Terminale Spécialité / Continuité 26 exercices corrigés

a
1. Continuité en un point E.3537 Ci-dessous est donnée la courbe représentative C f de la fonction f ; cette courbe admet une tangente verticale au point d’abscisse 1 ; 5 : 1 Déterminer graphiquement l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer graphiquement l’ensemble de dérivabilité de la fonction f . 3 Déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→− 2 − f ( x ) b lim x ↦→− 2 + f ( x ) c lim x ↦→ 1 − f ( x ) d lim x ↦→ 1 + f ( x ) 4 a Combien existe-t-il de nombres a tels que : lim x ↦→ a − f ( x ) = lim x ↦→ a + f ( x ) b Quelle particularité graphique ont les points d’abscisse a vérifiant une telle condition? E.3538 La partie entière de 5 ; 5 est 5; pour étendre, cette notion à l’ensemble des nombres réels (et parti-culièrement aux nombres négatifs) , on définit la partie entière d’un nombre x , qu’on note E ( x ) , de la manière suivante : ˇ E ( x ) est le plus grand entier de l’ensemble des entiers inférieurs ou égaux à x ı 1 a Supposons que x = − 2 ; 5 , justifier que E ( x )= − 3 . b Compléter le tableau suivant : x − 4 ; 5 − 4 − 3 ; 9 − 3 ; 2 − 3 E ( x ) c Justifier l’encadrement suivant pour tout nombre réel x : E ( x ) x <E ( x ) + 1 2 a On considère le repère orthogonal O ; I ; J ci-dessous ; effectuer la représentation graphique de la fonction E sur − 4 ; 4 b Quelles particularités possède cette courbe? E.5825 On considère la fonction f définie sur R ∗ par la relation: f ( x ) = | x | x 1 Justifier que la fonction f n’est pas continue en 0 . 2 Déterminer les deux limites suivantes : lim x ↦→ 0 − x =0 f ( x ) ; lim x ↦→ 0+ x =0 f ( x ) E.3542 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 3 x − 1 6 x 2 − 11 x + 3 1 Déterminer l’ensemble D f de définition de la fonction f . 2 Est-il possible de prolonger par continuité la fonction f en 1 3 afin qu’elle soit continue en cette valeur? C’est-à-dire existe-t-il un nombre a tel que la fonction g suivante soit continue en 1 3 : g ( x ) = 3 x − 1 6 x 2 − 11 x + 3 pour x ∈D f g 1 3 = a pour x = 1 3 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3537 sacados/3537 -4-3-2-1234I-2-123JO chapExoCorrec/3538 sacados/3538 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JO chapExoCorrec/5825 sacados/5825 chapExoCorrec/3542 sacados/3542
E.3539 1 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = x 2 + 1 − 1 x a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . b Déterminer la valeur des deux limites suivantes : lim x ↦→ 0 − f ( x ) ; lim x ↦→ 0 + f ( x ) c Peut-on dire que la fonction f est continue en 0 ? 2 On considère la fonction g définie sur R par : g ( x ) = f ( x ) pour x =0 g (0) = 0 Justifier que la fonction g est continue en 0 . 2. Tableau de signes sans le théorème des valeurs intermédiaires E.2927 1 Soit n un entier naturel non-nul quelconque. On consid-ère la fonction f définie sur R + par la relation: f ( x ) = 1 + x n − 1 − n · x Établir le sens de variation de la fonction f sur R + . 2 Établir l’inégalité ci-dessous pour tout nombre x positif et tout entier naturel n strictement positif : 1 + x n 1 + n · x L’inégalité établie à la dernière question s’appelle: Inégalité de Bernoulli 3. Théorème des valeurs intermédiaires E.3543 On considère une fonction f qui admet le tableau de variations suivant : 1 Justifier que la fonction f s’annule deux fois sur son en-semble de définition. 2 Soit m un nombre réel. Discuter en fonction de la valeur de m du nombre de solutions de l’équation f ( x )= m . E.3569 On considère une fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 4 admettant le tableau de variations suiv-ant : 1 Justifier que la fonction f s’annule une unique fois sur son ensemble de définition. 