Terminale Spécialité / Limite de suites 62 exercices corrigés

a
1. Rappels: suites arithmétiques et géométriques E.3393 On considère la suite arithmétique u n n ∈ N de premier terme 3 4 et de raison 1 2 . 1 Déterminer la valeur des cinq premiers termes de cette suite. 2 Donner la formule explicite de u n donnant la valeur d’un terme en fonction de son rang. 3 Déterminer la valeur de la suite suivante : S = u 5 + u 6 + · · · + u 12 E.3394 On considère la suite géométrique u n n ∈ N de premier terme 16 27 et de raison 3 2 . 1 Déterminer la valeur des cinq premiers termes de cette suite. 2 Donner la formule explicite de u n donnant la valeur d’un terme en fonction de son rang. 3 Déterminer la valeur de la suite suivante : S = u 3 + u 4 + · · · + u 16 E.5012 1 Soit u n une suite arithmétique définie pour n ∈ N . On a la valeur des deux termes suivants : u 4 = 3 ; u 7 = 15 a Déterminer les éléments caractéristiques de la suite u n . b Donner la formule de récurrence, puis la formule ex-plicite de la suite u n 2 Soit v n une suite géométrique définie pour n ∈ N . On a la valeur des deux termes suivants : v 2 = 2 ; v 5 = 54 a Déterminer les éléments caractéristiques de la suite v n . b Donner la formule de récurrence, puis la formule ex-plicite de la suite v n E.6724 On considère les deux suites de nombres ci-dessous dont on donne les sept premiers termes : a 3 ; 5 ; 7 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 b 6 ; 3,5 ; 1 ; -1,5 ; -4 ; -6,5 ; -9 Pour chacune des questions, peut-on conjecturer que la suite est une suite arithmétique? Si oui, donner le premier terme et la raison. Si non, justifier votre rejet de cette affirmation. E.6725 On considère les deux suites de nombres ci-dessous où sont donnés les six premiers termes : a 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 b 1 ; 3 ; 9 ; 18 ; 54 ; 162 Pour chacune des questions, peut-on conjecturer que la suite est une suite géométrique? Si oui, préciser le premier terme et la raison. Sinon, justifier votre rejet de la conjecture. E.3398 En identifiant chacune des sommes comme une somme des termes d’une suite arithmétique ou géométrique, déterminer chacune de leurs valeurs : a 12 + 7 + 2 + ( − 3) + · · · + ( − 28) b 27 + 3 + 1 3 + · · · + 1 243 c 2 3 + 8 3 + 14 3 + · · · + 62 3 d 1 2 4 + 1 2 6 + 1 2 8 + · · · + 1 2 24 E.3807 On considère la suite p n n ∈ N ∗ dont les six premiers termes vérifient : Les six premiers termes sont tous positifs et leur somme vaut 1 . Les six premiers termes de la suite sont non constants. Les six premiers termes de p n sont les termes consécu-tifs d’une suite arithmétique. Les nombres p 1 , p 2 , p 4 sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique. Déterminer la valeur des six premiers termes de la suite ( p n ) . 2. Rappels: autres E.3395 1 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 1 u 1 = 1 u n +2 = u n +1 + u n pour tout n ∈ N Déterminer la valeur des huit premiers termes de la suite u n . 2 On considère la suite v n n N ∗ définie par : v 1 = 2 ; v n +1 = 1 v n + n pour tout n ∈ N Déterminer les cinq premiers termes de la suite v n . E.3396 Déterminer la valeur de chacune des sommes suivantes : a 7 i =0 i b 8 i =3 i 2 − i c 7 i =0 i − 4 d 6 i =1 1 i e 4 i =1 1 i 2 f 3 =0 i =0 i https://chingmath.fr chapExoCorrec/3393 sacados/3393 chapExoCorrec/3394 sacados/3394 chapExoCorrec/5012 sacados/5012 chapExoCorrec/6724 sacados/6724 chapExoCorrec/6725 sacados/6725 chapExoCorrec/3398 sacados/3398 chapExoCorrec/3807 sacados/3807 chapExoCorrec/3395 sacados/3395 chapExoCorrec/3396 sacados/3396
