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nom-bres réels R telle que : f ( x ) = x + 1 · e x 1 Calculer la limite de f en + ∞ et −∞ . 2 On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R . Démontrer que pour tout réel x : f ( x ) = x + 2 · e x 3 Dresser le tableau de variations de f sur R . Partie B On définit la fonction g m sur R par : g m ( x ) = x + 1 − m · e − x et on note C m la courbe de la fonction g m dans un repère O ; −→ i ; −→ j du plan. 1 a Démontrer que g m ( x )=0 si, et seulement si, f ( x )= m . b Déduire de la partie A , sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbe C m avec l’axe des abscisses en fonction du réel m . 2 On a représenté ci-dessous, les courbes C 0 ; C e et C − e (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs de 0 , e et − e ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6258 sacados/6258 Asie Juin 2014 xy00,20,40,60,810,20,40,60,81f1f2f3f50f200 chapExoCorrec/6007 sacados/6007 Antilles-Guyane Juin 2013
xxyy-2-12345I-2-12345JOCourbe2Courbe3Courbe1 0120,10,20,3AC Identifier chacune de ces courbes sur la figure en justifi-ant. 3 Étudier la position de la courbe C m par rapport à la droite D d’équation y = x +1 suivant les valeurs du réel m . 4 a On appelle D 2 la partie du plan comprise entre les courbes C e , C − e , l’axe ( Oy ) et la droite x =2 . Hachurer D 2 sur la figure ci-dessus. b Dans cette question, a désigne un réel positif, D a la partie du plan comprise entre C e , C − e , l’axe ( Oy ) et la droite Δ a d’équation x = a . On désigne par A ( a ) l’aire de cette partie du plan, exprimée en unités d’aire. Démontrer que pour tout réel a positif : A ( a ) = 2 e − 2 · e 1 − a En déduire la limite de A ( a ) quand a tend vers + ∞ . E.3981 Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : e 0 = 1 ; pour tous réels x et y : e x × e y = e x + y 1 Démontrer que pour tout réel x : e − x = 1 e x 2 Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier na-turel n : e x n =e n · x Partie B On considère la suite u n définie par : u n = 1 0 e − n · x 1 + e − x d x , pour tout entier naturel n 1 a Montrer que : u 0 + u 1 =1 . b Calculer u 1 . En déduire u 0 . 2 Montrer que pour tout entier naturel n : u n 0 . 3 a Montrer que pour tout entier naturel n non nul : u n +1 + u n = 1 − e − n n . b En déduire que pour tout entier naturel n non nul : u n 1 − e − n n 4 Déterminer la limite de la suite u n . 7. Suites et intégrales d’une fonction E.3994 Le plan est muni d’un repère or-thogonal O ; −→ i ; −→ j . Partie A La courbe ( C ) , donnée en annexe, est la courbe représentative d’une fonction f dérivable sur 0 ; + ∞ , de fonction dérivée f continue sur 0 ; + ∞ La courbe ( C ) passe par les points O et A 1 ; 1 2 e et, sur 0 ; 1 , elle est au-dessus du segment [ OA ] . 1 Montrer que : 1 0 f ( x ) d x = 1 2 · e . 2 Montrer que : 1 0 f ( x ) d x 1 4 · e Partie B On sait désormais que la fonction f considérée dans la partie A est définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · e − x x 2 + 1 1 Déterminer la limite de f en + ∞ . Interpréter graphique-ment le résultat obtenu. 2 On considère la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x 3 + x 2 + x − 1 Établir que l’équation g ( x )=0 admet une solution unique ¸ dans l’intervalle 0 ; + ∞ . 3 a Montrer que pour tout x de 0 ; + ∞ , f ( x ) et g ( x ) sont de signes contraires. b En déduire les variations f sur 0 ; + ∞ . 4 On considère la suite u n définie pour tout entier na-turel n par : u n = 2 n n f ( x ) d x a Montrer que pour tout x de 0 ; + ∞ : 0 x x 2 + 1 1 2 b Montrer que pour tout entier naturel n : 0 u n 1 2 · e − n − e − 2 · n . c En déduire la limite u n quand n tend vers + ∞ . https://chingmath.fr xxyy-2-12345I-2-12345JOCourbe2Courbe3Courbe1 chapExoCorrec/3981 sacados/3981 Liban Juin 2010 5 points chapExoCorrec/3994 sacados/3994 0120,10,20,3AC