2 Soit m un nombre réel. Discuter en fonction de la valeur de m du nombre de solutions de l’équation f ( x )= m . E.6239 On considère la fonction f définie, con-tinue et strictement croissante sur l’intervalle 0 ; + ∞ , telle que : lim x ↦→ 0 + f ( x ) = −∞ ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère orthog-onal O ; −→ i ; −→ j du plan. 1 Montrer que, pour tout entier naturel n , l’équation f ( x )= n admet une unique solution dans 0 ; + ∞ . On note ¸ n cette solution. 2 Sur la page annexe, on a tracé Γ dans le repère O ; −→ i ; −→ j . Placer les nombres ¸ 0 , ¸ 1 , ¸ 2 , ¸ 3 , ¸ 4 et ¸ 5 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. 4. Fonctions exponentielles et théorème des valeurs intermédiaires https://chingmath.fr chapExoCorrec/3539 sacados/3539 chapExoCorrec/2927 sacados/2927 chapExoCorrec/3543 sacados/3543 −51510354-6-1-13xVariationdef chapExoCorrec/3569 sacados/3569 −4243−92-1xVariationdef chapExoCorrec/6239 sacados/6239 234567I-2-123456JOΓ
E.4302 On note f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 x 2 · e 1 x 1 Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction f s’exprime, pour tout réel x strictement positif, par : f ( x ) = − 1 x 4 · e 1 x · 2 · x + 1 2 Déterminer le signe de f et en déduire le tableau de variations de f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 3 Démontrer que l’équation f ( x )=2 a une unique solution notée ¸ appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ et donner la valeur de ¸ arrondie au centième. E.5528 Soit g la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x e x − e + e − 2 1 Soit g la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g ( x ) pour tout réel x de 0 ; + ∞ . Vérifier que la fonction dérivée seconde g  est définie sur 0 ; + ∞ par : g  ( x ) = (2 + x )e x 2 En déduire les variations de la fonction g sur 0 ; + ∞ . 3 Établir que l’équation g ( x )=0 admet une solution unique ¸ dans l’intervalle 0 ; + ∞ . Déterminer la valeur de ¸ , approchée à 10 − 1 près. 4 En déduire les variations de la fonction g sur 0 ; + ∞ . 5. Etudes de fonctions: exponentielles E.3666 Le but de cette question est de prouver qu’il existe une unique réelle solution de l’équation: ( E ) : e 2 x + 4 · x · e x − 4 · e x − 4 = 0 Pour cela, on considère la fonction définie sur R par : f ( x ) = e 2 x + 4 · x · e x − 4 · e x − 4 . 1 Montrer que pour tout x appartenant à −∞ ; 0 : e 2 x − 4 < 0 ; 4 · e x ( x − 1) < 0 2 En déduire que l’équation ( E ) n’a pas de solution dans l’intervalle −∞ ; 0 . 3 Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; + ∞ 4 Démontrer que l’équation ( E ) admet une solution unique dans l’intervalle 0 ; + ∞ . On note ¸ cette solution. Donner un encadrement d’amplitude 10 − 2 de a . E.107 On note R l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x · e x − 1 + 1 On note C sa courbe représentative dans un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . Partie A : étude de la fonction 1 Déterminer la limite de f en −∞ . Que peut-on en déduire pour la courbe C ? 2 Déterminer la limite de f en + ∞ . 3 On admet que f est dérivable sur R , et on note f sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x : f ( x )=( x +1) · e x − 1 4 Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variations sur R . Partie B: recherche d’une tangente particulière Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbe C au point d’abscisse a , qui passe par l’origine du repère. 1 On appelle T a la tangente à C au point d’abscisse a . Donner une équation de T a . 2 Démontrer qu’une tangente à C en un point d’abscisse a strictement positive passe par l’origine du repère si, et seulement si, a vérifie l’égalité: 1 − a 2 · e a − 1 = 0 3 Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle 0 ; + ∞ de l’équation: 1 − x 2 · e x − 1 = 0 Indication : dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation. 4 Donner alors une équation de la tangente recherchée. 