E.5042 Justifier que, dans chaque question, les informations ci-dessous ne définissent pas de suites : a u 0 = 5 ; u n +1 = 2 · u n − 3 pour tout n ∈ N ∗ b u 0 = 1 ; u 1 = 4 ; u n +1 = u n − 3 pour tout n ∈ N c u 0 = 3 ; u n = 2 · u n − 1 − 2 pour tout n ∈ N d u 0 = − 1 ; u n = u n − 1 − 2 u n − 1 + 1 pour tout n ∈ N ∗ 3. Limites de suites arithmétiques et géométriques E.6726 1 On considère la suite u n arithmétique de premier terme − 4 et de raison 5 : a Compléter le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 7 u n − 4 1 6 11 16 21 b Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur du terme u n lorsque le rang n devient de plus en plus grand? On notera : lim n ↦→ + ∞ u n = : : : : : : 2 On considère la suite v n arithmétique de premier terme 3 et de raison − 1 ; 2 : a Compléter le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 7 v n 3 1 ; 8 0 ; 6 − 0 ; 6 − 1 ; 8 − 3 b Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur du terme v n lorsque le rang n devient de plus en plus grand? On notera : lim n ↦→ + ∞ v n = : : : : : : E.6727 1 On considère la suite u n géométrique de premier terme 4 et de raison 2 : a Compléter le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 7 u n 4 8 16 32 64 128 b Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur du terme u n lorsque le rang n devient de plus en plus grand? On notera : lim n ↦→ + ∞ u n = : : : : : : 2 On considère la suite v n géométrique de premier terme 81 et de raison 1 3 : a Compléter le tableau ci-dessous : n 0 1 2 3 4 5 6 7 v n 81 27 9 3 1 1 3 b Quelle conjecture peut-on faire sur la valeur du terme v n lorsque le rang n devient de plus en plus grand? On notera : lim n ↦→ + ∞ v n = : : : : : : E.6728 On considère la suite u n géométrique de premier terme 2 ; 8 et de raison 0 ; 9 . 1 À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous à l’aide de valeurs approchées au centième: n 0 1 2 3 4 5 6 7 u n 2 ; 8 2 ; 52 2 ; 268 2 ; 041 2 À l’aide de la calculatrice, quelle conjecture peut-on établir pour la limite des termes de la suite u n ? On note : lim n ↦→ + ∞ u n = : : : E.2557 1 On considère la suite u n n ∈ N définie explicitement par : u n = 9 n − 5 a Déterminer la nature de la suite u n en précisant ses caractéristiques. b Déterminer la limite de la suite u n . 2 On considère la suite v n n ∈ N définie explicitement par : v n = 2 · 1 3 n a Déterminer la nature de la suite v n en précisant ses caractéristiques. b Déterminer la limite de la suite v n . E.6729 Donner, si possible, les limites des suites suivantes : 1 La suite u n est géométrique de premier terme stricte-ment négatif et de raison 2 . 2 La suite v n est géométrique de premier terme stricte-ment positif et de raison − 3 . 3 La suite w n est géométrique de premier terme stricte-ment négatif et de raison − 0 ; 2 . 4. Limites de somme des termes de suites E.2559 1 Soit u n n ∈ N la suite arithmétique de premier terme 2 et de raison − 1 . a Déterminer l’expression explicite des termes de la suite en fonction du rang n . b On note S n = u 0 + u 1 + ··· + u n la somme des ( n +1) pre-miers termes de la suite. Donner l’expression de S n en https://chingmath.fr chapExoCorrec/5042 sacados/5042 chapExoCorrec/6726 sacados/6726 chapExoCorrec/6727 sacados/6727 chapExoCorrec/6728 sacados/6728 chapExoCorrec/2557 sacados/2557 chapExoCorrec/6729 sacados/6729 chapExoCorrec/2559 sacados/2559
