Terminale Spécialité / Combinatoire, dénombrement 30 exercices (dont 14 corrigés)

a
ABC1 ABC2 ABC3 ABC4 ABC5 ABC6 ABC1 ABC2 ABC3 ABC4 ABC5 ABC6 ABC 1. Notions sur les ensembles E.7514 Dans un univers Ω , on considère les trois événements A , B et C représentés ci-dessous. Pour chaque question, exprimer la partie hachurée à l’aide des événements A , B , C , des symboles de la réunion, de l’intersection et du complémentaire. E.7515 Dans un univers Ω , on considère les trois événements A , B et C représentés ci-dessous. Pour chaque question, on considère une partie de l’univers Ω nommé M : 1 M = A ∩ C 2 M = C ∩ A ∩ B ∩ C 3 M = A ∪ B ∪ C 4 M = B ∩ C ∩ A 5 M = A ∩ B ∩ C ∪ B ∩ C ∩ A 6 M = A ∩ B ∩ C ∪ B ∩ A ∩ C ∪ C ∩ A ∩ B Représenter chacun des ensembles M dans les représentations ci-dessous : E.7575 Dans un univers Ω , on considère les trois événements A , B et C représentés ci-dessous : Quel ensemble désigne la partie hachurée représentée ci-dessus : 1 A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C 2 A ∩ B ∩ C ∩ B ∪ C 3 A ∪ B ∪ C ∩ A ∪ B 4 C ∩ B ∪ C https://chingmath.fr chapExoCorrec/7514 sacados/7514 chapExoCorrec/7515 sacados/7515 chapExoCorrec/7575 sacados/7575
ABABABAB ABABABAB ABC ABC E.7508 Dans un univers Ω , on considère les deux événements A et B . 1 Représenter dans les diagrammes ci-dessous les deux événements M et N définis par : M = A ∩ B ; N = A ∪ B 2 On souhaite établir l’égalité des ensembles A ∩ B = A ∪ B : a Pour tout événement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∩ B = ⇒ ! ∈ A ∪ B b Pour tout événement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∪ B = ⇒ ! ∈ A ∩ B E.7516 Dans un univers Ω , on considère les deux événements A et B . 1 Représenter dans les diagrammes ci-dessous les deux événements M et N définis par : M = A ∪ B ; N = A ∩ B 2 On souhaite établir l’égalité des ensembles A ∪ B = A ∩ B : a Pour tout événement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∪ B = ⇒ ! ∈ A ∩ B b Pour tout événement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∩ B = ⇒ ! ∈ A ∪ B E.7517 Dans un univers Ω , on considère les trois événements A , B et C . 1 Dans les diagrammes ci-dessous, représenter les deux événements M et N définis par : M = A ∩ B ∪ C ; N = A ∩ B ∪ A ∩ C 2 On souhaite établir l’égalité des ensembles : A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C a Pour tout événement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∩ B ∪ C = ⇒ ! ∈ A ∩ B ∪ A ∩ C b Pour tout événement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∩ B ∪ A ∩ C = ⇒ ! ∈ A ∩ B ∪ C E.10408 Dans un univers Ω , on considère les trois évènements A , B et C . 1 Dans les diagrammes ci-dessous, représenter les deux évènements M et N définis par : M = A ∪ B ∩ C ; N = A ∪ B ∩ A ∪ C 2 On souhaite établir l’égalité des ensembles : A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C a Pour tout évènement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∪ B ∩ C = ⇒ ! ∈ A ∪ B ∩ A ∪ C b Pour tout évènement élémentaire ! , établir l’implication: ! ∈ A ∪ B ∩ A ∪ C = ⇒ ! ∈ A ∪ B ∩ C 2. Factorielle E.8651 Résoudre dans N , les équations suivantes : a n ! = 5040 b ( n + 1)! = 720 c n ! = 72 × ( n − 2)! E.8652 Déterminer la valeur des expressions suiv-antes : a 9! × 12! 8! × 11! b (15!) 2 13! × 14! 3. Factorielle et combinatoire E.4103 On dispose de 26 cartes où sont écrites les 26 lettres de l’alphabet. On tire successivement et sans remise trois cartes de ce jeu. 1 Combien de mots de trois lettres (ayant un sens ou non) peut être composés? Justifier que ce nombre s’écrit: 26! 23! https://chingmath.fr chapExoCorrec/7508 sacados/7508 Loi de Morgan chapExoCorrec/7516 sacados/7516 chapExoCorrec/7517 sacados/7517 Loi de Morgan sacados/10408 sacados/8651 sacados/8652 chapExoCorrec/4103 sacados/4103
