Terminale Spécialité / Limites de fonctions numériques 100 exercices corrigés

a
1. Rappels: généralités E.3307 Questionnaire à choix multiples: Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Une bonne réponse rapporte 0 ; 5 point une mauvaise réponse enlève 0 ; 25 point ; l’absence de réponse donne 0 point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée est 0 . Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle − 5 ; + ∞ dont le tableau de variations est donné ci-dessous : On désigne par C la courbe représentative de f : 1 Sur l’intervalle − 5 ; + ∞ , l’équation f ( x )= − 2 : a admet une seule solution b admet deux solutions c admet quatre solutions. 2 Sur l’intervalle − 5 ; + ∞ , la fonction f : a admet pour minimum la valeur − 5 ; b admet pour maximum la valeur 4 ; c admet deux maximums. 3 On sait que l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 2 est : a y = 4 b y = 4( x − 2) c x = 4 E.3311 On considère une fonction f définie et dérivable sur chacun des intervalles −∞ ; − 2 et − 2 ; + ∞ . La fonction f admet le tableau de variation ci-dessous : où ¸ est le nombre réel strictement supérieur à 1 tel que f ( ¸ )=0 . On appelle C la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . Dire pour chacune des cinq affirmations suivantes si elle est ˇ vraie ı ou si elle est ˇ fausse ı ou si ˇ on ne peut pas conclure ı. Aucune justification n’est demandée. Le barème est le suivant : 0 ; 5 point par réponse exacte; 0 ; 25 point par réponse fausse ; 0 point pour absence de réponse. Il n’y aura pas de note globale négative. 1 L’équation f ( x )=1 admet exactement deux solutions. 2 f ( x ) 0 pour tout x ∈ − 5 ; − 2 . 3 Si − 2 <x< 1 et x<x alors f ( x ) <f ( x ) . 4 f ( x ) 0 pour tout x ∈ −∞ ; − 2 . E.5018 Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle − 3 ; 2 . On dispose des informations suivantes : f (0)= − 1 la dérivée f de la fonction f admet la courbe représen-tative C ci-dessous. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1 Pour tout réel x de l’intervalle − 3 ; − 1 , f ( x ) 0 . 2 La fonction f est croissante sur l’intervalle − 1 ; 2 . 3 Pour tout réel x de l’intervalle − 3 ; 2 : f ( x ) − 1 . 4 Soit C la courbe représentative de la fonction f . La tan-gente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0) . 2. Rappels: polynômes du second degré E.3343 Chacun de ces polynômes admettent au moins une racine parmi l’ensemble suivant : − 2 ; − 1 ; 1 ; 2 Utiliser ce renseignement pour effectuer " rapidement "la fac-torisation de chacun des polynômes suivants : a x 2 + 2 x − 8 b 2 x 2 − 4 x − 6 c x 2 + x − 6 d 3 x 2 − 4 x + 1 e x 3 + x 2 − 2 x f 5 x 2 + 3 x − 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3307 sacados/3307 -5-102∞−∞-3-54-4,5xVariationdef chapExoCorrec/3311 sacados/3311 −∞-21¸∞∞∞−∞-10∞xVariationdef chapExoCorrec/5018 sacados/5018 Metropole Juin 2012 4 points ijC chapExoCorrec/3343 sacados/3343
E.3344 Dresser le tableau de variations de cha-cun des polynômes du second degré suivant : a x 2 − 5 x + 1 b − 3 x 2 + x − 1 c 2( x + 1)(2 x − 1) d (2 − x )(4 + x ) E.3860 Résoudre les équations suivantes : a 3 x 2 + 4 x + 1 = 0 b 3 x 2 − 4 x + 2 = 0 c − x 2 + 2 x + 3 = 0 d 2 x 2 − 4 x + 2 = 0 e − 3 x 2 + 3 x + 3 = 0 f − x 2 + 4 x + 3 = 0 E.4986 Factoriser, si possible, les polynômes du second degré ci-dessous : a 3 x 2 + 4 x + 1 b − 3 x 2 + 4 x − 1 c − 4 x 2 + 5 x d x 2 + 2 x − 1 e − x 2 + 4 x + 1 f 3 x 2 − 4 x + 2 E.4987 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g définies par : f ( x ) = x 2 + x − 2 ; g ( x ) = − 1 4 · x 2 − 2 · x − 2 Les questions ci-dessous doivent être traitées algébriquement : 1 Déterminer les antécédents de 0 par les fonctions f et g . 2 a Déterminer les coordonnées des points d’intersection des courbes C f et C g . b En déduire la position relative de ces deux courbes. 3. Rappels: dérivées E.3304 On considère la fonction f dont l’image de x ∈ R est défini par le polynôme suivant du second degré : f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x − 3 1 a Déterminer l’expression de la dérivée f de la fonc-tion f . b Déterminer le tableau de signes de la fonction f sur R . 2 En déduire le tableau de variations de la fonction f (on complétera le tableau de variations à l’aide de valeurs ar-rondies) . 3 À l’aide du tableau de variation, justifier que l’équation f ( x ) = 0 admet une unique solution. E.4996 On considère la fonction f définit par : f : x ↦−→ − x 3 − 3 x 2 − 2 x 1 Déterminer les zéros de la fonction f . 2 a Donner l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . b Dresser le tableau de variations de la fonction f sur R . (on omettra les valeurs dans le tableau de variation) E.4988 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 1 3 · x 3 − 3 2 · x 2 + x + 1 On donne la courbe C f représentative de la fonction f dans le repère O ; I ; J ci-dessous : On note (Δ) la tangente à la courbe C f au point d’abscisse 3 . 1 a Déterminer les coordonnées du point de la courbe C f ayant pour abscisse 3 . b Déterminer le coefficient directeur de la droite (Δ) . c Tracer dans le repère la droite (Δ) . 2 Déterminer, algébriquement, l’équation réduite de la droite (Δ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3344 sacados/3344 chapExoCorrec/3860 sacados/3860 chapExoCorrec/4986 sacados/4986 chapExoCorrec/4987 sacados/4987 -7-6-5-4-3-2-12I-3-2-12JOCfCg chapExoCorrec/3304 sacados/3304 chapExoCorrec/4996 sacados/4996 chapExoCorrec/4988 sacados/4988 -2-123456I-2-12JOCf
