Terminale Spécialité / Compléments sur la dérivation et convexité 51 exercices corrigés

a
1. Dérivées de fonctions composées E.3506 Déterminer l’expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = 3 · x + 5 5 b g ( x ) = 1 3 · x 4 + 1 c h ( x ) = x 2 + x + 1 d j ( x ) = 1 x E.5103 Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes : a f ( x ) = 6 x 2 − 3 x + 1 b g ( x ) = 4 · x − 1 4 E.95 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ − 2 x 2 − x + 6 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Donner l’expression de la fonction dérivée de la fonction f . E.5217 On considère la fonction f définie sur l’intervalle −∞ ; − 1 2 par la relation par la relation suivante : f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 2 Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe C f en − 1 . E.5751 Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes : a f ( x ) = 3 x + 2 5 b g ( x ) = 1 − 2 x c h ( x ) = 1 x 2 + x + 1 d j ( x ) = x x + 1 E.2394 1 Déterminer la fonction dérivée de la fonction f définie par : f : x ↦−→ 5 · x 2 + x + 1 4 2 Déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie par : g : x ↦−→ 2 5 x 2 · 3 − 2 x Écrire cette fonction dérivée de la fonction g sous la forme d’un quotient dont le dénominateur est 3 − 2 x . E.6137 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = a · x 2 + b · x 4 · c · x + 1 où a , b et c sont trois entiers relatifs. On sait que la fonction f admet pour dérivée la fonction f dont l’expression est : f ( x ) = − 18 x 2 + 21 x − 4 · a · x 2 + b · x 3 Déterminer l’expression de la fonction f . E.8399 Déterminer l’expression, sous forme sim-plifiée, de la fonction f dérivée de la fonction f définie par : f ( x ) = x + 1 3 E.8400 Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner l’expression simplifiée de leur fonction dérivée : a f ( x ) = 3 x 2 − 2 x +1 x b g ( x ) = (2 x +1) · 3 − x 2. Dérivées de fonctions composées de la fonction exponentielle E.8410 Pour chaque fonction, déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : a f ( x ) = e 2 − x 2 b f ( x ) = e x 2 +1 c f ( x ) = e x 2 + x +1 E.8420 Pour chaque fonction, déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f : a f ( x ) = 2 · x + 1 e x +1 b f ( x ) = x · e 3 · x 2 E.3613 Déterminer l’expression des fonctions dérivées de chacune des fonctions suivantes : 1 f ( x ) = e √ x 2 g ( x ) = x · e x 2 +1 3 h ( x ) = x · e − 1 x 4 j ( x ) = e − 2 x +1 2 x + 1 5 k ( x ) = e x 2 + x 6 ‘ ( x ) = e x 2 +1 E.5140 Dans le tableau ci-dessous, sont don-nées des fonctions et l’expression de leurs dérivées. Vérifier l’exactitude de ce tableau : f ( x ) f ( x ) a 3 x · e 5 x 2 +3 30 x 2 + 3 · e 5 x 2 +3 b e 3 − x 2 · e x 2 +1 0 c e 2 − x 2 2 x − 2 x 2 + 1 e 2 − x 2 2 x 2 d e x √ x 3 2 · √ x · e x √ x e e 2 x 2 − x 4 ( x − 2) 2 · e 2 x 2 − x 3. Dérivées de familles de fonctions https://chingmath.fr chapExoCorrec/3506 sacados/3506 chapExoCorrec/5103 sacados/5103 chapExoCorrec/95 sacados/95 chapExoCorrec/5217 sacados/5217 chapExoCorrec/5751 sacados/5751 chapExoCorrec/2394 sacados/2394 chapExoCorrec/6137 sacados/6137 chapExoCorrec/8399 sacados/8399 chapExoCorrec/8400 sacados/8400 chapExoCorrec/8410 sacados/8410 chapExoCorrec/8420 sacados/8420 chapExoCorrec/3613 sacados/3613 chapExoCorrec/5140 sacados/5140
E.6134 On considère, pour tout entier naturel n non-nul, la fonction f n définie sur R par la relation: f n ( x ) = 1 ( x 2 + 1) n Dans un repère O ; I ; J orthonormé, on note C n la courbe représentative de la fonction f n . 1 Déterminer l’expression de la dérivée f n de la fonction f n . 2 a Déterminer l’équation réduite de la tangente ( d ) à la courbe C 3 au point d’abscisse 1 . b On considère la droite (Δ) d’équation réduite : y = 5 32 · x + 3 16 Parmi la famille de courbe C n , quelle est celle qui ad-met la droite (Δ) comme tangente au point d’abscisse − 1 ? Justifier votre réponse. E.6810 On considère pour tout entier naturel n non-nul, la fonction f n définie sur R par la relation: f n ( x ) = 2 · x + n 1 + x 2 Dans un repère O ; I ; J orthonormé, on note C n la courbe représentative de la fonction f n . 