Terminale Spécialité / Annales sur les probabilités 15 exercices corrigés

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1. Probabilités et suites E.3188 Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0 ; 7 . Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0 ; 8 . Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les événements : G n : ˇ Pierre gagne la n -ième partie ı. P n : ˇ Pierre perd la n -ième partie ı. On pose : p n = P ( G n ) et q n = P ( P n ) . 1 Recherche d’une relation de récurrence. a Déterminer p 1 puis les probabilités conditionnelles P G 1 ( G 2 ) et P P 1 ( G 2 ) . b Justifier l’égalité: p n + q n =1 . c Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : p n +1 = 0 ; 5 · p n + 0 ; 2 . 2 Étude de la suite ( p n ) . On pose, pour tout entier naturel n non nul, v n = p n − 2 5 . a Prouver que la suite ( v n ) est une suite géométrique et exprimer v n en fonction de n . b En déduire l’expression de p n en fonction de n . c Déterminer la limite de la suite ( p n ) quand n tend vers + ∞ . E.4326 Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0 ; 1 ; s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0 ; 8 ; s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0 ; 6 . On note, pour tout entier naturel n non nul : G n l’événement ˇ le joueur gagne la n -ième partie ı ; p n la probabilité de l’événement G n . On a donc : p 1 =0 ; 1 1 Montrer que p 2 =0 ; 62 . On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 2 Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la proba-bilité qu’il ait perdu la première. (on donnera une valeur approchée à 10 − 2 près) . 3 Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières. 4 Montrer que pour tout entier naturel n non nul : p n +1 = 1 5 · p n + 3 5 . 5 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul : p n = 3 4 − 13 4 · 1 5 n 6 Déterminer la limite de la suite p n quand n tend vers + ∞ . 7 Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3 4 − p n < 10 − 7 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3188 sacados/3188 Asie Juin 2006 4 points chapExoCorrec/4326 sacados/4326 Polynesie Juin 2011
E.3155 On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A , B et C . À l’instant 0 , la puce est en A . Pour tout entier naturel n : si à l’instant n la puce est en A , alors à l’instant ( n +1) , elle est : Soit en B avec une probabilité égale à 1 3 ; Soit en C avec une probabilité égale à 2 3 . Si à l’instant n la puce est en B , alors à l’instant ( n +1) , elle est : soit en C , soit en A de façon équiprobable. Si à l’instant n la puce est en C , alors elle y reste. On note A n (respectivement B n , C n ) l’événement ˇ à l’instant n la puce est en A ı (respectivement en B , en C ) . On note a n (respectivement b n , c n ) la probabilité de l’évènement A n , (respectivement B n , C n ) . On a donc : a 0 =1 ; b 0 = c 0 =0 Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés. 1 Calculer a k , b k et c k pour k ∈ N tel que 1 k 3 . 2 a Montrer que, pour tout entier naturel n : a n + b n + c n = 1 ; a n +1 = 1 2 · b n b n +1 = 1 3 · a n b Montrer que, pour tout entier naturel n : a n +2 = 1 6 a n c En déduire que, pour tout entier naturel p : a 2 p = 1 6 p et a 2 p +1 = 0 b 2 p = 0 et b 2 p +1 = 1 3 · 1 6 p 3 Montrer que : lim n ↦→ + ∞ a n =0 . On admet que lim n ↦→ + ∞ b n =0 . Quelle est la limite de c n lorsque n tend vers + ∞ ? E.6800 On dispose d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 2 pièces A et B ayant chacune un côté pile et un côté face. Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé. Après chaque lancer de dé, si l’on obtient 1 ou 2 , alors on re-tourne la pièce A , si l’on obtient 3 ou 4 , alors on retourne la pièce B et si l’on obtient 5 ou 6 , alors on ne retourne aucune des deux pièces. Au début du jeu, les 2 pièces sont du côté face. 1 Dans l’algorithme ci-dessous, 0 code le côté face d’une pièce et 1 code le côté pile. Si a code le côté de la pièce A à un instant donné, alors 1 − a code le côté de la pièce A après l’avoir retournée. i , n sont des entiers supérieurs ou égaux à 1 . Fonction f(n) a ← 0 b ← 0 Pour i allant de 1 à n faire d ← d’un entier aléatoire compris entre 1 et 6 Si d 2 Alors a ← 1 − a Sinon Si d 4 Alors b ← 1 − b Fin Si Fin Si s ← a+b Fin Pour Renvoyer s a On appelle la fonction f avec pour argument n =3 et en supposant que les valeurs aléatoires générées succes-sivement pour d soient 1 ; 6 et 4 . Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous con-tenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme: b L’appel à la fonction f permet-il de décider si à la fin les deux pièces sont du côté pile? 2 Pour tout entier naturel n , on note : X n l’événement : ˇ A l’issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté face ı Y n l’événement : ˇ A l’issue de n lancers de dés, une pièce est du côté pile et l’autre est du côté face ı Z n l’événement : ˇ A l’issue de n lancers de dés, les deux pièces sont du côté pile ı. De plus on note, x n = P X n , y n = P Y n et z n = P Z n les probabilités respectives des événements X n , Y n et Z n : a Donner les probabilités x 0 , y 0 et z 0 respectives qu’au https://chingmath.fr chapExoCorrec/3155 sacados/3155 chapExoCorrec/6800 sacados/6800 3epassageboucle Pour2epassageboucle Pour1erpassageboucle Pourinitialisationvariablesidabs
