Terminale Spécialité / Calcul intégral 56 exercices corrigés

a
1. Introduction E.3921 On considère la fonction carrée, notée f et sa courbe C f représentative dans le repère O ; I ; J . On construit des rectangles pour ˇ remplir ı l’aire située entre la courbe C f et l’axe des abscisses. Les deux représentations ci-dessous partagent l’intervalle 0 ; 1 en n parties égales formant des rectangles de même largeur: pour la figure de gauche n =5 ; la figure de droite représente une figure quelconque. Partie A : n =5 On note A 5 l’aire grisée située sous la courbe. 1 Justifier l’égalité: A 5 = 4 k =0 1 5 · k 5 2 2 Établir l’égalité: A 5 = 6 25 Partie B: dans le cas général n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note A n l’aire hachurée sous la courbe C f lorsque le seg-ment [0 ; 1] est divisé en n parties égales. On admet que cette aire a pour valeur: A n = n − 1 k =1 1 n · k n 2 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n tel que n 2 : n − 1 k =1 k 2 = ( n − 1) · n · (2 n − 1) 6 2 En déduire l’égalité suivante : A n = ( n − 1) · n · (2 n − 1) 6 · n 3 3 a Déterminer la valeur de la limite: lim n ↦→ + ∞ 2 n 3 − 3 n 2 + n 6 n 3 b En déduire la mesure de l’aire comprise : verticalement : entre les deux droites d’équations x =0 et x =1 . horizontalement : entre la courbe C f et la droite d’équation y =0 . E.3922 Soit f une fonction continue, strictement croissante sur R + . On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Pour a ∈ R + , on note S ( a ) l’aire comprise : verticalement : entre les droites d’équations : x =0 et x = a ; horizontalement : entre la courbe C f et la droite d’équation y =0 . La figure de gauche présente l’image de x 0 par la fonction S : On souhaite déterminer la fonction dérivée de la fonction S . Pour cela, on considère le nombre réel h où h> 0 et la figure de droite ci-dessus. 1 Cette représentation met en évidence les trois aires suiv-antes : Laquelle de ces aires représente l’aire définie par : S ( x 0 + h ) − S ( x 0 ) 2 a Comparer les trois aires A 1 , A 2 et A 3 . b Donner un encadrement de la différence ci-dessous, à l’aide de la fonction f , de x 0 et de h : S ( x 0 + h ) − S ( x 0 ) 3 En déduire la limite suivante : lim h ↦→ 0 + S ( x 0 + h ) − S ( x 0 ) h = f x 0 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3921 sacados/3921 IJOfx−x2CfIJOfx−x2CfCf15R1Cf25R2Cf35R3Cf45R4 IJOfx↦−x2CfIJOfx↦−x2CfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCf1n chapExoCorrec/3922 sacados/3922 ijijCfS(x0x0 ijijCfx0x0h A1A3ijA2
E.6010 Soit f la fonction définie et dériv-able sur R . On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C 1 , C 2 , C 3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0 . 1 Donner par lecture graphique, le signe de f ( x ) selon les valeurs de x . 2 On désigne par F une fonction vérifiant la condition suiv-ante : F = f (i.e. ∀ x ∈D f ; F ( x )= f ( x ) ) . a À l’aide de la courbe C , déterminer F (0) et F ( − 2) . b L’une des courbes C 1 , C 2 , C 3 est la courbe représenta-tive de la fonction F . Déterminer laquelle en justifiant l’élimination des deux autres. 2. Premières manipulations des primitives E.5231 Soit f une fonction strictement positive sur l’intervalle a ; b . On considère la fonction F définie sur a ; b par la relation: F ( x ) = x a f ( t ) d t 1 Dresser le tableau de variations de la fonction F sur l’intervalle a ; b . 2 Justifier l’existence d’un unique réel x 0 vérifiant : F ( x 0 ) = 1 2 · F ( b ) E.6756 On considère la fonction carrée, notée f et sa courbe C f représentative dans le repère O ; I ; J . On construit des rectangles pour ˇ remplir ı l’aire située entre la courbe C f et l’axe des abscisses. Les deux représentations ci-dessous partagent l’intervalle 0 ; 1 en n parties égales formant des rectangles de même largeur: pour la figure de gauche n =5 ; la figure de droite représente une figure quelconque. Partie A : n =5 Dans la figure 1 , on note A 5 l’aire de la partie grisée. 1 Justifier l’égalité: A 5 = 4 k =0 1 5 · k 5 2 2 Établir l’égalité: A 5 = 6 25 Partie B: avec OpenCal 1 a Dans une nouvelle feuille de calcul, saisir les valeurs suivantes : b Saisir dans la cellule A4 la formule : =1/$B$1*(A3/$B$1)^2 Étendre cette formule sur la plage A4:F4 . c Écrire une formule dans la cellule B6 donnant la somme des valeurs présentes dans la ligne 4 . d Justifier que cette valeur est la valeur approchée de A 6 . 2 Modifier votre feuille de calcul pour calculer A 7 . 3 De même pour obtenir une valeur approchée de A 50 . 3. Calcul d’aires https://chingmath.fr chapExoCorrec/6010 sacados/6010 IJOC ijC1d1 ijC2d2 ijC3d3 chapExoCorrec/5231 sacados/5231 chapExoCorrec/6756 sacados/6756 IJOFigure1CfIJOFigure1CfCf15R1Cf25R2Cf35R3Cf45R4 IJOFigure2CfIJOFigure2CfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCfCf1n 123456ABCDEFGn=6012345A=