1 Déterminer l’expression de la fonction dérivée f n . 2 Déterminer l’équation réduite de la tangente ( d n ) à la courbe C n au point d’abscisse 1 . 3 a Établir l’égalité suivante : n · x 3 − 2 · n +1 · x 2 + n +2 · x − 1 = x − 1 2 · n · x − 1 b Étudier la position relative de la droite d n et de la courbe C n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 . 4. Tangente de fonctions composées E.7740 On considère la fonction g définie par la relation: g ( x ) = x 2 − 2 x + 3 On note C g la courbe représentative de la fonction g . 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g . 2 Déterminer l’équation de la tangente à la courbe C g au point d’abscisse 3 2 . E.6919 On considère la fonction f définie pour tout réel x par : f ( x ) = x · e 1 − x 2 et la fonction g définie pour tout réel x par : g ( x ) = e 1 − x Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentatives C f et C g respectivement des fonctions f et g . Justifier qu’au point d’abscisse 1 , les courbes C f et C g admet-tent la même tangente. 5. Tableau de variations d’une fonction composée E.5752 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 6 x 2 + 13 x − 5 1 Justifier que la fonction f admet pour ensemble de défi- nition la partie I de R définie par : I = −∞ ; − 5 2 ∪ 1 3 ; + ∞ . 2 Déterminer le sens de variation de la fonction f sur son ensemble de définition I . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6134 sacados/6134 -2-12IJOC1C3C8 chapExoCorrec/6810 sacados/6810 IJOC1C3C2 chapExoCorrec/7740 sacados/7740 chapExoCorrec/6919 sacados/6919 Extrait d'Antilles-Guyane Juin 2016 -3-2-123I-12JOCfCg chapExoCorrec/5752 sacados/5752
E.6135 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 2 + 2 x + 5 x 2 + 1 1 Établir que la dérivée f de la fonction f admet pour ex-pression : f ( x ) = ( x − 1)( x 2 + x − 2 x 2 + 1 · x 2 + 1 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f . On admettra les deux limites: lim x ↦→−∞ f ( x ) = + ∞ ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ 6. Etude de la fonction dérivée de fonctions composées E.5753 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x ∈ R est définie par la relation: f ( x ) = 1 8 · x 2 − x − 2 3 Ci-dessous, est donnée la courbe représentative C f de la fonc-tion f dans un repère O ; I ; J orthonormé. 1 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur R . 2 Déterminer l’équation de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 1 . (on utilisera la valeur approchée f ( 1 2 ≈− 1 ; 4 ) E.5062 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est donnée par la relation: f ( x ) = (5 x 2 + 3 x + 2) 5 1 Déterminer l’expression de la dérivée f de la fonction f . 2 Étudier les variations de la fonction f sur R . E.5063 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est donnée par la relation: f ( x ) = 2 x 2 + x + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer le tableau de variations de la fonction f . 3 Dans un repère O ; I ; J , on donne la courbe C f représentative de la fonction f : a Déterminer l’équation de la tangente ( d ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . b Tracer la droite ( d ) dans le repère ci-dessus. https://chingmath.fr chapExoCorrec/6135 sacados/6135 chapExoCorrec/5753 sacados/5753 -3-2-123I-2-1JOCf chapExoCorrec/5062 sacados/5062 chapExoCorrec/5063 sacados/5063 -4-3-2-1234I23JOCf
