Terminale Spécialité / Exercices et concours 31 exercices corrigés

a
1. Concours Advance E.5867 Concours Advance - Session 2013 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Les raisonnements suivants sont corrects : a Tous les élèves s’appellent Bob. Or, certains Bob ne sont pas doués. Donc certains élèves sont doués. b Tous les élèves doués s’appellent Bob. Or Bob n’est pas doué. Donc Bob n’est pas un élève. c La plupart des Bob ne sont pas doués. Or tous les élèves sont doués. Donc aucun élève ne s’appelle Bob. d La plupart des élèves s’appellent Bob. Or tous les Bob sont doués. Donc certains élèves sont doués. e Bob est doué. Or tous les élèves sont doués. Donc Bob est un élève. E.5873 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit P l’énoncé : ˇ Pour qu’un pion soit blanc, il faut qu’il soit en bois ı Alors P signifie : a ˇ Tout pion blanc est en bois ı b ˇ Tout pion en bois est blanc ı c ˇ Si un pion est blanc alors il est en bois ı d ˇ Si un pion est en bois alors il est blanc ı e ˇ Pour qu’un pion soit en bois, il suffit qu’il soit blanc ı E.5875 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit f la fonction définie sur R \{ 1 } par : f ( x ) = x 2 − x + 1 x − 1 On note C la courbe représentative de f dans un repère or-thonormé. a La droite x =1 est une asymptote verticale de C . b lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = −∞ c f est croissante sur 1 ; + ∞ . d f est décroissante sur 0 ; 1 . E.5877 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit f la fonction définie et dérivable sur R par : f ( x ) = ( x + 1) · e − 2 x On a: a Pour tout x ∈ R : f ( x )= x +2 · e − 2 x b f est croissante sur −∞ ; − 1 2 c La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 a pour équation y = x +1 d lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = −∞ e lim x ↦→−∞ f ( x ) = −∞ E.5868 Concours Advance - Session 2013 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit f la fonction définie et dérivable sur R : f ( x ) = x 3 1 + x 2 a Pour tout x ∈ R : f ( − x ) = − f ( x ) b Pour tout x ∈ R : f ( x )= f ( − x ) c Il existe un unique a ∈ R : f ( a )=0 d f est strictement croissante sur R . e Pour tout x ∈ 0 ; + ∞ : f ( x ) x . E.5876 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit f définie sur R par : f ( x ) = 1 − x 2 si x < 0 f ( x ) = x 2 + 2 si x 0 Alors: a f n’admet pas de limite en 0 . b f est dérivable en 0 . c f est croissante sur R . d L’équation f ( x )=0 admet une et une seule solution dans R . e f admet une fonction réciproque définie sur R . E.5874 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit f une fonction définie et dérivable sur 1 ; + ∞ dont le tableau de variations est : On note C sa courbe représentative dans un repère O ; −→ i ; −→ j . Alors: a f (4) < 0 b C admet une asymptote verticale. c C admet une asymptote horizontale. d L’équation f ( x )=0 n’admet pas de solution dans 3 ; + ∞ . e L’équation f ( x )= − 1 admet deux solutions dans 1 ; + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5867 sacados/5867 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5873 sacados/5873 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5875 sacados/5875 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5877 sacados/5877 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5868 sacados/5868 chapExoCorrec/5876 sacados/5876 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5874 sacados/5874 Concours Advance Session 2012 -+0-0135∞∞−3−1−2VariationdefSignedefx
E.5870 Concours Advance - Session 2013 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = sin x 2 + cos x . Alors: a Pour tout x ∈ R : f ( − x )= f ( x ) b f est périodique de période ı . c f est décroissante sur ı 3 ; ı d f est croissante sur 0 ; ı 3 e Pour tout x ∈ 0 ; ı : f ( x ) 5 4 E.5879 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : La suite réelle u n est convergente : a u n = n · n + 1 n 2 + 1 b u n = 1 + ( − 1) n · n n + 1 c u n = cos n n + 1 d u n = ( − 1) n · n n + 1 e u n = ln e n +1 n + 1 E.5878 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit u n une suite géométrique réelle de