23456I-0.2-0.10.10.20.30.40.50.60.70.80.91.1JO 8. Suites et relations de Chasles E.3263 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 1 e x + e − x et on désigne par Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j Partie A 1 Étudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe Γ ? 2 Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul : e − x e x . 3 a Déterminer la limite de f en + ∞ . b Étudier les variations de f sur 0 ; + ∞ . 4 On considère les fonctions g et h définies sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = 1 e x ; h ( x ) = 1 2 · e x Ci-dessous sont tracés, dans le repère O ; −→ i ; −→ j les courbes représentatives de g et h , notées respectivement Γ 1 et Γ 2 . a Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul : h ( x ) f ( x ) g ( x ) b Que peut-on en déduire pour les courbes Γ , Γ 1 et Γ 2 ? Tracer Γ dans le graphique ci-dessus, en précisant sa tangente au point d’abscisse 0. Partie B Soit ( I n ) la suite définie sur N par : I n = n +1 n f ( x ) d x 1 Justifier l’existence de ( I n ) , et donner une interprétation géométrique de ( I n ) . 2 a Démontrer, que pour tout entier naturel n : f ( n +1) I n f ( n ) b En déduire que la suite ( I n ) est décroissante. c Démontrer que la suite ( I n ) est convergente et déter-miner sa limite. Partie C Soit ( J n ) la suite définie sur N par : J n = n 0 f ( x ) d x 1 En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A 4 a , démontrer que, pour tout entier naturel n : 1 2 · 1 − e − n J n 1 − e − n 1 2 Démontrer que la suite ( J n ) est croissante. En déduire qu’elle converge. 3 On note L la limite de la suite ( J n ) et on admet le théorème suivant : ˇ Si u n , v n et w n sont trois suites convergentes de limites respectives a , b et c et si, à partir d’un certain rang, on a pour tout n , u n v n w n alors a b c ı. Donner un encadrement de L . 4 Soit u la fonction définie sur R par : u ( x ) = 1 1 + x 2 . On note v la primitive de u sur R telle que : v (1)= ı 4 . On admet que la courbe représentative de v admet en + ∞ une asymptote d’équation y = ı 2 . a Démontrer que, pour tout réel x : f ( x )= e x e x 2 +1 . b Démontrer que, pour tout réel x , f est la dérivée de la fonction x ↦→ v (e x ) . c En déduire la valeur exacte de L . E.3998 On considère les suites u n et v n définies, pour tout entier naturel n non nul, par : u 1 = 1 u n = u n − 1 + 1 n pour n 2 ; v n = u n − ln n pour n 1 . 1 a Calculer u 2 , u 3 et u 4 . b Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : u n = n k =1 1 k 2 a Montrer que, pour tout entier naturel k non nul : 1 k + 1 k +1 k 1 x d x 1 k b En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , on a les inégalités suivantes : u n − 1 ln n u n − 1 n ; 0 v n 1 3 a Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : v n +1 − v n = 1 n + 1 − n +1 n 1 x d x b En déduire le sens de variations de la suite v n . 4 Montrer que la suite v n converge. On note ‚ la limite de la suite v n (on ne cherchera pas à calculer ‚ ) . Quelle est la limite de la suite u n ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3263 sacados/3263 23456I-0.2-0.10.10.20.30.40.50.60.70.80.91.1JO chapExoCorrec/3998 sacados/3998
