Terminale Spécialité / Représentation, équation cartésienne 88 exercices corrigés

a
1. Résolution de systèmes E.6348 Résoudre le système suivant : x + 2 y − z = − 2 3 x + y + 2 z = − 1 x − y + 3 z = 3 (On montrera que ce système admet un unique triplet solu-tion) . E.8653 Résoudre le système suivant : 3 x + y − z = 1 x − y + 2 z = 2 − x + 5 y − 9 z = − 5 (On montrera que ce système n’admet aucune solution) E.8654 Résoudre le système suivant : x + y − z = 5 2 x − y + 4 z = − 2 5 x − y + 7 z = 1 (On montrera que ce système admet une infinité de solutions qu’on écrira sous la forme ( : : : ; : : : ; z ) où z ∈ R ) 2. Représentations paramétriques d’une droite E.5400 Donner une représentation paramétrique de la droite ( d ) passant par le point A et admettant le vecteur −→ u pour vecteur directeur dans chaque cas ci-dessous : a A 3 ; 0 ; − 2 ; −→ u − 1 ; − 2 ; 1 b A 2 ; − 1 ; 1 ; −→ u 2 ; 0 ; − 4 E.4038 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère le point A de coordonnées − 2 ; 8 ; 4 et le vecteur −→ u de coordonnées 1 ; 5 ; − 1 . Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( d ) passant par A et de vecteur directeur −→ u . E.4035 Indiquer pour la proposition suiv-ante si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. L’espace est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . La droite de l’espace, passant par le point B de coordonnées 2 ; 3 ; 4 et admettant le vecteur −→ u 1 ; 2 ; 3 comme vecteur directeur, a pour représentation paramétrique : x = t + 1 y = 2 t + 1 z = 3 t + 1 où t ∈ R 3. Représentations paramétriques de droites et positions relatives E.6347 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k et la droite ( d ) admettant la représentation paramétrique : x = − 1 + t y = 1 + 2 t z = 2 − 3 t , t ∈ R 1 a Montrer que le point A 1 2 ; 4 ; − 5 2 appartient à la droite ( d ) . b Montrer que le point B − 9 4 ; 3 2 ; − 23 4 n’appartient pas à la droite ( d ) . 2 On considère la droite ( d ) admettant la représentation paramétrique : x = 1 + 3 2 · t y = 3 − 3 t z = − 4 − 9 2 · t , où t ∈ R a Montrer que le point A appartient à la droite ( d ) . b Quelle est la position relative des droites ( d ) et ( d ) ? E.5401 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k et les deux droites ( d ) et ( d ) admettant pour représentations paramétriques : ( d ) : x = 3 + 2 · t y = − 1 − 2 · t z = 2 + 6 · t ( d ) : x = − 1 − t y = − 1 + t z = − 3 · t où t ∈ R 1 Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles. 2 Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont parallèles strictes? (on montrera qu’un point de ( d ) n’appartient pas à ( d ) ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/6348 sacados/6348 chapExoCorrec/8653 sacados/8653 chapExoCorrec/8654 sacados/8654 chapExoCorrec/5400 sacados/5400 chapExoCorrec/4038 sacados/4038 chapExoCorrec/4035 sacados/4035 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/6347 sacados/6347 chapExoCorrec/5401 sacados/5401
E.5413 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère les deux points M et N de coordonnées : M − 1 ; 2 ; 3 ; N 1 ; − 2 ; 9 ( d ): x = − 1 + t y = 2 − 2 t z = 3 + 9 t ( d ): x = 3 + 2 t y = - 6 - t z = 12 − 2 t ( d  ): x = − 3 + t y = 6 − 2 t z = - 3 + 3 t où t est un réel parcourant l’ensemble des réels. 1 a À quelles droites appartient le point M ? b Parmi les droites ( d ) , ( d ) et ( d  ) , laquelle représente la droite ( MN ) ? 2 Déterminer, par une autre méthode, une autre représen-tation de la droite ( MN ) . E.4057 L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Soit A le point de coordonnée 3 ; 1 ; 3 . On considère la droite D de l’espace passant par A et de vecteur directeur −→ u 1 ; 2 ; − 1 et la droite D d’équations paramétriques : x = 3 + 2 t y = 3 + t z = t où t ∈ R Dire laquelle des trois affirmations suivantes est exacte. Au-cune justification n’est demandée : 1 Les droites D et D sont coplanaires et parallèles; 2 Les droites D et D sont coplanaires et sécantes ; 3 Les droites D et D sont non coplanaires. E.4067 On considère les deux droites ( d ) et ( d ) dont les représentations paramétriques sont respective-ment : x = 2 + 4 · t y = 1 − 2 · t z = − 3 + t où t ∈ R x = 5 − 2 · k y = − 1 + k z = 2 − 1 2 · k où k ∈ R . Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont coplanaires. 4. Représentations paramétriques d’une droite et résolution de systèmes E.5402 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k et les deux droites ( d ) et ( d ) admettant pour représentation paramétrique : ( d ) : x = − t y = − 1 − t z = 5+ 3 t ; t ∈ R ( d ) : x = 4+ t y = 3+ t z = − 1 ; t ∈ R Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont coplanaires et sécantes. On précisera les coordonnées du point d’intersection. E.5409 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les deux droites ( d ) et ( d ) ad-mettant pour représentations paramétriques : ( d ) : x = 1 + t y = 1 + 3 t z = − t , t ∈ R ( d ) : x = 2 + t y = − 6 − 2 t z = 3 + t , t ∈ R Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection. E.5403 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k et les deux droites ( d ) et ( d ) admettant pour représentation paramétrique : ( d ) : x = 1 − t y = 1 + t z = 2 + t où t ∈ R ( d ) : x = − 2 − t y = − 1 − t z = − 1 + t où t ∈ R Justifier que ces deux droites sont non coplanaires. E.2679 On considère les deux droites de représentations paramétriques respectives : x = 2 − 3 t y = 1 + t z = − 3 + 2 t où t ∈ R ; x = 7 + 2 u y = 2 + 2 u z = − 6 − u où u ∈ R Montrer que ces deux droites sont sécantes et déterminer les coordonnées du point d’intersection. E.4066 On considère les deux droites de représentation paramétriques respectives : x = 2 − 3 t y = 1 + t z = − 3 + 2 t où t ∈ R x = 7 + 2 u y = 2 + 2 u z = − 6 − u où u ∈ R Montrer que ces deux droites sont sécantes. Donner les coor-données du point d’intersection. E.4065 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les droites ( d ) et ( d ) admettant respectivement les représentations paramétriques suivantes : x = 1 + 2 · t y = − 2 − 3 · t z = − 1 − t où t ∈ R x = 2 − k y = 1 + 2 · k z = k où k ∈ R . Montrer que les droites ( d ) et ( d ) ne sont pas coplanaires. E.8655 On considère les droites (Δ) et (Δ ) dont les représentations paramétriques sont respectivement : x = 3 + 2 · t y = − 3 − t z = 6 + 3 · t où t ∈ R x = − 1 − k y = 2 + 2 · k z = 1 − k où k ∈ R . Montrer que les droites (Δ) et (Δ ) sont coplanaires. 