début du jeu, il y ait 0 , 1 ou 2 pièces du côté pile. b Justifier que : P X n X n +1 = 1 3 c Recopier l’arbre ci-dessous et compléter les probabil-ités sur ses branches, certaines pouvant être nulles : d Pour tout entier naturel n , exprimer z n en fonction de x n et y n . e En déduire que, pour tout entier naturel n ,: y n +1 = − 1 3 · y n + 2 3 f On pose, pour tout entier naturel n : b n = y n − 1 2 Montrer que la suite b n est géométrique. En déduire que, pour tout entier naturel n : y n = 1 2 − 1 2 × − 1 3 n g Calculer lim n ↦→ + ∞ y n . Interpréter le résultat. 2. Probabilités conditionnelles E.1449 Un joueur dispose d’une urne con-tenant 3 boules rouges, 4 boules blanches et n boules vertes ( 0 n 10 ) . Les boules sont indiscernables au toucher. 1 Le joueur tire au hasard une boule de l’urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : a R : ˇ la boule tirée est rouge ı. b B : ˇ la boule tirée est blanche ı. c V : ˇ la boule tirée est verte ı. 2 Le joueur décide de jouer une partie. Celle-ci se déroule de la manière indiquée ci-dessous. Le joueur tire une boule de l’urne : si elle est rouge, il gagne 16 F ; si elle est blanche, il perd 12 F ; si elle est verte, il remet la boule dans l’urne, puis tire une boule de l’urne ; si cette boule est rouge, il gagne 8 F ; si cette boule est blanche, il perd 2 F ; si cette boule est verte, il ne perd rien ni ne gagne rien. Les tirages sont équiprobables et deux tirages successifs sont indépendants. Au début de la partie, le joueur possède 12 F . Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l’issue de la partie (un tirage ou deux tirages selon le cas) . a Déterminer les valeurs prises par X . b Déterminer la loi de probabilité de X . c Montrer que l’espérance mathématique de X est : E ( X ) = 12 + 16 · n ( n + 7) 2 . 3 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : f ( x ) = x ( x + 7) 2 Étudier les variations de f . 4 En déduire la valeur de n pour laquelle l’espérance mathé-matique X est maximale. Calculer cette valeur maximale (on donnera le résultat sous la forme d’une fraction irré-ductible) . https://chingmath.fr xnXnYnZnXnynXnYnZnYnznXnYnZnZn chapExoCorrec/1449 sacados/1449 Sportifs de haut-niveau Octobre 1998
E.3143 Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de très nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs variées. La probabilité pour qu’un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est égale à 1 4 . La probabilité pour qu’un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est égale à 1 2 . Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes. Soit n un entier naturel vérifiant 0 n 50 . On définit les événements suivants : A : ˇ le jardinier a choisi le lot 1 ı ; B : ˇ le jardinier a choisi le lot 2 ı ; J n : ˇ le jardinier obtient n tulipes jaunes ı. 1 Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot 1. a Quelle loi de probabilité suit le nombre de tulipes jaunes obtenues à partir de 50 bulbes du lot 1? b Quelle est l’espérance mathématique de cette loi? c Donner une expression de la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes. d Calculer la probabilité que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l’arrondi au millième du résultat. 2 Probabilités conditionnelles : a Montrer que : P B J n = 50 n · 2 − 50 b En déduire la probabilité que le jardinier obtienne n tulipes jaunes. c On note p n la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que J n est réalisé. Établir que : p n = 3 50 − n 3 50 − n + 2 50 d Pour quelles valeurs de n a-t-on p n 0 ; 9 ? Comment peut-on interpréter ce résultat? 3. Evénements indépendants E.3736 Un carré de côté 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes : un disque D de rayon 1 cm ; 8 secteurs S 1 , S 2 , . . . , S 8 de même aire délimités par les frontières du disque D et du disque D de même centre et de rayon 9 cm ; une zone R entre le disque D et le bord du carré. On place un point aléatoirement dans le carré. La probabil-ité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l’aire de cette zone. 1 a Déterminer la probabilité p ( D ) pour que le point soit placé dans le disque D . b Déterminer la probabilité p ( S 1 ) pour que le point soit placé dans le secteur S 1 . 2 Pour cette question 2 , on utilisera les valeurs ap-prochées suivantes : p ( D ) = 0 ; 008 ; p ( S k ) = 0 ; 078 5 pour k ∈ 1;2;3;4;5;6;7;8 . À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant : un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ; un point placé dans le secteur S k fait gagner k euros pour tout k appartenant à 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ; un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu : a Calculer la probabilité p ( R ) pour que le point soit placé dans la zone R . Calculer l’espérance de X . b On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indépendante dans le carré. Cal-culer la probabilité d’obtenir un gain total positif ou nul. c Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. On joue n fois de suite. On a donc placé n points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilité p n d’obtenir au moins un point placé dans le disque D . Déterminer la plus petite valeur de n tel que p n 0 ; 9 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3143 sacados/3143 chapExoCorrec/3736 sacados/3736 France Septembre 2002 RS0S1S2S3S4S5S6S7S8