E.3929 On considère la fonction f , définie sur 0 ; 4 , dont la représentation graphique est donnée ci-dessous : Déterminer un encadrement de lıintégrale: 4 0 f ( x ) d x E.6922 Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère une fonction f définie sur R et dont la courbe C f est représentée ci-dessous : Proposer, à l’aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement avec une amplitude de 0 ; 05 de l’aire du do-maine délimité par : les droites d’équations x =0 et x =1 ; la courbe C f et l’axe des abscisses E.5224 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 1 2 · x 2 − 3 x + 4 1 Déterminer la valeur de l’intégrale: 5 1 f ( x ) d x . 2 Ci-dessous est donnée la courbe C f représentative de la fonction f dans un repère O ; I ; J orthonormé : On souhaite déterminer la valeur de l’aire de la partie présentée en gris. a Déterminer les zéros de la fonction f qu’on notera x 0 et x 1 tels que x 0 <x 1 . b Déterminer la valeur de : x 0 1 f ( x ) d x + 5 x 1 f ( x ) d x c Déterminer la valeur de : x 1 x 0 f ( x ) d x d En déduire l’aire, en unité d’aire, de la partie grisée. E.3975 Soient f et g deux fonctions définies et continues sur l’intervalle 0 ; 1 . Dire si la proposition suivante est exacte ou non. Justifier votre réponse. Si 1 0 f ( x ) d x = 1 0 g ( x ) d x alors f = g sur l’intervalle [0 ; 1] . E.3993 Le plan est muni d’un repère or-thogonal O ; −→ i ; −→ j . La courbe ( C ) , donnée en annexe, est la courbe représentative d’une fonction f dérivable sur 0 ; + ∞ , de fonction dérivée f continue sur 0 ; + ∞ La courbe ( C ) passe par les points O et A 1 ; 1 2 e et, sur 0 ; 1 , elle est au-dessus du segment [ OA ] . 1 Montrer que : 1 0 f ( x ) d x = 1 2 · e . 2 Montrer que : 1 0 f ( x ) d x 1 4 · e https://chingmath.fr chapExoCorrec/3929 sacados/3929 Cf234I234JO chapExoCorrec/6922 sacados/6922 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2016 00,20,40,60,811,20,20,40,60,8Cf chapExoCorrec/5224 sacados/5224 1x0x15 chapExoCorrec/3975 sacados/3975 chapExoCorrec/3993 sacados/3993 0120,10,20,3AC
E.3974 On munit le plan du repère O ; −→ i ; −→ j orthonormé d’unité graphique 3 cm . On considère la fonction f définie sur 1 ; e par : f ( x ) = ln x x On note C la courbe représentative de la fonction f . 1 Montrer que : e 1 f ( x ) d x = 1 2 . 2 En déduire l’aire de la région du plan délimitée par les droites d’équation x =1 et x = e , l’axe des abscisses et la courbe C . On exprimera cette aire en cm 2 . E.5238 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 2 x − 2 − 1 4 · ⏐ ⏐ x − 4 ⏐ ⏐ Ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans le repère O ; I ; J orthonormé : On souhaite déterminer l’aire de la partie hachurée. 1 Simplifier l’expression de la fonction f sur chacun des intervalles 0 ; 4 et 4 ; 8 . 2 Déterminer l’aire de la surface grisée. 4. Calcul d’integrales E.3951 Calculer les intégrales suivantes : a 2 − 3 x + 1 d x b 5 0 2 x − 5 2 d x c 1 − 3 1 − x 3 d x d 4 1 x 2 · x 2 + 1 2 d x e 6 4 2 · x x 2 − 3 d x f 3 1 1 x 2 − 1 x d x E.3952 Calculer les intégrales suivantes : a 5 4 ln x x d x b 4 − 2 1 x + 3 d x c 3 − 1 1 x + 4 d x d 1 − 1 x 2 · 2 · x 3 + 2 2 d x E.3995 On considère la fonction g définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x 2 · e − x 1 Soit H la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : H ( x ) = − x 2 + 2 · x · e − x Calculer la dérivée H de la fonction H . 2 En déduire une primitive sur l’intervalle 0 ; + ∞ de la fonction g . 3 En déduire la valeur de l’intégrale: 1 0 g ( x ) d x E.4321 Soit h la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : h ( x ) = x · ln x − x 1 Montrer que la fonction h est une primitive de la fonction logarithme népérien sur 0 ; + ∞ . 2 Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10 − 2 près, de l’aire dont la surface est délimitée par : l’axe des abscisses et la courbe C représentative de la fonction logarithme népérien ; les droites d’équations : x =1 ; x =2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3974 sacados/3974 chapExoCorrec/5238 sacados/5238 Cf-123456789I-4-3-2-12JO chapExoCorrec/3951 sacados/3951 chapExoCorrec/3952 sacados/3952 chapExoCorrec/3995 sacados/3995 chapExoCorrec/4321 sacados/4321 Extrait des Antilles Juin 2011