5. Représentations paramétriques de droites et orthogonalités https://chingmath.fr chapExoCorrec/5413 sacados/5413 chapExoCorrec/4057 sacados/4057 chapExoCorrec/4067 sacados/4067 chapExoCorrec/5402 sacados/5402 chapExoCorrec/5409 sacados/5409 chapExoCorrec/5403 sacados/5403 chapExoCorrec/2679 sacados/2679 Extrait de Pondichery Avril 2010 chapExoCorrec/4066 sacados/4066 sacados/4065 chapExoCorrec/8655 sacados/8655
E.5414 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère le deux droites ( d ) et ( d ) définies par leur représentation paramétrique : ( d ) x = − 3 + 2 t y = − 4 + 3 t z = 3 − t où t ∈ R ( d ) x = 1 + 2 t y = − 3 − 2 t z = − 2 t où t ∈ R 1 Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont orthogonales entre elles. 2 Les droites ( d ) et ( d ) sont-elles sécantes? Si oui, préciser le point d’intersection. E.6968 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère deux droites ( d ) et ( d ) admettant pour représentation paramétrique : ( d ) x = − 3 + 2 · t y = − t z = − 1 + t t ∈ R ; ( d ) x = − 1 − 2 · t y = 1 + 3 · t z = − t t ∈ R 1 Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont sécantes. On déterminera les coordonnées de leur point M d’intersection. 2 a On considère les deux vecteurs −→ u 2 ; − 1 ; 1 et −→ v − 2 ; 3 ; − 1 . Déterminer les coordonnées d’un vecteur −→ n qui soit orthogonal aux deux vecteurs −→ u et −→ v . b En déduire une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point M et orthogonale aux deux droites ( d ) et ( d ) . E.4096 On admet que si ( d ) et ( d ) sont deux droites non coplanaires, il existe une unique droite (Δ) perpendiculaire à ( d ) et ( d ) . L’espace est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On note ( d ) la droite des abscisses et ( d ) la droite admettant la représentation paramétrique : x = − t y = 3 + 3 · t z = 1 − t où t ∈ R On considère la droite (Δ) perpendiculaire commune à ( d ) et ( d ) . Prouver qu’il existe deux réels b et c tels que le vecteur : −→ w = b · −→ j + c · −→ k soit un vecteur directeur de (Δ) . E.6405 On considère l’espace muni d’un repère O ; I ; J ; K et les deux droites ( d ) et ( d ) admettant pour équation paramétrique : ( d ) x = 3 + t y = − 5 + t z = 4 où t ∈ R ; ( d ) x = 2 + 2 · t y = 3 + t z = − 2 − t où t ∈ R 1 Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont non coplanaires. 2 On suppose l’existence d’une droite (Δ) perpendiculaire à la droite ( d ) et perpendiculaire à la droite ( d ) a Justifier l’existence d’un réel t tel que la droite (Δ) ad-mette pour représentation paramétrique : x = 3+ t + t y = − 5+ t − t z = 4 + t où t ∈ R b En déduire une équation paramétrique de la droite (Δ) . E.4036 L’espace est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On note D la droite des abscisses et D , la droite de représen-tation paramétrique : x = − t y = 3 + 3 t z = 1 − t 1 Justifier que les droites D et D ne sont pas coplanaires. 2 On considère la droite Δ perpendiculaire commune à D et D . Prouver qu’il existe deux réelles b et c tels que le vecteur −→ w = b · −→ j + c · −→ k soit un vecteur directeur de Δ . 6. Représentations paramétriques d’un plan E.5424 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les trois points : A 2 ; 0 ; − 1 ; B 1 ; 0 ; 3 ; C 2 ; 1 ; 1 1 Justifier que les points A , B et C définissent un plan. 2 En choisissant −−→ AB ; −→ AC comme couple de vecteurs directeurs, montrer que le plan ( ABC ) admet pour représentation paramétrique le système suivant : x = − t + 2 y = t z = 4 t + 2 t − 1 où t ∈ R ; t ∈ R 3 Justifier que le point D 1 ; − 2 ; − 1 appartient au plan ( ABC ) . E.5425 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les trois points : A 3 ; − 1 ; 2 ; B 3 ; 1 ; 1 ; C 2 ; − 1 ; 1 1 Justifier que les points A , B et C définissent un plan. 2 Déterminer une représentation paramétrique du plan ( ABC ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5414 sacados/5414 chapExoCorrec/6968 sacados/6968 chapExoCorrec/4096 sacados/4096 chapExoCorrec/6405 sacados/6405 sacados/4036 Extrait d'Amerique du Sud Novembre 2010 chapExoCorrec/5424 sacados/5424 chapExoCorrec/5425 sacados/5425
E.6350 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les trois points : A 2 ; 0 ; − 1 ; B 1 ; 2 ; 2 ; C − 1 ; 1 ; − 2 1 a Les points A , B , C déterminent-ils un plan? Justi-fier votre réponse. b Déterminer une représentation paramétrique du plan ( ABC ) 2 a On considère le point D 0 ; 3 ; 1 . Le point D appartient-il au plan ( ABC ) ? Justifier votre réponse. b On considère le point E 7 ; 0 ; 4 . Le point E appartient-il au plan ( ABC ) ? Justifier votre réponse. 7. Coplanéarité E.6945 1 On considère les trois vecteurs : −→ u 1 ; − 1 ; 2 ; −→ v 1 ; 1 ; 3 ; −→ w − 1 ; − 9 ; − 7 Montrer que les vecteurs −→ u , −→ v , −→ w sont coplanaires. 2 On considère les trois vecteurs : −→ u 2 ; − 2 ; 1 ; −→ v 1 ; 4 ; − 2 ; −→ w 1 ; − 16 ; 6 Montrer que les vecteurs −→ u , −→ v , −→ w ne sont pas coplanaires. E.6947 On considère l’espace muni d’un repère. Dans chacun des cas et sans justification, donner la relation: −→ w = ¸ · −→ u + ˛ · −→ v établissant la coplanéarité des vecteurs −→ u , −→ v , −→ w . 