Terminale Spécialité / Annales sur les suites 22 exercices corrigés

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1. Etudes de suites E.6762 Soit u la suite définie par u 0 =2 et, pour tout entier naturel n , par : u n +1 = 2 · u n + 2 · n 2 − n On considère également la suite v définie, pour tout entier naturel n , par : v n = u n + 2 · n 2 + 3 · n + 5 1 Voici un extrait de feuille de tableur : Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ? 2 Déterminer, en justifiant, une expression de v n et u n en fonction de n uniquement. E.6256 On considère la suite u n définie par : u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 · n + 2 pour tout n ∈ N 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 On considère les deux fonctions ci-dessous, extrait d’algorithmes, prenant pour argument un entier n : De ces deux fonctions, laquelle renvoie la valeur du terme u n de rang n , la valeur fourni en argument lors de l’appel à la fonction? 3 À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nu-age de points ci-dessous où n figure en abscisse et u n en ordonnée. a Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de vari-ation de la suite u n ? Démontrer cette conjecture. b La forme parabolique du nuage de points amène à con-jecturer l’existence de trois réels a , b et c tels que, pour tout entier naturel n : u n = a · n 2 + b · n + c . Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a , b et c à l’aide des informations fournies. 4 On définit, pour tout entier naturel n , la suite v n par : v n = u n +1 − u n a Exprimer v n en fonction de l’entier naturel n . Quelle est la nature de la suite v n ? b On définit, pour tout entier naturel n : S n = n k =0 v k = v 0 + v 1 + · · · + v n Démontrer que, pour tout entier naturel n : S n = ( n + 1)( n + 2) c Démontrer que, pour tout entier naturel n : S n = u n +1 − u 0 , puis exprimer u n en fonction de n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6762 sacados/6762 12345678ABCn01234u2492463v7142856 chapExoCorrec/6256 sacados/6256 Fonctionf(n)u0Pouriallantde1ànu·FinpourRenvoyeruFonctionf(n)u0Pouriallantde0àn−1u·FinpourRenvoyeruAlgorithme1Algorithme2 012345678910111220406080100120140160001226312420530642756872990101101113212156
E.5079 Partie A On considère la fonction f , extrait d’un algorithme, et dont l’argument est un entier naturel. Fonction f(N) U ← 0 Pour k allant de 0 à N − 1 U ← 3 · U − 2 · k+3 Fin Pour Renvoyer U Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction lorsqu’elle est appelée avec la valeur 3 pour l’argument N ? Partie B On considère la suite u n définie par u 0 =0 et, pour tout entier nature n : u n +1 = 3 · u n − 2 · n + 3 1 Calculer u 1 et u 2 . 2 a Démontrer par récurrence que, pour tout entier na-turel n : u n n b En déduire la limite de la suite u n . 3 Démontrer que la suite u n est croissante. 4 Soit la suite v n définie, pour tout entier naturel n , par v n = u n − n + 1 . a Démontrer que la suite v n est une suite géométrique. b En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 3 n + n − 1 5 Soit p un entier naturel non nul. a Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un en-tier n 0 tel que, pour tout n n 0 , u n 10 p ? On s’intéresse maintenant au plus petit entier n 0 . b Justifier que : n 0 3 · p . c Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n 0 pour la valeur p =3 . d Proposer une fonction qui, pour une valeur p passée en argument, renvoie la valeur du plus petit entier n 0 tel que, pour tout n n 0 , on ait u n 10 p . E.5019 1 On considère la fonction f , donnée ci-dessous et issue d’un algorithme, prenant les arguments a , b , N de valeurs entières non-nul : Fonction f(a,b,N) u ← a v ← b n ← 0 Tant que n<N n ← n+1 u ← a + b 2 v ← a 2 + b 2 2 a ← u b ← v . Fin Tant que Renvoyer ( u ; v) Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant y indiquant les valeurs prises par les variables de la fonc-tion f lors d’une exécution pas à pas et lorsque l’appel est effectué avec les valeurs a =4 , b =9 et N =2 . Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième. n a b u v 0 4 9 1 2 Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0 <a<b . On considère les suites u n et v n définies par : u 0 = a , v 0 = b et, pour tout entier naturel n : u n +1 = u n + v n 2 ; v n +1 = u 2 n + v 2 n 2 2 a Démontrer par récurrence que, pour tout entier na-turel n , on a: u n > 0 ; v n > 0 b Démontrer que, pour tout entier naturel n : v 2 n +1 − u 2 n +1 = u n − v n 2 2 En déduire que, pour tout entier naturel n , on a: u n v n . 3 a Démontrer que la suite u n est croissante. b Comparer v 2 n +1 et v 2 n . En déduire le sens de variation de la suite v n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5079 sacados/5079 Polynesie 2012 5 points chapExoCorrec/5019 sacados/5019 Asie Juin 2012 5 points
E.3836 On considère la suite de nombres réels u n définie sur N par : u 0 = − 1 u 1 = 1 2 u n +2 = u n +1 − 1 4 · u n pour tout entier naturel n . 1 Calculer u 2 et en déduire que la suite u n n’est ni arith-métique ni géométrique. 2 On définit la suite v n en posant, pour tout entier na-turel n : v n = u n +1 − 1 2 · u n a Calculer v 0 . b Exprimer v n +1 en fonction de v n . c En déduire que v n est géométrique de raison 1 2 . d Exprimer v n en fonction de n . 3 On définit la suite w n en posant, pour tout entier na-turel n : w n = u n v n a Calculer w 0 . b En utilisant l’égalité u n +1 = v n + 1 2 · u n , exprimer w n +1 en fonction de u n et de v n . c En déduire que pour tout n de N : w n +1 = w n +2 . d Exprimer w n en fonction de n . 4 Montrer que pour tout entier naturel n : u n = 2 · n − 1 2 n 5 Pour tout entier naturel n , on pose : S n = k = n k =0 u k = u 0 + u 1 + · · · + u n Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N : S n = 2 − 2 n + 3 2 n E.3210 La suite u n est définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 1 2 u n + n − 1 pour tout n ∈ N 1 a Démontrer que pour tout n 3 : u n 0 . b En déduire que pour tout n 4 : u n n − 2 . c En déduire la limite de la suite ( u n ) . 2 On définit la suite ( v n ) par : v n = 4 u n − 8 n + 24 a Démontrer que ( v n ) est une suite géométrique décrois-sante dont on donnera la raison et le premier terme. b Démontrer que pour tout entier naturel n : u n = 7 · 1 2 n + 2 n − 6 . c Vérifier que pour tout entier naturel n , u n = x n + y n où ( x n ) est une suite géométrique et ( y n ) une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le pre-mier terme et la raison. d En déduire l’expression de S n = n k =0 u k en fonction de n . E.3472 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 1 u n +1 = 1 3 · u n + n − 2 pour tout entier naturel n . 1 Calculer u 1 , u 2 et u 3 . 2 a Démonter que pour tout entier naturel n 4 : u n 0 . b En déduire que pour tout entier naturel n 5 : u n n − 3 c En déduire la limite de la suite u n n ∈ N 3 On définit la suite v n n ∈ N par : Pour tout n ∈ N : v n = − 2 · u n + 3 · n − 21 2 . a Démontrer que la suite v n n ∈ N est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. b En déduire que : pour tout n ∈ N : u n = 25 4 · 1 3 n + 3 2 · n − 21 4 . c Soit la somme S n définie pour tout entier naturel n par : S n = n k =0 u k Déterminer l’expression de S n en fonction de n . 2. Suites, variations et limites E.3415 On considère la fonction f définie sur −∞ ; 6 par : f ( x ) = 9 6 − x On définit la suite U n par : U 0 = − 3 ; U n +1 = f U n pour tout n ∈ N 1 La courbe représentative de la fonction f est donné ci-dessous accompagnée de celle de la droite d’équation y = x . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3836 sacados/3836 Antilles-Guyanne Septembre 2010 5 points chapExoCorrec/3210 sacados/3210 Antilles-Guyane Septembre 2005 5 points chapExoCorrec/3472 sacados/3472 chapExoCorrec/3415 sacados/3415 -3-2-123456I-1234567JOCf