E.6011 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ( x + 2) · e 1 2 x On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j . On pose : I = 1 0 f ( x ) d x . 1 Interpréter géométriquement le réel I . 2 Soient u et v les fonctions définies sur R par : u ( x ) = x ; v ( x ) = e 1 2 x Vérifier que : f = 2 · u · v + u · v . 3 En déduire la valeur exacte de l’intégrale I . E.6012 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = 2 x + 3 · e x x + 4 2 On considère le nombre I défini par : I = 2 0 f ( x ) d x . On donne dans le repère ci-dessous la courbe C représentative de la fonction f : 1 Hachurer sur la représentation ci-dessus un domaine du plan ayant une aire de I . Justifier votre démarche. 2 a On considère les deux fonctions u et v définies par : u ( x ) = 2 · e x ; v ( x ) = x + 4 Prouver qu’on a la relation suivante sur 0 ; + ∞ : f = u · v − u · v v 2 b En déduire la valeur exacte du nombre I . E.3979 Soit n un entier naturel non-nul, on définit la fonction f n par : f n ( x ) = 4 · e n · x e n · x + 7 1 Pour n un entier naturel non-nul, déterminer une primi-tive de la fonction f n . 2 Soit la suite u n définie pour tout entier naturel n non nul par : u n = n ln 7 · ln 7 n 0 f n ( x ) d x . Montrer que la suite u n est constante. E.3967 1 Soit f la fonction f définie sur D = − 1 ; + ∞ par la re-lation: f ( x ) = x 2 x + 1 La courbe représentative C f de la fonction f est donnée dans le repère O ; I ; J , on a: a Déterminer la valeur des nombres réels a , b et c vérifi-ant l’égalité suivante pour tout x ∈D : f ( x ) = a · x + b + c x + 1 b Déterminer l’expression d’une primitive de la fonction f . c Calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe ( C f ) et les droites d’équations : x = − 3 4 ; x = 5 2 ; y = 0 d Sachant que cette représentation est réalisée avec l’échelle: 1 unité = 1 ; 5 cm Donner l’aire A en cm 2 arrondi à l’unité. 2 Calculer les intégrales suivantes : a 3 − 1 x · e x 2 +1 d x b 2 0 x · e x 2 e x 2 + 1 2 d x E.5530 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x )= 1 1+e − x 1 Démontrer que, pour tout réel x : f ( x )= e x 1+e x 2 On définit le nombre : I = 1 0 f ( x ) d x . Montrer que : I =ln 1+ e 2 Donner une interprétation graphique de I . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6011 sacados/6011 IJOCf chapExoCorrec/6012 sacados/6012 ijC chapExoCorrec/3979 sacados/3979 chapExoCorrec/3967 sacados/3967 -123I-123JOCf chapExoCorrec/5530 sacados/5530 Extrait du Liban Mai 2013
5. Linéarité de l’intégrale E.5233 On considère les deux intégrales suiv-antes : I = 1 0 e x e x + 1 d x ; J = 1 0 1 e x + 1 d x 1 Justifier l’égalité: I + J =1 . 2 a Déterminer la valeur de l’intégrale I . b En déduire la valeur de l’intégrale J . E.3980 On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u n = 1 0 e − n · x 1 + e − x d x 1 Montrer que : u 0 + u 1 =1 2 Montrer que, pour tout entier naturel n non-nul : u n +1 + u n = 1 − e − n n E.4293 On considère le plan muni d’un repère orthonormé O ; I ; J dont l’unité mesure 2 cm . On note f la fonction définie sur R ∗ + par la relation: f ( x ) = x + ln x x Ci-dessous est donnée la courbe C représentative de la fonc-tion f . 1 Montrer que : e 1 ln x x d x = 1 2 2 En déduire l’aire de la région du plan délimitée par : les droites d’équation x =1 et x = e ; l’axe des abscisses et la courbe C . On exprimera cette aire en cm 2 . Hachurer cette région sur le graphique. 6. Relation de Chasles E.5234 On considère la fonction partie entière E qui renvoie à tout nombre réel sa partie entière. 1 Dans le repère ci-dessous, représenter la courbe représen-tative de la fonction E sur l’intervalle − 1 ; 4 . 2 Déterminer la mesure de l’intégrale: 4 0 E ( x ) d x E.2650 On considère la fonction f affine par morceaux dont la représentation est donnée ci-dessous : 1 Déterminer l’aire de la partie grisée. 