E.3310 Soit l’équation ( E ): 1 x = x − 2 où l’inconnue est un réel de l’intervalle 0 ; + ∞ . 1 Un élève a représenté sur sa calculatrice l’hyperbole d’équation y = 1 x et la droite d’équation y = x − 2 . Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l’écran de sa calculatrice, combien l’équation ( E ) semble-t-elle admettre de solutions sur 0 ; + ∞ 2 Un second élève considère la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par : g ( x ) = x − 2 − 1 x a On note g la fonction dérivée de g . Calculer g ( x ) . Montrer que g est strictement croissante sur 0 ; + ∞ . b Déterminer les images, par la fonction g , des nombres 1 et 4 . Conjecturer le nombre de solutions de l’équation ( E ) . 3 Un troisième élève dit : ˇJe peux résoudre l’équation ( E ) algébriquementı. Justifier, en résolvant l’équation ( E ) , que ce troisième élève a raison. 4. Introduction aux limites de fonctions E.4989 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ x + 1 x 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Par des calculs mentaux, Compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x 1 10 100 1000 f ( x ) b Que peut-on dire de la valeur de ˇ f ( x ) ı lorsque ˇ x ı grandit énormément? 3 a Par des calculs mentaux, compléter le tableau de valeurs ci-dessous : x 1 10 − 1 10 − 2 10 − 3 f ( x ) b Que peut-on dire de la valeur de ˇ f ( x ) ı lorsque ˇ x ı reste positif, mais en devenant de plus en plus petit? Ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans un repère O ; I ; J orthonormée : 4 Interpréter graphiquement les résultats de la question 3 . E.2289 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = sin 1 x 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Recopier et compléter le tableau de valeur ci-dessous : x 1 2 ı 1 4 ı 1 40 ı 1 2 72 ı f ( x ) b Recopier et compléter le tableau de valeur ci-dessous : x 2 ı 2 5 ı 2 41 ı 2 (2 101 +1) ı f ( x ) c Peut-on parler de limite pour cette fonction lorsque x se rapproche de 0? 3 Effectuer le tracé de la courbe représentative C f de cette fonction puis effectuer un zoom sur l’origine du repère. Que voyez-vous? E.5002 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé dans lequel sont représentées les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g : Graphiquement, donner, si possible, la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ f ( x ) b lim x ↦→−∞ f ( x ) c lim x ↦→ 1 + f ( x ) d lim x ↦→−∞ g ( x ) e lim x ↦→ + ∞ g ( x ) f lim x ↦→− 1 + g ( x ) https://chingmath.fr chapExoCorrec/3310 sacados/3310 IJO chapExoCorrec/4989 sacados/4989 -12-8-44812I-12-8-44812JOCf chapExoCorrec/2289 sacados/2289 chapExoCorrec/5002 sacados/5002 -4-2024-224Cf -4-2024-224Cg
E.647 On munit le plan d’un repère O ; I ; J orthonormé dans lequel sont représentées les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g : Graphiquement, donner, si possible, la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→−∞ f ( x ) b lim x ↦→ + ∞ f ( x ) c lim x ↦→ 1 − f ( x ) d lim x ↦→−∞ g ( x ) e lim x ↦→ + ∞ g ( x ) f lim x ↦→− 1 − g ( x ) E.4990 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ x + 2 x − 4 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer la valeur des réels a et b réalisant l’identité suivante pour tout x ∈D f : f ( x ) = a + b x − 4 3 À l’aide de l’expression obtenue à la précédente question : a Que peut-on dire de la valeur de f ( x ) lorsque la valeur de x grandit indéfiniment? b Que peut-on dire de la valeur de f ( x ) lorsque x appar-tient à 4 ; 5 et que sa valeur se rapproche de plus en plus près de 4 ? c Que peut-on dire de la valeur de f ( x ) lorsque x appar-tient à 3 ; 4 et que sa valeur se rapproche de plus en plus près de 4 ? Ci-dessous, est donnée la courbe C f représentative de la fonc-tion f dans un repère O ; I ; J orthonormée : 4 Interpréter graphiquement les résultats précédemment obtenus. E.2308 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = 2 5 x 2 − 1 On note C f la courbe représenta-tive de la fonction f dans le repère O ; I ; J or-thonormé donné ci-contre : Le but de l’exercice est de déterminer l’équation réduite de la tangente, notée ( T ) , à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 1 a Montrer que pour h un nombre réel non-nul, on a: f (1+ h ) − f (1) h = 4 5 + 2 5 · h . b En déduire la valeur du nombre dérivée f (1) de la fonction f en 1 . 2 a Justifier que l’expression de la tangente ( T ) est de la forme : y = 4 5 · x + b b Donner les coordonnées du point appartenant à la courbe C f ayant pour abscisse 1 . c Déterminer l’expression réduite de la tangente ( T ) . 3 Tracer la tangente ( T ) dans le repère ci-dessus. E.6751 Graphiquement et à l’aide de la calcula-trice, déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ x − 1 3 − x b lim x ↦→ 1 − √ 1 − x x − 1 c lim x ↦→− 2 + − 2 · x 2 − 2 · x + 4 2 · x + 4 d lim x ↦→ 0 − x 2 + x · 1 − 1 x https://chingmath.fr chapExoCorrec/647 sacados/647 -4-2024-224Cf -4-2024-224Cg chapExoCorrec/4990 sacados/4990 -8-4481216I-12-8-44812JOCf chapExoCorrec/2308 sacados/2308 -22I-224JO chapExoCorrec/6751 sacados/6751