9. Calculs d’integrales, aires et volumes E.3193 On désigne par f la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par : f ( x ) = 1 1 + e − x On note C la courbe représentative de f dans un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j , (unité graphique: 5 cm ) . Partie A. Étude de la fonction f 1 Vérifier que pour tout nombre réel x : f ( x ) = e x 1 + e x . 2 a Déterminer les limites de f en −∞ et en + ∞ . Inter-préter graphiquement les résultats obtenus. b Calculer f ( x ) pour tout nombre réel x . En déduire les variations de f sur R . c Dresser le tableau des variations de f . 3 Tracer la courbe C et ses asymptotes éventuelles dans le repère O ; −→ i ; −→ j Partie B. Quelques propriétés graphiques. 1 On considère les points M et M de la courbe C d’abscisses respectives x et − x . Déterminer les coordon-nées du milieu A du segment [ MM ] . Que représente le point A pour la courbe C ? 2 Soit n un entier naturel. On désigne par D n le domaine du plan limité par la droite d’équation y =1 , la courbe C et les droites d’équations x =0 et x = n , A n désigne l’aire du domaine D n exprimée en unité d’aire. a Calculer A n . b Étudier la limite éventuelle de A n lorsque n tend vers + ∞ . Partie C. Calcul d’un volume. Soit – un réel positif. On note V ( – ) l’intégrale: V ( – ) = 0 − λ ı f ( x ) 2 d x On admet que V ( – ) est une mesure, exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, de la portion de la courbe C obtenue pour − – x 0 . 1 Déterminer les nombres réels a et b tels que pour tout nombre réel x : e 2 x (e x + 1) 2 = a e x e x + 1 + b e x (e x + 1) 2 2 Exprimer V ( – ) en fonction de – . 3 Déterminer la limite de V ( – ) lorsque – vers + ∞ . 10. Modélisation E.6901 Un hélicoptère est en vol station-naire au-dessus d’une plaine. Un passager lâche verticalement un colis muni d’un parachute. Partie 1 Soit v 1 la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : v 1 ( t ) = 5 × e 0 , 3 · t − 1 e 0 , 3 · t + 1 1 Déterminer le sens de variation de la fonction v 1 . 2 On suppose, dans cette question, que le parachute fonc-tionne correctement. On admet que t secondes après qu’il a été lâché, la vitesse du colis (exprimée en m · s − 1 ) est égale, avant d’atteindre le sol, à v 1 ( t ) . On considère que le colis arrive en bon état sur le sol si la vitesse à l’arrivée n’excède pas 6 m · s − 1 . Le colis risque-t-il d’être endommagé lorsque le parachute s’ouvre correctement? Justifier. Partie 2 On suppose, dans cette partie, que le parachute ne s’ouvre pas. On admet que, dans ce cas, avant que le colis atteigne le sol, sa vitesse (exprimée en m · s − 1 ) , t secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : v 2 ( t ) = 32 ; 7 · 1 − e − 0 , 3 · t 1 Quelle est la vitesse, exprimée en m · s − 1 , atteinte par le colis au bout de 10 secondes? Arrondir à 0 ; 1 m · s − 1 . 2 Résoudre l’équation v 2 ( t )=30 m · s − 1 . Donner une inter-prétation concrète de la solution de cette équation dans le cadre de cet exercice. 3 On sait que la chute du colis dure 20 secondes. On admet que la distance, en mètres, qui sépare l’hélicoptère du colis, T secondes après avoir été lâché par le passager, est donnée par : d ( T ) = T 0 v 2 ( t ) d t a Montrer que, pour tout réel T de l’intervalle 0 ; 20 : d ( T ) = 109 · e − 0 , 3 · T + 0 ; 3 · T − 1 b Déterminer une valeur approchée à 1 m près de la dis-tance parcourue par le colis lorsqu’il atteint le sol. 4 Déterminer un encadrement d’amplitude 0 ; 1 s du temps mis par le colis pour atteindre le sol si on l’avait lâché d’une hauteur de 700 mètres. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3193 sacados/3193 chapExoCorrec/6901 sacados/6901
vantaildedroitevantaildegauchepilierdroitpiliergauche 00.511.522.50.511.5La distance entre le bas du portail et le sol est de0;05m E.6266 On désire réaliser un portail comme indiqué ci-dessous. Chaque vantail mesure 2 mètres de large. Partie A : modélisation de la partie supérieure du por-tail On modélise le bord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 2] par : f ( x ) = x + 1 4 · e − 4 x + b où b est un nombre réel. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 2 . 1 a Calculer f ( x ) , pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; 2 . b En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 2 . 