premier terme u 0 =36 et de raison q . Alors a Si u 3 = 4 3 alors q = 1 3 b Si u 2 u 4 =4 alors q = 2 c Si q< 1 3 alors u 4 < 1 d S’il existe n ∈ N tel que u n =1 alors q = 1 6 e Si lim n ↦→ + ∞ u 0 + u 1 + u 2 + ··· + u n =30 alors q = − 1 5 E.5869 Concours Advance - Session 2013 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Pour toute suite réelle u n : a Si u n n’est pas majorée alors: lim n ↦→ + ∞ u n =+ ∞ b Si u n est croissante et majorée par 1 alors: lim n ↦→ + ∞ u n = 1 c Si lim n ↦→ + ∞ u n =+ ∞ alors u n est croissante à partir d’un certain rang. d Si lim n ↦→ + ∞ u n =1 alors u n est positive à partir d’un cer-tain rang. e Si lim n ↦→ + ∞ u n + u n +1 2 =1 alors lim n ↦→ + ∞ u n =1 . E.5871 Concours Advance - Session 2013 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Deux laboratoires proposent chacun leur vaccin contre la grippe. On sait qu’un quart de la population a utilisé le vac-cin 1 et un sixième le vaccin 2 . Il n’est pas possible pour un individu d’être vacciné deux fois. L’épidémie ayant eu lieu, on constate que 1 % des malades ont utilisé le vaccin 1 et 0 ; 6 % le vaccin 2 . On choisit au hasard un individu dans la population, on note : M : ˇ l’individu est malade ı ; I : ˇ l’individu a reçu le vaccin 1 ı ; II : ˇ l’individu a reçu le vaccin 2 ı. On a: a La probabilité que l’individu soit vacciné est : P ( I ) + P ( II ) . b Les données ne permettent pas de calculer P I ( M ) . c P ( I ) = 1 100 d P M II = 0 ; 94 e P II ( M ) P II ( M ) = P M ( II ) ·P II P M ( II ) ·P II E.5880 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Un service de recrutement reçoit 15 dossiers dont 6 compor-tent un avis favorable et les 9 autres un avis défavorable. Les 15 dossiers sont classés au hasard. La probabilité de l’événement : a ˇ le premier dossier est favorable et le deuxième défavor-able ı est 9 35 b ˇ les deux premiers dossiers sont favorables ı est 1 7 c ˇ les deux premiers dossiers sont défavorables ı est 6 7 d ˇ au moins un des deux premiers dossiers est défavorable ı est 6 7 e ˇ le deuxième dossier est favorable sachant que le premier est défavorable ı est 3 7 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5870 sacados/5870 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5879 sacados/5879 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5878 sacados/5878 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5869 sacados/5869 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5871 sacados/5871 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5880 sacados/5880 Concours Advance Session 2012
E.5881 Concours Advance - Session 2012 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : On lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6 . Pour chaque dé, les probabilités d’obtenir une des six faces sont égales. On note S la somme des points des faces supérieures : Si 2 S 3 , on gagne 20 points ; si 3 <S 5 , on gagne 10 points si 5 <S < 10 , on gagne 5 points si 10 S 12 , on gagne 1 point. On note X la variable aléatoire donne le nombre de points par lancer. a P X =20 = P X =1 b P X =5 = 5 9 c P X 5 = 13 18 d P X 10 = 5 18 e L’espérance de X est 64 9 . E.5872 Concours Advance - Session 2013 - Calculatrice interdite - Entourer la ou les bonnes réponses : Soit I , J et K trois points du plan tels que : IJ = 3 ; IK = 2 ; JIK = ı 3 Soit L et M les points du plan définis par : −→ IL = 2 · −→ IJ − 3 · −→ IK ; −−→ IM = −−→ IJ + 4 · −→ IK Alors: a −→ IL · −→ IK = 3 b −→ IL · −→ IL = 30 c −→ IL · −−→ IM = − 33 d cos LIM = − 11 14 e Une mesure de LIM appartient à ı 2 ; ı . 