5. Limites sans formes indéterminées E.5704 Déterminer les limites ci-dessous : a lim x ↦→ 1 + x 2 − 3 x + 5 x − 1 b lim x ↦→ 1 + 5 − x 1 − x c lim x ↦→ 0 − x 2 + x + 1 x d lim x ↦→ 0 + x − 1 − x 3 E.5703 Déterminer la valeur des limites suiv- antes : a lim x ↦→ + ∞ x + 1 x b lim x ↦→ + ∞ x + 1 1 + 1 x c lim x ↦→−∞ x 2 − x + 2 d lim x ↦→−∞ x + 2 1 − x e lim x ↦→ 0 − x + 1 x f lim x ↦→ 1 + x − 1 x + x x − 1 6. Limites avec formes indéterminées E.3336 Sans déterminer les limites, préciser lesquelles présentent une forme indéterminée : a lim x ↦→ + ∞ 1 + 1 x x 2 + 2 · x − 1 b lim x ↦→ 0 + x 2 + 2 · x x 3 − x 2 c lim x ↦→ 2 + x 2 − x − 2 · x − 2 d lim x ↦→ 0 + x − 1 x 2 + x e lim x ↦→−∞ x 3 − 2 x 2 + 1 f lim x ↦→ + ∞ x 3 − 2 x 2 + 1 E.6787 Sans déterminer les limites, préciser lesquelles présentent une forme indéterminée : a lim x ↦→ + ∞ x + x b lim x ↦→ + ∞ x − x c lim x ↦→ 0 + x − 1 x d lim x ↦→ + ∞ x − 1 x e lim x ↦→ 0 + x + 1 x f lim x ↦→ + ∞ x + 1 x E.4993 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ 2 · x 2 + 3 · x b lim x ↦→ + ∞ − 3 · x 3 + 2 x c lim x ↦→−∞ 5 · x 2 − 3 · x 3 d lim x ↦→ + ∞ x 2 + 2 · x − ( x + 2) 2 e lim x ↦→−∞ x 2 + 3 · x f lim x ↦→−∞ x 3 − 2 · x 2 E.5705 Déterminer la valeur des limites ci-dessous : a lim x ↦→ + ∞ x 2 − x b lim x ↦→−∞ x 2 + x 3 c lim x ↦→ 0 + x 1 + 1 x d lim x ↦→ 2 − 5 ( x − 2) 2 − 3 x − 2 e lim x ↦→−∞ x 3 + x − 2 f lim x ↦→ 0 + x 2 + 1 x − x + 1 x 7. Limites de fractions rationnelles en l’infini E.4992 1 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ 3 x 2 + 5 x 3 x 3 + 4 x + 1 a Établir l’égalité suivante : 3 x 2 + 5 x 3 x 3 + 4 x + 1 = 3 + 5 x x · 3 + 4 x 2 + 1 x 3 b En déduire la valeur de la limite: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) . 2 On considère la fonction g définie par : g : x ↦−→ 4 x 3 + 2 x + 1 2 x 3 − 2 x 2 Par un raisonnement analogue à la question précédente, établir l’égalité suivante : lim x ↦→ + ∞ g ( x ) = 2 E.607 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ x 2 + 2 x + 1 b lim x ↦→−∞ x − 3 2 · x 2 − 3 c lim x ↦→−∞ 4 · x 2 − 3 · x + 2 − 3 · x 2 d lim x ↦→−∞ x 5 + x 4 x 3 − x e lim x ↦→ + ∞ 5 · x 4 − 2 · x 3 3 · x 2 − 2 f lim x ↦→ + ∞ 2 · x 10 + x 6 · x 10 − 2 · x 3 8. Limites de fractions rationnelles en 0 E.5013 On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x )= 2 · x 3 − x x 3 +2 · x 2 1 Établir les identités suivantes : https://chingmath.fr chapExoCorrec/5704 sacados/5704 chapExoCorrec/5703 sacados/5703 chapExoCorrec/3336 sacados/3336 chapExoCorrec/6787 sacados/6787 chapExoCorrec/4993 sacados/4993 chapExoCorrec/5705 sacados/5705 chapExoCorrec/4992 sacados/4992 chapExoCorrec/607 sacados/607 chapExoCorrec/5013 sacados/5013
f ( x ) = 2 − 1 x 2 1 + 2 x = 2 · x 2 − 1 x · ( x + 2) 2 Déterminer la valeur des limites suivantes : lim x ↦→ + ∞ f ( x ) ; lim x ↦→ 0 + f ( x ) E.4994 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ 0 + 1 x b lim x ↦→ 0 − 1 x c lim x ↦→ 0 − 3 x 2 d lim x ↦→ 0 + x 3 + 2 · x x 2 + x e lim x ↦→ 0 + − 2 · x 2 x 4 + x 3 f lim x ↦→ 0 − − 2 · x 2 x 4 + x 3 9. Limites de fractions rationnelles avec factorisation E.635 Déterminer la valeur des limites suivantes : a lim x ↦→ 2 + 2 − x 2 · x 2 − x − 6 b lim x ↦→ 3 − x − 3 2 · x 2 − 15 · x + 27 c lim x ↦→ 1 − − 3 · x 2 + 7 · x − 4 ( x − 1) 2 d lim x ↦→− 2 + 3 · x 2 + 5 · x − 2 x 2 + 7 · x + 10 10. Limites de fractions rationnelles avec tableau de signes E.5014 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = x 2 + 3 · x 2 · x 2 − 10 · x + 12 1 Établir les identités suivantes : f ( x ) = 1 + 3 x 2 − 10 x + 12 x 2 = x · ( x + 3) ( x − 2)(2 · x − 6) 2 Dresser le tableau de signes de ( x − 2)(2 x − 6) . 3 En déduire la valeur des limites suivantes : a lim x ↦→−∞ f ( x ) b lim x ↦→ + ∞ f ( x ) c lim x ↦→ 2 − f ( x ) d lim x ↦→ 2 + f ( x ) e lim x ↦→ 3 − f ( x ) f lim x ↦→ 3 + f ( x ) E.617 Déterminer la valeur de chacune des limites suivantes : a lim x ↦→ 2 + 1 2 · x 2 − 5 · x + 2 b lim x ↦→ 2 + 1 2 · x 2 − 12 · x + 16 E.8656 Déterminer la valeur de chacune des limites suivantes : a lim x ↦→− 1 − x + 4 3 x 2 − x − 4 b lim x ↦→ 1 − x 2 + x − 3 3 · x 2 − 7 · x + 4 11. Limites de fractions rationnelles E.6801 On considère le polynôme P =3 · x 2 − x − 2 . 1 Factoriser le polynôme P en laissant une trace de votre démarche. 2 Déterminer la valeur des deux limites suivantes : a lim x ↦→ 1 + 2 · x − 3 3 · x 2 − x − 2 b lim x ↦→ 1 + 2 · x − 2 3 · x 2 − x − 2 E.3337 Déterminer la valeur de chacune des limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ 3 x 2 − x + 1 5 x 2 b lim x ↦→−∞ 2 x + 1 3 x 3 − x + 1 c lim x ↦→ 0 + x 16 − x 3 + x x 3 − x 2 d lim x ↦→ 0 − x 5 − x 4 x 6 − 2 · x 4 e lim x ↦→ 2 + 1 x 2 − x − 2 f lim x ↦→ 3 − x 2 − 6 x + 9 x 2 − 9 E.2808 Chacune des limites ci-dessous présente une forme indéterminée. Démontrer le résultat attendu en mettant en évidence la bonne transformation algébrique: a lim x ↦→ 0 − 1 x 2 + 1 x = + ∞ b lim x ↦→ + ∞ 5 x 2 + 3 2 x 2 − 3 x + 1 = 5 2 c lim x ↦→ 3 x 2 − 5 x + 6 x − 3 = 1 E.3367 Déterminer la valeur de chacune des limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ 3 x 6 + 2 x 3 2 x 8 − x 3 b lim x ↦→ 0 3 x 5 − x 3 x 4 + x 3 c lim x ↦→ 3 + 1 − 2 x 2 + 4 x + 6 d lim x ↦→ 2 + x 2 − 3 x + 2 − 3 x 2 + 5 x + 2 E.5011 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ 2 · x 3 + x − 2 − x 2 − 2 b lim x ↦→ 0 + 3 · x 3 − 2 · x 2 x 4 + x 3 c lim x ↦→ 3 + x − 6 2 x 2 − 15 x + 27 d lim x ↦→− 1 + 2 x 2 + 5 x + 3 − x 2 + x + 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/4994 sacados/4994 chapExoCorrec/635 sacados/635 Ne fait intervenir que des simplifications chapExoCorrec/5014 sacados/5014 chapExoCorrec/617 sacados/617 Ne fait intervenir que des tableaux de signes chapExoCorrec/8656 sacados/8656 chapExoCorrec/6801 sacados/6801 chapExoCorrec/3337 sacados/3337 Fait intervenir des tableaux de signes et des simplifications chapExoCorrec/2808 sacados/2808 chapExoCorrec/3367 sacados/3367 chapExoCorrec/5011 sacados/5011