2 Déterminer le nombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1 ; 5 m . Dans la suite la fonction f est définie sur l’intervalle 0 ; 2 par : f ( x ) = x + 1 4 · e − 4 x + 5 4 Partie B: détermination d’une aire Chaque vantail est réalisé à l’aide d’une plaque métallique. On veut calculer l’aire de chacune des plaques, sachant que le bord inférieur du vantail est à 0 ; 05 m de hauteur du sol. 1 Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle 0 ; 2 par : F ( x ) = − x 4 − 1 8 · e − 4 x + 5 4 · x est une primitive de la fonction f . 2 En déduire l’aire en m 2 de chaque vantail. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 − 2 près de cette aire. (On s’intéresse ici à l’objet ˇ vantail ı sans faire référence à son environnement) . Partie C : utilisation d’un algorithme On désire réaliser un portail de même forme, mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0 ; 12 m , espacées de 0 ; 05 m . Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail et le bas de chaque planche à 0 ; 05 m de hauteur. Les planches sont numérotées à partir de 0 : ainsi la première planche à gauche porte le numéro 0 . 1 Donner l’aire de la planche de numéro k . 2 Recopier et compléter l’algorithme, ci-dessous, afin qu’en fin d’exécution, la valeur de la variable S corresponde à la somme des aires des planches du vantail de droite. S ← 0 X ← 0 Tant que X+0;17<... S ← S+... X ← X+0;17 Fin Tant que https://chingmath.fr chapExoCorrec/6266 sacados/6266 vantaildedroitevantaildegauchepilierdroitpiliergauche 00.511.522.50.511.5La distance entre le bas du portail et le sol est de0;05m
DI2JOC A1A2aI2JOC rstABCDEG rstABCDEG E.6008 On considère la fonction g définie par : g ( x ) = 1 + e − x pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 . On admet que : g ( x ) > 0 , pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 . On note C la courbe représen-tative de la fonction g dans un repère orthonormé, et D le do-maine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C , d’autre part entre les droites d’équations x =0 et x = 1 . La courbe C et le domaine D sont représentés ci-contre. Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A ) , puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B ) . Partie A Soit a un réel tel que 0 a 1 . On note A 1 l’aire du domaine compris entre la courbe C , l’axe Ox , les droites d’équations x =0 et x = a , puis A 2 celle du domaine compris entre la courbe C , Ox et les droites d’équation x = a et x =1 . A 1 et A 2 sont exprimées en unités d’aire. 1 a Démontrer que : A 1 = a − e − a + 1 . b Exprimer A 2 en fonction de a . 2 Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 par : f ( x ) = 2 x − 2 · e − x + 1 e a Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 . On précisera les valeurs exactes de f (0) et f (1) . b Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle 0 ; 1 en un réel ¸ . Donner la valeur de ¸ arrondie au centième. 3 En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel a pour lequel les aires A 1 et A 2 sont égales. Partie B Soit b un réel positif. Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d’équation y = b . On admet qu’il existe un unique réel b positif solution. 1 Justifier l’inégalité b< 1+ 1 e . On pourra utiliser un argu-ment graphique. 