2 a Combien de mots commençant par la lettre B peuvent-ils être créés? b En déduire la probabilité de l’événement : A 1 : ˇ Le mot commence par la lettre B ı. 3 Déterminer la probabilité de l’événement : A 2 : ˇ La seconde lettre du mot est la lettre B ı. 4 Quelle est la probabilité de l’événement : C : ˇ Le mot contient la lettre B ı. E.4165 On a représenté ci-dessous toutes les combinaisons de 3 chiffres parmi les cinq premiers entiers na-turels non nuls. 1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 4 ; 1 ; 2 ; 5 ; 1 ; 3 ; 4 1 ; 3 ; 5 ; 1 ; 4 ; 5 ; 2 ; 3 ; 4 ; 2 ; 3 ; 5 2 ; 4 ; 5 ; 3 ; 4 ; 5 Une urne contient six boules numérotées de 1 à 6 . Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules de cette urne. On suppose que chaque tirage est indépendant et que tous les tirages sont équiprobables. 1 a Écrire toutes les combinaisons possibles de deux nombres parmi les cinq premiers entiers naturels non nuls. Justifier que le nombre de ces combinaisons est égal à: 5! 2! · (5 − 2)! b En déduire le nombre de combinaisons de trois nom- bres parmi les six premiers entiers naturels non nuls. c Établir l’égalité suivante : 6! 3! · (6 − 3)! = 20 2 On suppose que les boules numérotées de 1 à 4 sont bleues et que les autres sont rouges. a En écrivant toutes les combinaisons de 2 nombres parmi les quatre premiers entiers naturels non nuls, établir que le nombre de ces combinaisons est égal à: 4! 2! · (4 − 2)! b En déduire le nombre de combinaisons réalisant l’événement : E : ˇ deux boules sont bleues et une seule est rouge ı c Déterminer la probabilité de l’événement E . E.7577 Une association est composée de 18 mem-bres, 7 hommes et 11 femmes. Chaque année, le comité de gestion doit être élu. Il est composé d’un président et de deux vices présidents. Les status de l’association stipulent : si le président est un homme, les deux vices présidents doivent être des femmes ; si le président est une femme, les deux vices présidents doivent être des hommes ; Combien de comités de gestion différents peuvent être consti-tués avec les membres de l’association? a 154 b 385 c 616 d 1386 4. Combinaison E.4181 Déterminer la valeur des expressions suiv-antes : a 15 13 + 9 6 b 15 7 + 15 8 − 16 8 E.4182 Résoudre dans N , l’équation: 8 k =56 E.7828 À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur des coefficients binomiaux suivants : a 5 3 a 12 5 a 8 6 a 7 2 E.4172 Rappels: si n et p sont deux nombres entiers naturels tels que p n alors: n p = n ! p !( n − p )! Démontrer que pour tout nombre entier naturel n et pour tout nombre entier naturel p tels que 1 p n , on a: n p = n − 1 p − 1 + n − 1 p 5. Triangle de Pascal E.131 Le trois parties de l’exercice sont indépendantes. Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles. Dans cet exercice, on effectue selon différentes modalités, des tirages au hasard parmi les huit cartes que constituent les quatre dames et les quatre rois d’un jeu de cartes. Préliminaire : Écrire le triangle de Pascal donnant les nombres n p pour n inférieur ou égal à 8. 1 Première modalité: On tire simultanément au hasard trois cartes parmi les huit cartes. a Déterminer le nombre de tirages possibles. b Déterminer le nombre de tirages qui comprennent trois rois. c Déterminer la probabilité de réaliser un tirage de trois cartes de même niveau, c’est-à-dire trois rois et trois https://chingmath.fr chapExoCorrec/4165 sacados/4165 chapExoCorrec/7577 sacados/7577 sacados/4181 sacados/4182 chapExoCorrec/7828 sacados/7828 chapExoCorrec/4172 sacados/4172 sacados/131 Antilles - 2002 - 7 points - obligatoire
dames. 2 Deuxième modalité: on pourra s’aider d’un arbre a Calculer la probabilité de l’événement R 1 ˇ La première carte tirée est un roi ı b Sachant que la première carte tirée est un roi, calculer la probabilité d’obtenir encore un roi pour la deuxième carte. c Déterminer la probabilité d’obtenir deux rois. d Quelle est la probabilité d’obtenir deux figures de même niveau, c’est-à-dire deux rois ou deux dames? e Quelle est la probabilité de ne pas obtenir deux figures de même niveau? 