1 −→ u 3 ; 2 ; 0 ; −→ v 1 ; 0 ; 1 ; −→ w 7 ; 6 ; − 2 2 −→ u 1 ; 0 ; − 1 ; −→ v 3 ; − 1 ; 2 ; −→ w 1 ; − 1 ; 4 E.2780 Au fil de cet exercice, nous considérons les deux systèmes suivants de trois équations à trois incon-nues : S : 5 a − 2 b 3 11 c = 0 − a + 3 b + 2 c = 0 − a + b − c = 0 T : − 2 a + b − 5 c = 0 a − 3 b − 5 c = 0 5 a − 2 b + 14 c = 0 On se place dans un repère ( O ; I ; J ; K ) pour étudier la copla-narité de vecteurs dans l’espace : 1 a Montrer que le système S n’admet que le triplet 0 ; 0 ; 0 pour solution. b En déduire que les vecteurs : −→ p 5 ; − 1 ; − 1 ; −→ q − 2 ; 3 ; 1 ; −→ s 11 ; 2 ; − 1 sont non-coplanaires. 2 On considère les trois vecteurs suivants : −→ u − 2 ; 1 ; 5 ; −→ v 1 ; − 3 ; − 2 ; −→ w − 5 ; − 5 ; 14 a Justifier que la coplanarité de ces trois vecteurs est équivalent à la condition : S ( T ) = 0 ; 0 ; 0 b En déduire que les trois vecteurs −→ u , −→ v , −→ w sont coplanaires. E.2791 On munit l’espace d’un repère O ; I ; J ; K : 1 On considère les quatre points suivants : A − 5 ; − 2 ; 3 ; B 0 ; 0 ; 6 C − 7 ; − 1 ; 7 ; D − 21 ; − 3 ; 9 Montrer que les points A , B , C , D sont coplanaires. 2 On considère les 5 points suivants : E − 2 ; 1 ; − 1 ; F − 4 ; 3 ; − 2 G − 3 ; 4 ; − 4 ; H − 5 ; 6 ; 2 ; L − 11 ; 8 ; 5 Monter que la droite ( HL ) n’est pas parallèle au plan ( EFG ) . E.2800 Dans l’espace muni d’un repère O ; I ; J K , on considère les quatre points suivants : A 5 ; − 4 ; 3 ; B 7 ; − 5 ; 6 C 10 ; − 2 ; 1 ; D − 11 ; − 14 ; 17 Montrer que les points A , B , C , D sont coplanaires. E.2815 On considère dans l’espace muni d’un repère les deux vecteurs suivants définis par leurs coordon-nées : −→ u = 3 ; 2 ; 1 ; −→ v = − 1 ; 3 ; 1 On considère le vecteur −→ w définit en fonction de x un nombre réel par ses coordonnées : −→ w 2 ; 16 ; x Déterminer le (s) valeur (s) de x tel (les) que les vecteurs −→ u , −→ v , −→ w sont coplanaires. E.5437 Dans l’espace muni d’un repère O ; I ; J ; K orthonormé, on considère quatre points repérés par leurs coordonnées : A 3 ; − 1 ; 5 ; B − 2 ; 2 ; 3 ; C − 1 ; − 2 ; 4 ; D 5 ; 8 ; 4 Les points A , B , C , D sont-ils coplanaires? E.6316 Dans l’espace muni d’un repère O ; I ; J ; K orthonormé, on considère quatre points repérés par leurs coordonnées : A 3 ; − 1 ; 5 ; B − 2 ; 2 ; 3 ; C − 1 ; − 2 ; 4 ; D 5 ; 8 ; 4 Les points A , B , C , D sont-ils coplanaires? 8. Equation cartésienne du plan https://chingmath.fr chapExoCorrec/6350 sacados/6350 chapExoCorrec/6945 sacados/6945 chapExoCorrec/6947 sacados/6947 chapExoCorrec/2780 sacados/2780 sacados/2791 chapExoCorrec/2800 sacados/2800 chapExoCorrec/2815 sacados/2815 chapExoCorrec/5437 sacados/5437 chapExoCorrec/6316 sacados/6316
E.4125 On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous : On munit l’espace du repère D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . 1 Nommer les plans admettant les équations cartésiennes suivantes : a z = 0 b y = 1 c x + y = 1 d x + y + z = 2 e x + y + z = 1 f x − y = 0 2 Déterminer l’équation cartésienne de chacun des plans suivants : a ( EHD ) b ( FGH ) c ( HDC ) 3 a Justifier que le vecteur −−→ BG est orthogonal au plan ( EFC ) . b En déduire une équation du plan ( EFC ) . E.4119 On considère les quatre points suivants : 1 le plan ( P 1 ) est parallèle au plan ( OAB ) et passe par le point C ; 2 le plan ( P 2 ) passent par les points A , B , C ; 3 le plan ( P 3 ) médian du segment [ OB ] ; 4 le plan ( P 4 ) est parallèle au plan ( OAB ) et passe par le point O ; Associer à chaque plan une des représentations ci-dessous et donner son équation cartésienne. E.5418 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère le plan ( P ) passant par le point A 1 ; 2 ; − 1 et admettant le vecteur −→ n 1 ; − 1 ; 3 pour vecteur normal. 1 Déterminer une équation cartésienne du plan P . 2 Les points B 2 ; 8 ; 1 et C − 2 ; 5 ; 1 appartiennent-ils au plan P ? E.5416 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé, on considère le plan ( P ) passant par le point A et admettant −→ n pour vecteur normal où : A 3 ; 1 ; 2 ; −→ n 2 ; 1 ; − 1 On considère les points M et N deux points de l’espace où : M 4 ; − 2 ; 1 ; N − 2 ; 8 ; 2 Les points M et N appartiennent-ils au plan ( P ) ? E.4092 L’espace E est rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé. On considère les points A , B et C de coordonnées respectives 1 ; 0 ; 2 , 1 ; 1 ; 4 et − 1 ; 1 ; 1 . 1 Montrer que les points A , B et C ne sont pas alignés. 2 Soit −→ n le vecteur de coordonnées 3 ; 4 ; − 2 . a Vérifier que le vecteur −→ n est orthogonal aux vecteurs −−→ AB et −→ AC . b En déduire une équation cartésienne du plan ( ABC ) . E.4097 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les points : A 1 ; − 1 ; 4 ; B 7 ; − 1 ; − 2 ; C 1 ; 5 ; − 2 1 Justifier que les trois points A , B , C forment un plan. 2 Montrer que le vecteur −→ n 1 ; 1 ; 1 est un vecteur normal au plan ( ABC ) . 3 En déduire que x + y + z − 4=0 est une équation cartési-enne du plan ( ABC ) . E.4095 L’espace est rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé. On considère les deux points : A 8 ; 0 ; 8 ; B 10 ; 3 ; 10 ainsi que la droite ( d ) admettant pour représentation paramétrique : ( d ) : x = − 5 + 3 t y = 1 + 2 t z = − 2 t où t ∈ R 1 a Donner une représentation paramétrique de la droite (Δ) définie par A et B . b Démontrer que ( d ) et (Δ) sont non coplanaires. 2 Le plan ( P ) est parallèle à ( d ) et contient (Δ) . Montrer que le vecteur −→ n 2 ; − 2 ; 1 est un vecteur normal à ( P ) . Déterminer une équation cartésienne du plan ( P ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4125 sacados/4125 DABCHEFG−i−j−k chapExoCorrec/4119 sacados/4119 OABC−i−j−kOABC−i−j−k OABC−i−j−k OABC−i−j−k OABC−i−j−k chapExoCorrec/5418 sacados/5418 chapExoCorrec/5416 sacados/5416 chapExoCorrec/4092 sacados/4092 chapExoCorrec/4097 sacados/4097 chapExoCorrec/4095 sacados/4095