2 Déterminer la valeur exacte du réel b . E.6932 Les parties A et B sont indépen-dantes Le fabricant de cadenas de la marque ˇ K ı désire imprimer un logo pour son entreprise. Ce logo a la forme d’une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD , de côté une unité de longueur, et re-spectant les conditions C 1 et C 2 suivantes : Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes : une des lignes est le segment [ AD ] ; une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [ DC ] ; la troisième ligne a pour extrémités le point B et le point G situé sur la deuxième ligne. Condition C2 : l’aire de chacune des trois surfaces délim-itées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0 ; 3 et 0 ; 4 , l’unité d’aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r , s , t sur les figures ci-après. Un atelier de design propose deux dessins possibles, représen-tés ci-dessous : Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD . Proposition A Proposition B Partie A : étude de la proposition A Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales: r = s = t = 1 3 Déterminer les coordonnées des points E et G . Partie B: étude de la proposition B Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suiv-antes : la ligne d’extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction f définie pour tout réel x 0 par : f ( x )=ln 2 x +1 ; la ligne d’extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction g définie pour tout réel x> 0 par : g ( x ) = k 1 − x x où k est un réel positif qui sera déterminé. 1 a Déterminer l’abscisse du point E . b Déterminer la valeur du réel k , sachant que l’abscisse du point G est égale à 0 ; 5 . 2 a Démontrer que la fonction f admet pour primitive la fonction F définie pour tout réel x 0 par : F ( x ) = x + 0 ; 5 · ln 2 · x +1 − x https://chingmath.fr chapExoCorrec/6008 sacados/6008 DI2JOC A1A2aI2JOC chapExoCorrec/6932 sacados/6932 rstABCDEG rstABCDEG
BCDABCDIJO BCDIJOCf BCDABCDB1B1B2B2BkBkBkBkIJO b Démontrer que : r = e 2 − 1 3 Déterminer une primitive G de la fonction g sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 4 On admet que les résultats précédents permettent d’établir que : s = ln(2) 2 + ln(2) − 1 2 La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant? E.6935 Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la com-mune. Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD D , DD C C et OAB B sont des rectan-gles. Le plan de face ( OBD ) est muni d’un repère orthonormé O ; I ; J . L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD =10 , sa longueur OD est de 20 mètres. Le but du problème est de déterminer l’aire des dif-férentes surfaces à peindre. Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 20 par : f ( x ) = ( x + 1) · ln x +1 − 3 x + 7 On note f la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère O ; I ; J . Partie 1 1 Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; 20 , on a: f ( x ) = ln x +1 − 2 2 En déduire les variations de f sur l’intervalle 0 ; 20 et dresser son tableau de variation. 3 Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 . La valeur absolue de ce coefficient est appelée inclinaison du module de skateboard au point B . 4 On admet que la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; 20 par : g ( x ) = 1 2 · x + 1 2 · ln x +1 − 1 4 · x 2 − 1 2 · x a pour dérivée la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; 20 par : g ( x )=( x +1) · ln x +1 . Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 20 . Partie 2 Les trois questions de cette partie sont indépendantes. 1 Les propositions suivantes sont-elles exactes? Justifier les réponses. P 1 : la différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres. P 2 : L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C . 2 On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce mod-ule d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m 2 par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires. 3 On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l’aire de la partie à peindre, on considère dans le repère O ; I ; J du plan de face, les points B k ( k ; f ( k )) pour k variant de 0 à 20 . Ainsi : B 0 = B . On décide d’approcher l’arc de la courbe C allant de B k à B k +1 par le segment B k B k +1 . Ainsi, l’aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type B k B k +1 B k +1 B k (voir figure) . a Montrer que pour tout entier k variant de 0 à 19 : B k B k +1 = 1 + f ( k +1) − f ( k ) 2 b Compléter l’algorithme afin qu’on puisse récupérer dans les valeurs de ses variables une estimation de l’aire de la partie roulante. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6935 sacados/6935 BCDABCDIJO BCDIJOCf BCDABCDB1B1B2B2BkBkBkBkIJO