fonction de n . c En déduire la limite: lim n ↦→ + ∞ S n . 2 Soit v n n ∈ N la suite géométrique de premier terme 5 et de raison 1 2 . a Déterminer l’expression explicite des termes de la suite en fonction du rang n . b On note S n = v 0 + v 1 + ··· + v n la somme des ( n +1) pre-miers termes de la suite. Donner l’expression de S n en fonction de n . c En déduire la limite: lim n ↦→ + ∞ S n . E.2588 Soit u n n ∈ N une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 2 5 : 1 Déterminer les trois premiers termes de cette suite. 2 a Déterminer l’expression de la somme des n +1 pre-miers termes de cette suite en fonction de n . b En déduire la valeur de la limite suivante : lim n ↦→ + ∞ u 0 + u 1 + · · · + u n E.2622 On considère la suite u n n ∈ N géométrique de premier terme 4 × 5 2 et de raison 1 5 et la somme S n définie par : S n = u 3 + u 4 + · · · + u n pour tout n 5 1 Déterminer l’expression de S n en fonction de n . 2 Justifier que la suite S n converge vers 1. E.2621 On considère la suite u n n ∈ N géométrique de premier terme 1 et de raison 1 2 et la suite ( R n ) définie, pour n 2 , par la somme : R n = u n + u n +1 + · · · + u 2 n Déterminer la limite de la suite ( R n ) . E.3105 Déterminer, en justifiant vos démarches, les limites des sommes suivantes : a S n = 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + · · · + 1 2 n b S n = − 15 4 +5 × 3 4 2 − 5 × 3 4 3 +5 × 3 4 4 + ··· +5 × − 3 4 n E.6174 Un coureur se lance un défi : il souhaite faire le tour de l’Europe. Le premier jour, il parcourt 50 km . Par la fatigue, de jour en jour, sa distance parcourue quotidiennement se réduit de 1 % . On note u n la longueur parcourue par le coureur le n -ième jour. En supposant que le coureur poursuive indéfiniment sa course, on obtient une suite u n définie pour tout entier naturel non-nul. 1 Déterminer la valeur des quatre premiers termes de la suite u n . 2 a Quelle est la nature de la suite u n ? Donner les éléments caractéristiques de la suite u n . b Exprimer le terme u n en fonction du rang n . c Quelle distance sera parcourue par le coureur le 100 e jour? On arrondira la valeur au dixième de kilomètre. 3 On note S la somme des n premiers termes de la suite u n : S n = u 1 + u 2 + · · · + u n a Exprimer la somme S n en fonction du rang n . b Compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs au dixième de kilomètres: n 10 100 500 750 1000 S n c Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la somme S n quand la valeur de n devient de plus en plus grand? E.2560 Un globe-trotter a parié de par-courir 5 000 km à pied. Il peut, frais et dispos, parcourir 50 km en une journée, mais chaque jour la fatigue s’accumule et donc sa performance diminue de 1 % tous les jours. On notera d n la distance parcourue durant le n -ième jour. 1 Calculer les distances d 1 , d 2 , d 3 parcourues durant les trois premiers jours. 2 Quelle est précisément la nature de la suite? Déterminer la valeur de d n en fonction de n . 3 On note L n la distance en kilomètres parcourus au bout de n jours. L n = d 1 + d 2 + · · · + d n a Déterminer l’expression de L n en fonction de n . b En déduire la limite de L n lorsque n tend verse + ∞ . Le globe-trotter peut-il gagner? c À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre min-imal de jours N qui lui seraient nécessaires pour par-courir 4 999 km E.5738 On considère la suite u n définie sur N par : u 0 = 2 ; u n = 2 × 2 3 n + n Pour tout entier naturel non nul n , on pose : S n = n k =0 u k = u 0 + · · · + u n ; T n = S n n 2 1 Exprimer le terme S n en fonction de n . 2 Déterminer la limite de la suite T n . 5. Autres limites E.3397 On considère la fonction f définie sur [ − 4 ; 4] dont la courbe représentative C f est donnée ci-dessous : https://chingmath.fr chapExoCorrec/2588 sacados/2588 chapExoCorrec/2622 sacados/2622 chapExoCorrec/2621 sacados/2621 chapExoCorrec/3105 sacados/3105 chapExoCorrec/6174 sacados/6174 chapExoCorrec/2560 sacados/2560 extrait de Polynesie - 2006 - Obligatoire - 4 points chapExoCorrec/5738 sacados/5738 chapExoCorrec/3397 sacados/3397