E.2962 Un bateau, représenté par le point B , se trouve à trois kilomètres du rivage; le point B représente le point du rivage le plus proche du bateau (son projeté orthogonal) ; le point D représente la destination à at-teindre par le marin. Pour ce faire, le marin décide d’atteindre un point M de la berge, puis de rejoindre le point D en voiture. Le bateau navigue à une vitesse de 15 km = h et la voiture se déplace à une vitesse de 40 km = h . On note x la distance B M : 1 Exprimer la distance BM et MD en fonction de x . 2 On note h ( x ) le temps de parcours effectué lorsque B M = x . a Justifier que : h ( x )= 1 120 · 8 x 2 +9+45 − 3 x b Déterminer l’expression de la fonction dérivée h . c Dresser le tableau de variations de la fonction h . 3 En déduire la valeur de x pour laquelle le temps de trajet du marin est minimale, arrondie au mètre près. E.6163 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = ( a · x + 1) · 2 x 2 + x + 1 2 Dans un repère O ; I ; J orthogonal donné ci-dessous, on représente la courbe C f représentative de la fonction f : La droite ( d ) passe par les points J et B (1 ; 4) . 1 a Justifier que la courbe C f passe par le point J . b Déterminer le coefficient de la droite ( JB ) . c Démontrer que tout réel x , on a: f ( x ) = 10 ax 2 + (3 a + 8) · x + ( a + 2) · 2 x 2 + x + 1 . d On suppose que la droite ( JB ) est tangente à la courbe C f au point J . Déterminer la valeur de a . Justifier votre réponse. 2 On admet que f a pour expression : f ( x ) = 10 x 2 + 11 x + 3 2 x 2 + x + 1 . Déterminer les sens de variation de la fonction f sur R . E.3643 On note f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 x 2 · e 1 x On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . L’unité graphique est 1 cm . 1 Étude des limites a Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0 . b Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers + ∞ . c Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux ré-sultats, pour la courbe C ? 2 Étude des variations de la fonction f . a Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction f s’exprime, pour tout réel x strictement positif, par : f ( x ) = − 1 x 4 · e 1 x · (2 x + 1) b Déterminer le signe de f et en déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . c Démontrer que l’équation f ( x )=2 a une unique solu-tion notée ¸ appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ et don-ner la valeur de ¸ arrondie au centième. 3 Tracer la courbe C dans le repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . 7. Lien entre dérivée et nombre derivée E.5064 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim h ↦→ 0 3 + h 4 − 81 h b lim h ↦→ 0 6 · h + 1 − 1 h c lim x ↦→ 0 x 2 + 1 8 − 1 x d lim x ↦→ 0 x 2 + x + 4 − 2 x https://chingmath.fr chapExoCorrec/2962 sacados/2962 Plutot pour les terminales DBM3km15kmB chapExoCorrec/6163 sacados/6163 IJO4BCf chapExoCorrec/3643 sacados/3643 Extrait Juin 2010 234567I234567JO chapExoCorrec/5064 sacados/5064
E.5101 Déterminer les valeurs des limites suiv-antes : a lim h ↦→ 0 2 h + 5 − √ 5 h b lim h ↦→ 0 (2 − 2 h ) 4 − 16 h E.5829 Soit f une fonction numérique dérivable. 1 Soit a ∈D f . Établir la limite suivante : lim x ↦→ a x = a x · f ( a ) − a · f ( x ) x − a = f ( a ) − a · f ( a ) On posera : x = a + h . 2 En déduire la limite: lim x ↦→ a x = a x 3 · a − a 3 · x x − a 8. Convexité: graphiquement E.7011 On a tracé ci-dessous la représen-tation graphique de la dérivée seconde k  d’une fonction k définie sur 0 ; + ∞ . Parmi les réponses proposées, laquelle est correcte? 1 k est concave sur l’intervalle 1 ; 2 . 2 k est convexe sur l’intervalle 0 ; 2 . 3 k est convexe sur 0 ; + ∞ . 4 k est concave sur 0 ; + ∞ . E.7059 On considère une fonction P définie et dérivable sur l’intervalle 0 ; 60 . On donne, ci-dessous, la courbe représentative C de la fonc-tion P . À partir d’une lecture graphique répondre aux questions qui suivent : 1 En argumentant la réponse, donner le signe de P (54) , où P est la fonction dérivée de la fonction P . 2 Donner un intervalle sur lequel la fonction P est convexe. 3 Donner, à l’unité près, les solutions de l’équation: P ( x )=10 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5101 sacados/5101 chapExoCorrec/5829 sacados/5829 Bac Maroc Septembre 1969 chapExoCorrec/7011 sacados/7011 Extrait de Liban Mai 2016 23I-123JOCk chapExoCorrec/7059 sacados/7059 05101520253035404550556024681012141618C