E.5749 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→−∞ x 4 − 3 x 2 x 2 − 4 x 4 b lim x ↦→− 2 + x − 1 2 x 2 + 5 x + 2 c lim x ↦→ 2 + 4 − 2 x 3 x 2 − 4 x − 4 E.5026 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ 0 + 1 x − x 2 b lim x ↦→− 1 + x 2 + 6 x + 3 2 · x 2 + x − 1 c lim x ↦→ + ∞ 3 x 2 + 14 x − 4 x + 5 − 3 x + 1 E.3641 Déterminer la valeur de chacune des limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ 5 x 2 + 3 x − 1 3 x 3 + 2 x b lim x ↦→ 0 − 3 x 4 − 2 x x 3 + x 2 c lim x ↦→ 2 + x 2 − 4 x + 4 − 2 x 2 + 10 x − 12 d lim x ↦→− 1 + 1 2 x 2 + x − 1 E.2960 Chacune des limites ci-dessous représente une forme indéterminée ; effectuer les transforma-tions algébriques adéquates pour déterminer chacune de ses limites: a lim x ↦→ 1 + 1 x − 1 − 1 x 2 + x − 2 b lim x ↦→−∞ 5 x 2 − 3 x + 1 2 x 2 + x − 2 12. Limites et radicaux: expression conjuguée E.4991 1 Établir l’égalité algébrique suivante pour x ∈ R ∗ : x x 2 + 1 − x + 1 = x 2 + 1 + x + 1 x − 1 2 En déduire la valeur de la limite: lim x ↦→ 0 + x x 2 + 1 − x + 1 = − 2 E.3338 Déterminer la valeur de chacune des limites suivantes : a lim x ↦→ 1 + 1 − x x + 3 − 2 b lim x ↦→− 1 + x + 1 x 2 + 4 x + 3 E.8657 Chacune des limites ci-dessous représente une forme indéterminée ; effectuer les transforma-tions algébriques adéquates pour déterminer chacune de ses limites: a lim x ↦→ + ∞ x x − x c lim x ↦→ 2 − x − 2 2 x − 2 E.3435 Déterminer la valeur des limites: a lim x ↦→−∞ x 2 − 7 + x b lim x ↦→ 1 − x 2 − 1 5 − x − 2 E.8660 Déterminer la limite: lim x ↦→ + ∞ x x − x + 1 13. Limites et radicaux: factorisation E.6757 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = 2 · x + 1 x 2 + 1 1 Justifier que la fonction f est définie sur R . 2 Établir l’identité suivante : f ( x ) = x · 2 + 1 x | x |· 1 + 1 x 2 3 En déduire les deux limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) E.8658 Déterminer la limite: lim x ↦→ 3 − 3 − x 2 x 2 − 5 x − 3 E.8659 Chacune des limites ci-dessous présente une forme indéterminée. Démontrer le résultat attendu en mettant en évidence la bonne transformation algébrique: a lim x ↦→ 1 − 1 − x 1 − x = 0 b lim x ↦→ 1 − x − 1 x − 1 = 1 2 c lim x ↦→ - 2 3 + 2 x − 1 3 x + 2 · 3 x + 2 = - ∞ E.3454 1 Montrer que, pour x ∈ −∞ ; − 1 √ 3 , on a: 3 x 2 − 1 + x = x · 1 − 3 − 1 x 2 2 En déduire la valeur de la limite suivante : lim x ↦→−∞ 3 x 2 − 1 + x E.5003 On considère la fonction f définie par la relation: f : x ↦−→ x 3 + x 2 x 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Pour x ∈ − 1 ; 0 , établir l’égalité: f ( x )= − x +1 b Déterminer la valeur de la limite lim x ↦→ 0 − f ( x ) . 3 Déterminer la valeur de la limite lim x ↦→ 0 + f ( x ) . 4 Peut-on parler de la limite de la fonction f en 0 . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5749 sacados/5749 chapExoCorrec/5026 sacados/5026 chapExoCorrec/3641 sacados/3641 chapExoCorrec/2960 sacados/2960 chapExoCorrec/4991 sacados/4991 chapExoCorrec/3338 sacados/3338 chapExoCorrec/8657 sacados/8657 chapExoCorrec/3435 sacados/3435 chapExoCorrec/8660 sacados/8660 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification chapExoCorrec/6757 sacados/6757 chapExoCorrec/8658 sacados/8658 chapExoCorrec/8659 sacados/8659 chapExoCorrec/3454 sacados/3454 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification chapExoCorrec/5003 sacados/5003 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification
E.8661 Déterminer la valeur des limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ x 2 + x + 1 x − 1 b lim x ↦→−∞ x 2 + 1 x E.8663 Déterminer la limite: lim x ↦→−∞ x 4 · x 2 − 3 x + 1 14. Asympotes E.3434 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = 4 x − 4 x + 1 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. 3 Préciser si la courbe C f , représentative de la fonction f admet des asymptotes ; on précisera leurs caractéris- tiques. E.5714 En traçant la courbe représentative de fonctions à l’aide de la calculatrice ou de logiciel de tracer, émettre une conjecture sur l’ensemble de définition et sur les asymptotes à la courbe de chacune des fonctions ci-dessous : a f ( x ) = 1 x 2 + 1 b g ( x ) = x + 1 x 2 − 1 c h ( x ) = x 2 − 3 x + 2 x − 1 d j ( x ) = ( x 2 +1) x 2 − 2 x +1 x − 1 15. Etudes de fractions rationnelles E.3303 Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative C d’une fonction f dérivable sur − 3 2 ; + ∞ . Les points J − 3 2 ; − 3 2 , K ( − 1 ; 0) , A 1 ; 11 4 , B (2 ; 2) sont des points de C ; La tangente à C en A est parallèle à l’axe des abscisses. La tangente à C en B passe par T (4 ; 0) . La droite d’équation y =1 est asymptote à C en + ∞ . La fonction f est strictement croissante sur − 3 2 ; 1 et strictement décroissante sur 1 ; + ∞ . 1 Donner les valeurs de f − 3 2 , f ( − 1) , f (1) , f (2) ainsi que la limite de f en + ∞ . 2 Donner, en justifiant vos réponses, les nombres f (1) et f (2) . E.5004 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ x 2 + 4 x − 1 x 2 − 2 x + 5 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 a Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. b Quelles asymptotes admet la fonction f ? 3 a Établir que la fonction f dérivée de la fonction f admet l’expression : f ( x ) = − 6 x 2 + 12 x + 18 x 2 − 2 x + 5 2 b Dresser le tableau de variations de la fonction f . 4 Déterminer l’équation réduite de la tangente (Δ) à la courbe C f au point d’abscisse 1 . 5 Tracer la droite (Δ) , les asymptotes à la courbe C f puis la courbe C f dans le repère O ; I ; J orthonormé ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/8661 sacados/8661 Fait intervenir la valeur absolue pour simplification chapExoCorrec/8663 sacados/8663 chapExoCorrec/3434 sacados/3434 chapExoCorrec/5714 sacados/5714 chapExoCorrec/3303 sacados/3303 -101234567-1123ijJKABTC chapExoCorrec/5004 sacados/5004 -6-5-4-3-2-123456I-1234JO