On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation: u 0 = 2 ; u n +1 = f u n 1 Montrer que le terme u 1 est égal à − 3 . 2 Justifier les égalités suivantes : a u 2 = − 0 ; 5 b u 3 = 2 ; 5 3 Compléter le tableau suivant : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u n 4 Que peut-on dire de la limite des termes de la suite u n ? E.3411 On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation de récurrence : u 0 = 5 2 ; u n +1 = − 1 2 · u n + 3 2 pour tout n ∈ N Le graphique ci-dessous représente, dans un repère O ; I ; J orthonormé, la droite ( d ) ayant pour équation : y = − 1 2 · x + 3 2 1 Graphiquement, sur l’axe des abscisses représentées les cinq premiers termes de cette suite (les constructions doivent être laissées) . 2 a À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous en indiquant les valeurs arrondies au dixième près : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u n 2 ; 5 0 ; 25 1 ; 38 0 ; 81 1 ; 09 b Quelle conjecture peut-on porter sur la limite de la suite u n ? E.3412 On considère la suite u n n ∈ N définie par la relation de récurrence : u 0 = − 1 ; u n +1 = f u n pour tout n ∈ N où la fonction f est définie par : f ( x )= x 2 +7 · x +14 2 · x +3 Le graphique ci-dessous représente, dans un repère O ; I ; J orthonormé, la courbe C f représentative de la fonction f . 1 Graphiquement, représenter les cinq premiers termes de cette suite sur l’axe des abscisses (les constructions doivent être laissées) . 2 a À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau ci-dessous en y indiquant les valeurs arrondies des termes au centième près. n 0 1 2 3 4 5 u n − 1 2 3 ; 2 3 ; 76 4 ; 03 n 6 7 8 9 10 11 u n b Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite des ter-mes de la suite u n ? 6. Avec un tableur https://chingmath.fr -4-3-2-1234I-4-3-2-123JOCf chapExoCorrec/3411 sacados/3411 23I2JO(d chapExoCorrec/3412 sacados/3412 -3-2-123456I23456JOCf
E.6732 Utiliser la calculatrice pour compléter le tableau de valeurs de chacune des suites suivantes. Si néces-saire, on arrondit les valeurs au centième près : 1 Soit u n définie par la relation: u n = 2 · n + 3 pour tout n ∈ N n 0 1 2 3 4 5 6 7 u n 2 Soit v n définie par la relation: v 0 = 5 ; v n +1 = 0 ; 75 · v n + 3 pour tout n ∈ N Soit w n définie par la relation: w n = v n − 12 pour tout n ∈ N a Compléter le tableau de valeurs : n 0 1 2 3 4 5 6 7 v n w n b Vérifier que les 8 termes de la suite w n permettent de conjecturer que la suite w n est géométrique. 3 Soit t n définie par la relation: t 0 =0 ; t 1 =1 ; t n +1 = t n + t n − 1 pour tout n ∈ N n 0 1 2 3 4 5 6 7 t n 4 Soit a n et b n définies par les relations : a 0 =2 b 0 = − 1 ; a n +1 =2 · a n − b n b n +1 = a n +3 · b n pour tout n ∈ N n 0 1 2 3 4 5 6 7 a n b n E.6731 On définit les deux suites u et v par : u 0 = 1 v 0 = 12 ; u n +1 = 1 3 · u n +2 · v n v n +1 = 1 4 · u n +3 · v n pour tout n ∈ N 1 À l’aide d’un tableur, générer les 20 premiers termes de ces deux suites afin d’obtenir un tableau analogue à celui présenté ci-contre. 2 On définit la suite w n par : w n = v n − u n a Dans la colonne C , exprimer les 20 premiers termes de la suite w . b Que peut-on faire pour mettre en évidence que la suite w suit une progression géométrique sur ces 20 premiers termes? 