2 Déterminer la valeur de l’intégrale: 2 − 3 f ( x ) d x E.125 On considère les deux fonctions f et g définies par : f ( x ) = e x − 1 ; g ( x ) = e − x Dans le repère O ; I ; J orthonormé, on note C f et C g les courbes représentatives respectives des fonctions f et g . Le domaine grisé ci-dessus est définie par : il est situé entre les droites d’équations x = − 1 et x =2 . il est situé au-dessus de l’axe des abscisses. il est situé sous les deux courbes C f et C g . Déterminer l’aire de ce domaine. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5233 sacados/5233 chapExoCorrec/3980 sacados/3980 Extrait de Liban Juin 2010 chapExoCorrec/4293 sacados/4293 Extrait d'Antilles-guyane Septembre 2010 234I-2-1234JOeC chapExoCorrec/5234 sacados/5234 -1234I-1234JO chapExoCorrec/2650 sacados/2650 -3-2-12I-2-12JOCf chapExoCorrec/125 sacados/125 -2-123I2JOCfCg
7. Positivité de l’intégrale E.3978 Soit f une fonction définie sur R et ad-mettant le tableau de variations suivant : Déterminer, si possible, le signe des intégrales suivantes : a 3 1 f ( x ) d x b 0 − 2 f ( x ) d x c 1 − 1 f ( x ) d x d e 3 f ( x ) d x e ln 2 ln 1 2 f ( x ) d x f e 1 2 1 f ( x ) d x E.6018 Pour tout entier naturel n , on considère la fonction f n définie sur 0 ; 1 par la relation: f n ( x ) = x n 1 + x On définit la suite u n de nombres réels par : u n = 1 0 f n ( x ) d x pour tout n ∈ N 1 Établir, pour tout entier naturel n , la comparaison : u n 1 0 x n d x 2 En déduire que la suite u n est convergente et converge vers 0 . E.3991 Soit n un entier naturel. On note f n , la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par : f n ( x ) = e − n · x 1 + e − x On pose, pour tout entier naturel n : u n = 1 0 f n ( x ) d x 1 Calculer u 1 puis montrer que u 0 + u 1 =1 . En déduire u 0 . 2 Démontrer que, pour tout entier n : 0 u n 1 0 e − n · x d x 3 Calculer l’intégrale: 1 0 e − n · x d x En déduire que la suite u n est convergente et préciser sa limite. E.3977 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 1 par la relation: f ( x ) = x n · x pour x ∈ 0 ; 1 . On considère la suite u n définie, pour n ∈ N , par : u n = 1 0 x n · x d x . 1 Justifier que tous les termes de la suite sont positifs. 2 En étudiant le signe de la fonction : x ↦−→ x n +1 · x − x n · x , Montrer que la suite u n est décroissante. 3 En déduire que la suite u n est convergente. E.5389 On considère la suite I n définie pour n entier naturel non nul par : I n = 1 0 x n · e x 2 d x 1 a Soit g la fonction définie sur R par : g ( x ) = x · e x 2 . Démontrer que la fonction G définie sur R par : G ( x ) = 1 2 · e x 2 est une primitive sur R de la fonction g . b En déduire la valeur de I 1 . 2 On admet la relation suivante pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : I n +2 = 1 2 e − n + 1 2 · I n On considère l’algorithme suivant : n ← 1 u ← 1 2 e − 1 2 Tant que n<21 u ← 1 2 e − n+1 2 · u n ← n+2 Fin Tant que En fin d’exécution de l’algorithme, quel terme de la suite I n est affecté à la variable u ? 3 a Montrer que, pour tout entier naturel non nul n : I n 0 . b Montrer que ( I n ) est décroissante. c En déduire que la suite I n est convergente. On note I sa limite. 4 Indication : dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer I . 8. Positivité de l’intégrale et bornes variables E.3973 On considère la suite u n n ∈ N définie, pour tout entier naturel n , par la relation: u n = n 0 x · e − x d x Justifier que la suite u n est croissante. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3978 sacados/3978 −∞0e∞−∞0ln50xVariationdef chapExoCorrec/6018 sacados/6018 chapExoCorrec/3991 sacados/3991 Extrait de Centres Etrangers Juin 2009 chapExoCorrec/3977 sacados/3977 chapExoCorrec/5389 sacados/5389 chapExoCorrec/3973 sacados/3973