E.5025 On considère la fonction f définie sur R par la relation: f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 12 4 · x 2 + 4 On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1 Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et en + ∞ . 2 a Déterminer la valeur des réels a et b vérifiant l’égalité: f ( x ) = a · x + b + 16 4 · x 2 + 4 b On note ( d ) la droite d’équation : y = 1 4 · x − 1 . Étudier la position relative de la courbe C f et de la droite ( d ) . 3 Déterminer la valeur de la limite: lim x ↦→ + ∞ f ( x ) − 1 4 · x − 1 4 Ci-dessous sont représentées les quatre courbes C 1 , C 2 , C 3 , C 4 . Laquelle de ces courbes est la courbe C f représen-tative de la fonction f ? E.3433 Soit f définie sur l’ensemble − 2 ; 1 ∪ 1 ; + ∞ et dont l’image d’un nombre x est définie par la relation: f ( x ) = − ( x − 2) 2 2 · ( x − 1) · ( x + 2) Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on note C f la courbe représentative de la fonction f . 1 a Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. b Préciser les éventuelles asymptotes à la courbe C f et leurs caractéristiques. 2 On note ( d ) la droite d’équation y = − 1 2 . a Déterminer la valeur des réels a , b , c réalisant l’égalité suivante : f ( x ) = a + b · x + c 2 · ( x − 1) · ( x + 2) b En déduire la position de la courbe C f relativement à la droite ( d ) sur l’intervalle 1 ; + ∞ 3 a Déterminer l’expression de la fonction dérivée f de la fonction f . b Justifier que la courbe C f admet aux points d’abscisses 2 5 et 2 des tangentes horizontales. c Dresser le tableau de variations de la fonction f ; on admettra que l’image de 2 5 par la fonction f est 8 9 . 4 Déterminer l’équation de la tangente ( T ) à la courbe C f au point d’abscisse 0. 5 Effectuer le tracé de la courbe C f dans le repère donné en annexe ; on représentera les asymptotes et les tangentes horizontales à la courbe C f ainsi que les droites ( d ) et ( T ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5025 sacados/5025 -6-4-20246-224C1 -6-4-20246-6-4-2C2 -6-4-20246-224C3 -6-4-20246-224C4 chapExoCorrec/3433 sacados/3433 fichierPlus/3433/diapoCorrection.pdf -2-123456I-3-2-12345JO
E.6802 On considère la fonction f définie sur R \ − 2 3 par : f ( x ) = 3 · x 2 + 5 · x + 4 3 · x + 2 On notera C f la représentation de la fonction f dans le repère O ; I ; J ci-dessous : La droite ( d ) est la représentation de la fonction g définie par : g ( x ) = x + 1 1 a Donner, sans justification, les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. b Préciser si la courbe représentative C f de la fonction f admet des asymptotes. 2 a Déterminer les réels a , b et c réalisant l’égalité: f ( x ) = a · x + b + c 3 · x + 2 b En déduire que la fonction f admet pour dérivée la fonction f définie par : f ( x ) = 9 · x 2 + 12 · x − 2 3 · x + 2 2 c Dresser, en justifiant votre démarche, le tableau de variations de la fonction f . On n’indiquera pas la valeur des extremums de f . 3 Pour tout entier naturel n , on considère : M n le point de ( d ) d’abscisse n , N n le point de C f d’abscisse n , S n le segment [ M n N n ] . a Représenter sur le graphique les segments S 0 , S 1 et S 2 . b Donner la mesure exacte du segment S 0 . c Que peut-on dire de la longueur du segment [ M n N n ] lorsque la valeur de n tend vers + ∞ . E.3639 On considère la fonction f définie par : f ( x ) = − 6 x 2 − 14 x + 360 ( x + 10)( x + 9) 1 Déterminer les valeurs de x pour lesquelles l’image de x par la fonction f est strictement positive. 2 Déterminer les valeurs des limites suivantes : lim x ↦→−∞ f ( x ) ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) 16. Etudes de fonctions exponentielles E.3618 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 1 e x − 1 On appelle C f la courbe représentative de la fonction f . 1 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Établir le tableau de variations de la fonction f . 3 Préciser les différentes asymptotes de la courbe C f . 4 Tracer la courbe C f . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6802 sacados/6802 -4-3-2-1234I-4-3-2-1234JOCf(d chapExoCorrec/3639 sacados/3639 chapExoCorrec/3618 sacados/3618 -3-2-10123-4-3-2-11234ij