0;600;800;400;20Image A0;360;640;160;04Image B0;770;890;630;45Image C 00.510.51Cf1 Fonction f(x) Renvoyer (x + 1) ln x+1 − 3x + 7 S ← 0 Pour K variant de ... à ... S ← ... Fin Pour Quelle est la variable qui contiendra une estimation de l’aire de la partie roulante? E.6267 Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel x de façon suivante : x =0 pour le blanc ; x =1 pour le noir; x =0 ; 01 ; x =0 ; 02 et ainsi de suite jusqu’à x =0 ; 99 par pas de 0 ; 01 pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé) . L’image A , ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes. Un logiciel de retouche d’image utilise des fonctions numériques dites ˇ fonctions de retouche ı. Une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 1 est dite ˇ fonction de retouche ı si elle possède les quatre propriétés suivantes : f (0)=0 ; f (1)=1 ; f est continue sur l’intervalle 0 ; 1 ; f est croissante sur l’intervalle 0 ; 1 . Une nuance codée x est dite assombrie par la fonction f si f ( x ) >x , et éclaircie, si f ( x ) <x . si f ( x )= x 2 , un pixel de nuance codée 0 ; 2 prendra la nu-ance codée 0 ; 2 2 =0 ; 04 . L’image A sera transformée en l’image B ci-dessous. Si f ( x )= x , la nuance codée 0 ; 2 prendra la nuance codée 0 ; 2 ≈ 0 ; 45 . L’image A sera transformée en l’image C ci-dessous. Partie A 1 On considère la fonction f 1 définie sur l’intervalle 0 ; 1 par : f 1 ( x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 3 x a Démontrer que la fonction f 1 est une fonction de re-touche. b Résoudre graphiquement l’inéquation f 1 ( x ) x , à l’aide du graphique donné ci-dessous, en faisant ap-paraître les pointillés utiles. Interpréter ce résultat en termes d’éclaircissement ou d’assombrissement. 2 On considère la fonction f 2 définie sur l’intervalle 0 ; 1 par : f 2 ( x ) = ln 1 + (e − 1) · x On admet que f 2 est une fonction de retouche. On définit sur l’intervalle 0 ; 1 la fonction g par : g ( x ) = f 2 ( x ) − x . a Établir que, pour tout x de l’intervalle 0 ; 1 : g ( x ) = (e − 2) − (e − 1) · x 1 + (e − 1) · x b Déterminer les variations de la fonction g sur l’intervalle 0 ; 1 . Démontrer que la fonction g admet un maximum en e − 2 e − 1 , maximum dont une valeur ar-rondie au centième est 0 ; 12 . c Établir que l’équation g ( x )=0 ; 05 admet sur l’intervalle 0 ; 1 deux solutions ¸ et ˛ , avec ¸<˛ . On admettra que : 0 ; 08 <¸ < 0 ; 09 ; 0 ; 85 <˛ < 0 ; 86 Partie B On remarque qu’une modification de nuance n’est percepti-ble visuellement que si la valeur absolue de l’écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale à 0 ; 05 . 1 Dans l’algorithme décrit ci-dessous, la fonction g prend pour arguments les variables x (nuance initiale) , y (nu-ance retouchée) , E (écart) et utilise la fonction f qui désigne une fonction de retouche. Dans le code de la fonction g , la variable c sert de comp-teur. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6267 sacados/6267 0;600;800;400;20Image A0;360;640;160;04Image B0;770;890;630;45Image C 00.510.51Cf1