2 On définit la suite t définie par : t n =3 · u n +8 · v n a Exprimer les 20 premiers termes de la suite t . b Quelle conjecture peut-on effectuer sur la nature de la suite t ? E.6722 On considère les deux suites x n et y n définies conjointement par les relations : x 0 = − 3 y 0 = 4 et x n +1 = 0 ; 8 · x n − 0 ; 6 · y n y n +1 = 0 ; 6 · x n + 0 ; 8 · y n pour tout n ∈ N . 1 À l’aide d’un tableur, générer les 100 premiers termes de la suite dans un tableau semblable à celui représenter ci-contre. 2 Utiliser l’outil graphique en sélec-tionnant la plage A2:B101 pour représenter dans le plan les points M n définis par M n ( x n ; y n ) . On choisira le mode de représenta-tion ˇ XY (dispersion) ı. 3 a Quelle conjecture peut-on émettre sur la position de la suite de points M n dans le plan? b Vérifier que le point M 0 vérifie cette conjecture. c Établir la relation: OM n +1 = OM n d Compléter la phrase suivante : ˇ Si, pour tout entier naturel, les termes d’une suite vérifient la relation u n +1 = u n alors la suite est . . . . . . . . . ı 7. Suites arithmético-géométriques E.6733 On considère la suite u n définie par la relation: u 0 = 8 ; u n +1 = 0 ; 95 · u n + 0 ; 5 pour tout n ∈ N 1 On définit la suite v n définie par la relation: v n = u n − 10 pour tout n ∈ N . a Justifier que la suite v n est une suite géométrique de raison 0 ; 95 . On précisera la valeur de son premier terme. b Exprimer les termes de la suite v n en fonction de n . 2 En déduire une expression de la suite u n en fonction de n . 3 Déterminer la limite des termes de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6732 sacados/6732 chapExoCorrec/6731 sacados/6731 123456ABCDExnynwntn1128,339,258,949,029,009,009,009,00 chapExoCorrec/6722 sacados/6722 1234567ABxnyn-34-4,81,4-4,681,76-2,688-4,2160,3792-4,98563,29472-3,76096 chapExoCorrec/6733 sacados/6733
E.6734 On considère la suite u n définie par la relation: u 0 = − 2 ; u n +1 = 2 · u n + 0 ; 5 pour tout n ∈ N 1 On définit la suite v n définie par la relation: v n = u n + 0 ; 5 pour tout n ∈ N a Justifier que la suite v n est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. b Exprimer les termes de la suite v n en fonction de n . 2 En déduire une expression de la suite u n en fonction de n . 3 Déterminer la limite des termes de la suite u n lorsque n tend vers + ∞ . E.3399 On souhaite étudier la suite ( u n ) de pre-mier terme u 0 =5 définie par la relation de récurrence suiv-ante : u n +1 = 1 3 u n + 4 pour tout n ∈ N On définit la suite v n par : v n = u n − 6 pour tout n ∈ N 1 Montrer que la suite ( v n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et sa raison. 2 Exprimer v n en fonction du rang n . 3 En déduire l’expression de u n en fonction de n . 4 En déduire la limite de la suite u n . E.5740 On considère la suite u n ) définie sur N ∗ par : u 1 = 0 ; u n +1 = 0 ; 2 · u n + 0 ; 04 pour tout n ∈ N ∗ On admet que pour tout entier naturel : u n < 0 ; 05 On définit la suite v n sur N ∗ par la relation: v n = u n − 0 ; 05 1 Montrer que la suite v n est une suite géométrique dont on précisera la raison. 2 Déterminer l’expression des termes de la suite v n en fonction de n . En déduire l’expression des termes la suite u n en fonction de n . 3 En déduire la limite de la suite u n . 