Terminale Spécialité / Fonctions trigonométriques 48 exercices corrigés

a
1. Rappels E.5269 À l’aide des formules du cos et du sin des angles associés, exprimer en fonction de cos x ou de sin x les nombres suivants : a sin 3 ı + x b cos 5 ı 2 − x c cos x − ı 2 d cos ı 2 + x e sin ı − x + cos ı 2 − x f 3 · sin ı + x − 2 · sin ı − x + 4 · sin x − ı E.5267 Simplifier l’argument de chacune des expressions suivantes : a tan x + ı b tan ı 2 − x c cos x − ı d sin x − ı 2 e sin x + ı 2 f cos x + ı 2 E.5268 1 Montrer que : cos ı 6 + cos 5 ı 6 = 0 2 Simplifier au maximum le nombre suivant. (on ex-primera le résultat à l’aide de cos ı 7 et sin ı 7 ) . 2 · cos − ı 7 + 3 · cos 8 ı 7 − 2 · sin 6 ı 7 + sin − ı 7 E.5273 1 En remarquant que : ı 12 = ı 3 − ı 4 Déterminer les valeurs de cos ı 12 et sin ı 12 . 2 Déterminer les valeurs de : cos 7 ı 12 ; sin 7 ı 12 E.5274 Montrer la relation suivante : sin( a + b ) · cos( a − b ) = sin a · cos a + cos b · sin b E.5275 Déterminer une simplification des ex-pressions suivantes : 1 cos 2 x · cos x − sin 2 x · sin x 2 sin 3 x · cos 2 x − sin 2 x · cos 3 x E.5272 1 Dans chacune des cas, tracer un cercle trigonométrique et représenter chacun des ensembles suivants : a cos x ⏐ ⏐ x ∈ ı 6 ; 2 ı 3 b sin x ⏐ ⏐ x ∈ 2 ı 3 ; 7 ı 3 2 À l’aide d’un cercle trigonométrique, donner sans justifi-cation l’ensemble des solutions des inéquations suivantes dans l’intervalle − ı ; ı : a sin x 3 2 b cos x − 1 2 c cos x < 0 E.3345 Résoudre, dans − ı ; ı , les équations ci-dessous : a cos x = cos ı 4 b sin x = sin − ı 6 c cos 2 x = cos ı 4 d cos x = cos x + ı 4 E.5270 1 Résoudre dans l’ensemble − ı ; ı des mesures princi-pales, les équations suivantes : a cos x = 2 2 b sin x = − 1 2 c sin x = 3 2 d tan x = 3 3 2 Résoudre dans R les équations suivantes : a cos x = √ 3 2 b tan x = − 1 E.5271 Résoudre, dans l’intervalle − ı ; ı les équations suivantes : a 2 cos 2 x = 1 b sin 3 x = 3 2 c cos 2 x = cos x d sin 3 x = cos x E.5276 1 Simplifier l’expression suivante : cos x + ı 4 − cos x − ı 4 2 Établir l’égalité suivante : sin 5 x sin 2 x + sin 2 x sin x = sin 3 x 2 sin(2 x ) · sin( x ) 3 Résoudre, dans l’intervalle − ı ; ı l’équation suivante : 3 2 cos(2 x ) + 1 2 sin(2 x ) = cos ı 7 2. Propriétés des fonctions sinus et cosinus E.2556 1 En choisissant un encadrement adéquat, montrer que la suite u n n ∈ N converge vers 0: u n = ( − 1) n 3 n + 1 2 En choisissant un encadrement adéquat, montrer que la suite v n n ∈ N converge; préciser sa limite: v n = 2 n 2 + cos n 3 n 2 + 5 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5269 sacados/5269 chapExoCorrec/5267 sacados/5267 chapExoCorrec/5268 sacados/5268 chapExoCorrec/5273 sacados/5273 chapExoCorrec/5274 sacados/5274 chapExoCorrec/5275 sacados/5275 chapExoCorrec/5272 sacados/5272 chapExoCorrec/3345 sacados/3345 chapExoCorrec/5270 sacados/5270 chapExoCorrec/5271 sacados/5271 chapExoCorrec/5276 sacados/5276 chapExoCorrec/2556 sacados/2556
E.2568 Soit u n n ∈ N ∗ une suite définie par : u n = cos n − 2 n n Déterminer la limite de la suite u n . E.3302 On considère les deux fonctions suiv-antes f et g définies sur R par : f ( x ) = 2 · cos x ; g ( x ) = cos 2 · x Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative représentée ci-dessous : E.5040 Soit a n n ∈ N une suite non con-stante de réels. Pour tout entier n , on pose : u n = sin( a n ) . Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse et pro-poser une justification de la réponse choisie : Proposition : ˇOn peut choisir la suite a n n ∈ N telle que la suite u n n ∈ N converge vers 2 2 ı 3. Périodicité et parité E.2920 Dans le repère ( O ; I ; J ) orthonormé, on représente ci-dessous la courbe C f représentative de la fonc-tion f définie sur R : La fonction f est périodique de période T . 