00.510.51 2cm5cm CfTerrainCuveTerrainDBAT012345612I Fonction g(x,y,E) c ← 0 Pour k allant de 0 à 100 x ← k 100 y ← f(x) E ← | y − x | Si E 0;05 Alors c ← c+1 Fin si Fin pour Renvoyer c Lors de l’appel à la fonction g , cet algorithme renvoie la valeur de la variable c . Quel est le rôle de cet algorithme? 2 Quelle valeur sera renvoyée par la fonction g si on l’applique à la fonction f 2 définie dans la deuxième ques-tion de la partie A ? Partie C Dans cette partie, on s’intéresse à des fonctions de retouche f dont l’effet est d’éclaircir l’image dans sa globalité, c’est-à-dire telles que, pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 , f ( x ) x . On décide de mesurer l’éclaircissement global de l’image en calculant l’aire A f de la portion de plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f , et les droites d’équations respectives x =0 et x =1 . Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d’éclaircir le plus l’image et celle qui correspond à la plus petite aire. On désire comparer l’effet des deux fonctions suivantes, dont on admet qu’elles sont des fonctions de retouches : f 3 ( x ) = x · e ( x 2 − 1) ; f 4 ( x ) = 4 x − 15 + 60 x + 4 1 a Calculer A f 3 . b Calculer A f 4 . 2 De ces deux fonctions, laquelle a pour effet d’éclaircir le plus l’image? E.6939 Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d’eau. Ce récupérateur d’eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant : elle doit être située à deux mètres de sa maison ; la profondeur maximale doit être de deux mètres ; elle doit mesurer cinq mètres de long; elle doit épouser la pente naturelle du terrain. Cette cuve est schématisée ci-contre. La partie incurvée est modélisée par la courbe C f de la fonc-tion f sur l’intervalle 2 ; 2 e définie par : f ( x ) = x · ln x 2 − x + 2 La courbe C f est représentée ci-dessous dans un repère or-thonormé d’unité 1 m et constitue une vue de profil de la cuve. On considère les points A (2 ; 2) , I (2 ; 0) et B (2 e ; 2) . Partie A L’objectif de cette partie est d’évaluer le volume de la cuve. 1 Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe C f et que l’axe des abscisses est tangent à la courbe C f au point I . 2 On note T la tangente à la courbe C f au point B , et D le point d’intersection de la droite T avec l’axe des abscisses. a Déterminer une équation de la droite T et en déduire les coordonnées de D . b On appelle S l’aire du domaine délimité par la courbe C f , les droites d’équations y =2 , x =2 et x =2 e . S peut être encadrée par l’aire du triangle ABI et celle du trapèze AIDB . Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire? 3 a Montrer que, sur l’intervalle 2 ; 2 e , la fonction G https://chingmath.fr 00.510.51 chapExoCorrec/6939 sacados/6939 2cm5cm CfTerrainCuveTerrainDBAT012345612I
xf(x01234561234 définie par : G ( x ) = x 2 2 · ln x 2 − x 2 4 est une primitive de la fonction g définie par : g ( x )= x · ln x 2 b En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle 2 ; 2 e . c Déterminer la valeur exacte de l’aire S et en déduire une valeur approchée du volume V de la cuve au m 3 près. Partie B Pour tout réel x compris entre 2 et 2 e , on note v ( x ) le vol-ume d’eau, exprimé en m 3 , se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est égale à f ( x ) . On admet que, pour tout réel x de l’intervalle 2 ; 2 e . v ( x ) = 5 · x 2 2 · ln x 2 − 2 x · ln x 2 − x 2 4 + 2 x − 3 1 Quel volume d’eau, au m 3 près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d’eau dans la cuve est d’un mètre? 2 On rappelle que V est le volume total de la cuve, f est la fonction définie en début d’exercice et v la fonction définie dans la partie B . On considère l’algorithme ci-contre et on s’intéresse à la valeur de la variable d en fin d’exécution de celui-ci. In-terpréter le résultat que cet algorithme affecte, en fin d’exécution, à la variable d a ← 2 b ← 2e Tant que v(b) − v(a)>10 − 3 c ← a+b 2 Si v(c)< V 2 Alors a ← c Sinon b ← c Fin Si Fin tant que d ← f(c) https://chingmath.fr xf(x01234561234