Construire, dans le repère ci-dessus, les points : M 0 ( U 0 ; 0) ; M 1 ( U 1 ; 0) ; M 2 ( U 2 ; 0) ; M 3 ( U 3 ; 0) ; M 4 ( U 4 ; 0) Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite U n ? 2 a Démontrer que si x< 3 alors 9 6 − x < 3 . En déduire que U n < 3 pour tout entier naturel n . b Étudier le sens de variation de la suite U n . c Que peut-on déduire des questions 2 a et 2 b ? 3 On considère la suite V n définie par V n = 1 U n − 3 pour tout entier naturel n . a Démontrer que la suite V n est une suite arithmétique de raison − 1 3 . b Déterminer V n puis U n en fonction de n . c Calculer la limite de la suite U n . E.5864 On considère la suite u n définie par u 0 = 1 2 et telle que pour tout entier naturel n : u n +1 = 3 · u n 1 + 2 · u n 1 a Calculer u 1 et u 2 . b Démontrer, par récurrence, que pour tout entier na-turel n : 0 <u n . 2 On admet que pour tout entier naturel n : u n < 1 . a Démontrer que la suite u n est croissante. b Démontrer que la suite u n converge. 3 Soit v n la suite définie, pour tout entier naturel n par : v n = u n 1 − u n a Montrer que la suite v n est une suite géométrique de raison 3 . b Exprimer pour tout entier naturel n , v n en fonction de n . c En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 3 n 3 n + 1 d Déterminer la limite de la suite u n . E.3474 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 6 − 5 x + 1 Le but de cet exercice est d’étudier des suites u n définies par un premier terme positif ou nul u 0 et vérifiant pour tout entier naturel n : u n +1 = f ( u n ) 1 Étude des propriétés de la fonction f : a Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . b Résoudre dans l’intervalle 0 ; + ∞ l’équation: f ( x ) = x . On note ¸ la solution. c Montrer que si x appartient à l’intervalle 0 ; ¸ , alors f ( x ) appartient à l’intervalle 0 ; ¸ . De même, montrer que si x appartient à l’intervalle ¸ ; + ∞ , alors f ( x ) appartient à l’intervalle ¸ ; + ∞ . 2 Étude de la suite u n pour u 0 =0 : Dans cette question, on considère la suite u n définie par u 0 =0 et pour tout entier naturel n : u n +1 = f u n = 6 − 5 u n + 1 a Sur le graphique représenté dans l’annexe 2, sont représentées les courbes d’équations y = x et y = f ( x ) . Placer le point A 0 de coordonnées ( u 0 ; 0) , et, en util-isant ces courbes, construire à partir de A 0 les points A 1 , A 2 , A 3 et A 4 d’ordonnées nulles et d’abscisses re-spectives u 1 , u 2 , u 3 et u 4 . Quelles conjectures peut-on émettre quant au sens de variation et à la convergence de la suite u n ? b Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier na-turel : 0 u n u n +1 ¸ . c En déduire que la suite u n est convergente et déter-miner sa limite. 3 Étude des suites u n selon les valeurs du réel positif ou nul u 0 . Indication : dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Que peut-on dire du sens de variation et de la conver-gence de la suite u n suivant les valeurs du réel positif ou nul u 0 ? https://chingmath.fr chapExoCorrec/5864 sacados/5864 chapExoCorrec/3474 sacados/3474