9. Equation cartésienne du plan - recherche du vecteur normal E.4111 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère le plan ( P ) admettant l’équation cartésienne suivante : ( P ) : 5 · x − 2 · y + z − 5 = 0 1 Donner les coordonnées d’un vecteur −→ n normal au plan ( P ) . 2 Déterminer l’équation du plan ( Q ) parallèle au plan ( P ) et passant par le point A 5 ; − 1 ; 2 E.5419 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les trois points : A 1 ; 1 ; − 2 ; B 3 ; − 1 ; 2 ; C 0 ; 2 ; 1 1 Justifier que les trois points définissent un plan. 2 Déterminer un vecteur normal non-nul au plan ( ABC ) ayant ses coordonnées entières. 3 Déterminer une équation cartésienne du plan ( ABC ) . E.4112 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les point A 2 ; − 3 ; − 1 et B − 1 ; 1 ; 0 . Déterminer l’équation du plan médiateur du segment [ AB ] . E.4251 Dans le plan muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on donne les trois points : A 1 ; 2 ; − 1 ; B − 3 ; − 2 ; 3 ; C 0 ; − 2 ; − 3 1 Démontrer que le vecteur −→ n 2 ; − 1 ; 1 est un vecteur nor-mal au plan ( ABC ) . 2 Déterminer une équation cartésienne du plan ( ABC ) . E.4245 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . on considère les points : A 1 ; − 1 ; 4 ; B 7 ; − 1 ; − 2 ; C 1 ; 5 ; − 2 1 Calculer les coordonnées des vecteurs −−→ AB , −→ AC et −−→ BC . 2 Montrer que le triangle ABC est équilatéral. 3 Montrer que le vecteur −→ n 1 ; 1 ; 1 est un vecteur normal au plan ( ABC ) . 4 En déduire que x + y + z − 4=0 est une équation cartési-enne du plan ( ABC ) . 10. Positions relatives de plans E.5420 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les deux plans ( P ) et ( P ) ad-mettant pour équation cartésienne : ( P ) : 2 x − y + z + 3 = 0 ; ( P ) : − 4 x + 2 y − 2 z − 1 = 0 Justifier que ces deux plans sont parallèles. E.5463 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on donne les trois points : A 1 ; 2 ; − 1 ; B − 3 ; − 2 ; 3 ; C 0 ; − 2 ; − 3 1 a Démontrer que les points A , B et C ne sont pas alignés. b Démontrer que le vecteur −→ n 2 ; − 1 ; 1 est un vecteur normal au plan ( ABC ) . 2 Soit ( P ) le plan dont une équation cartésienne est : x + y − z + 2 = 0 Démontrer que les plans ( ABC ) et ( P ) sont perpendicu-laires. E.5536 On considère : ( P 1 ) le plan d’équation : x + y + z =0 ; ( P 2 ) le plan d’équation : x +4 y +2=0 . 1 Démontrer que les plans ( P 1 ) et ( P 2 ) sont sécants. 2 Vérifier que la droite ( d ) , intersection des plans ( P 1 ) et ( P 2 ) a pour représentation paramétrique : x = − 4 t − 2 y = t z = 3 t + 2 où t ∈ R . 11. Plan sécant et représentation paramétrique de l’intersection E.3129 L’espace est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Soit ( P 1 ) le plan d’équation cartésienne − 2 x + y + z − 6=0 et ( P 2 ) le plan d’équation cartésienne x − 2 y +4 z − 9=0 . 1 Montrer que ( P 1 ) et ( P 2 ) sont perpendiculaires. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal non nul à l’un est or- thogonal à un vecteur normal non nul à l’autre. 2 Soit ( D ) la droite d’intersection de ( P 1 ) et ( P 2 ) . Montrer qu’une représentation paramétrique de ( d ) est : x = − 7 + 2 t y = − 8 + 3 t z = t https://chingmath.fr chapExoCorrec/4111 sacados/4111 chapExoCorrec/5419 sacados/5419 chapExoCorrec/4112 sacados/4112 chapExoCorrec/4251 sacados/4251 chapExoCorrec/4245 sacados/4245 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2009 chapExoCorrec/5420 sacados/5420 chapExoCorrec/5463 sacados/5463 Extrait Liban Mai 2011 chapExoCorrec/5536 sacados/5536 chapExoCorrec/3129 sacados/3129
E.5421 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère les deux plans ( P ) et ( P ) ad-mettant pour équation cartésienne : ( P ) : x + 2 y − z + 3 = 0 ; ( P ) : 4 x − 2 y + z − 1 = 0 1 Justifier que ces deux plans sont sécants. 2 Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( d ) intersection des plans ( P ) et ( P ) . E.4093 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormal, on considère les deux plans ( P 1 ) et ( P 2 ) admettant pour équations cartésiennes : ( P 1 ) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0 ; ( P 2 ) : x − 2 y + 6 z = 0 Montrer que les plans ( P 1 ) et ( P 2 ) sont sécants selon une droite ( d ) dont on déterminera une représentation paramétrique. E.4039 L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère : les quatre points : A 0 ; 0 ; 3 ; E 2 ; 0 ; 4 ; C − 1 ; 1 ; 2 ; D 1 ; − 4 ; 0 les deux plans : ( P 1 ) : 7 x + 4 y − 3 z + 9 = 0 ; ( P 2 ) : x − 2 y = 0 . Les deux droites admettant pour représentation paramétrique : (Δ 1 ) x = − 1 + t y = − 8 + 2 t z = − 10 + 5 t où t ∈ R ; (Δ 2 ) x = 7 + 2 t y = 8 + 4 t z = 8 − t où t ∈ R . Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Au-cune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0 ; 5 point ; une réponse inexacte enlève 0 ; 25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0 . Le plan ( P 1 ) est Le plan ( ABC ) Le plan ( BCD ) Le plan ( ACD ) Le plan ( AED ) La droite (Δ 1 ) contient Le point A Le point B Le point C Le point D Position relative de ( P 1 ) et de (Δ 1 ) (Δ 1 ) est strictement parallèle à ( P 1 ) (Δ 1 ) est incluse dans ( P 1 ) (Δ 1 ) coupe ( P 1 ) (Δ 1 ) est orthogonale à ( P 1 ) Position relative de (Δ 1 ) et de (Δ 2 ) (Δ 1 ) est strictement parallèle à (Δ 2 ) (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont confondues (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont sécantes (Δ 1 ) et (Δ 2 ) sont non coplanaires. L’intersec-tion de ( P 1 ) et de ( P 2 ) est une droite dont une repré-sentation paramé-trique est x = t y = - 2+ 1 2 t z = 3 t x = 2 t y = t z =3+6 t x = 5 t y =1 − 2 t z = t x = − 1 + t y =2 + t z = − 3 t E.5537 On considère les deux plans ( P 1 ) et ( P 2 ) d’équations cartésiennes : ( P 1 ) : 2 x + y − z + 1 = 0 ; ( P 2 ) : x − y + 2 z + 3 = 0 1 Justifier que les plans ( P 1 ) et ( P 2 ) sont sécants. 