E.7054 Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbes C 1 , C 2 et C 3 définies sur − 3 ; 7 ont été représentées. L’une de ces fonctions représente une fonction f , une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde. Expliquer comment ces représentations graphiques permet-tent de déterminer la convexité de la fonction f . Indiquer un intervalle sur lequel la fonction f est convexe. 9. Convexité: étude de fonctions E.7730 Parmi les propositions suivantes, laquelle est exacte. La fonction g définie sur R par g ( x )= x 3 − 9 · x est convexe sur l’intervalle: a −∞ ; + ∞ b 0 ; + ∞ c −∞ ; 0 d − 3 ; 3 E.7702 Indication : pour la question posée, une seule des quatre réponses est exacte. Aucune justification n’est demandée. La fonction f est définie pour tout nombre réel x appartenant à 0 ; + ∞ par : f ( x ) = e 2 · x +ln( x ) 1 la fonction f est concave. 2 la fonction f possède une fonction dérivée seconde qui s’annule. 3 la fonction f possède une fonction dérivée seconde stricte-ment positive. 4 la fonction f possède une fonction dérivée qui s’annule. E.7043 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = x · e x 2 − 1 C f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan. On note f la fonction dérivée de f et f  la fonction dérivée seconde de f . 1 a Montrer que pour tout réel x : f ( x ) = 2 · x 2 + 1 · e x 2 − 1 b En déduire le sens de variation de f sur R . 2 On admet que pour tout réel x : f  ( x ) = 2 x · 2 · x 2 + 3 · e x 2 − 1 Déterminer, en justifiant, l’intervalle sur lequel la fonc-tion f est convexe. E.7793 On considère la fonction f définie, pour tout réel x de l’intervalle − 2 ; 4 par : f ( x )= x +2 · e − x +1 On note f la fonction dérivée de f . 1 Montrer que, pour tout x de l’intervalle − 2 ; 4 , on a: f ( x ) = − x + 1 · e − x +1 2 Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 1 factoriser dériver − ( x +1) ∗ exp( − x +1) x ∗ exp − x + 1 2 intégrer x +2 ∗ exp( − x +1) − ( x + 3) ∗ exp − x + 1 En utilisant ces résultats, répondre à la question suiv-ante : Déterminer un intervalle sur lequel la fonction f est con-vexe. Justifier. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7054 sacados/7054 -3-2-1234567I-6-5-4-3-2-1234JOC3C1C2 chapExoCorrec/7730 sacados/7730 chapExoCorrec/7702 sacados/7702 chapExoCorrec/7043 sacados/7043 chapExoCorrec/7793 sacados/7793
E.7026 Soit f la fonction définie sur 0 ; 8 par : f ( x )= 0 ; 4 20 · e − x +1 +0 ; 4 1 Montrer que f ( x )= 8 · e − x 20 · e − x +1 2 où f désigne la fonc-tion dérivée de la fonction f . 2 Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 f’(x):=8*e^(-x)/(20*e^(-x)+1)^2 f ( x ) := 8 · e − x 400 e − x 2 + 40 · e − x + 1 2 g(x):=Dérivée f’(x) g ( x ) := 160 · e − x 2 − 8 · e − x 8000 · e − x 3 + 1200 · e − x 2 + 60 · e − x + 1 3 Factoriser g(x) 8 · e − x · 20 · e − x − 1 20 · e − x + 1 3 En s’appuyant sur ces résultats, déterminer l’intervalle sur lequel la fonction f est convexe. 10. Convexité et positions des tangentes E.7794 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : f ( x ) = − x · ln x + 2 · x + 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère. Montrer que la courbe C est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle 0 ; 10 . E.7695 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 3 · x − 3 · x · ln( x ) On note C f sa courbe représentative dans un repère or-thonormé et T la tangente à C f au point d’abscisse 1 . Quelle est la position relative de C f par rapport à T ? 11. Point d’inflexion: graphiquement E.7050 On injecte à un patient un médica-ment et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la con-centration, en grammes en litres, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe fournie ci-dessous : En vous aidant d’une lecture graphique et sans justifier, au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle? https://chingmath.fr chapExoCorrec/7026 sacados/7026 chapExoCorrec/7794 sacados/7794 chapExoCorrec/7695 sacados/7695 chapExoCorrec/7050 sacados/7050 Temps (en heure)012345678910111213141516Concentration (g/‘)0,20,40,60,811,21,41,61,822,2