E.5851 Soit f la fonction définie pour tout réel x de l’intervalle 0 ; 1 par : f ( x ) = 2 x − 2e − x + 1 e 1 a Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 1 . On précisera les valeurs exactes de f (0) et f (1) . b Démontrer que la fonction f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle 0 ; 1 en un réel ¸ . Donner la valeur de ¸ arrondie au centième. 2 Résoudre l’équation suivante dans l’intervalle 0 ; 1 : x − e − x + 1 = e − x − x − e − 1 + 1 E.3677 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x On nomme C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j d’unité 1 cm . 1 Montrer que pour tout x de R , on a: f ( x ) = 3 · e − 2 x · 3 2 − e − x . 2 Déterminer la limite de f en + ∞ puis la limite de f en −∞ . 3 Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f . 4 a Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la courbe C f avec l’axe des ordonnées. b Justifier que la courbe C f intercepte l’axe des abscisses en un seul point. Donner les coordonnées de ce point d’intersection, ar-rondie au dixième près. 5 Calculer f (1) et tracer l’allure de la courbe C f dans le repère ci-dessous : E.3654 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x )= 9 2 · e − 2 x − 3 · e − 3 x 1 Montrer que pour tout x de R , on a: f ( x ) = 3e − 2 x · 3 2 − e − x 2 Déterminer la limite de f en + ∞ puis la limite de f en −∞ . 3 Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f . E.4299 Le plan est muni d’un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j . On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 2 · e − x On note f la fonction dérivée de f . 1 Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et + ∞ . 2 Calculer f ( x ) et dresser le tableau de variations de f . 3 En déduire le signe de f sur R . E.3658 On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ( x + 1) · e − x On note ( C ) sa représentation graphique dans un repère or-thonormé O ; −→ i ; −→ j du plan. On prendra 4 cm pour unité graphique. étudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible. 17. Etude de fonctions racines carrées E.3341 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 1 ; + ∞ par la relation: f ( x ) = x 2 + 1 x + 1 On note C f la courbe représentative de la fonction f . 1 a Étudier les limites aux bornes de son ensemble de définition. b La courbe C f admet-elle des asymptotes? si oui, pré- https://chingmath.fr chapExoCorrec/5851 sacados/5851 chapExoCorrec/3677 sacados/3677 Extrait Antilles Guyanne Juin 2008 -123I-12JO chapExoCorrec/3654 sacados/3654 Extrait Antilles Guyanes Juin 2008 chapExoCorrec/4299 sacados/4299 chapExoCorrec/3658 sacados/3658 Asie Juin 2008 chapExoCorrec/3341 sacados/3341
ciser. 2 On note ( d ) la droite d’équation y =1 . Déterminer la position relative de C f et de ( d ) . 3 a établir l’égalité suivante : f (1+ h ) − f (1) h = 2 h 2 · h + 2 · 2 h 2 + 2 h + 2 + 2 · ( h + 2) b En déduire la valeur du nombre dérivé f (1) . 4 Tracer dans le repère ci-dessous la courbe C f . 18. Composée de fonctions E.5008 On considère les deux fonctions f et g définie sur − 4 ; 4 par les relations : f ( x ) = 2 x + 1 ; g ( x ) = x 2 − 3 On donne les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g dans le repère O ; I ; J ci-dessous : 1 Par lecture graphique, compléter les tableaux de valeurs suivants : x − 3 2 − 1 − 1 2 0 1 2 f ( x ) x − 2 − 1 0 1 2 g ( x ) 2 On considère le programme de calcul suivant : Prendre un nombre x ; Déterminer l’image de x par la fonction f ; on note ce nombre x ; Déterminer l’image de x par la fonction g ; on note ce nombre g f ( x ) . On peut noter ce programme de calcul par la chaine : x f , −−−−−→ f ( x ) g , −−−−−→ g f ( x ) a Déterminer la valeur des expressions suivantes : g f ( − 1) ; g f − 1 2 b Compléter le tableau de valeurs suivant : x − 3 2 − 1 − 1 2 0 1 2 g f ( x ) On vient de créer une nouvelle fonction qui à un nombre x associe l’image g f ( x ) . Cette fonction s’appelle la fonction composée de f par g et se note g ◦ f . 3 Tracer dans le repère ci-dessous la courbe C g ◦ f représen-tative de la fonction g ◦ f . 4 Donner l’expression, en fonction de x , de la fonction g ◦ f . https://chingmath.fr -1234567I-12345JO chapExoCorrec/5008 sacados/5008 -4-3-2-1234I-3-2-12JOCgCf
E.5009 On considère deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [ − 3 ; 3] dont les courbes, respective-ment C f et C g , représentatives sont données dans un repère O ; I ; J orthonormé : 1 Déterminer la valeur des expressions suivantes : a f ◦ g ( − 2) b f ◦ g (1 ; 5) c f ◦ g (2) 2 Déterminer la valeur des expressions suivantes : a g ◦ f ( − 3) b g ◦ f (0) c g ◦ f (1) E.5010 On considère la fonction f définie sur l’intervalle − 4 ; 4 dont la courbe C f représentative est don-née ci-dessous dans le repère ( O ; I ; J ) orthonormé : 1 Calculer les images suivantes : a f ◦ f (1) b f ◦ f ( − 2) c f ◦ f (3) 2 On définit la fonction f n comme la fonction composée n fois de la fonction f par elle-même. Déterminer la valeur des images suivantes : a f 3 (1) b f 3 ( − 3) c f 4 ( − 1) E.3309 Pour chaque question, déterminer une expression ˇ simplifiée ı de l’expression de la composée f ◦ g de la fonction g par la fonction f : a f ( x ) = 2 x 2 − x + 1 ; g ( x ) = 3 x − 2 b f ( x ) = x − 2 ; g ( x ) = 4 x 2 + 12 x + 11 c f ( x ) = 1 x ; g ( x ) = 3 x + 1 2 − x d f ( x ) = x 2 − x + 1 ; g ( x ) = x e f ( x ) = x + 1 x − 1 ; g ( x ) = 1 x 19. Limites de composées de fonctions E.3355 Pour chaque question, déterminer la lim-ite de g ◦ f en a : a f ( x ) = 2 x 2 − 5 x − 3 ; g ( x ) = 5 − x x 2 ; a = 3 b f ( x ) = 1 x + 3 ; g ( x ) = x +1 − x ; a = − 3 c f ( x ) = cos x − 2 x ; g ( x ) = x 3 + 2 x x 3 + x 2 ; a = + ∞ https://chingmath.fr chapExoCorrec/5009 sacados/5009 -3-2-123I-3-2-123JOCf -3-2-123I-3-2-123JOCg chapExoCorrec/5010 sacados/5010 -4-3-2-1234I-4-3-2-123JOCf chapExoCorrec/3309 sacados/3309 chapExoCorrec/3355 sacados/3355