6. Etudes de fonctions E.3544 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = x 2 − 1 − 1 x + 1 Notons C f la courbe représentative de la fonction f . 1 a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . b Déterminer les limites de la fonction f en ses bornes. c La courbe C f admet-elle des asymptotes? Si oui, pré-ciser lesquelles. 2 a Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle 1 ; + ∞ . 3 a Justifier que la fonction f ne s’annule qu’une fois sur l’intervalle 1 ; + ∞ . b Tracer la courbe représentative de la fonction f à l’aide de votre calculatrice; utiliser les fonctions de votre cal-culatrice pour déterminer la valeur de ce zéro de la fonction f , arrondie au centième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4302 sacados/4302 Extrait d'Asie Juin 2010 chapExoCorrec/5528 sacados/5528 chapExoCorrec/3666 sacados/3666 chapExoCorrec/107 sacados/107 Extrait de Antilles-Guyanes Juin 2012 chapExoCorrec/3544 sacados/3544
7. Etudes de fonctions avec la dérivée seconde E.3562 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = x − 1 + 2 x 2 + 1 1 Déterminer l’expression de la dérivée f de la fonction f , ainsi que celle de la dérivée seconde f  . 2 a Étudier le signe de la fonction f  . b En déduire le tableau de variations de la fonction f . (Une valeur arrondie des extrémums au dixième près sera cherchée à l’aide de la calculatrice) 3 a Montrer que la fonction f s’annule pour x =1 et aussi en un nombre ¸ vérifiant l’encadrement : 0 ; 2 <¸ < 0 ; 3 b En déduire le tableau de signes de la fonction f . 4 a Déterminer la valeur des deux limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) b Dresser le tableau de variations de la fonction f . (Une valeur arrondie des extrémums au dixième près sera cherchée à l’aide de la calculatrice) E.5813 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre x est donnée par la relation: f ( x ) = 5 x − 1 x 2 + x + 1 1 a Montrer que la fonction f admet pour dérivée sec-onde, la fonction f  définie par : f  ( x ) = − 6 x · ( x + 1) x 2 + x + 1 3 b Dresser le tableau de signes de la fonction f  . 2 a Déduire de la question 1 , le tableau de variations de la fonction f . b Justifier que la fonction f est positive sur R . 3 Justifier que la fonction f admet un unique zéro sur R . E.5812 On considère la fonction f définie sur R dont l’image d’un nombre réel x est définie par l’expression : f ( x ) = 3 · x 2 + 1 − 2 · x Le but de l’exercice est de montrer que la fonction f admet un maximum global et d’obtenir une valeur approchée. 1 a Montrer que la dérivée seconde de la fonction f ad-met pour expression : f  ( x ) = 3 x 2 + 1 · x 2 + 1 b Établir les deux limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) = − 5 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = 1 c Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 a Justifier que la fonction f s’annule une unique fois sur R . b On note ¸ l’unique solution de l’équation: f ( x )=0 . Justifier brièvement que le nombre ¸ appartient à l’intervalle 0 ; 8 ; 0 ; 9 . 3 a Dresser le tableau de signes de la fonction f . b Justifier que la fonction f admet un minimum global qui est atteint pour x = ¸ . E.5235 Soit g la fonction définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x · e x − e + e − 2 1 Soit g la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g ( x ) pour tout réel x de 0 ; + ∞ . Vérifier que la fonction dérivée seconde g  est définie sur 0 + ∞ par : g  ( x ) = (2 + x )e x 2 En déduire les variations de la fonction g sur 0 ; + ∞ . 3 Établir que l’équation g ( x )=0 admet une solution unique ¸ dans l’intervalle 0 ; + ∞ . Déterminer une valeur approchée de ¸ à 10 − 1 près. 4 En déduire les variations de la fonction g sur 0 ; + ∞ . 8. Etudes de fonctions avec une sous-fonction: exponentielle E.3904 Partie A : Soit g la fonction définie sur [0;+ ∞ par : g ( x )=e x − x · e x +1 . 1 Déterminer la limite de g en + ∞ . 