E.7061 On considère une fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 5 . On a représenté ci-dessous la courbe C f de la fonction dérivée f ainsi que la courbe C f  de la fonction dérivée seconde f  sur l’intervalle 0 ; 5 . Le point A de coordonnées (1 ; 0) appartient à C f et le point B de coordonnées (2 ; 0) appartient à la courbe C f  . 1 Déterminer le sens de variation de la fonction f . Justi-fier. 2 Déterminer sur quel (s) intervalle (s) , la fonction f est con-vexe. Justifier. 3 La courbe de f admet-elle des points d’inflexion? Justi-fier. Si oui, préciser leur (s) abscisse (s) . 12. Point d’inflexion: étude de fonctions E.7020 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 15 par : f ( x )=9 · x 2 · 1 − 2 · ln x +10 . La courbe représentative de f est donnée ci-dessous : On admet que f  ( x )= − 36 · ln x − 36 où f  désigne la dérivée seconde de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 ; 5 . Montrer que la courbe représentative de la fonction f admet un point d’inflexion dont l’abscisse est e − 1 . E.7052 La production mensuelle de légumes permettra de livrer, au maximum, 1 000 paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : C ( x ) = − 1 48 · x 4 + 5 16 · x 3 + 5 · x + 10 Lorsque x est exprimé en centaines de papiers, C ( x ) est égal au coût total exprimé en centaines d’euros. On admet que, pour tout nombre x de l’intervalle 0 ; 10 , le coût marginal est donné par la fonction C m = C où C est la fonction dérivée de C . 1 Calculer C m (6) , le coût marginal pour six cents paniers vendus. 2 On note C  la fonction dérivée seconde de C et on a: C  ( x ) = − 1 4 · x 2 + 15 8 · x a Déterminer le plus grand intervalle de la forme 0 ; a inclus dans 0 ; 10 sur lequel la fonction C est convexe. b Que peut-on dire du point d’abscisse a de la courbe de la fonction C ? Interpréter cette valeur de a en termes de coût. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7061 sacados/7061 00,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,62,833,23,43,63,844,24,44,64,85-4-224(Cf(CfAB chapExoCorrec/7020 sacados/7020 00,511,525101520 chapExoCorrec/7052 sacados/7052 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2014
E.7791 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 20 ; 20 par : f ( x ) = − 2 · x + 30 · e 0 , 2 · x − 3 1 a Montrer que f ( x )= − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 pour tout réel x de l’intervalle − 20 ; 20 . b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle − 20 ; 20 . On précisera la valeur exacte du maximum de f . 2 a Montrer que, sur l’intervalle − 20 ; 20 , l’équation f ( x )= − 2 admet une unique solution ¸ . b Donner un encadrement de ¸ d’amplitude 0 ; 2 . 3 Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 Dériver − 10 · x +200 · e 0 , 2 · x +3 − 2 · x +30 · e 0 , 2 · x − 3 2 Dériver 2 · x +30 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 3 Dériver ( − 0 ; 4 · x +4 · e 0 , 2 · x − 3 − 0 ; 08 · x +0 ; 4 · e 0 , 2 · x − 3 Répondre à la question suivante en utilisant les résultats donnés par le logiciel: Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est convexe et préciser l’abscisse du point d’inflexion. E.7729 On admet que la fonction f est définie par : f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés : L1 f(x):=(x^2-2x+1)*e^(-2x+6) → f ( x ) = x 2 − 2 · x + 1 · e − 2 x +6 L2 f’(x):=Dérivée f(x) → f ( x ) = − 2 · x 2 + 6 · x − 4 · e − 2 x +6 L3 g(x):=Dérivée f’(x) → g ( x ) = − 16 · x · e − 2 x +6 + 4 · x 2 · e − 2 x +6 + 14 · e − 2 x +6 L4 Factoriser g(x) → 2 · e − 2 x +6 · 2 · x 2 − 8 · x + 7 L5 Résoudre g(x)=0 → x = − 2 + 4 2 ; x = 2 + 4 2 L6 F(x):=Primitive f(x) → F ( x ) = 1 4 · − 2 · x 2 + 2 · x − 1 · e − 2 · x +6 1 Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction f est concave. 