E.3436 On considère les fonctions numériques f et g dont le tableau de variations est donné ci-dessous : 1 Préciser l’ensemble de définition pour chacune de ces deux fonctions. 2 Justifier que la fonction f admet un unique zéro. 3 Déterminer et justifier la valeur des limites suivantes : a lim x ↦→ 4 − g ◦ f ( x ) b lim x ↦→ + ∞ g ◦ f ( x ) c lim x ↦→ + ∞ g ◦ f ◦ g ( x ) d lim x ↦→− 1 f ◦ g ( x ) E.5023 Soit f une fonction définie sur 0 ; + ∞ vérifiant : f (0) = 0 ; lim x ↦→ + ∞ f ( x ) = + ∞ On considère la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par la relation: g ( x ) = 1 x · f 1 x 1 Déterminer la limite de la fonction g en 0 . 2 Déterminer la limite de la fonction g en + ∞ . 3 On note C la courbe représentative de la fonction g . Quelles conséquences peut-on déduire des deux questions précédentes pour la courbe C ? 20. Limites et comparaisons E.3349 On considère les deux fonctions numériques u et v définies sur R dont les courbes représenta-tives C u et C v sont données dans le repère ci-dessous : 1 Dans le repère ci-dessus, tracer la courbe C f représenta-tive d’une fonction f définie sur R vérifiant la propriété suivante : Pour tout x ∈ R , on a: u ( x ) f ( x ) v ( x ) 2 Supposons que les fonctions u et v admettent les limites suivantes : lim x ↦→ + ∞ u ( x ) = 1 ; lim x ↦→ + ∞ v ( x ) = 1 Faire une conjecture quant à la limite de la fonction f en + ∞ . E.3351 On considère la fonction f définie par la relation: f ( x ) = 5 x 2 + 2 − cos x 1 Justifier que la fonction f est définie sur R . 2 a Établir l’encadrement suivant : 5 x 2 + 3 f ( x ) 5 x 2 + 1 b En déduire la valeur de la limite suivante : lim x ↦→ + ∞ f ( x ) E.3354 Déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ x + sin( x ) x b lim x ↦→ + ∞ x · 2 + cos x 4 + sin x E.8662 Déterminer la valeur de la limite ci-dessous : lim x ↦→ + ∞ 3 + cos x 1 + x 21. Fonction exponentielle et limite aux bornes E.3614 Déterminer les valeurs des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ e − x +1 b lim x ↦→−∞ e 2 x +1 c lim x ↦→ + ∞ e − x 2 +1 d lim x ↦→ + ∞ e 1 x e lim x ↦→ 0 − e 1 x f lim x ↦→ 0 − e − 1 x E.3707 Établir la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→−∞ x 4 + 1 x − 1 = −∞ b lim x ↦→ 0 e x − 1 e 2 x − 1 = 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3436 sacados/3436 −134∞0∞-∞0∞Variationdefx -∞−10∞-∞31∞4Variationdegx chapExoCorrec/5023 sacados/5023 chapExoCorrec/3349 sacados/3349 -12345678I-2-1234JOCvCu chapExoCorrec/3351 sacados/3351 chapExoCorrec/3354 sacados/3354 chapExoCorrec/8662 sacados/8662 chapExoCorrec/3614 sacados/3614 chapExoCorrec/3707 sacados/3707 Extrait concours ECE Mai 2002
E.5847 On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours. On décide de modéliser cette croissante par une fonction lo-gistique du type : h ( t ) = a 1 + b · e − 0 , 04 · t où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h ( t ) désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres. On sait qu’initialement, pour t =0 , le plant mesure 0 ; 1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m . Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corre- sponde à la croissance du plant de maïs étudié. E.3706 Soit f la fonction définie par la relation: f ( x ) = 2e 2 x − e x e 2 x − e x + 1 1 Justifier que la fonction f admet R comme ensemble de définition. 2 Déterminer la valeur des limites de f en −∞ et + ∞ . 3 Établir que la fonction f admet pour expression : f ( x ) = − e x · e 2 x − 4e x + 1 e 2 x − e x + 1 2 E.3665 On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x par : f ( x ) = 4 · e x e x + 7 On note C la courbe représentative de la fonction f . 1 Vérifier que pour tout réel x : f ( x )= 4 1+7e − x 2 a Démontrer que la courbe C admet deux asymptotes dont on précisera les équations. b Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R . c Démontrer que pour tout réel x : 0 <f ( x ) < 4 . 22. Fonction exponentielle et comparaison de croissance E.3661 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ + ∞ e x 2 · e − x b lim x ↦→−∞ e x · x 2 − x + 1 c lim x ↦→ + ∞ e x + 1 e − x − 1 d lim x ↦→−∞ e − 3 x x 2 + 1 e lim x ↦→−∞ e − x + 3 x + 1 f lim x ↦→−∞ e − 2 x − e − x E.3615 Déterminer les valeurs des limites suiv-antes : a lim x ↦→−∞ ( x + 1) · e x b lim x ↦→−∞ e x x c lim x ↦→ + ∞ x + 1 e x d lim x ↦→ + ∞ e 2 x − 3 · e x + 1 e lim x ↦→−∞ e 2 x − 3 · e x + 1 f lim x ↦→ + ∞ e x − 1 e x + 1 E.3710 On considère la fonction f définie sur R \ 1 par : f ( x ) = 2 ( x − 1) 2 · e x +1 x − 1 Le but de cet exercice est de déterminer les deux limites suiv-antes : lim x ↦→ 1 − f ( x ) ; lim x ↦→ 1 + f ( x ) 1 Soit X = 2 x − 1 . Prouver l’égalité: 2 ( x − 1) 2 · e x +1 x − 1 = e 2 · X 2 · e X 2 En déduire la valeur des limites recherchées. 23. Limites par identification aux nombres dérivées E.3662 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim x ↦→ 0 e 2 x − 1 x b lim x ↦→ 0 e 2 x − e x x c lim x ↦→ + ∞ x · e 1 x − 1 d lim x ↦→ + ∞ x · e 3 x − 1 e lim x ↦→−∞ x 3 · e 1 x − 1 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5847 sacados/5847 tempst(en jours)020406080100120140160180200220hauteur(en mètres)0.20.40.60.811.21.41.61.82 chapExoCorrec/3706 sacados/3706 chapExoCorrec/3665 sacados/3665 chapExoCorrec/3661 sacados/3661 chapExoCorrec/3615 sacados/3615 chapExoCorrec/3710 sacados/3710 chapExoCorrec/3662 sacados/3662