E.3989 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = x · e − x 2 La courbe représentative de la fonction f est donnée ci-dessous : On admet que la fonction f est strictement décroissante sur 2 2 ; + ∞ . On considère la suite u n définie pour tout en-tier naturel n par : u n = n +1 n f ( x ) d x On ne cherchera pas à expliciter u n 1 Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1 , on a: f ( n +1) u n f ( n ) 2 Quel est le sens de variation de la u n n 2 ? 3 Montrer que la suite u n converge. Quelle est sa limite? E.6915 Soit f la fonction définie et dériv-able sur l’intervalle 0 ; + ∞ telle que : f ( x )= x e x − x Soit la suite I n définie pour tout entier naturel n par : I n = n 0 f ( x ) d x On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de I n en fonc-tion de n . 1 Montrer que la suite I n est croissante. 2 On admet que pour tout réel x de l’intervalle 0 ; + ∞ : e x − x e x 2 a Montrer que, pour tout entier naturel n : I n n 0 2 · x · e − x d x b Soit H la fonction définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; + ∞ telle que : H ( x )= − x − 1 · e − x . Déterminer la fonction dérivée H de la fonction H . c En déduire que, pour tout entier naturel n : I n 2 . 3 Montrer que la suite I n est convergente. On ne de-mande pas la valeur de sa limite. 9. Intégrales et étude de fonctions E.6920 Soit a un nombre réel compris entre 0 et 1 . On note f a la fonction définie sur R par : f a ( x ) = a · e a · x + a On note I ( a ) l’intégrale de la fonction f a entre 0 et 1 : I ( a ) = 1 0 f a ( x ) d x Existe-t-il une valeur de a pour laquelle I ( a ) est égale à 2 ? Si oui, en donner un encadrement d’amplitude 10 − 2 . E.3976 On souhaite encadrer l’intégrale: I = 1 0 e x 1+ x d x On définit la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 par : f ( x ) = e x 1 + x 1 Étudier les variations de f sur 0 ; 1 . 2 On pose, pour tout entier n compris entre 0 et 5 : S n = n k =0 f k 5 . a Justifier que pour tout entier k compris entre 0 et 4 , on a: 1 5 · f k 5 k +1 5 k 5 e x 1 + x d x 1 5 · f k +1 5 Interpréter graphiquement à l’aide de rectangles les in-égalités précédentes. b En déduire que : 1 5 · S 4 1 0 e x 1 + x d x · 1 5 · S 5 − 1 c Donner des valeurs approchées à 10 − 4 près de S 4 et de S 5 respectivement. En déduire l’encadrement : 1 ; 092 1 0 e x 1 + x d x 1 ; 164 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3989 sacados/3989 23IJO chapExoCorrec/6915 sacados/6915 chapExoCorrec/6920 sacados/6920 Extrait d'Asie Juin 2016 chapExoCorrec/3976 sacados/3976
E.5237 Partie A On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle 1 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 x + 1 + ln x x + 1 1 Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . 2 Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle: f ( x ) = 1 x ( x + 1) 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . 3 En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle 1 ; + ∞ . Partie B On considère la suite u n définie pour n ∈ N ∗ définie par : u n = 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n − ln n 1 Démontrer que pour tout entier strictement positif n : u n +1 − u n = f ( n ) où f est la fonction définie dans la partie A . En déduire le sens de variation de la suite u n . 2 a Soit k un entier strictement positif. Justifier l’inégalité: k +1 k 1 k − 1 x d x 0 En déduire que : k +1 k 1 x d x 1 k Démontrer l’inégalité: ln( k +1) − ln k 1 k b Écrire l’inégalité précédente en remplaçant successive-ment k par 1 , 2 , . . . , n et démontrer que pour tout entier strictement positif n : ln( n +1) 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n c En déduire que pour tout entier strictement positif n : u n 0 3 Prouver que la suite u n est convergente. On ne de-mande pas de calculer sa limite. 10. Intégrale et familles de fonctions E.5242 On désigne par I n la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par : I n = 1 0 x n · e − x d x 1 a On considère les deux fonctions f et g définies par : f ( x ) = x · e − x ; g ( x ) = ( − x − 1) · e − x Montrer que la fonction g est une primitive de la fonc-tion f . b Calculer I 1 . 2 Indication : dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions de courbes C 1 , C 2 , C 3 , C 10 , C 20 , C 30 comprises dans la bande définie par 0 x 1 . a Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite I n en décrivant sa démarche. b Démontrer cette conjecture. c En déduire que la suite I n est convergente. d Déterminer : lim n ↦→ + ∞ I n . E.5236 On considère les suites I n et J n définies pour tout entier naturel n par : I n = 1 0 e − nx 1 + x d x ; J n = 1 0 e − nx (1 + x ) 2 d x 1 Sont représentées ci-dessous les fonctions f n définies sur l’intervalle 0 ; 1 par : f n ( x ) = e − nx 1 + x pour différentes valeurs de n . a Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite I n en expliquant la démarche. b Démontrer cette conjecture. 2 a Montrer que pour tout entier n 0 et pour tout nom-bre réel x de l’intervalle 0 ; 1 : 0 e − nx (1 + x ) 2 e − nx 1 + x e − nx https://chingmath.fr chapExoCorrec/5237 sacados/5237 chapExoCorrec/5242 sacados/5242 x01y0.20.4C1C2C3C10C20C30 chapExoCorrec/5236 sacados/5236 0.20.40.60.81.2I0.20.40.60.8JOCf0Cf1Cf2Cf3