E.6269 On considère la suite numérique u n définie sur N par : u 0 = 2 ; u n +1 = − 1 2 · u 2 n + 3 · u n − 3 2 pour tout n ∈ N Partie A : Conjecture 1 Calculer les valeurs exactes, données en fractions irré-ductibles, de u 1 et u 2 . 2 Donner une valeur approchée à 10 − 5 près des termes u 3 et u 4 . 3 Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite u n . Partie B: Validation des conjectures On considère la suite numérique v n définie pour tout entier naturel n , par : v n = u n − 3 1 Montrer que, pour tout entier naturel n : v n +1 = − 1 2 · v 2 n . 2 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : − 1 v n 0 . 3 a Démontrer que, pour tout entier naturel n : v n +1 − v n = − v n · 1 2 · v n + 1 . b En déduire le sens de variation de la suite v n . 4 Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite v n con-verge? 5 On note ‘ la limite de la suite v n . On admet que ‘ appartient à l’intervalle − 1 ; 0 et véri-fie l’égalité: ‘ = − 1 2 · ‘ 2 . Déterminer la valeur de ‘ . 6 Les conjectures faites dans la partie A sont-elles validées? E.6763 Partie A Soit u n la suite définie par son premier terme u 0 et, pour tout entier naturel n , par la relation: u n +1 = a · u n + b ( a et b réels non nuls tels que a =1 ) On pose, pour tout entier naturel n : v n = u n − b 1 − a 1 Démontrer que, la suite v n est géométrique de raison a . 2 En déduire que si a appartient à l’intervalle − 1 ; 1 , alors la suite u n a pour limite b 1 − a . Partie B En mars 2015 , Max achète une plante verte mesurant 80 cm . On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante. 1 Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille? 2 Pour tout entier naturel n , on note h n la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015+ n ) . a Justifier que, pour tout entier naturel n : h n +1 = 0 ; 75 · h n + 30 b Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de varia-tion de la suite h n . Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence) . c La suite h n est-elle convergente? Justifier la réponse. https://chingmath.fr 23456789I23456789JOC chapExoCorrec/6269 sacados/6269 chapExoCorrec/6763 sacados/6763
E.6962 Le but de cet exercice est d’étudier les suites de termes positifs dont le premier terme u 0 est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel n> 0 , la somme des n premiers ter-mes consécutifs est égale au produit des n premiers termes consécutifs. On admet qu’une telle suite existe et on la note u n . Elle vérifie donc trois propriétés : u 0 > 1 pour tout n 0 , u n 0 pour tout n> 0 : u 0 + u 1 + ··· + u n − 1 = u 0 × u 1 ×···× u n − 1 1 On choisit u 0 =3 . Déterminer u 1 et u 2 . 2 Pour tout entier n> 0 , on note : s n = u 0 + u 1 + ··· + u n − 1 = u 0 × u 1 ×···× u n − 1 . On a en particulier s 1 = u 0 . a Vérifier que pour tout entier n> 0 : s n +1 = s n + u n et s n > 1 . b En déduire que pour tout entier n> 0 : u n = s n s n − 1 c Montrer que pour tout n 0 : u n > 1 . 3 On souhaite que la fonction f ci-dessous renvoie la valeur d’un des termes de la suite u n où les arguments u et n de la fonction sont respectivement le premier terme de la suite u n et le rang du terme souhaité. Fonction f(u,n) s ← u Pour i allant de 1 à n u ← ... s ← ... Fin pour Renvoyer u a Recopier et compléter la partie traitement de l’algorithme ci-dessus. b Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies au millième de u n pour différentes valeurs de l’entier n : n 0 5 10 20 30 40 u n 3 1 ; 140 1 ; 079 1 ; 043 1 ; 030 1 ; 023 Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite u n ? 4 a Justifier que pour tout entier naturel n> 0 : s n >n . b En déduire la limite de la suite s n puis celle de la suite u n . E.5854 Soit deux suites u n et v n définies par u 0 =2 et v 0 =10 et pour tout entier naturel n : u n +1 = 2 · u n + v n 3 ; v n +1 = u n + 3 · v n 4 Partie A On considère la fonction f ex-traite d’un algorithme où son ar-gument n est un entier supérieur ou égal à 1 : On appelle la fonction f avec pour argument la valeur n =2 . Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l’état des variables en cours de cet ap-pel: Fonction f(n) K ← 0 U ← 2 V ← 10 Tant que K<n K ← K+1 W ← U U ← 2 · U+V 3 V ← W + 3 · V 4 Fin tant que Renvoyer ( U ; V) Partie B 1 a Montrer que pour tout entier naturel n : v n +1 − u n +1 = 5 12 · v n − u n b Pour tout entier naturel n , on pose : w n = v n − u n . Montrer que pour tout entier naturel n : w n = 8 · 5 12 n . 2 a Démontrer que la suite u n est croissante et que la suite v n est décroissante. b Déduire des résultats des questions 1 b et 2 a que pour tout entier naturel n , on a: u n 10 ; v n 2 c En déduire que les suites u n et v n sont conver-gentes. 3 Montrer que les suites u n et v n ont la même limite. 4 Montrer que la suite t n définie par t n =3 · u n +4 · v n est constante. En déduire que la limite commune des suites u n et v n est 46 7 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6962 sacados/6962 chapExoCorrec/5854 sacados/5854 KWUV012
E.5077 L’objet de cet exercice est d’étudier la suite u n définie par : u 0 = 3 ; u n +1 = 1 2 · u n + 7 u n pour tout n ∈ N On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n , u n > 0 . 1 On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 2 · x + 7 x ( ∗ ) Démontrer que la fonction f admet un minimum. En déduire que pour tout entier naturel n : u n √ 7 2 a Soit n un entier naturel quelconque. Étudier le signe de u n +1 − u n . b Pourquoi peut-on en déduire que la suite u n est con-vergente? c On déduit de la relation ( ∗ ) que la limite ‘ de cette suite est telle que : ‘ = 1 2 · ‘ + 7 ‘ . Déterminer ‘ . 3 Démontrer que pour tout entier naturel n : u n +1 − 7 = 1 2 · u n − 7 2 u n 4 On définit la suite d n par : d 0 = 1 ; d n +1 = 1 2 · d n 2 pour tout n ∈ N a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : u n − 7 d n b Voici une fonction issue d’un algorithme prenant pour argument p qui est un entier naturel. Fonction f(p) d ← 1 n ← 0 Tant que d>10 − p d ← 0;5 · d 2 n ← n+1 Fin Tant que Renvoyer n En appelant la fonction avec la valeur 9 , la valeur ren-voyée est le nombre 5 . Quelle inégalité peut-on en déduire pour d 5 ? Justifier que u 5 est une valeur approchée de 7 à 10 − 9 près. 3. Suites et logarithmes E.5966 Partie A On considère la suite u n définie par : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 + 3 u n 3 + u n pour tout entier naturel n On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. 1 Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n , on a: u n > 1 2 a Établir que, pour tout entier naturel n , on a: u n +1 − u n = (1 − u n )(1 + u n ) 3 + u n b Déterminer le sens de variation de la suite u n . En déduire que la suite u n converge. Partie B On considère la suite u n définie par : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 + 0 ; 5 u n 0 ; 5 + u n pour tout entier naturel n . On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. 1 On considère l’algorithme suivant : u ← 2 Pour i allant de 1 à n u ← 1+0;5u 0;5+u Fin Pour Reproduire et compléter le tableau ci-dessous indiquant les valeurs prises par les variables i et u lors de l’exécution pas à pas de cet algorithme. Les valeurs de u seront arrondies au millième. i 1 2 3 u 2 Pour n =12 , on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : i 4 5 6 7 8 9 10 11 12 u 1 , 0083 0 , 9973 1 , 0009 0 , 9997 1 , 0001 0 , 99997 1 , 00001 0 , 999996 1 , 000001 Conjecturer le comportement de la suite u n à l’infini. 3 On considère la suite v n définie, pour tout entier na-turel n par : v n = u n − 1 u n + 1 a Démontrer que la suite v n est géométrique de raison − 1 3 . b Calculer v 0 puis écrire v n en fonction de n . 4 a Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: v n =1 . b Montrer que, pour tout entier naturel n , on a: u n = 1 + v n 1 − v n c Déterminer la limite de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5077 sacados/5077 Metropole Septembre 2012 5 points chapExoCorrec/5966 sacados/5966