2 Déterminer une équation paramétrique de la droite d’intersection des plans ( P 1 ) et ( P 2 ) . E.4131 L’espace est rapporté au repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère les plans ( P ) et ( Q ) d’équations respectives : x + y + z = 0 ; 2 x + 3 y + z − 4 = 0 1 Montrer que l’intersection des plans ( P ) et ( Q ) est la droite ( d ) dont une représentation paramétrique est : x = − 4 − 2 t y = 4 + t z = t où t ∈ R . 2 Soit – un nombre réel. On considère le plan ( P λ ) d’équation : (1 − – ) · ( x + y + z ) + – · (2 x + 3 y + z − 4) = 0 a Vérifier que le vecteur −→ n 1+ – ; 1+2 – ; 1 est un vecteur normal au plan ( P λ ) . b Donner une valeur du nombre réel – pour laquelle les plans ( P ) et ( P λ ) sont confondus. c Existe-t-il un nombre réel – pour lequel les plans ( P ) et ( P λ ) sont perpendiculaires? 3 Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( d ) , intersection des plans ( P ) et ( P − 1 ) . Montrer que les droites ( d ) et ( d ) sont confondus. 4 Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On considère le point A 1 ; 1 ; 1 . Déterminer la distance du point A à la droite ( d ) , c’est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite ( d ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5421 sacados/5421 chapExoCorrec/4093 sacados/4093 chapExoCorrec/4039 sacados/4039 chapExoCorrec/5537 sacados/5537 chapExoCorrec/4131 sacados/4131 Reunion Septembre 2010 5 points
12. Positions relatives de droites et de plans E.4088 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère : ( P ) est le plan passant par A 3 ; 1 ; 2 et de vecteur nor-mal −→ n 1 ; − 4 ; 1 ; ( d ) est la droite passant par B 1 ; 4 ; 2 de vecteur di-recteur −→ u 1 ; 1 ; 3 . 1 Démontrer que le plan ( P ) a pour équation cartésienne : x − 4 y + z − 1 = 0 2 Montrer que la droite ( d ) est strictement parallèle au plan P . E.5451 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère la droite ( d ) dont on donne une représentation paramétrique, et le plan ( P ) dont on donne une équation cartésienne : ( d ) : x = 1 − 2 t y = t z = − 5 − 4 t où t ∈ R ; ( P ) : 3 x + 2 y − z − 5 = 0 Montrer que la droite ( d ) est strictement parallèle au plan ( P ) . E.5422 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère la droite ( d ) admettant la représentation paramétrique et le plan ( P ) admettant l’équation cartésienne définie par : ( d ) : x = 3 − t y = 2 − t z = t ; ( P ) : 2 x − 4 y − 2 z + 3 = 0 1 a Justifier que la droite ( d ) est parallèle au plan ( P ) . b La droite ( d ) est-elle incluse dans le plan ( P ) ? 2 On considère le plan ( P ) admettant pour équation cartésienne : ( P ) : 2 x − 4 y − 2 z + c = 0 où c ∈ R Déterminer la valeur du paramètre c afin que la droite ( d ) soit incluse dans le plan ( P ) . E.4083 L’espace est rapporté à un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé direct. On considère les points : A − 2 ; 0 ; 1 ; B 1 ; 2 ; − 1 ; C − 2 ; 2 ; 2 On admettra que les points A , B et C ne sont pas alignés. 1 Vérifier qu’une équation cartésienne du plan ( ABC ) est : 2 x − y + 2 z + 2 = 0 2 Soient ( P 1 ) et ( P 2 ) les plans d’équations respectives : x + y − 3 z + 3 = 0 ; x − 2 y + 6 z = 0 Montrer que les plans ( P 1 ) et ( P 2 ) sont sécants selon une droite ( d ) dont un système d’équations paramétriques est : x = − 2 y = − 1 + 3 t z = t où t ∈ R 3 Démontrer que la droite ( d ) et le plan ( ABC ) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection. E.5423 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère la droite ( d ) admettant la représentation paramétrique et le plan ( P ) admettant l’équation cartésienne définie par : ( d ) : x = 1 + t y = 2 − t z = 3 + 2 t ; ( P ) : 3 x − y + 2 z + 1 = 0 1 Justifier que la droite ( d ) est sécante au plan ( P ) . 2 Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ( d ) et du plan ( P ) . E.3113 On considère la droite paramétrique : x = t + 2 y = − 2 t z = 3 t − 1 où t ∈ R et le plan dont une équation cartésienne est : x + 2 · y + z − 3 = 0 Justifier que ce plan et cette droite sont parallèles. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4088 sacados/4088 chapExoCorrec/5451 sacados/5451 Extrait d'Asie Juin 2012 chapExoCorrec/5422 sacados/5422 chapExoCorrec/4083 sacados/4083 Extrait de Nouvelle-Caledonie Mars 2011 chapExoCorrec/5423 sacados/5423 chapExoCorrec/3113 sacados/3113 Extrait de Pondichery Avril 2010
E.4037 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On note ( D ) la droite passant par les points A 1 ; − 2 ; − 1 et B 3 ; − 5 ; − 2 . 1 Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite ( D ) est : x = 1 + 2 t y = − 2 − 3 t z = − 1 − t avec t ∈ R . 2 On note ( D ) la droite ayant pour représentation paramétrique : x = 2 − k y = 1 + 2 k z = k avec k ∈ R . Montrer que les droites ( D ) et ( D ) ne sont pas coplanaires. 3 On considère le plan ( P ) d’équation 4 · x + y +5 · z +3 = 0 . a Montrer que le plan ( P ) contient la droite ( D ) . b Montrer que le plan ( P ) et la droite ( D ) se coupent en un point C dont on précisera les cordonnées. E.4129 Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH . Les points I et J représentent respective-ment les centres des faces ABCD et ABFE . On munit l’espace du repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 a Donner les coordonnées des points I et J . b Donner une représentation paramétrique de la droite ( IJ ) . 2 On considère la droite (Δ) admettant la représentation paramétrique : x = 1 + t y = 1 2 + 2 · t z = − t où t ∈ R Démontrer que les droites (Δ) et ( IJ ) sont non coplanaires. 