b Montrer que les suites I n et J n sont convergentes et déterminer leur limite. E.6921 Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . Pour tout entier naturel n , on considère la fonction f n définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels R par : f n ( x ) = e − ( n − 1) x 1 + e x On désigne par C n la courbe représentative de f n dans le repère O ; −→ i ; −→ j . On a représenté ci-dessous les courbes C n pour différentes valeurs de n . Soit la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u n = 1 0 f n ( x ) d x 1 Quelles conjectures peut-on faire concernant les varia-tions et la convergence de la suite u n ? 2 On admet que la suite u n est convergente et on note ‘ sa limite. a Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , on a: u n + u n +1 = 1 − e − n n b En déduire la valeur de ‘ . 11. Aire d’un domaine compris entre deux courbes E.3984 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= x +2 − 4 · e x e x +3 On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rap-porté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité graphique 2 cm . 1 a Déterminer la limite de f en −∞ . b On considère la droite D 1 d’équation y = x +2 . Étudier la position de C par rapport à D 1 . 2 a Déterminer une primitive de la fonction g définie sur R par : g ( x ) = e x e x + 3 b Soit – un réel strictement négatif. On note A ( – ) l’aire, en unités d’aire, du domaine lim-ité par D 1 , C et les droites d’équations : x = – ; x = 0 Montrer que : A ( – )=4 · ln4 − 4 · ln e λ +3 c Calculer: lim λ ↦→−∞ A ( – ) . E.126 Dans un repère O ; I ; J , on considère les deux courbes C et Δ où : la courbe C est la courbe représentative de la fonc-tion f définie par : f ( x )=e − x +2 x +1 la droite Δ a pour équation réduite : y = x +2 On considère le domaine grisé représenté ci-dessus et défini par : situé entre les droites d’équations x = − 2 et x =2 ; situé entre la courbe C et la droite Δ . 1 a Étudier les variations de la fonction de la fonction f définie par : g ( x )= f ( x ) − ( x +2) . b Justifier que la droite Δ est située sous la courbe C 2 Déterminer l’aire du domaine grisé. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6921 sacados/6921 00,20,40,60,810,20,40,60,8C0C1C2C3C4C10C50 chapExoCorrec/3984 sacados/3984 Extrait d'Antilles Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/126 sacados/126 ij−22C
E.6918 On considère la fonction f définie pour tout réel x par : f ( x ) = x · e 1 − x 2 et la fonction g définie pour tout réel x par : g ( x ) = e 1 − x Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives C f et C g respectivement des fonctions f et g . On admet que, sur R , la courbe C g se situe au-dessus de la courbe C f . 1 Trouver une primitive F de la fonction f sur R . 2 En déduire la valeur de : 1 0 e 1 − x − x · e 1 − x 2 d x . 3 Interpréter graphiquement ce résultat. E.6913 Soit f la fonction définie sur R par la relation: f ( x ) = 3 1 + e − 2 x Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthog-onal O ; −→ i ; −→ j , la courbe représentative C de la fonction f et la droite Δ d’équation y =3 . Soit h la fonction définie sur R par : h ( x )=3 − f ( x ) 1 Justifier que la fonction h est positive. 2 On désigne par H la fonction définie sur R par : H ( x ) = − 3 2 · ln 1 + e − 2 x Démontrer que H est une primitive de h sur R . 3 Soit a un réel strictement positif. a Donner une interprétation graphique de l’intégrale: a 0 h ( x ) d x b Démontrer que : a 0 h ( x ) d x = 3 2 · ln 2 1+e − 2 a . c On note D l’ensemble des points M ( x ; y ) du plan défini par : x 0 f ( x ) y 3 Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaine D E.6914 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 − 1 x · ln( x ) − 2 + 2 On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. Soit C la courbe d’équation : y =ln( x ) 1 Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle 0 ; + ∞ : f ( x ) − ln( x ) = 2 − ln( x ) x En déduire que les courbes C et C ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. 