E.3732 Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On considère les deux événements suivants : A : ˇ On obtient des boules des deux couleurs ı ; B : ˇ On obtient au plus une blanche ı. 1 a Calculer la probabilité de l’événement : ˇ Toutes les boules tirées sont de même couleur ı. b Calculer la probabilité de l’événement : ˇ On obtient exactement une boule blanche ı. c En déduire que les probabilités p ( A ∩ B ) , p ( A ) , p ( B ) sont : p ( A ∩ B ) = n 2 n ; p ( A ) = 1 − 1 2 n − 1 ; p ( B ) = n + 1 2 n 2 Montrer que p ( A ∩ B )= p ( A ) × p ( B ) si, et seulement si : 2 n − 1 = n + 1 3 Soit ( u n ) la suite définie par : u n = 2 n − 1 − ( n + 1) pour tout n ∈ N tel que n 2 . Calculer u 2 , u 3 , u 4 . Démontrer que la suite ( u n ) est strictement croissante. 4 En déduire la valeur de l’entier n tel que les événements A et B soient indépendants. 4. Probabilité conditionnelles et loi binomiale E.3145 Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0 ; 5 de ce cheptel (ou 5 pour mille) . 1 On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu’il soit malade? 2 a On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. b On désigne par A l’événement : ˇ aucun animal n’est malade parmi les 10 ı. On désigne par B l’événement : ˇ au moins un animal est malade parmi les 10 ı. Calculer les probabilités de A et de B . 3 On sait que la probabilité qu’un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu’il est malade est 0 ; 8 . Lorsqu’un animal n’est pas malade la probabilité d’avoir un test négatif est 0 ; 9 . On note T l’événement ˇ avoir un test positif à cette maladie ı et M l’événement ˇ être atteint de cette maladie ı. a Représenter par un arbre pondéré les données de l’énoncé. b Calculer la probabilité de l’événement T . c Quelle est la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif? E.3834 Dans une kermesse un organisa-teur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune : La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges. Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même prob-abilité d’être obtenues. La règle du jeu est la suivante : Le joueur mise 1 e et lance la roue A . S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B , note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête. S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A , note la couleur de la case obtenue et la partie s’arrête. 1 Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. 2 Soient E et F les événements : E : ˇ à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges ı ; F : ˇ à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ı. Montrer que : p ( E )=0 ; 02 ; p ( F ) = 0 ; 17 . 3 Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 e ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 e ; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1 e ) . a Déterminer la loi de probabilité de X . b Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation. 4 Le joueur décide de jouer n parties consécutives et in-dépendantes ( n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 ) a Démontrer que la probabilité p n qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que : p n =1 − (0 ; 9) n . b Justifier que la suite de terme général p n est conver-gente et préciser sa limite. c Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laque-lle p n > 0 ; 9 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/3732 sacados/3732 Polynesie Juin 1999 chapExoCorrec/3145 sacados/3145 ‡ chapExoCorrec/3834 sacados/3834
E.4142 Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir: sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme proba-bilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : M l’événement : ˇ l’animal est porteur de la maladie ı ; T l’événement : ˇ le test est positif ı. 1 Construire un arbre pondéré modélisant la situation pro-posée. 2 Un animal est choisi au hasard. a Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif? b Montrer que la probabilité pour que son test soit posi-tif est 0 ; 058 . 3 Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie? 4 On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce trou-peau permet de considérer les épreuves comme indépen-dantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test posi-tif. a Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? b Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif? 5 Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi pos-itivement au test est de 100 euros et le coût de l’abatage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1 000 euros. On suppose que le test est gratuit. D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donné par le tableau suivant : Coût 0 100 1 000 Probabilité 0 ; 9405 0 ; 0580 0 ; 0015 a Calculer l’espérance mathématique de la variable aléa-toire associant à un animal le coût à engager. b Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d’engager? E.4167 Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D , E , F et G . On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’emprunte après être passé par un noeud. Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie ; c’est-à-dire une fois la bille arrivée en D , E , F ou G . 1 Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire. a Déterminer la loi de probabilité de X . b Calculer l’espérance de X . c Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points. 2 Le joueur effectue 8 parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à cette partie. a Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 par-ties. On donnera le résultat arrondi au millième. b Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4142 sacados/4142 Antilles-Guyane Septembre 2010 4 points chapExoCorrec/4167 sacados/4167 AB(0ptC(10ptD(0ptE(10ptF(0ptG(10pt891989198919
E.3130 La scène se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une à l’Est et l’autre à l’Ouest. A- Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l’une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu’il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0 ; 8 . Pour i =1 ou i =2 , on note E i l’événement : ˇ Le touriste se dirige vers l’Est le i -ième jour ı et O i l’événement : ˇ Le touriste se dirige vers l’Ouest le i -ième jour ı. 1 Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation. 2 Déterminer les probabilités suivantes : p ( E 1 ) ; p E 1 ( O 2 ) ; p ( E 1 ∩ E 2 ) 3 Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs. B- On suppose maintenant que n touristes ( n 3 ) se retrou- vent un jour en haut de la falaise. Ces n touristes veulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et indépen-damment des autres l’une des deux directions. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l’Est. 1 Déterminer la probabilité que k touristes ( 0 k n ) par-tent en direction de l’Est. 2 On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu’un touriste est heureux s’il se retrouve seul sur une plage. a Peut-il y avoir deux touristes heureux? b Démontrer que la probabilité (notée p ) qu’il y ait un touriste heureux parmi ces n touristes vaut : p = n 2 n − 1 c Application numérique: Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu’il y ait un touriste heureux parmi les 10 . 5. Schémas de Bernoulli et loi binomiale E.4152 On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites ( A , B et C ) , une seule d’entre elles étant exacte. Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. Par exemple, le mot ˇ BBAAC ı signifie que le candidat a répondu B aux premières et deuxièmes questions, A aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième ques-tion. 1 a Combien y a-t-il de mots réponses possibles à ce questionnaire? b On suppose que le candidat répond au hasard à cha-cune des cinq questions de ce questionnaire. Calculer la probabilité des événements suivants : E : ˇ le candidat a exactement une réponse exacte. ı. F : ˇ le candidat n’a aucune réponse exacte ı. G : ˇ le mot-réponse du candidat est un palindrome ı. (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche: par exemple, ˇ BACAB ı est un palindrome) 2 Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte. a Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomi-ale de paramètres n =28 et p = 32 243 . b Calculer la probabilité, arrondie à 10 − 2 , qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses. E.4193 Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique. Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont in-dépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p . Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros. Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude. Soit X i la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au i -ième trajet et la valeur 0 sinon. Soit X la variable aléatoire définie par : X = X 1 + X 2 + X 3 + · · · + X 40 1 Déterminer la loi de probabilité de X . 2 Dans cette partie, on suppose que p = 1 20 . a Calculer l’espérance mathématique de X . b Calculer les probabilités : P ( X =0) ; P ( X =1) ; P ( X =2) c Calculer à 10 − 4 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois. 3 Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur. Justifier l’égalité: Z = 400 − 100 ·X , puis calculer l’espérance de Z pour p = 1 5 . 4 On désire maintenant déterminer p afin que la proba-bilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99 % . a Démontrer que : P ( X 2) = (1 − p ) 38 · 741 · p 2 + 38 · p + 1 b Soit f la fonction définie sur 0 ; 1 par : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3130 sacados/3130 France Septembre 2006 5 points chapExoCorrec/4152 sacados/4152 chapExoCorrec/4193 sacados/4193
f ( x ) = (1 − x ) 38 · 741 · x 2 + 38 · x + 1 Montrer que f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et qu’il existe un unique réel x 0 appartenant à l’intervalle 0 ; 1 tel que : f ( x 0 )=0 ; 01 Déterminer l’entier naturel n tel que : n 100 <x 0 < n + 1 100 c En déduire la valeur minimale qu’il faut attribuer à p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure ou égale à 99 % . (On exprimera p en fonction de x 0 ) https://chingmath.fr