2 Étudier les variations de la fonction g . 3 Donner le tableau de variations de g . 4 a Démontrer que l’équation g ( x )=0 admet sur 0 ; + ∞ une unique solution. On note ¸ cette solu-tion. b À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10 − 2 de ¸ . c Démontrer que : e α = 1 ¸ − 1 5 Déterminer le signe de g ( x ) suivant les valeurs de x . Partie B: Soit A la fonction définie et dérivable sur 0 ; + ∞ telle que : A ( x ) = 4 x e x + 1 1 Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, A ( x ) a le même signe que g ( x ) où g est la fonction définie dans la partie A . 2 En déduire les variations de la fonction A sur 0 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3562 sacados/3562 chapExoCorrec/5813 sacados/5813 chapExoCorrec/5812 sacados/5812 chapExoCorrec/5235 sacados/5235 chapExoCorrec/3904 sacados/3904
E.3704 Soit la fonction f définie explicite-ment sur une certaine partie D de R au moyen de la formule : f ( x ) = x 2 e x − x − 2 On propose l’étude de cette fonction f . 1 On pose : g ( x )=e x − x − 2 . a Étudier le signe sur R de la dérivée g ( x ) . b Trouver, par une mise en facteur de e x , la limite de g ( x ) lorsque x ↦→ + ∞ . c En déduire qu’il existe deux réels, notés a et b , avec a<b , tels que : g ( a ) = g ( b ) = 0 d Montrer que : − 2 <a< − 1 ; 1 <b< 2 2 a Déterminer dans D la dérivée de la fonction f et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme : f ( x ) = x · u ( x ) g ( x ) 2 b Calculer la dérivée u  de u et étudier son signe. c Déduire de la question b les variations de u , ainsi que celles de u et montrer qu’il existe un réel, noté c tel que u ( c )=0 . Montrer que c< − 2 . d Trouver enfin le signe de cette fonction u et le signe de la dérivée f ( x ) . 3 Dresser le tableau de variation de f . Montrer que la fonc-tion f admet un minimum m dans l’intervalle −∞ ; a . Montrer que : m = c · (2 − c ) c + 1 . 4 Déterminer les limites de f en −∞ , a , b , + ∞ . (Pour a et b , on distinguera les limites à droite et les limites à gauche) . 5 Rassembler tous les résultats précédents en dessinant l’allure du graphe de la fonction f . 9. Etudes de fonctions avec une sous-fonction E.3557 1 On considère la fonction polynôme P définie pour tout réel x par : P ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 a Étudier les variations de P . b Montrer que l’équation P ( x )=0 admet une racine réelle et une seule, ¸ , et que ¸ appartient à l’intervalle 1 ; 6 ; 1 ; 7 2 Soit D l’ensemble des réels strictement supérieurs à − 1 . On considère la fonction numérique f définie sur D par : f ( x ) = 1 − x 1 + x 3 On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (on prendra comme unité 4 cm ) . a Étudier les variations de f (on utilisera pour cela les résultats du 1 ) . b Écrire une équation de la droite (Δ) tangente à la courbe ( C ) au point d’abscisse 0 . Étudier la posi-tion de la courbe ( C ) par rapport à la droite (Δ) dans l’intervalle − 1 ; 1 . c Montrer que la courbe ( C ) est située au-dessus de sa tangente au point d’abscisse 1. Tracer la courbe ( C ) , la droite (Δ) et la tangente à ( C ) au point d’abscisse 1. E.6246 On considère la fonction f définie sur R par l’expression : f ( x ) = x 3 + 5 · x 2 + 2 x 2 + 2 Partie A : étude d’une fonction annexe Soit g la fonction polynomiale de degré 3 définie par : g ( x ) = x 3 + 6 x + 16 1 Déterminer les limites de la fonction g en −∞ et + ∞ . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction g sur R . 3 Justifier que la fonction g s’annule une et une seule fois sur R . On notera ¸ l’unique solution de l’équation: g ( x ) = 0 . On donnera une valeur approchée de ¸ au centième près. 4 En déduire le signe de la fonction g sur R . Partie B: étude de la fonction f 5 Déterminer les limites de la fonction f en + ∞ et −∞ . 