2 On admet que la fonction H définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : H ( x ) = 1 2 · ln( x ) 2 est une primitive de la fonction h définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : h ( x ) = ln( x ) x Calculer: I = e 2 1 2 − ln( x ) x d x Interpréter graphiquement ce résultat. 12. Moyenne d’une fonction E.4013 Soit f la fonction définie sur R par la relation: f ( x ) = 4 · e x e x + 7 1 Déterminer une primitive de la fonction f sur R . 2 Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle 0 ; ln7 . E.4015 Pour la question ci-dessous, trois réponses sont proposées dont une seule exacte. Le choix d’une réponse doit être justifié : La valeur moyenne de la fonction f est définie sur l’intervalle 0 ; 1 par f ( x )= 1 1+ x 2 est égale à: a − ı 2 b ı 4 c ı 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/6918 sacados/6918 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 -3-2-123I-12JOCfCg chapExoCorrec/6913 sacados/6913 -3-2-1012345-11234ijCf chapExoCorrec/6914 sacados/6914 chapExoCorrec/4013 sacados/4013 chapExoCorrec/4015 sacados/4015 Extrait d'Asie Juin 2009
E.5529 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 250 par la relation: f ( t ) = 2 1 + 19 · e − 0 , 04 t 1 Vérifier que pour tout réel t appartenant à l’intervalle 0 ; 250 , on a: f ( t ) = 2 · e 0 , 04 t e 0 , 04 t + 19 2 Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle 0 ; 250 par : F ( t ) = 50 · ln e 0 , 04 t +19 est une primitive de la fonction f . 3 Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle 50 ; 100 . En donner une valeur approchée à 10 − 2 près. 13. Un peu plus loin E.4019 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 1 e x + e − x Soit u la fonction définie sur R par : u ( x ) = 1 1 + x 2 On note v la primitive de u sur R telle que v (1)= ı 4 . On admet que la courbe représentative de v admet en + ∞ une asymptote d’équation y = ı 2 . 1 Démontrer que, pour tout réel x : f ( x )= e x e x 2 +1 2 Démontrer que, pour tout réel x , f est la dérivée de la fonction : x ↦−→ v e x . 3 On considère la suite J n définie sur N par : J n = n 0 f ( x ) d x On admet que la suite J n est convergente et admet pour limite un réel L . Déterminer la valeur exacte de L . E.3987 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ln e x +2 · e − x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1 Montrer que, pour tout réel x : f ( x ) = x + ln 1+2 · e − 2 · x On admet que, pour tout réel x : f ( x )= − x +ln 2+e 2 · x 2 Calculer lim x ↦→ + ∞ f ( x ) et montrer que la droite ( d ) d’équation y = x est asymptote à C . Étudier la position relative de C et de ( d ) . 3 On pose : I = 3 2 f ( x ) − x d x a Donner une interprétation géométrique de I . b Montrer que, pour tout X ∈ 0 ; + ∞ : ln 1+ X X c En déduire que : 0 I 3 2 2 · e − 2 · x d x et donner un encadrement d’amplitude de I d’amplitude 0 ; 02 . 14. Cours - Integrales E.5501 Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle a ; b , la fonction F définie sur a ; b par : F : x ↦−→ x a f ( t ) d t est dérivable sur a ; b et admet pour dérivée la fonction f . E.5502 Soit a et b deux nombres réels tels que a<b . On admet qu’une fonction positive f , définie sur a ; b , admet pour primitive la fonction x ↦−→ x a f ( t ) d t 1 Montrer que toute fonction, continue sur l’intervalle a ; b , admet des primitives sur R . (On admettra que toute fonction continue sur un inter-valle a ; b fermé admet un minimum) . 2 Soit f une fonction continue sur l’intervalle a ; b admet-tant la fonction F pour primitive. Montrer que pour toute autre primitive G de la fonction f , il existe un réel k tel que : G ( x ) = F ( x ) + k . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5529 sacados/5529 chapExoCorrec/4019 sacados/4019 Extrait d'Amerique du Sud Novembre 2003 chapExoCorrec/3987 sacados/3987 chapExoCorrec/5501 sacados/5501 chapExoCorrec/5502 sacados/5502