E.6264 On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypothèses, l’évolution de cette quantité, minute par minute. 1 On effectue à l’instant 0 une injection de 10 m‘ de médica-ment. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n , on note u n la quan-tité de médicament, en m‘ , restant dans le sang au bout de n minutes. Ainsi, u 0 =10 . a Quelle est la nature de la suite u n ? b Pour tout entier naturel n , donner l’expression de u n en fonction de n . c Au bout de combien de temps la quantité de médica-ment restant dans le sang devient-elle inférieure à 1 % de la quantité initiale? Justifier la réponse. 2 Une machine effectue à l’instant 0 une injection de 10 m‘ de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en dessous de 5 m‘ , la machine réinjecte 4 m‘ de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel n , on note v n la quantité de médicament, en m‘ , restant dans le sang à la minute n . L’algorithme suivant permet, au travers des valeurs prises par la variable v , d’obtenir la quantité restante de médicament, minute par minute. v ← 10 Pour n allant de 1 à 15 v ← 0;8 × v Si v<5 Alors v ← v+4 Fin Si Fin Pour a Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à 10 − 2 et pour n supérieur ou égal à 1 , la quantité restante de médicament, minute par minute, obtenue avec l’algorithme. n 0 1 2 3 4 5 6 7 v n 10 8 6 ; 4 8 ; 15 n 8 9 10 11 12 13 14 15 v n 6 ; 52 5 ; 21 8 ; 17 6 ; 54 5 ; 23 8 ; 18 6 ; 55 5 ; 24 b Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l’organisme? c On souhaite programmer la machine afin qu’elle in-jecte 2 m‘ de produit lorsque la quantité de médica-ment dans le sang est inférieure ou égale à 6 m‘ et qu’elle s’arrête au bout de 30 minutes. Recopier l’algorithme précédent en le modifiant afin, qu’en fin d’exécution, la valeur de la variable b soit la quantité de médicament, en m‘ , restant dans le sang, minute par minute, avec ce nouveau protocole. 3 On programme la machine de façon que : à l’instant 0 , elle injecte 10 m‘ de médicament, toutes les minutes, elle injecte 1 m‘ de médicament. On estime que 20 % du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n , on note w n la quantité de médicament, en m‘ , présente dans le sang du patient au bout de n minutes. a Justifier que pour tout entier naturel n : w n +1 = 0 ; 8 · w n + 1 . b Pour tout entier naturel n , on pose : z n = w n − 5 . Démontrer que z n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. c En déduire l’expression de w n en fonction de n . d Quelle est la limite de la suite w n ? Quelle interpré-tation peut-on en donner? E.3234 Pour tout entier naturel n , on pose u n = n 10 2 n . On définit ainsi une suite u n n ∈ N 1 Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l’équivalence suivante : u n +1 0 ; 95 u n si, et seulement si, 1+ 1 n 10 1 ; 9 2 On considère la fonction f définie sur 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 + 1 x 10 a Étudier le sens de variation et la limite en + ∞ de la fonction f . b Montrer qu’il existe dans l’intervalle 1 ; + ∞ un unique nombre réel ¸ tel que f ( ¸ )=1 ; 9 . c Déterminer l’entier naturel n 0 tel que n 0 − 1 ¸ n 0 . d Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16 , on a: 1 + 1 n 10 1 ; 9 . 3 a Déterminer le sens de variation de la suite ( u n ) à partir du rang 16 . b Que peut-on déduire pour la suite? 4 En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, l’encadrement : 0 u n 0 ; 95 n − 16 · u 16 En déduire la limite de la suite u n n ∈ N https://chingmath.fr chapExoCorrec/6264 sacados/6264 chapExoCorrec/3234 sacados/3234