3 a Justifier que le plan ( AGH ) admet pour équation : y − z = 0 b Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite ( IJ ) et du plan ( AGH ) . E.5450 Dans le repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k de l’espace, on considère les plans ( P ) et ( P ) d’équations respectives : ( P ) : x − y − z − 2 = 0 ; ( P ) : x + y + 3 z = 0 1 On considère la droite ( d ) admettant pour représentation paramétrique : x = − 3 − 2 t y = 2 t z = 1 + 2 t où t ∈ R a Justifier que la droite ( d ) est orthogonale au plan ( P ) . b Déterminer les coordonnées du point M d’intersection du plan ( P ) avec la droite ( d ) . 2 On considère la droite (Δ) ayant pour représentation paramétrique : x = 1 − t y = − 1 − 2 t z = t où t ∈ R a Justifier que les plans ( P ) et ( P ) sont sécants. b Montrer que la droite (Δ) est la droite d’intersection des plans ( P ) et ( P ) . 13. Equation cartésienne du plan et projeté orthogonal E.3213 Pour cet exercice, recopier pour chaque question, votre réponse. Chaque réponse juste rapporte 1 point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré 0 ; 5 point par réponse fausse. La note finale de l’exercice ne pourra pas être inférieure à zéro. Soit O ; −→ i ; −→ j ; −→ k un repère orthonormé. 1 La droite passant par A 1 ; 2 ; − 4 et B − 3 ; 4 ; 1 et la droite ( d ) représentée par : x = − 11 − 4 t y = 8 + 2 t z = 11 + 5 t où t ∈ R a sécantes b strictement parallèles c confondues d non coplanaires 2 Soient le plan P d’équation 2 x +3 y − z +4=0 et la droite D représentée par : x = t y = t z = 8 + t où t ∈ R a P et D sont sécants b P et D sont strictement parallèles c D est incluse dans P d Aucune de ces possibilités n’est vraie. 3 La distance du point A 1 ; 2 ; − 4 au plan d’équation https://chingmath.fr chapExoCorrec/4037 sacados/4037 Extrait Liban Juin 2010 chapExoCorrec/4129 sacados/4129 ABCDEFGHIJ chapExoCorrec/5450 sacados/5450 chapExoCorrec/3213 sacados/3213 Antilles-Guyane Septembre 2005 4 points
2 x + 3 y − z + 4 = 0 est : a 8 √ 14 7 b 16 c 8 √ 14 d 8 7 4 Soient le point B − 3 ; 4 ; 1 et la sphère S d’équation x 2 + y 2 + z 2 = 16 : a B est à l’intérieur de S b B est à l’extérieur de S c B est sur S d On ne sait pas E.4242 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on donne les points : A 3 ; 2 ; − 1 ; B − 6 ; 1 ; 1 C 4 ; − 3 ; 3 ; D − 1 ; − 5 ; − 1 1 Vérifier qu’une équation cartésienne du plan ( BCD ) est : − 2 · x − 3 · y + 4 · z − 13 = 0 2 Déterminer les coordonnées du point H , projeté orthog-onal du point A sur le plan ( BCD ) . 3 Calculer le produit scalaire: −−→ BH · −−→ CD E.4240 L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère le plan P d’équation − x +3 · y − z +5=0 et le point A 1 ; − 2 ; 1 1 Déterminer la représentation paramétrique de la droite ( d ) passant par le point A et orthogonale au plan P . 2 En déduire les coordonnées du point H projeté orthogo-nal du point A sur le plan P . 3 Déterminer la distance du point A au plan P . E.6084 On se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé. On considère le plan P d’équation : x − y + 3 z + 1 = 0 et la droite D dont une représentation paramétrique est : x = 2 t y = 1 + t z = − 5 + 3 t , où t ∈ R On donne les points : A 1 ; 1 ; 0 ; B 3 ; 0 ; − 1 ; C 7 ; 1 ; − 2 1 Justifier que la droite D et le plan P sont sécants. Déter-miner les coordonnées de leur point d’intersection. 2 Les plans P et ( ABC ) sont-ils parallèles? Justifier votre réponse? 3 Déterminer les coordonnées du point M projeté orthog-onal du point A sur le plan P . 14. Un peu plus E.4317 On considère un cube ABCDEFGH , d’arête de longueur 1 . On note I le point d’intersection de la droite ( EC ) et du plan ( AFH ) . 1 On se place dans le repère D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : A 1 ; 0 ; 0 ; B 1 ; 1 ; 0 ; C 0 ; 1 ; 0 ; D 0 ; 0 ; 0 E 1 ; 0 ; 1 ; F 1 ; 1 ; 1 ; G 0 ; 1 ; 1 ; H 0 ; 0 ; 1 a Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( EC ) . b Déterminer une équation cartésienne du plan ( AFH ) . c En déduire les coordonnées du point I , puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan ( AFH ) . d Vérifier que la distance du point E au plan ( AFH ) est égale à 3 3 . e Démontrer que la droite ( HI ) est perpendiculaire à la droite ( AF ) . Que représente le point I pour le triangle AFH ? 2 Indication : dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Définitions : Un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont la même aire; il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogo-nales deux à deux ; il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2 . Préciser de quel (s) type (s) est le tétraèdre EAFH . https://chingmath.fr chapExoCorrec/4242 sacados/4242 Extrait de la Reunion Juin 2005 chapExoCorrec/4240 sacados/4240 chapExoCorrec/6084 sacados/6084 chapExoCorrec/4317 sacados/4317 Asie Juin 2011 5 points ABCDEFGHI
E.5462 L’espace est rapporté à un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . Soit ( P ) le plan d’équation 3 x + y − z − 1=0 et ( d ) la droite dont une représentation paramétrique est : x = − t + 1 y = 2 t z = − t + 2 où t désigne un nombre réel. 1 a Le point C 1 ; 3 ; 2 appartient-il au plan ( P ) ? Jus-tifier. b Démontrer que la droite ( d ) est incluse dans le plan ( P ) . 2 Soit ( Q ) le plan passant par le point C et orthogonal à la droite ( d ) . a Déterminer une équation cartésienne du plan ( Q ) . b Calculer les coordonnées du point I , point d’intersection du plan ( Q ) et de la droite ( d ) . c Montrer que : CI = √ 3 . 3 Soit t un nombre réel et M t le point de la droite ( d ) de coordonnées : M t − t +1 ; 2 t ; − t +2 a Vérifier que pour tout nombre réel t ,: CM t 2 = 6 t 2 − 12 t + 9 . b Montrer que CI est la valeur minimale de CM t lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels. 15. Cours - Vecteurs et espaces E.5504 On considère l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé : 1 ( P ) un plan passant par le point A et admettant le vecteur −→ n ( a ; b ; c ) pour vecteur normal. Montrer que le plan ( P ) admet pour équation cartésienne l’équation suivante : a · x + b · y + c · z + d = 0 où d ∈ R . 