8. Suites définies conjointements E.6739 On considère les deux suites u n et v n définies conjointement par les relations suivantes : u 0 = 5 v 0 = 4 ; u n +1 = 2 · u n − v n v n +1 = − 3 · u n + 4 · v n pour tout n ∈ N 1 On considère la suite w n définie par la relation: w n = v n − u n pour tout n ∈ N a Établir que la suite w n est une suite géométrique de raison 5 . b En déduire que, pour tout entier naturel n , le terme de rang n s’exprime par : w n = − 5 n 2 On considère la suite t n définie par : t n = 3 · u n + v n a Montrer que : t 0 =19 b Établir que pour tout entier naturel, on a l’égalité: t n +1 = t n pour tout n ∈ N On admettra que, pour tout n ∈ N , on a: t n =19 3 Déduire une expression des termes des suites u n et v n en fonction de n . 4 En déduire les limites des suites u n et v n . E.6738 On considère les deux suites u n et v n définies conjointement par les relations suivantes : u 0 = 3 v 0 = − 1 ; u n +1 = 3 · u n − 2 · v n v n +1 = − u n + 2 · v n 1 On considère la suite w n définie par la relation: w n = v n − u n pour tout n ∈ N a Établir que la suite w n est une suite géométrique de raison 4 . b En déduire que, pour tout entier naturel n , le terme de rang n s’exprime par : w n = − 4 × 4 n 2 On considère la suite t n définie par : t n = 4 · u n + 8 · v n pour tout n ∈ N a Donner la valeur du terme t 0 . b Établir que pour tout entier naturel, on a l’égalité: t n +1 = t n On admettra que la suite t n est constante. 3 Déduire une expression des termes des suites u n et v n en fonction de n . 4 En déduire les limites des suites u n et v n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6734 sacados/6734 chapExoCorrec/3399 sacados/3399 chapExoCorrec/5740 sacados/5740 chapExoCorrec/6739 sacados/6739 chapExoCorrec/6738 sacados/6738
E.3414 On considère les deux suites p n n ∈ N et q n n ∈ N dont les premiers termes sont : p 0 =5 ; q 0 =2 . Elles sont définies par les relations de récurrences suivantes : p n +1 = 0 ; 5 · p n + 0 ; 4 · q n ; q n +1 = 0 ; 4 · p n + 0 ; 5 · q n On définit les suites u n n ∈ N et v n n ∈ N par les relations suiv-antes : u n = q n + p n ; v n = p n − q n 1 Déterminer la valeur exacte des trois premiers termes de chacune des suites u n et v n . 2 a Montrer que la suite u n est une suite géométrique de raison 0 ; 9 . b En déduire la limite de la suite u n . 3 Déterminer la limite de la suite v n . 4 a En remarquant que u n + v n =2 · p n , déduire que la suite p n est convergente ; préciser sa limite. b Établir que la suite q n est convergente ; déterminer sa limite. E.6759 On considère les suites a n et b n définies par : a 0 = 6 b 0 = 1 a n +1 = 0 ; 2 · a n + 1 ; 3 · b n b n +1 = − 0 ; 8 · a n − 0 ; 2 · b n pour tout n ∈ N 1 Exprimer les termes a n +2 et b n +2 en fonction des termes a n et b n . 2 Que peut-on dire des termes de la suite a 2 n ? E.6758 On considère les suites a n et b n définies par : a 0 = 2 b 0 = 1 ; a n +1 = 0 ; 8 · a n + 0 ; 9 · b n b n +1 = 0 ; 4 · a n − 0 ; 8 · b n ∀ n ∈ N 1 Établir les égalités: a n +2 = a n ; b n +2 = b n 2 Que peut-on dire des limites des suites a n et b n ? 9. Autres suites E.6765 Soit u n la suite définie par son premier terme u 0 =5 et, pour tout entier naturel n par : u n +1 = 0 ; 5 · u n + 0 ; 5 · n − 1 ; 5 1 Soit v n la suite définie pour tout entier naturel n par : v n = 0 ; 1 · u n − 0 ; 1 · n + 0 ; 5 Démontrer que la suite v n est géométrique de raison 0 ; 5 et exprimer alors v n en fonction de n . 2 En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 10 × 0 ; 5 n + n − 5 3 Déterminer alors la limite de la suite u n E.6799 On considère la suite u n définie par : u 0 = 6 ; u n +1 = 2 · u n − 3 · n + 5 pour tout n ∈ N 1 Donner les trois premiers termes de la suite u n . 