3 Troisième modalité: On tire une carte que l’on remet dans le paquet de huit cartes avant d’effectuer le tirage suivant. Les tirages sont indépendants. a Calculer la probabilité d’obtenir un coeur quand on tire une carte parmi les huit choisies. b On effectue quatre tirages successifs. i D ˙ terminer la probabilité p 1 d’obtenir quatre fois un coeur. ii Déterminer la probabilité p 2 d’obtenir exactement deux fois un coeur. c À l’aide de la calculatrice, donner le nombre de tirages nécessaires pour que la probabilité, de n’obtenir que des coeurs, soit inférieure à 10 − 6 . E.129 On considère un ensemble X à 5 éléments. On représente l’ensemble X de la manière suivante : X = a ; b ; c ; d ; e On notera n m le nombre de sous-parties à m éléments d’un ensemble à n éléments. 1 a Représenter toutes les parties de X contenant 2 élé-ments tels que l’élément a n’en fasse pas partie. b Justifier que le nombre de parties à 2 éléments de X sachant que a n’en fait pas partie vaut 4 2 . 2 a Représenter toutes les parties de X contenant 2 élé-ments tels que a appartienne à ces sous-parties. b Justifier que le nombre de parties à 2 éléments sachant que a en fasse partie vaut 4 1 3 En déduire que : 4 1 + 4 2 = 5 2 4 Justifier que pour tout entier naturel m et n tels que m<n , on a la relation: n − 1 m − 1 + n − 1 m = n m E.5385 1 Reconstruire le triangle de Pascal jusqu’à n =7 . 2 À l’aide du tableau de la question 1 , donner les valeurs des coefficients binomiaux suivant : a 5 3 a 4 0 a 4 2 a 7 5 3 À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur des coefficients binomiaux suivants : a 5 3 a 12 5 a 8 6 a 7 2 6. Probabilité combinatoire E.4254 Une urne contient cinq boules in-discernables au toucher : deux vertes et trois rouges. On extrait simultanément et au hasard deux boules de l’urne. On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage. 1 Vérifier que P ( X =0)= 3 10 puis déterminer la loi de prob-abilité de la variable aléatoire X . 2 Calculer l’espérance mathématique de la variable aléa-toire X . 3 Calculer la probabilité de l’événement suivant : A : ˇ les deux boules tirées sont de même couleur ı E.4259 Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. On tire deux boules au hasard simultanément. 1 On considère l’événement : A : ˇ les deux boules tirées sont de la même couleur ı. Déterminer la probabilité de l’événement A . 2 On considère l’événement : A : ˇ une seule des deux boules tirées est rouge ı. Déterminer la probabilité de l’événement B . E.4263 Pour chacune des questions suiv-antes, une ou deux des réponses proposées sont correctes. Au-cune justification n’est attendue : 1 On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à: a 5 8 b 21 32 c 11 32 d 3 8 2 On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 32 cartes. La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à: a 105 248 b 21 2 32 2 c 21 2 32 2 d 5 2 8 2 7. Anciennes annales du baccalauréat (avant 2012) https://chingmath.fr sacados/129 chapExoCorrec/5385 sacados/5385 sacados/4254 Extrait de Nouvelle-cal??donie Novembre 2011 sacados/4259 Extrait de Polyn??sie Septembre 2009 sacados/4263 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2010
E.3119 Un meuble est composé de 10 tiroirs T 1 , T 2 , . . . , T 10 . Une personne place au hasard une boule dans des tiroirs et une autre est chargée de trouver le tiroir contenant la boule à l’aide de la stratégie suivante : La personne ouvre le tiroir T 1 . Si la boule est dans le tiroir T 1 , la recherche est achevée, sinon la personne ou-vre le tiroir T 2 , et ainsi de suite. . . en respectant l’ordre des numéros de tiroirs. On remarquera qu’avec cette stratégie, le tiroir T 10 n’est ja-mais ouvert. Pour i entier compris entre 1 et 10 ( 1 i 10 ) , on appelle B i l’événement ˇ la boule se trouve dans le tiroir T i ı. On note X la variable aléatoire égale au nombre de tiroirs qui ont été ouverts afin de localiser la boule avec cette stratégie. 1 Donner l’ensemble des valeurs possibles de X . 