E.3298 On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni. Pour tout réel x 0 de [1 ; + ∞ [ , on note A ( x 0 ) l’aire du do-maine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 et x = x 0 . On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur 1 ; + ∞ est une primitive de f . 1 Que vaut A (1) ? 2 Soit x 0 un réel quelconque de [1 ; + ∞ [ et h un réel stricte-ment positif. Justifier l’encadrement suivant : f ( x 0 ) A ( x 0 + h ) − A ( x 0 ) h f ( x 0 + h ) 3 Lorsque x 0 > 1 , quel encadrement peut-on obtenir pour h< 0 tel que x 0 + h 1 ? 4 En déduire la dérivabilité en x 0 de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x 0 de la fonction A . 5 Conclure. E.3962 Prérequis: soit a et b deux réels tels que a<b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b ] . On suppose connus les résultats suivants : b a f ( t ) + g ( t ) d t = b a f ( t ) d t + b a g ( t ) d t Si pour tout t ∈ [ a ; b ] , f ( t ) 0 alors b a f ( t ) d t 0 . Montrer que : si pour tout t ∈ a ; b alors: b a f ( t ) d t b a g ( t ) d t . 15. Exercices non-classés E.8143 Dans cet exercice, on s’intéresse au vol-ume d’une ampoule basse consommation. Partie A - Modélisation de la forme de l’ampoule Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère les points A ( − 1 ; 1) , B (0 ; 1) , C (4 ; 3) , D (7 ; 0) , E (4 ; − 3) , F (0 ; − 1) et G ( − 1 ; − 1) . On modélise la section de l’ampoule par un plan par son axe de révolution à l’aide de la figure ci-dessous : La partie de la courbe située au-dessus de l’axe des abscisses se décompose de la manière suivante : la portion située entre les points A et B est la représen-tation graphique de la fonction constante h définie sur l’intervalle − 1 ; 0 par h ( x )=1 ; la portion située entre les points B et C est la représen-tation graphique d’une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 4 par : f ( x ) = a + b · sin c + ı 4 où a , b et c sont des réels non nuls fixés et où le réel c appartient à l’intervalle 0 ; ı 2 ; la portion située entre les points C et D est un quart de cercle de diamètre [ CE ] . La partie de la courbe située en dessous de l’axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l’axe des abscisses. 1 a On appelle f la fonction dérivée de la fonction f . Pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 4 , déterminer f ( x ) . b On impose que les tangentes aux points B et C à la représentation graphique de la fonction f soient paral-lèles à l’axe des abscisses. Déterminer la valeur du réel c . 2 Déterminer les réels a et b . Partie B - Approximation du volume de l’ampoule Par rotation de la figure précédente autour de l’axe des ab-scisses, on obtient un modèle de l’ampoule. Afin d’en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustrée ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/3298 sacados/3298 x0x0h2I2345JO chapExoCorrec/3962 sacados/3962 Nouvelles Caledonie Novembre 2010 sacados/8143 ABCDEFGij
On rappelle que : le volume d’un cylindre est donné par la formule ı · r 2 · h où r est le rayon du disque de base et h est la hauteur ; Le volume d’une boule de rayon r est donné par la for-mule · ı · r 3 . On admet également que, pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 4 , f ( x ) = 2 − cos ı 4 x . 1 Calculer le volume du cylindre de section le rectangle ABFG . 2 Calculer le volume de la demi-sphère de section le demi-disque de diamètre CE . 3 Pour approcher le volume du solide de section la zone grisée BCEF , on partage le segment OO en n seg-ments de même longueur 4 n puis on construit n cylindres de même hauteur 4 n . a Cas particulier : dans cette question uniquement, on choisit n =5 . Calculer le volume du troisième cylindre, grisé dans les figures ci-dessous, puis en donner la valeur arrondie à 10 − 2 . b Cas général : dans cette question, n désigne un en-tier naturel quelconque non nul. On approche le volume du solide de section BCEF par la somme des volumes des n premiers cylindres ainsi créés en choisissant une valeur de n suffisamment grande. Recopier et compléter l’algorithme suivant de sorte qu’à la fin de son exécution, la variable V contienne la somme des volumes des n cylindres créés lorsque l’on saisit b . E.5567 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 1 + e − x 1 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b En déduire les variations de f sur R 2 a Démontrer que, pour tout réel x , on a: f ( x )= e x 1+e x b Établir l’égalité: 1 0 f ( x ) d x =ln 1+ e 2 https://chingmath.fr ABCDEFGij ABCDEFGijVue dans le plan(BCE ABCDEFGijVue dans l’espace chapExoCorrec/5567 sacados/5567 Extrait Liban 2013