1 a Donner les coordonnées d’un vecteur définissant une translation par laquelle la courbe C f est invariante. b Déterminer la valeur de T . 2 Donner l’image, par la fonction f , des nombres suivants : a 14 b − 16 c 56 d 58 E.2922 On considère la fonction f périodique de période 12. Ci-dessous sont données quelques parties de la courbe C représentative de la fonction f : 1 Reconstruire le tracé de C f sur l’intervalle 0 ; 12 . 2 Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle 38 ; 50 . E.2921 Pour chaque question, montrer que la fonction f admet T pour période : a f ( x ) = sin 6 x − 3 ; T = ı 3 b f ( x ) = tan 2 x + ı 3 ; T = ı c f ( x ) = cos x 2 − sin x 2 ; T = ı d f ( x ) = ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ cos 2 x + ı 3 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ; T = ı 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/2568 sacados/2568 chapExoCorrec/3302 sacados/3302 −2·ı−ı0ı2·ı-2-112C −2·ı−ı0ı2·ı-2-112C chapExoCorrec/5040 sacados/5040 chapExoCorrec/2920 sacados/2920 -10-8-6-4-2246810I-4-224JO chapExoCorrec/2922 sacados/2922 24323436646668I-4-224JO chapExoCorrec/2921 sacados/2921
E.3346 On considère la fonction f définie sur R dont l’image de x est définie par la relation: f ( x ) = cos x + cos( x ) 2 On appelle C f la courbe représentative de la fonction f . 1 Étudier la parité de la fonction f . 2 Étudier la périodicité de la fonction f . 3 a En étudiant les images des nombres suivantes : 0 ; ı 3 ; ı 2 ; 2 ı 3 ; ı ; 4 ı 3 ; 3 ı 2 ; 5 ı 3 et en admettant les propriétés suivantes : f est strictement décroissante sur 0 ; 2 ı 3 ; f est strictement croissante sur 2 ı 3 ; ı ; C f admet les tangentes horizontales aux points d’abscisse : 0 ; 2 ı 3 ; ı ; − 4 ı 3 Effectuer le tracé de la courbe C f sur 0 ; + ∞ . b Prolonger ce tracé à l’ensemble du graphique. 4. Dérivée E.5277 Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes : a f : x ↦−→ x 2 + cos x b g : x ↦−→ sin(2 x ) c h : x ↦−→ cos x · sin x d j : x ↦−→ sin x 2 E.2878 Déterminer l’expression des fonctions dérivées associées aux fonctions suivantes : a f ( x ) = x 2 · cos x b g ( x ) = 3 x 2 − 2 · sin x 2 c h ( x ) = 3 2 · cos x d j ( x ) = cos x 3 x + sin x E.2907 Déterminer l’expression des fonctions dérivées des fonctions f , g , h définies ci-dessous : a f ( x ) = sin x cos x b g ( x ) = (5 x − 3) 3 · cos x c h ( x ) = cos 5 x + ı 3 x 2 E.2879 Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a f ( x ) = 2 x · sin 3 x +1 b g ( x ) = 2 · cos 2 x 3 − sin 1 − 2 x 5. Nombres dérivés et limites E.3532 1 Déterminer l’expression des fonctions dérivées des fonc-tions suivantes : a f ( x ) = cos x 2 b g ( x ) = sin x + cos x c h ( x ) = tan( x 2 + x ) d j ( x ) = cos x sin x 2 Déterminer les limites suivantes : a lim x ↦→ 0 cos x 2 − 1 x b lim x ↦→− π 4 sin x + cos x x + ı 4 c lim x ↦→ 0 tan( x 2 + x ) x d lim x ↦→ π 2 cos x x − ı 2 · sin x E.3568 Considérons la fonction g définie sur R par : g ( x ) = sin x 1 Donner le nombre dérivé de la fonction g en 0 . 2 En déduire la valeur de la limite: lim x ↦→ 0 sin x x 6. Etude de fonctions E.3540 1 On considère la fonction f définit sur R par : f ( x ) = cos x − 1 x pour x =0 f (0) = 0 Montrer que la fonction f est continue en 0 . 2 On considère la fonction g définie par la relation sur R par : g ( x ) = E ( x ) · sin ı · x https://chingmath.fr chapExoCorrec/3346 sacados/3346 −4·ı−3·ı−2·ı−ı0ı2·ı3·ı4·ı-112 chapExoCorrec/5277 sacados/5277 chapExoCorrec/2878 sacados/2878 chapExoCorrec/2907 sacados/2907 chapExoCorrec/2879 sacados/2879 chapExoCorrec/3532 sacados/3532 chapExoCorrec/3568 sacados/3568 chapExoCorrec/3540 sacados/3540