2 a Montrer que, pour i entier compris entre 1 et 8 ( 1 i 8 ) , l’événement [ X = i ] est l’événement B i . b Justifier que l’événement [ X =9] est la réunion des événements B 9 et B 10 . c Déterminer la loi de probabilité de X . d Calculer l’espérance mathématique de X . E.3174 Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune jus-tification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0 ; 5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués ˇ oui ı ; 3 sont marqués ˇ non ı ; 3 sont marqués ˇ blanc ı. Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 cen-times d’euro. Il tire ensuite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin tiré est marqué ˇ oui ı, le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué ˇ non ı, il ne reçoit rien. Si le bulletin tiré est marqué ˇ blanc ı, il reçoit 20 cen-times d’euro. Question 1 Le jeu est : a favorable au joueur b défavorable au joueur c équitable Question 2 Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué ˇ oui ı est égale à: a 216 625 b 544 625 c 2 5 Lors d’un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Question 3 La probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à: a 4 15 b 11 30 c 11 15 https://chingmath.fr sacados/3119 Antilles-Guyane 4 points septembre 1998. sacados/3174 Am??rique du Nord Mai 2006 3 points
E.3137 Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. 1 On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. a Quelles sont les valeurs prises par X ? b Calculer P ( X =0) . c On se propose de déterminer maintenant P ( X =1) . Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au second tirage est égale à 8 45 . En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculer P ( X =1) 2 On reprend l’urne dans sa composition initiale: 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On effectue maintenant n tirages successifs au hasard d’une boule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. Soit k un entier compris entre 1 et n . Soit N l’événement : ˇ la k -ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanchesı . Soit A l’événement : ˇ on obtient une boule blanche dans chacun des k − 1 premiers tirages et une boule noire au k -ième ı. Soit B l’événement : ˇ on obtient une boule blanche dans chacun des ( n − k ) derniers tirages ı. Calculer P ( A ) , P A ( B ) et P ( N ) . E.3230 On note p A ( B ) la probabilité con-ditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé. Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indis-cernables au toucher. 1 On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne. On note A 0 l’événement : ˇ on n’a obtenu aucune boule noire ı On note A 1 l’événement : ˇ on a obtenu une seule boule noire ı ; On note A 2 l’événement : ˇ on a obtenu deux boules noires ı Calculer les probabilités A 0 , A 1 et A 2 . 2 Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne. On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne. On note B 0 l’événement : ˇ on n’a obtenu aucune boule noire au tirage n o 2 ı On note B 1 l’événement : ˇ on a obtenu une seule boule noire au tirage n o 2 ı On note B 2 l’événement : ˇ on a obtenu deux boules noires au tirage n o 2 ı a Calculer p A 0 ( B 0 ) , p A 1 ( B 0 ) et p A 2 ( B 0 ) . b En déduire p ( B 0 ) . c Calculer p ( B 1 ) et p ( B 2 ) . d On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage; Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire lors du premier? 3 On considère l’événement R : ˇ il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient ex-traites de l’urne ı. Montrer que : p ( R )= 1 3 . https://chingmath.fr sacados/3137 Polyn??sie Septembre 2006 4 points sacados/3230 Am??rique du Sud Novembre 2004 5 points