2. Concours Alpha E.5884 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : Soit l’équation: ( E ): 6 x 3 +7 x 2 =1 . a ( E ) possède une unique solution négative. b ( E ) possède une unique solution entière. c ( E ) possède une unique solution réelle. E.5883 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : lim x ↦→ 0 sin(5 x ) tan( x ) = a 5 b 0 c + ∞ E.5889 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : tan(2 x ) = : : : a 2 · tan x tan x 2 − 1 b 2 · tan x 1 − tan x 2 c 2 · tan x 1 + tan x 2 E.5890 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : Soit l’équation: ( E ): sin x 2 +2 · sin x − 3=0 a ( E ) possède deux solutions réelles b ( E ) possède une unique solution dans l’intervalle 0 ; 2 ı c ( E ) possède quatre solutions dans l’intervalle 0 ; 2 ı E.5882 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : Soit u n et v n deux suites numériques. Alors a Si la suite u n + v n converge alors u n et v n conver-gent. b Si la suite u n + v n diverge alors u n ou v n divergent. c Si u n et v n divergent alors la suite u n + v n diverge. E.5887 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : Soit a , b et c trois termes consécutifs d’une suite arithmétique telle que : a + b + c = 27 ; a + 2 c = 25 Alors, . . . a la suite est croissante. b le terme suivant de la suite est égal à 5 ; c le terme suivant de la suite est égal à 2 . E.5886 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : Soit la suite u n définie par u 0 =0 et pour tout entier n : u n +1 = u n + 2 n + 1 Alors:. . . a La suite u n est arithmétique. b u 99 = 10000 c u 100 = 10000 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5881 sacados/5881 Concours Advance Session 2012 chapExoCorrec/5872 sacados/5872 Concours Advance Session 2013 chapExoCorrec/5884 sacados/5884 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5883 sacados/5883 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5889 sacados/5889 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5890 sacados/5890 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5882 sacados/5882 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5887 sacados/5887 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5886 sacados/5886 Concours Alpha Session 2011
E.5885 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : Une usine fabrique des écrans plasma. Après fabrication, chaque écran est testé. Si le test est positif, l’écran est livré au client ; sinon, l’écran est réparé puis il est testé une sec-onde fois. Si le second test est positif, l’écran est livré, sinon il est détruit. 80 % des écrans sont positifs au premier test ; parmi les écrans négatifs au premier test, 60 % sont positifs au second test. Le coût de fabrication d’un écran est de 1 000 euros auxquels s’ajoute 100 euros si un second test est nécessaire. Pour faire des bénéfices, le prix de vente doit être au moins égal à . . . a 1020 euros b 1095 euros c 1075 euros E.5888 Concours Alpha - Session 2011 -Calculatrice interdite - Choisir la réponse parmi les assertions proposées : On dispose de trois urnes notées A , B , C . L’urne A con-tient une boule numérotée 1 ; l’urne B contient deux boules : une numérotée 1 et une numérotée 2 ; l’urne C contient trois boules : une numérotée 1 , une numérotée 2 et une numérotée 3 . On choisit au hasard une urne et on tire une boule de l’urne choisie. a La probabilité d’obtenir une boule numérotée 1 est égale à 1 2 . b La probabilité d’avoir choisi l’urne A sachant qu’on a obtenu une boule numérotée 1 est égale à 6 11 . 3. Concours ECE E.5892 Concours ECE - Session 2007 - Calculatrice interdite - Pour chaque question, préciser si l’assertion est Vraie ou Fausse Soit f la fonction définie sur R par f ( x )= x 3 +3 x 2 − 9 x de courbe représentative C f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . a La fonction f admet au point un minimum local en x = − 3 . b La fonction f est croissante sur l’intervalle − 3 ; 1 . c La courbe C f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x =1 . d L’aire du domaine plan délimité par la courbe représen-tative de f et les droites d’équations y =0 , x = − 1 , x =1 est égale à 2 unités d’aire. E.5894 Concours ECE - Session 2007 - Calculatrice interdite - Pour chaque question, préciser si l’assertion est Vraie ou Fausse Soit f la fonction définie sur R par ( f ( x )=e x · x 2 + x +1 de courbe représentative C f dans un repère O ; −→ i ; −→ j orthonor-mal. a Sur R : f ( x )=e x · x 2 +3 x +2 . b La fonction f admet un maximum local en x = − 1 . c La courbe C f admet une tangente horizontale au point d’abscisse x = − 2 . d C f admet une asymptote horizontale d’équation y =0 . E.5896 Concours