a Simplifier l’écriture de la fonction g sur chacun des in-tervalles suivants : − 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 2 b Justifier que la fonction g est continue en 0 et en 1 . c Émettre une conjecture sur l’ensemble de continuité de la fonction f ? d Tracer la courbe représentative de cette fonction sur votre calculatrice. E.3582 On considère les deux suites de nombres réels, u n n ∈ N ∗ et v n n ∈ N ∗ définies par : u n = sin 1 n 2 + sin 2 n 2 + · · · + sin n n 2 v n = 1 n 2 + 2 n 2 + · · · + n n 2 1 Démontrer que la suite v converge vers 1 2 . 2 a Démontrer que chacune des trois fonctions numériques de la variable réelle: x ↦−→ x − sin x ; x ↦−→ − 1 + x 2 2 + cos x x ↦−→ − x + x 3 6 + sin x ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l’intervalle 0 ; + ∞ . On pourra utiliser les variations de chacune de ces trois fonctions. b Justifier que pour tout n 1 : 1 3 + 2 3 + · · · + n 3 n 4 . Déduire du a l’inégalité: v n − 1 6 × 1 n 2 u n v n pour tout n ∈ N . c Démontrer que la suite u est convergente ; quelle est sa limite? E.3559 1 On désigne par g la fonction numérique définie sur 0 ; ı par : g ( x ) = x · cos x − sin x Étudier g et dresser son tableau de variation. En déduire le signe de g ( x ) sur 0 ; ı . 2 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur 0 ; ı par : f (0) = 1 f ( x ) = sin x x pour x ∈ 0 ; ı On rappelle que : lim x ↦→ 0 sin x x = 1 . Étudier les variations de f sur 0 ; ı . 3 Étude de f en 0 . a Prouver que, pour tout nombre réel x ∈ 0 ; ı : 0 x − sin x x 3 6 (Pour cela, on introduira la fonction ’ définie sur 0 ; ı par: ’ ( x ) = sin x − x + x 3 6 On calculera les dérivées ’ , ’  et ’  et on en déduira le signe de ’ ) b Prouver que f est dérivable en 0 et calculer f (0) . 4 Construire la courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthonormé O ; −→ i ; −→ j . (On prendra 3 cm pour unité) . E.3648 On désigne par g la fonction définie sur − 1 ; 1 par : g (0) = 0 ; g ( x ) = 1 √ 1 − x 2 où g désigne la dérivée de la fonction g sur − 1 ; 1 ; on ne cherchera pas à expliciter g ( x ) . On considère la fonction composée h définie sur − ı ; 0 par : h ( x ) = g cos x 1 Démontrer que pour tout x de − ı ; 0 , on a h ( x )=1 , où h désigne la dérivée de h . 2 Calculer h − ı 2 puis donner l’expression de h ( x ) . 7. Etude de fonctions et théorème des valeurs intermédiaires E.6822 Préciser si l’affirmation suivante est vraie ou fasse, en justifiant la réponse. Affirmation L’équation x − cos x =0 admet une unique solution dans l’intervalle 0 ; ı 2 . 8. Primitive et intégrale E.5312 Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = cos x + sin x b g ( x ) = sin(3 x ) c h ( x ) = sin x · cos x d j ( x ) = 3 x · cos x 2 E.3932 Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : a f ( x ) = 5 x b g ( x ) = e x +1 + 1 c h ( x ) = 2 · x · e x 2 +1 d j ( x ) = cos x e k ( x ) = sin(3 x ) f ‘ ( x ) = sin x 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/3582 sacados/3582 chapExoCorrec/3559 sacados/3559 Algerie 1992 chapExoCorrec/3648 sacados/3648 Extrait de Metropole et Reunion Septembre 2007 chapExoCorrec/6822 sacados/6822 chapExoCorrec/5312 sacados/5312 chapExoCorrec/3932 sacados/3932
E.5232 On considère les deux intégrales suiv-antes : I = π 0 cos x 2 d x ; J = π 0 sin x 2 d x 1 Calculer: I + J ; I − J . 2 En déduire les valeurs de I et de J . E.5282 On considère la suite x n définie pour tout entier naturel n non nul par : x n = 1 0 t n · cos t d t 1 a Montrer que la suite x n est à termes positifs. b Étudier les variations de la suite x n . c Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite x n ? 2 a Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : x n 1 n + 1 b En déduire la limite de la suite x n . E.5208 Calculer l’intégrale: π 2 π 3 sin x 2 d x E.5307 On considère la fonction f définie sur 0 ; ı par : f ( x ) = cos 3 x · cos x 3 Dans un repère orthonormé O ; I ; J (on prendra 3 cm comme unité) , on considère la courbe C f représentative de la fonction f . 