Terminale Spécialité / Autre annales, QCM, affirmations ... 5 exercices corrigés

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1. Trigonométrie E.3163 Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km = h . Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroy-ant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est-à-dire à 30 km = h ! L’avant du camion est représenté par le segment [ CC ] sur le schéma ci-dessous. Le lapin part du point A en direction de d . Cette direction est repérée par l’angle „ = BAD avec : 0 „< ı 2 (en radians) 1 Déterminer les distances AD et CD en fonction en „ et les temps t 1 et t 2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD . 2 On pose : f ( „ )= 7 2 +2 · tan „ − 4 cos „ . Montrer que le lapin aura traversé la route avant le pas-sage du camion si et seulement si f ( „ ) > 0 . 3 Conclure. Rappel: La fonction x ↦−→ tan x est dérivable sur 0 ; ı 2 et a pour dérivée la fonction x ↦−→ 1 cos x 2 2. Affirmations E.3169 Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1 a à 3 d , sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du numéro de l’affirmation, et avec le plus grand soin, la men-tion VRAI ou FAUX. Chaque réponse convenable rapporte 0 ; 4 point. Chaque réponse erronée enlève 0 ; 1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0. 1 Pour tout réel x , e x désigne l’image de x par la fonction exponentielle. Affirmation a Pour tous les réels a et b : e a b =e a b Affirmation b Pour tous les réels a et b : e a − b = e a e b Affirmation c La droite d’équation y = x +1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1. 2 Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I . Affirmation a Si f est dérivable en a , alors f est con-tinue en a Affirmation b Si f est continue en a , alors f dérivable en a Affirmation c Si f est dérivable en a , alors la fonc-tion h ↦−→ f ( a + h ) − f ( a ) h admet une lim-ite finie en 0 . 3 On considère deux suites u n et v n définies sur N : Affirmation a Si lim u n =+ ∞ et si lim v n = −∞ alors lim( u n + v n )=0 Affirmation b Si ( u n ) converge vers un réel non nul et si lim v n =+ ∞ alors la suite u n × v n ne converge pas. Affirmation c Si ( u n ) converge vers un réel non nul, si ( v n ) est positive et si lim v n =0 , alors la suite u n v n ne converge pas. Affirmation d Si ( u n ) et ( v n ) convergent alors la suite u n v n converge. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3163 sacados/3163 4mCamion7mCCABD„ chapExoCorrec/3169 sacados/3169
E.6352 Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte. Dans chaque cas, indiquer la bonne réponse sans justification. 1 Dans un repère de l’espace, on considère les trois points : A 1 ; 2 ; 3 ; B − 1 ; 5 ; 4 ; C − 1 ; 0 ; 4 . La droite parallèle à la droite ( AB ) passant par le point C a pour représentation paramétrique : a x = − 2 t − 1 y = 3 t z = t + 4 ;t ∈ R b x = − 1 y = 7 t z = 7 t + 4 ;t ∈ R c x = − 1 − 2 t y = 5 + 3 t z = 4 + t ;t ∈ R d x = 2 t y = − 3 t z = − t ;t ∈ R 2 L’espace est muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k or-thonormé. La droite ( D ) est définie par la représentation paramétrique : x = 5 − 2 t y = 1 + 3 t z = 4 , t ∈ R On note D la droite qui passe par le point A de coordon-nées 3 ; 1 ; 1 et a pour vecteur directeur : −→ u = 2 · −→ i − −→ j + 2 · −→ k . Les droites D et D sont : a parallèles b confondues c non coplanaire d sécantes 3 La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH . Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [ GH ] et [ FG ] . Les points M et N sont les centres respec-tifs des faces ABFE et BCGF . Les droites ( IJ ) et ( MN ) sont : a perpendiculaires b orthogonales c sécantes, non perpendiculaires d parallèles 4 L’ensemble des nombres complexes z tel que z = z +1 z − 1 est un réel est : a l’ensemble des nombres réels dont la partie imaginaire est égale à la partie réelle; b l’ensemble des imaginaires purs ; c l’ensemble des nombres réels privé du nombre 1 ; d le nombre i 3. Exercices non-classés E.6050 Pour chacune des quatre proposi-tions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justi-fié. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée. 1 Proposition 1: Dans le plan muni d’un repère or-thonormé, l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’égalité | z − i | = | z +1 | est une droite. 2 Proposition 2: Le nombre complexe 1+i · 3 4 est un nombre réel. 3 Soit ABCDEFGH un cube. Proposition 3: Les droites ( EC ) et ( BG ) sont orthog-onales. 4 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Soit le plan P d’équation cartésienne : x + y + 3 z + 4 = 0 . On note S le point de coordonnées 1 ; − 2 ; − 2 . Proposition 4: La droite ( d ) , qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P , a pour représentation paramétrique : x = 2 + t y = − 1 + t z = 1 + 3 t où t ∈ R . E.8147 Antilles-Guyane septembre 2018 5 points https://chingmath.fr chapExoCorrec/6352 sacados/6352 ABCDEFGHIJMN chapExoCorrec/6050 sacados/6050 ABCDEFGH sacados/8147 Antilles-Guyane Septembre 2018 5 points