2 Soit a , b , c , d quatre nombres réels où a , b , c sont tous non-nuls. Montrer que l’ensemble des points vérifiant l’équation cartésienne ci-dessous est un plan de l’espace : a · x + b · y + c · z + d = 0 E.5505 Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 16. Ancienne annales (avant 2012) E.3153 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . 1 On considère le plan P passant par le point B 1 ; − 2 ; 1 et de vecteur normal −→ n − 2 ; 1 ; 5 et le plan R d’équation cartésienne x +2 y − 7=0 a Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires. b Démontrer que l’intersection des plans P et R est la droite Δ passant par le point C − 1 ; 4 ; − 1 et de vecteur directeur −→ u 2 ; − 1 ; 1 . c Soit le point A 5 ; − 2 ; − 1 . Calculer la distance du point A au plan P puis la distance du point A au plan R . d Déterminer la distance du point A à la droite Δ . 2 a Soit, pour tout nombre réel t , le point M t de coor-données 1+2 · t ; 3 − t ; t . Déterminer en fonction de t la longueur AM t . On note ’ ( t ) cette longueur. On définit ainsi une fonction ’ de R dans R . a Étudier le sens de variations de la fonction ’ sur R ; préciser son minimum. b Interpréter géométrique la valeur de ce minimum. E.4055 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . L’objectif de cet exercice est de déterminer la posi-tion relative d’objets de l’espace. P est le plan passant par A 3 ; 1 ; 2 et de vecteur normal −→ n 1 ; − 4 ; 1 ; D est la droite passant par B 1 ; 4 ; 2 de vecteur directeur −→ u 1 ; 1 ; 3 . S est la sphère de centre Ω 1 ; 9 ; 0 passant par A . 1 Intersection du plan P et de la droite D . a Démontrer que le plan P a pour équation cartésienne : x − 4 y + z − 1 = 0 b Montrer que la droite D est strictement parallèle au plan P . 2 Intersection du plan P et de la sphère S . a Calculer la distance d du point Ω au plan P . b Calculer lE rayon de la sphère S . En déduire l’intersection du plan P et de la sphère S . 3 Intersection de la droite D et de la sphère S . a Déterminer une représentation paramétrique de la droite D . b Déterminer une équation cartésienne de la sphère S . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5462 sacados/5462 chapExoCorrec/5504 sacados/5504 chapExoCorrec/5505 sacados/5505 chapExoCorrec/3153 sacados/3153 France Septembre 2005 5 points chapExoCorrec/4055 sacados/4055
c En déduire que la droite D coupe la sphère S en deux points M et N distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées. E.3126 L’espace est muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k orthonormé direct. Il n’est pas demandé de faire de figure. Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2 . On considère les quatre points A , B , C et I de coordonnées respectives : A -1 2 1 ; B 1 -6 -1 ; C 2 2 2 ; I 0 1 -1 1 a Calculer le produit vectoriel −−→ AB ∧ −→ AC . b Déterminer une équation cartésienne du plan con- tenant les trois points A , b , C . 2 Soit ( Q ) le plan d’équation : x + y − 3 z +2=0 et ( Q ) le plan de repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . a Pourquoi ( Q ) et ( Q ) sont-ils sécants? b Donner un point E et un vecteur directeur −→ u de la droite d’intersection (Δ) des plans ( Q ) et ( Q ) . 3 Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2. 4 On considère les points J et K de coordonnées respec-tives : -2 0 0 ; 1 0 1 Déterminer avec soin l’intersection de la sphère ( S ) et de la droite ( JK ) . 17. Cours - ancien programme: Espaces E.3906 Soit D le point de coordonnées x D ; y D ; z D et P le plan d’équation a · x + b · y + c · z + d =0 , où a , b et c sont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du point D au plan P est donnée par : d ( D; P ) = | a · x D + b · y D + c · z D + d | a 2 + b 2 + c 2 E.4090 Soit a , b , c et d des réels tels que : ( a ; b ; c ) = 0 ; 0 ; 0 . Soit P le plan d’équation a · x + b · y + c · z + d =0 . On considère le point I de coordonnées ( x I ; y I ; z I ) et le vecteur −→ n de coordonnées ( a ; b ; c ) . Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à: ⏐ ⏐ ax I + by I + cz I + d ⏐ ⏐ √ a 2 + b 2 + c 2 1 Soit Δ la droite passant par I et orthogonale au plan P . Déterminer, en fonction de a , b , c , x I , y I et z I , un sys-tème d’équations paramétriques de Δ . 2 On note H le point d’intersection de Δ et P . a Justifier qu’il existe un réel k tel que : −→ IH = k · −→ n . b Déterminer l’expression de k en fonction de a , b , c , d , x I , y I et z I . c En déduire que : IH = ⏐ ⏐ a · x I + b · y I + c · z I ⏐ ⏐ a 2 + b 2 + c 2 18. Exercices non-classés E.7247 Résoudre le système d’équations : x 2 + y 2 + z 2 = 1 x + y + z = 1 E.8139 La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH . Les trois points I , J , K sont définis par les conditions suiv-antes : I est le milieu du segment [ AD ] J est tel que : −→ AJ = 3 4 · −→ AE K est le milieu du segment [ FG ] . On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan ( IJK ) . Le point R est donc l’unique point du plan ( IJK ) tel que la droite ( FR ) est orthogonale au plan ( IJK ) . On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) tels que : 0 <x < 1 0 <y < 1 0 <z < 1 https://chingmath.fr sacados/3126 France septembre 1998 4 points chapExoCorrec/3906 sacados/3906 chapExoCorrec/4090 sacados/4090 chapExoCorrec/7247 sacados/7247 sacados/8139 ABCDEFGHIJK