E.3267 1 Soit u la suite définie par : u 0 = 0 u n +1 = 1 2 − u n pour tout entier naturel n . a Calculer u 1 , u 2 et u 3 . On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irréductible. b Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie sur N par : w n = n n + 1 . c À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n : u n = w n . 2 Soit v la suite de terme général v n défini par : v n = ln n n + 1 où ln désigne la fonction logarithme népérien : a Montrer que : v 1 + v 2 + v 3 = − ln 4 b Soit S n la somme définie pour tout entier naturel non nul n par : S n = v 1 + v 2 + · · · + v n Exprimer S n en fonction de n . Déterminer la limite de S n lorsque n tend vers + ∞ . 4. Suites et intégrations E.3161 On considère les suites u n et v n définies, pour tout entier naturel n non nul, par : u 1 = 1 u n = u n − 1 + 1 n pour n 2 ; v n = u n − ln n pour n 1 1 a Calculer u 2 , u 3 et u 4 . b Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : u n = n k =1 1 k 2 a Montrer que, pour tout entier naturel k non nul : 1 k + 1 k +1 k 1 x d x 1 k b En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , on a les inégalités suivantes : u n − 1 ln n u n − 1 n ; 0 v n 1 3 a Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : v n +1 − v n = 1 n + 1 − n +1 n 1 x d x b En déduire le sens de variations de la suite ( v n ) . 4 Montrer que la suite ( v n ) converge. On note ‚ la limite de la suite ( v n ) (on ne cherchera pas à calculer ‚ ) . Quelle est la limite de la suite ( u n ) ? E.3144 1 Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonc-tion f n définie sur 0 ; + ∞ par : f n ( x ) = ln x + x n − 1 a Déterminer les limites de f n en 0 et en + ∞ puis étudier le sens de variations de f n . b Montrer que l’équation f n ( x )=0 admet une unique so-lution dans 0 ; + ∞ . On note ¸ n cette solution. Mon-trer qu’elle appartient à l’intervalle 1 ; e . 2 Le plan est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On note (Γ) la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. a Soit n un entier naturel non nul. Déterminer une équa-tion de la droite Δ n passant par le point A de coordon-nées (0 ; 1) et le point B n de coordonnées ( n ; 0) . b Faire un croquis représentant la courbe (Γ) et les droites Δ 1 , Δ 2 et Δ 3 . c Montrer que ¸ n est l’abscisse du point d’intersection de (Γ) avec Δ n . d Préciser la valeur de ¸ 1 puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite ¸ n ) . 3 a Exprimer ln( ¸ n ) en fonction de n et ¸ n . b Exprimer f n +1 ( ¸ n ) en fonction de n et de ¸ n et véri-fier que : f n +1 ( ¸ n ) < 0 c Déduire de la question précédente le sens de variation de la suite ( ¸ n ) . d Montrer que la suite ( ¸ n ) converge. On note ‘ sa limite. Établir que ln ‘ =1 et en déduire la valeur de ‘ . 4 On désigne par D n le domaine délimité par la courbe (Γ) , l’axe des abscisses et les droites d’équation : x = ¸ n et x =e . a Calculer l’aire du domaine D n en fonction de ¸ n et montrer que cette aire est égale à ¸ 2 n n . b Établir que : (e − ¸ n )ln ¸ n ¸ 2 n n (e − ¸ n ) c En déduire un encadrement de n (e − ¸ n ) . d la suite de terme général n (e − ¸ n ) est-elle convergente? Ce résultat permet-il d’apprécier la rapidité de la con-vergence de la suite ( ¸ n ) ? 5. Exercices non-classés E.8144 Polynésie Juin 2018 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3267 sacados/3267 chapExoCorrec/3161 sacados/3161 chapExoCorrec/3144 sacados/3144 sacados/8144