1 a Montrer que la fonction f dérivée de la fonction f admet pour expression : f ( x ) = − 3 · cos x 2 · sin 4 x b Dresser le tableau de signes de la fonction f . c Dresser le tableau de variations de la fonction f . 2 a Montrer que, quel que soit le réel x appartenant à 0 ; ı , on a: f ( x ) = 1 8 · cos 6 x + 3 8 · cos 4 x + 3 8 · cos 2 x + 1 8 (On utilisera entre autre la formule: 2 · cos x · cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) ) b Calculer, en cm 2 , l’aire de l’ensemble E limité par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =0 et x = ı 6 . E.6820 Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles. Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère or-thonormé du plan. La forme de ces étiquettes est délimitée par l’axe des abscisses et la courbe C d’équation y = a · cos x avec x ∈ − ı 2 ; ı 2 et a un réel strictement positif. Un disque situé à l’intérieur est destiné à recevoir les infor-mations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées 0 ; a 2 et de rayon a 2 . On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe C pour des valeurs de a inférieurs à 1 ; 4 . 1 Justifier que l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, les droites d’équation x = − ı 2 et x = ı 2 , et la courbe C est égale à 2 · a d’unité d’aire. 2 Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l’aire du disque soit égale à l’aire de la surface grisée. Quelle valeur, arrondie au millième, faut-il donner au réel a pour respecter cette contrainte? E.6821 On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle 0 ; 16 par : f ( x ) = ln x +1 ; g ( x ) = ln x +1 + 1 − cos( x ) Dans un repère O ; −→ i ; −→ j , on note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g . Ces courbes sont données ci-dessous : Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique. 9. Annales E.5283 Le plan est rapporté à un repère orthogonal O ; −→ i ; −→ j . Soit la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = e − x · cos(4 x ) et Γ sa courbe représentative tracée dans le repère O ; −→ i ; −→ j en fin d’exercice. Ce graphique sera complété au fur et à mesure de l’exercice. On considère également la fonction g définie sur 0 ; + ∞ par g ( x )=e − x et on nomme C sa courbe représentative dans le repère O ; −→ i ; −→ j . https://chingmath.fr chapExoCorrec/5232 sacados/5232 chapExoCorrec/5282 sacados/5282 chapExoCorrec/5208 sacados/5208 chapExoCorrec/5307 sacados/5307 chapExoCorrec/6820 sacados/6820 aOCf−π2π2A chapExoCorrec/6821 sacados/6821 0246810121416246ijABCfCg chapExoCorrec/5283 sacados/5283
1 a Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ : − e − x f ( x ) e − x b En déduire la limite de f en + ∞ . 2 Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γ et C . 3 On définit la suite u n sur N par : u n = f n · ı 2 . a Montrer que la suite u n est une suite géométrique. En préciser la raison. b En déduire le sens de variation de la suite u n et étudier sa convergence. 4 a Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle 0 ; + ∞ : f ( x ) = − e − x · cos(4 x ) + 4 · sin(4 x ) b En déduire que les courbes Γ et C ont même tangente en chacun de leurs points communs. 5 Donner une valeur approchée à 10 − 1 près par excès du coefficient directeur de la droite T tangente à la courbe Γ au point d’abscisse ı 2 . Compléter le graphique donné en y traçant T et C . E.6823 Lors d’un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l’extérieur du segment [ AB ] . La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n’importe où sur le segment [ EM ] perpendiculaire à la droite ( AB ) sauf en E . La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure. Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle ATB le plus grand possible. Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [ EM ] pour laquelle l’angle ATB est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note x la longueur ET , qu’on cherche à déterminer. Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM =50 m ; EA =25 m ; AB =5 ; 6 m On note ¸ la mesure en radian de l’angle ETA , ˛ la mesure en radian de l’angle ETB et ‚ la mesure en radian de l’angle ATB . 1 En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer tan ¸ et tan ˛ en fonction de x . La fonction tangente est définie sur l’intervalle 0 ; ı 2 par : tan x = sin x cos x 2 Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle 0 ; ı 2 . 3 L’angle ATB admet une mesure ‚ appartenant à l’intervalle 0 ; ı 2 , résultat admis ici que l’on peut ob-server sur la figure. On admet que pour tous réels a et b de l’intervalle 0 ; ı 2 : tan a − b = tan a − tan b 1 + tan a × tan b Montrer que : tan ‚ = 5 ; 6 · x x 2 +765 4 L’angle ATB est maximum lorsque sa mesure ‚ est max-imale. Montrer que cela correspond à un maximum sur l’intervalle 0 ; 50 de la fonction f définie par : f ( x ) = 5 ; 6 · x x 2 + 765 Montrer qu’il existe une unique valeur de x pour laquelle l’angle ATB est maximum et déterminer cette valeur de x au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle ATB à 0 ; 01 radian près. 10. Équations https://chingmath.fr 01234-11ij chapExoCorrec/6823 sacados/6823 ABETMTerrain vu du dessusLimiteduterrainLignemédianex
E.5482 Dans le plan muni d’un repère O ; I ; J , on considère le cer-cle trigonométrique représenté ci-dessous : 1 a Sur le cercle trigonométrique, placer les deux points M et M ayant pour abscisse − 2 2 . b Dans l’intervalle des mesures principales, résoudre l’équation: cos x = − 2 2 2 Dans l’intervalle des mesures principales, résoudre les équations suivantes : a sin x = 1 2 b cos x = 1 2 c sin x = − 3 2 3 Résoudre dans R , l’équation suivante : cos x = 3 2 E.2624 Résoudre dans R les équations suiv-antes : a sin x = 3 2 b cos x = 2 2 E.2874 1 Résoudre dans l’ensemble − ı ; ı des mesures princi-pales, les équations suivantes : a cos x = 2 2 b sin x = − 1 2 c sin x = 3 2 d cos x = − 1 2 2 Résoudre dans R les équations suivantes : a cos x = 3 2 b sin x = − 2 2 E.3110 On considère les deux cercles trigonométriques ci-dessous : 1 Donner, dans le repère O ; I ; J , les coordonnées des points M et N . 2 Dans l’intervalle − 180 o ; 180 o , résoudre les équations suivantes : a cos x = 1 2 b sin x = √ 2 2 c sin x = − 1 2 3 Dans l’intervalle − 180 o ; 180 o , résoudre les équations suivantes : a sin x = 1 2 b cos x = √ 2 2 c cos x = − 2 2 4 Que peut-on dire de l’ensemble des solutions de chacune des équations précédentes, si on cherche la mesure des angles dans l’ensemble R ? 11. Équations E.7726 1 On considère l’équation: ( E ): sin x = 1 2 Justifier que chaque élément de l’ensemble : ı 6 ; 13 · ı 6 ; 25 · ı 6 ; 37 · ı 6 est une solution de l’équation ( E ) . 2 On considère l’équation: ( F ): cos 2 · x = 1 2 a Justifier que chaque élément de l’ensemble − ı 6 ; ı 6 est une solution de l’équation ( F ) . b Pour tout entier relatif k ( k ∈ Z ) , justifier que les nom-bres − ı 6 + k · ı et ı 6 + k · ı sont solutions de l’équation ( F ) . c En déduire les valeurs des quatre solutions de l’équation ( F ) appartenant à l’intervalle des mesures principales − ı ; ı . E.7703 Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle − ı ; ı des mesures principales : a sin x + ı 4 = √ 3 2 b cos 2 x + ı 3 = 2 2 E.7725 Dans l’intervalle − ı ; ı des mesures principales, résoudre les deux équations suivantes : a cos 2 · x = 1 2 b sin 2 · x = √ 3 2 E.8203 Résoudre, dans l’intervalle − ı ; ı , les équations suivantes : a sin 2 · x = 2 2 b cos 3 · x + ı 3 = 1 2 https://chingmath.fr chapExoCorrec/5482 sacados/5482 12√22√3212√22√32-12-√22-√32-12-√22-√32 chapExoCorrec/2624 sacados/2624 chapExoCorrec/2874 sacados/2874 sacados/3110 OIJC45oNOIJC60oM chapExoCorrec/7726 sacados/7726 chapExoCorrec/7703 sacados/7703 chapExoCorrec/7725 sacados/7725 sacados/8203