E.4162 Des robots se trouvent au centre de gravité O d’un triangle de sommets S , I , X . Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivantes : À chaque étape, il passe par l’un des trois sommets S , I et X puis il rejoint le point O ; les robots sont programmés de telle sorte que, lors d’une étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ; les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; on ne tient pas compte des passages par O . Partie A - Un seul robot Un seul robot se trouve au point O . 1 Démontrer qu’à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à 1 5 . 2 On note E l’évènement : ˇ au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S , I et X dans cet ordre ı. Démontrer que la probabilité de E est égale à 4 125 . 3 On note F l’évènement : ˇ au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S , I et X dans un ordre quelconque ı. Déterminer la probabilité de F . Partie B - Plusieurs robots Des robots se trouvent au point O , leurs déplacements étant indépendants les uns des autres. Quel nombre minimal n de robots doit-il avoir pour que la probabilité de l’évènement : ˇ au moins l’un des robots passe successivement par les sommets S , I et X dans cet ordre ı soit supérieure ou égale à 0 ; 99 ? E.3191 On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1 , 2 , 3 et 4 . On lit le nombre sur la face cachée. Pour k ∈{ 1 ; 2 ; 3 ; 4 } , on note p i la probabilité d’obtenir le nombre k sur la face cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p 1 , p 2 , p 3 et p 4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique: 1 Sachant que p 4 =0 ; 4 démontrer que : p 1 = 0 ; 1 ; p 2 = 0 ; 2 ; p 3 = 0 ; 3 2 On lance le dé trois fois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants. a Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nom-bres 1 , 2 , 4 ? b Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres dis-tincts rangés dans l’ordre croissant? 3 On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléa-toire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu. a Pour 1 i 10 , exprimer en fonction de i la probabilité de l’événement [ X = i ] . b Calculer l’espérance mathématique de X . Interpréter le résultat obtenu. c Calculer la probabilité de l’événement [ X 1] . On don-nera une valeur arrondie au millième. 4 Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux. On note U n la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au n -ième lancer. a Montrer que U n est une suite géométrique et qu’elle est convergente. b Calculer S n = n i =1 U i puis étudier la convergence de la suite S n . c Déterminer le plus petit entier n tel que S n > 0 ; 999 . E.4198 On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scoot-ers franchissant le carrefour durant une année ( n étant un grand nombre inconnu) , on admet que la variable aléatoire S n qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce car-refour durant cette année suit une loi binomiale; on estime que l’espérance mathématique de S n notée E ( S n ) est égale à 10 . Soit p la probabilité pour qu’un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée. 1 Calculer p , puis justifier l’égalité: P ( S n = k ) = n k · 10 n k · 1 − 10 n n − k où k est un entier naturel tel que 0 k n . 2 a Établir l’égalité: ln P ( S n =0) = − 10 × ln 1 − 10 n − 10 n où ln désigne la fonction logarithme népérien. En déduire que : lim n ↦→ + ∞ P ( S n =0)=e − 10 . b Démontrer que : P ( S n = k +1) = P ( S n = k ) × n − k n − 10 × 10 k + 1 où k est un entier naturel tel que 0 k n − 1 . c Démontrer que si : lim n ↦→ + ∞ P ( S n = k ) = e − 10 · 10 k k ! pour 0 k n , alors on a également : lim n ↦→ + ∞ P ( S n = k +1) = e − 10 · 10 k +1 ( k + 1)! pour 0 k +1 n . d Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier naturel k que : lim n ↦→ + ∞ P ( S n = k ) = e − 10 · 10 k k ! où k est un entier naturel tel que 0 k n . 3 On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse admettre que e − 10 · 10 k k ! est une approxi-mation acceptable de P ( S n = k ) . Utiliser cette approx-imation pour calculer à 10 − 4 près la probabilité qu’au cours de cette année, il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4162 sacados/4162 Polyn??sie Juin 2010 sacados/3191 Centres ??trangers Juin 2006 5 points chapExoCorrec/4198 sacados/4198 Nouvelle-cal??donie Novembre 2003
8. Exercices non-classés E.10638 Déterminer les deux entiers naturels a et b tels que : n n + 1 ! = a n ! − b n + 1 ! https://chingmath.fr sacados/10638