Le point R est-il à l’intérieur du cube? E.5417 Dans l’espace muni d’un repère O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on considère le plan P admettant pour équation cartésienne : 2 · x + 3 · y − z + 1 = 0 Le vecteur −→ u 4 ; − 2 ; 2 admet-il un représentant inclus dans le plan ( P ) . E.3858 L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k . On considère : le plan P passant par le point B 1 ; − 2 ; 1 et de vecteur normal −→ n − 2 ; 1 ; 5 ; le plan R d’équation cartésienne : x +2 y − 7=0 . 1 Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires. 2 Démontrer que l’intersection des plans P et R est la droite Δ passant par le point C − 1 ; 4 ; − 1 et de vecteur directeur −→ u 2 ; − 1 ; 1 . 3 Soit le point A 5 ; − 2 ; − 1 . Calculer la distance du point A au plan P puis la distance du point A au plan R . 4 Déterminer la distance du point A à la droite Δ . E.4089 Le plan Q d’équation x − y + z − 11= 0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coor-données 1 ; − 1 ; 3 . 1 Déterminer le rayon de la sphère S . 2 Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite Δ passant par Ω et orthogonale au plan Q . 3 En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q . E.4106 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k , on donne les points : A 3 ; 2 ; − 1 ; B − 6 ; 1 ; 1 C 4 ; − 3 ; 3 ; D − 1 ; − 5 ; − 1 1 Vérifier qu’une équation cartésienne du plan ( BCD ) est : − 2 · x − 3 · y + 4 · z − 13 = 0 2 Déterminer les coordonnées du point H , projeté orthog-onal du point A sur le plan ( BCD ) . 3 Calculer le produit scalaire −−→ BH · −−→ CD . E.4134 L’espace est muni du repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j ; −→ k et on désigne par P le plan d’équation : 3 · x + 2 · y = 29 1 Démontrer que P est parallèle à l’axe ( Oz ) de vecteur directeur −→ k . 2 Déterminer les coordonnées des points d’intersection du plan P avec les axes ( Ox ) et ( Oy ) de vecteurs directeurs respectifs −→ i et −→ j . 3 Faire une figure et tracer les droites d’intersection du plan P avec les trois plans de coordonnées. 4 Sur la figure précédente, placer sur la droite d’intersection des plans P et ( xOy ) , les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives. E.4329 On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous : Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère or-thonormé D ; −−→ DA ; −−→ DC ; −−→ DH . On note K le barycentre des points pondérés ( D ; 1) et ( f ; 2) . Partie A 1 Montrer que le point K a pour coordonnées 2 3 ; 2 3 ; 2 3 . 2 Montrer que les droites ( EK ) et ( DF ) sont orthogonales. 3 Calculer la distance EK . Partie B Soit M un point du segment [ HG ] . On note m = HM ( m est donc un réel appartenant à [0 ; 1] ) . 1 Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle 0 ; 1 , le volume du tétraèdre EMFD , en unités de vol-ume, est égal à 1 6 . 2 Montrer qu’une équation cartésienne du plan ( MFD ) est : ( − 1 + m ) · x + y − m · z = 0 . 3 On note d m la distance du point E au plan ( MFD ) . a Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle 0 ; 1 : d m = 1 √ 2 · m 2 − 2 · m + 2 b Déterminer la position de M sur le segment [ HG ] pour laquelle la distance d m est maximale. c En déduire que lorsque la distance d m est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan https://chingmath.fr chapExoCorrec/5417 sacados/5417 chapExoCorrec/3858 sacados/3858 Extrait de France Septembre 2005 sacados/4089 chapExoCorrec/4106 sacados/4106 sacados/4134 Extrait Centres Etrangers Juin 2009 sacados/4329 ABCDEFGH
( MFD ) E.6068 On considère le cube ABCDEFGH , d’arête de longueur 1 , et on note I et J les mi-lieux des arêtes [ AB ] et [ CG ] . On utilisera le repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE 1 Déterminer l’équation cartésienne du plan EFJ . 2 Déterminer les coordon-nées du point P projeté du point I sur le plan ( EFJ ) . 3 Déterminer la distance IP . 4 Montrer que le volume du tétraèdre EFIJ est égal à 1 6 . E.4046 On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 . On désigne par I le milieu de [ EF ] et par J l’image de E par la symétrie de cen-tre F . Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère or-thonormé A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE ) . 1 a Déterminer les coordonnées des points I et J . b Vérifier que le vecteur −→ DJ est un vecteur normal au plan ( BGI ) . c En déduire une équation cartésienne du plan ( BGI ) . d Calculer la distance du point F au plan ( BGI ) . (hors programme 2012) . 2 On note (Δ) la droite passant par F et orthogonale au plan ( BGI ) . a Donner une représentation paramétrique de la droite (Δ) . b Montrer que la droite (Δ) passe par le centre K de la face ADHE . c Montrer que la droite (Δ) et le plan ( BGI ) sont sé-cants en un point, noté L , de coordonnées 2 3 ; 1 6 ; 5 6 . d Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ? E.6882 ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 . Le point I est le milieu du segment [ BF ] . Le point J est le milieu du segment [ BC ] . Le point K est le milieu du segment [ CD ] . Partie A Dans cette partie, on ne demande aucune justification On admet que les droites ( IJ ) et ( CG ) sont sécantes en un point L . Construire, sur la figure fournie ci-dessus et en laissant appar-ent les traits de construction : le point L ; l’intersection D des plans ( IJK ) et ( CDH ) ; la section du cube par le plan ( IJK ) . Partie B L’espace est rapporté au repère A ; −−→ AB ; −−→ AD ; −→ AE . 1 Donner les coordonnées A , G , I , J et K dans ce repère. 2 a Montrer que le vecteur −→ AG est normal au plan ( IJK ) . b En déduire une équation cartésienne du plan ( IJK ) . 3 On désigne par M un point du segment [ AG ] et t le réel de l’intervalle 0 ; 1 tel que −−→ AM = t · −→ AG . a Démontrer que : MI 2 =3 · t 2 − 3 · t + 5 4 b Démontrer que la distance MI est minimale pour le point N 1 2 ; 1 2 ; 1 2 . 4 Démontrer que pour ce point N 1 2 ; 1 2 ; 1 2 : a N appartient au plan ( IJK ) . b La droite ( IN ) est perpendiculaire aux droites ( AG ) et ( BF ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6068 sacados/6068 HGFEDCBAIJ chapExoCorrec/4046 sacados/4046 Liban Juin 2009 4 points DABCHEFGJI chapExoCorrec/6882 sacados/6882 ABCDEFGHIJK