2 La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d’inflexion? Si oui, en donner l’abscisse. E.7790 On considère la fonction f définie sur l’intervalle 0 ; 10 par : f ( x ) = 1 0 ; 5 + 100 · e − x On note f la fonction dérivée de f sur l’intervalle 0 ; 10 . 1 Montrer que, pour tout réel x dans l’intervalle 0 ; 10 , on a: f ( x ) = 100 · e − x 0 ; 5 + 100 · e − x 2 On note f  la fonction dérivée seconde de f sur l’intervalle 0 ; 10 . Un logiciel de calcul formel fournit l’expression suiv-ante de f  ( x ) : f  ( x ) = 100 · e − x · 100 · e − x − 0 ; 5 0 ; 5 + 100 · e − x 3 2 a Montrer que, dans l’intervalle 0 ; 10 , l’inéquation 100 · e − x − 0 ; 5 0 est équivalente à l’inéquation: x − ln 0 ; 005 . b En déduire le tableau de signes de la fonction f  sur l’intervalle 0 ; 10 . 3 On appelle C f la courbe représentative de f tracée dans un repère. Montrer, à l’aide de la question 2 , que la courbe C f admet un point d’inflexion noté I , dont on précisera la valeur exacte de l’abscisse. 4 En utilisant les résultats de la question 2 , déterminer l’intervalle sur lequel la fonction f est concave. 13. Exercices non-classés E.4880 On munit le plan d’un repère O ; I ; J ) orthonormé dont l’unité graphique est le centimètre. On considère un segment [ MN ] dont les extrémités M et N reposent sur les parties positives respectivement de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées. https://chingmath.fr chapExoCorrec/7791 sacados/7791 chapExoCorrec/7729 sacados/7729 chapExoCorrec/7790 sacados/7790 Extrait Liban Juin 2017 sacados/4880 Q voir
On considère les deux distances suivantes : a = OM ; b = ON 1 Déterminer l’expression de b en fonction de la valeur de a . On note A l’aire du triangle OMN . 2 Démontrer que l’aire de OMN s’exprime en fonction de x par : A ( x ) = x · 25 − x 2 2 3 Montrer que la fonction A dérivée de la fonction A ad-met pour expression : A ( x ) = 25 − 2 · x 2 2 · 25 − x 2 4 a Établir le tableau de signes de la fonction A . b Établir le tableau de variations de la fonction A . 5 En déduire la position du segment [ MN ] pour laquelle le triangle OMN possède une aire maximale. E.1984 On considère la fonction : f : x ↦→ − 2 · x 2 + 7 · x − 3 1 Montrer l’égalité suivante : (2 · x − 1)(3 − x ) = − 2 · x 2 + 7 · x − 3 2 a Étudier le signe de − 2 · x 2 +7 · x − 3 en fonction de la valeur de x . b En déduire l’ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction f . 3 Donner l’expression de la fonction dérivée de la fonction f . 4 Dresser le tableau de variations de la fonction f . E.3644 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 6 − 5 x + 1 1 Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 Résoudre dans l’intervalle 0 ; + ∞ , l’équation f ( x )= x . On note a l’unique solution de cette équation. 3 Montrer que si x appartient à l’intervalle 0 ; a , alors f ( x ) appartient à l’intervalle 0 ; a . E.8215 La ville ˇ Promenade ı souhaite emménager un terrain de forme carré traversé par une rivière traversant latéralement le terrain. La figure ci-dessous représente le terrain et la rivière est la partie hachurée : À quelle distance d doit-on placer le pont pour que la distance parcourue par un visiteur soit minimale? E.111 On considère un segment [ AB ] de longueur 10 centimètres et un point M de ce segment, dif-férent de A et B . Les points N et P sont tels que AMNP est un carré. L’objectif de l’exercice est de déterminer le point M du seg-ment [ AB ] pour lequel la distance BN est minimale. Les distances sont exprimées en centimètres. 