E.3777 1 On considère la suite ( u n ) définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par : u n = 1 + e 1 n + e 2 n + · · · + e n − 1 n Déterminer la limite de la suite ( u n ) . 2 Déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ + ∞ x · e − x x 2 + 1 b lim x ↦→ + ∞ x 2 − 2( x − 1)e x − 1 3 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 1 4 · e − x 2 · x 2 + x Déterminer les limites en −∞ et + ∞ de la fonction f . 4 Soit g la fonction définie sur R ∗ par : g ( x )= x e x − 1 Peut-on prolonger g sur R par continuité. 24. Suites et fonctions E.3519 On se propose de montrer que les relations : u 0 = − 3 ; u n = u n − 1 − 8 2 · u n − 1 − 9 pour tout n ∈ N ∗ définissent bien une suite et que cette suite est convergente. 1 On considère la fonction f définie sur −∞ ; 9 2 par : f ( x ) = x − 8 2 x − 9 On note C f la courbe représentative de la fonction f . a Étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. Citer les asymptotes de la courbe C f . b Déterminer l’expression de la fonction f dérivée de la fonction f . En déduire le tableau de variations de la fonction f . c Déterminer l’équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1. d Effectuer le tracé de la courbe C f dans le repère ci-dessous, ainsi que de la droite d’équation y = x : e En se servant de ce graphique, faire une conjecture sur le comportement de la suite u n . 2 Démontrer que pour tout n de N : u n < 1 . 3 Démontrer que la suite est croissante et qu’elle converge. (On ne demande pas la valeur de la limite) E.3416 On cherche à modéliser l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’année. Soit u n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’année n . On pose n =0 en 2005 , u 0 =1 et, pour tout n 0 : u n +1 = 1 10 · u n · 20 − u n 1 Soit f la fonction définie sur 0 ; 20 par : f ( x ) = 1 10 · x · 20 − x a En déduire que pour tout x ∈ 0 ; 20 : f ( x ) ∈ 0 ; 10 . b On donne en annexe la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormé. Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite u n n 0 . 2 Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N : 0 u n u n +1 10 . 3 Montrer que la suite u n n 0 est convergente. (on ne demande pas la valeur de sa limite) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3777 sacados/3777 chapExoCorrec/3519 sacados/3519 Paris 1985 -4-3-2-1234I2345JO chapExoCorrec/3416 sacados/3416 -4-2246810121416182022I-224681012JO
E.3422 On considère la suite v n définie sur N par : v 0 = 6 v n +1 = 1 ; 4 · v n − 0 ; 05 · v n 2 pour tout n ∈ N . 1 Soit f la fonction définie sur R par : f ( x ) = 1 ; 4 x − 0 ; 05 · x 2 a Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 8 . b Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 v n v n +1 8 2 Établir la convergence de la suite v n (on ne demandera pas la valeur de la limite) . E.5053 On considère la fonction f définit sur R par : f ( x ) = 1 8 · x 2 + 1 2 · x + 1 2 1 Montrer que si x ∈ 0 ; 2 alors f ( x ) ∈ 0 ; 2 2 Indication : dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On définit la suite u n par : u 0 = 1 2 ; u n +1 = f u n pour tout n ∈ N . Établir la convergence de la suite u n (on ne demande pas la valeur de la limite) . 25. Cours E.5500 Établir les deux limites suivantes : lim x ↦→ + ∞ e x = + ∞ ; lim n ↦→−∞ e x = 0 E.3657 On suppose connu le résultat Proposition: lim x ↦→ + ∞ e x x = + ∞ Démontrer que : lim x ↦→ + ∞ x · e − x =0 E.3282 On considère une fonction g con-tinue, strictement croissante sur 0 ; + ∞ et tel que lim x ↦→ 0 g ( x )= −∞ et lim x ↦→ + ∞ g ( x )=+ ∞ . On admet que l’on peut définir sur N une suite ( ˛ n ) de réels tels que g ( ˛ n )= n , et que cette suite est strictement crois-sante. Montrer que la suite ( ˛ n ) tend vers + ∞ . 26. Partage E.2526 On considère la fonction f définie par : f : x ↦−→ 5 x + 1 − 5 x 2 + 4 x + 1 1 Donner l’ensemble de définition de la fonction f . 2 Déterminer les limites de la fonction f en + ∞ et −∞ . 3 a Justifier que les deux limites ci-dessous représentent une forme indéterminée : lim x ↦→− 1 5 − f ( x ) et lim x ↦→− 1 5 + f ( x ) . b Montrer que, pour x ∈D f , on a: f ( x )= − 1 x − 1 . c En déduire la valeur des deux limites présentées à la question a . 27. Exercices non-classés E.3352 faire une fonction rationnelle avec inconnu a et b pour que f admette telle tangente horizontale passe par tel point .... E.3353 Étude algébrique et tracer de courbes E.3368 Résoudre le système d’équations suiv-ant : a + 2 b − 4 c = 4 2 a − b + c = − 8 − 3 a − 2 b + c = − 3 E.5024 faire un algorithme sur la recherche d’une limite variable x, a saisir a saisir x tant que abs ( a − x ) < 10 − 5 afficher ( x 2 − x ) = ( x 3 + x ) x := a + ( x + a ) = 2 fin tant que https://chingmath.fr chapExoCorrec/3422 sacados/3422 chapExoCorrec/5053 sacados/5053 chapExoCorrec/5500 sacados/5500 chapExoCorrec/3657 sacados/3657 Asie Juin 2008 chapExoCorrec/3282 sacados/3282 sacados/2526 sacados/3352 sacados/3353 chapExoCorrec/3368 sacados/3368 sacados/5024
E.10422 On considère la fonction f définie sur − 3 ; + ∞ par : f : x ↦−→ x 2 + 2 x + 1 x + 3 1 Montrer que le nombre dérivé de f en x s’écrit: f ( x ) = 3 · x 2 + 14 · x + 11 2( x + 3) x + 3 2 Dresser le tableau de signes de la fonction f . 3 En déduire le tableau de variations de la fonction f . 4 Donner le minimum de la fonction f sur son ensemble de définition. https://chingmath.fr chapExoCorrec/10422 sacados/10422