6 a Déterminer l’expression de la dérivée f de la fonc-tion f et montrer qu’elle admet l’expression : f ( x ) = x · g ( x ) x 2 + 2 2 b Dresser le tableau de variations de la fonction f . On utilisera la valeur approchée : f ( ¸ ) ≈ 2 ; 36 7 Dans un repère O ; I ; J orthonormé, on considère la courbe C f représentative de la fonction f . a Déterminer l’équation réduite de la tangente (Δ) à la courbe C f au point d’abscisse − 1 . b Étudier le signe de la différence f ( x ) − − x +1 sur R . En déduire la position relative de la courbe C f rela-tivement à la tangente (Δ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3704 sacados/3704 Concours Efrei Avril 2002 chapExoCorrec/3557 sacados/3557 chapExoCorrec/6246 sacados/6246 fichierPlus/6246/
E.3556 On considère les fonctions numériques d’une variable réelle définies par : f : x ↦−→ 1 3 · x 2 + x + 1 x ; g : x ↦−→ 2 x 3 + x 2 − 1 1 Montrer que, pour tout x =0 , les nombres f ( x ) et g ( x ) ont le même signe. 2 Étudier les variations de la fonction g sur R . En déduire que l’équation g ( x )=0 admet dans R une solution unique ¸ avec 0 <¸< 1 . (On ne cherchera pas à calculer ¸ ) 3 Dresser le tableau des variations de la fonction f . (on admet que f ( ¸ ) ≈ 0 ; 87 ) On désigne par ( C ) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (unité 3 cm ) , par I le point de ( C ) d’abscisse − 1 et par J le point de ( C ) d’abscisse +1 . 4 a Vérifier que la droite ( IJ ) est la tangente en J à ( C ) . b Déterminer une équation de la tangente ( T ) en I à ( C ) . 5 Étudier la position de ( C ) par rapport à ( T ) . 6 Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe ( C ) . (On prendra 2 = 3 comme valeur de ¸ ) E.3563 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 − 1 + 2 · x 2 1 Étudier les limites de f en + ∞ et en −∞ . 2 On considère la fonction g définie sur R par : g ( x ) = 3 · x · 2 x 2 + 1 − 2 a Justifier que la fonction g est strictement croissante sur R . b Montrer qu’il existe un unique réel ¸ tel que g ( ¸ )=0 . De plus, justifier que : 0 ; 5 <¸< 0 ; 6 . c Dresser le tableau de signes de la fonction g . 3 a Déterminer l’expression de la dérivée f de la fonc-tion f . b Dresser le tableau de signes de f . c En déduire le tableau de variations de la fonction f . (on utilisera des valeurs approchées obtenues à l’aide de la calculatrice) . E.5102 1 Considérons la fonction g définie sur R par : g ( x ) = − 8 x 3 + 4 x − 4 a Dresser le tableau de variations de la fonction g . (on utilisera des valeurs approchées pour compléter le tableau) b En observant que g ( − 1)=0 , dresser le tableau de signes de la fonction g . 2 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 x 2 + 1 2 x 2 + 2 x + 3 2 a Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . b Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. c Établir que la fonction f admet pour dérivée la fonc-tion f dont l’expression est donnée par la relation: f ( x ) = − 8 x 3 + 4 x − 4 (2 x 2 + 2 x + 3) 3 d Dresser le tableau de variations de la fonction f . (on utilisera des valeurs approchées pour compléter le tableau) e En déduire le tableau de signes de la fonction f . 10. Dichotomie E.3534 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = x 3 + 3 · x 1 a Dresser le tableau de variations de la fonction f . b Justifier que le nombre 5 admet un unique antécédent par la fonction f ; on notera ¸ ce nombre. 2 On pose pour valeur a 0 =0 et b 0 =2 . On souhaite con-struire par la méthode de dichotomie les deux suites a n et b n adjacentes et convergentes vers ¸ . a Compléter le tableau ci-dessous : a n c n b n f ( a n ) f ( c n ) f ( b n ) n =0 n =1 n =2 n =3 n =4 n =5 b Avec quelle précision obtient-on la valeur de ¸ à l’aide du tableau. https://chingmath.fr chapExoCorrec/3556 sacados/3556 Nancy-Metz 1987 chapExoCorrec/3563 sacados/3563 fichierPlus/3563/diapoCorrection.pdf chapExoCorrec/5102 sacados/5102 chapExoCorrec/3534 sacados/3534