1 On pose : AM = x . a Faire une figure. b Déterminer l’intervalle des valeurs possibles pour x . c Déterminer en fonction de x la distance BM . d Déterminer en fonction de x la distance BN . (On rappelle le théorème de Pythagore: dans un trian-gle ABC rectangle en A , on a BC 2 = AB 2 + AC 2 ) 2 On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 10] par : f ( x ) = 2 · x 2 − 20 · x + 100 La fonction dérivée f de f est définie sur l’intervalle [0 ; 10] par : f ( x ) = 2 x − 10 2 · x 2 − 20 · x + 100 . a Répondre aux questions suivantes i Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 10] ii Montrer que la fonction f admet un minimum sur l’intervalle [0 ; 10] que l’on précisera. b Répondre aux questions suivantes : i Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d’unité un centimètre. ii Résoudre graphiquement l’équation f ( x )=8 . On fera apparaître les traits de construction utiles et on donnera des valeurs approchées des solutions lues. 3 En utilisant les résultats précédents, déterminer le point M du segment [ AB ] pour lequel la distance BN est min-imale. https://chingmath.fr OMN5cmyxIJ chapExoCorrec/1984 sacados/1984 chapExoCorrec/3644 sacados/3644 chapExoCorrec/8215 sacados/8215 120m77m8mdEntréeSortie sacados/111 Antilles - 2002 sept - obligatoire - 7 points
E.71 La figure ci-dessous est le schéma d’un cric de voiture. Celui-ci est constitué d’un losange déformable OABC , le point O étant le point d’appui sur le sol et le point B étant le point par lequel la voiture est soulevé. Lorsqu’on tourne la manivelle M , les écrous A et C se rap-prochent (ou s’éloigne) , ce qui fait monter (ou descendre) l’appui B , selon l’axe ( Oy ) . On donne : OA = OC = AB = BC =25 cm Dans le repère orthonormé ( O ; x ; y ) d’unité un centimètre, x A désigne l’abscisse du point A et varie de 0 à 25. L’ordonnée du point B est notée y B : Pour x A =0 , on a: y B =50 ; Pour x A =25 on a: y B =0 . Pour le cric fonctionne correctement, il faut : x A > 6 ; y B > 10 . 1 a En utilisant le théorème de Pythagore dans le trian-gle AIB , trouver une relation entre x A et y B et vérifier que : y B =2 · 625 − x 2 A . b En utilisant la relation trouvée à la question a , cal-culer la valeur de x A lorsque y B est égal à 10, puis la valeur de y B lorsque x A est égal à 6. 2 On considère la fonction f définie pour x appartenant à l’intervalle 0 ; 25 par : f ( x )=2 · 625 − x 2 . On admettra qu’une fonction de type u , où u est une fonction définie et positive sur un intervalle, a le même sens de variation que u sur cet intervalle. a Déterminer la dérivée u de la fonction u définie sur l’intervalle 0 ; 25 par u ( x )=625 − x 2 . Étudier le signe de u ( x ) quand x varie entre 0 et 25. En déduire le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle 0 ; 25 . b En déduire le tableau de variations de la fonction f . On précisera les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle. c Tracer la courbe (Γ) représentative de la fonction f dans un repère orthonormé d’unité graphique 0 ; 5 cm . (On précisera sur la courbe les points d’abscisses 18, 20, 22 et 24.) 3 a Quand l’abscisse x A passe de 24 à 22, calculer l’augmentation q 1 de la hauteur y B arrondie au dix-ième près. Vérifier la cohérence de ce résultat sur la courbe (Γ) en faisant apparaître les constructions effectuées. b Évaluer, à l’aide du graphique en faisant apparaître les traits de constructions utiles, l’augmentation q 2 de y b lorsque x A passe de 22 à 20, puis l’augmentation q 2 de y B lorsque x A passe de 20 à 18. c Lorsqu’on actionne la manivelle de façon régulière, peut-on dire que la voiture monte à une vitesse con-stante? Justifier votre réponse. E.2337 Le tableau présente pour chaque ligne une fonction et l’expression de la dérivée. Établir l’exactitude de chaque ligne. Fonction Image de x Nombre dérivé en x f (3 x + 2) 6 18 · (3 x + 2) 5 g 4 · (3 − 2 x ) 4 − 32 · (3 − 2 x ) 3 h 1 − 2 x 2 + 3 x + 1 4 x − 3 2 x 2 − 3 x − 1 2 j 5 x 2 + 6 x − 2 5 x + 3 5 x 2 + 6 x − 2 k 2 x − 1 3 − x 2 x − 11 2 · ( x − 3) · 3 − x https://chingmath.fr chapExoCorrec/71 sacados/71 Antilles - 2004 - 7 points - obligatoire OABCIxy chapExoCorrec/2337 sacados/2337