ECE - Session 2007 - Calculatrice interdite - Pour chaque question, préciser si l’assertion est Vraie ou Fausse Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = e − x · 3 x 2 +10 x +11 de courbe représentative C f dans un repère O ; −→ i ; −→ j or-thonormé a Sur R : f ( x )= − e − x · 3 x 2 +4 x +1 . b La fonction f admet un minimum local en x = − 1 3 . c L’équation f ( x )=4 e a une unique solution réelle. d C f admet une asymptote horizontale d’équation y =0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5885 sacados/5885 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5888 sacados/5888 Concours Alpha Session 2011 chapExoCorrec/5892 sacados/5892 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5894 sacados/5894 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5896 sacados/5896 Concours ECE Session 2007
E.5891 Concours ECE - Session 2007 - Calculatrice interdite - Pour chaque question, préciser si l’assertion est Vraie ou Fausse Dans R × R , le système d’équations : 2 x − 3 y = 1 5 x − y = 9 a pour solution (2 ; 1) . Dire si chacune des affirmations ci-dessous est vraie ou fausse : a Dans R × R , le système d’équations : 2 x 2 − 3 y 2 = 1 5 x 2 − y 2 = 9 a pour solution ( √ 2 ; 1 ) . b Dans R × R , le système d’équations : 2 x − 3 y = 1 5 x − 1 y =9 a pour solution 1 2 ; 1 . c Dans R × R , le système d’équations : 2 ln x − 3 ln y = 1 5 ln x − ln y = 9 a pour solution (e 2 ; 0) . d Dans R × R , le système d’équations : 2 sin x − 3 cos y = 1 5 sin x − cos y = 9 a une infinité de solutions. E.5895 Concours ECE - Session 2007 - Calculatrice interdite - Pour chaque question, préciser si l’assertion est Vraie ou Fausse Soit f la fonction définie sur R par f ( x )=( x − 3)( x +4) et g la fonction définie sur R \{− 1 } par : g ( x )= 1 x +1 . a Aux points x où la fonction g ◦ f est définie : g ◦ f ( x ) = 1 x 2 + x − 11 b Aux points x où la fonction g ◦ f est dérivable : g ◦ f ( x ) = − 2 x − 1 x 2 + x − 11 2 c Aux points x où la fonction g ◦ g est définie : g ◦ g ( x ) = x + 2 x + 1 d Sur R \{− 1 } : g ◦ g ( x )= − 1 x +1 2 E.5893 Concours ECE - Session 2007 - Calculatrice interdite - Pour chaque question, préciser si l’assertion est Vraie ou Fausse a La limite de la suite de terme général: u n = ( − 1) n n 2 + 2 n + 1 n 2 + 1 n’existe pas. b La limite de la suite de terme général: u n = 1 n · sin n + ln n 2 n’existe pas. c La suite de terme général u n = e n + n 3 e 2 n + n 2 converge vers 1 . d La suite de terme général u n = − 2 3 n + 2 3 n converge vers 0 . 4. Exercices non-classés E.6907 Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l’absence de réponse n’est pas pénalisée. Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 3 4 + 6 · e − 2 x Affirmation 1: L’équation f ( x )=0 ; 5 admet une unique solution sur R . On considère l’algorithme: X ← 0 Y ← 3 10 Tant que Y<0;5 X ← X+0;01 Y ← 3 4+6 · e − 2X Fin Tant que Affirmation 2: À la fin de l’exécution de cet algo-rithme, la variable X a pour valeur 0 ; 54 : Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas. Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0 ; 6 . Affirmation 3: Zoé utilise la voiture un jour sur deux. Dans l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B . Affirmation 4: Si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépendants. Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d’aménagement du territoire. Pour cela, on interroge un échantillon aléatoire de 700 per-sonnes de cette population, et l’on pose une question à chaque personne. On admet que le fait qu’une personne accepte de répon-dre ou pas est indépendant des autres personnes inter-rogées et que la probabilité qu’elle accepte de répondre à la question est égale à 0 ; 6 . Affirmation 5: La probabilité, d’avoir au moins 400 personnes qui ont répondu à la question, a une valeur de 0 ; 93 arrondie au centième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/5891 sacados/5891 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5895 sacados/5895 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/5893 sacados/5893 Concours ECE Session 2007 chapExoCorrec/6907 sacados/6907