2 On considère la suite v n définie par : v n = u n − 3 · n + 2 a Démontrer que la suite v n est une suite géométrique de raison 2 . b En déduire une expression des termes de la suite v n en fonction de leur rang. 3 a Justifier que pour tout entier naturel n , on a: u n = 8 × 2 n + 3 · n − 2 b En déduire la limite de la suite u n . E.5737 Soit la suite numérique u n définie sur N par : u 0 = 2 ; u n +1 = 2 3 · u n + 1 3 · n + 1 pour tout n ∈ N On désigne par v n la suite définie sur N par : v n = u n − n 1 Démontrer que la suite v n est une suite géométrique de raison 2 3 . 2 En déduire que pour tout entier naturel n : u n = 2 · 2 3 n + n 3 Déterminer la limite de la suite u n . E.2620 On considère la suite u n n ∈ N dont le premier terme est 0 définie par la relation de récurrence suiv-ante : u n +1 = 2 5 · u n − 3 · n − 8 pour tout n ∈ N 1 Déterminer les trois premiers termes de cette suite. 2 On considère la suite v n n ∈ N définie par la relation: v n = u n + 5 n + 5 pour tout n ∈ N a Montrer que la suite v n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b En déduire la formule explicite de la suite u n d’un terme en fonction de n son rang. 3 En déduire la limite de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3414 sacados/3414 chapExoCorrec/6759 sacados/6759 chapExoCorrec/6758 sacados/6758 chapExoCorrec/6765 sacados/6765 chapExoCorrec/6799 sacados/6799 chapExoCorrec/5737 sacados/5737 chapExoCorrec/2620 sacados/2620
E.3285 On définit la suite u n est définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 1 2 u n + n − 1 pour tout n ∈ N On définit la suite ( v n ) par : v n =4 u n − 8 n +24 1 Par transformation successive, établir l’égalité suivante : v n +1 = 1 2 · v n . 2 En déduire une expression des termes de la suite u n en fonction de n . E.3518 On considère la suite numérique u définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 1 3 · u n + n − 1 pour tout entier naturel n . Soit v la suite définie pour tout entier naturel, par : v n = 4 · u n − 6 n + 15 1 Montrer que v est une suite géométrique. 2 Calculer v 0 , puis calculer v n en fonction de n . En déduire que pour tout entier naturel n : u n = 19 4 × 1 3 n + 6 n − 15 4 3 Montrer que la suite u peut s’écrire sous la forme : u = t + w où t est une suite géométrique w une suite arithmétique 4 Calculer la valeur des deux sommes : T n = t 0 + t 1 + · · · + t n ; W n = w 0 + w 1 + · · · + w n . En déduire : U n = u 0 + u 1 + ··· + u n . 10. Autres suites: suites récurrentes linéaires d’ordre 2 E.3515 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 0 u 1 = 1 ; u n +1 = 7 · u n + 8 · u n − 1 pour tout n ∈ N 1 Déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite u n . 2 Montrer que la suite s n n ∈ N définie par : s n = u n +1 + u n pour tout n ∈ N est une suite géométrique dont on précisera la raison. En déduire s n en fonction de n . 3 a On pose v n =( − 1) n · u n et on considère la suite t n n ∈ N définie par : t n = v n +1 − v n pour tout n ∈ N Exprimer t n en fonction de s n . b Quelle est la nature de la suite t n ? 4 a Exprimer v n , puis u n , en fonction de n (on pourra calculer, de deux manières, la somme t 0 + ··· + t n − 1 ) . b Déterminer : lim n ↦→ + ∞ u n 8 n . E.3421 On considère l’ensemble ( E ) des suites x n définies sur N et vérifiant la relation suivante : pour tout entier naturel n non nul, x n +1 − x n =0 ; 24 · x n − 1 1 On considère un réel – non nul et on définit sur N la suite t n par t n = – n . Démontrer que la suite t n appartient à l’ensemble ( E ) si, et seulement si, – est solution de l’équation: – 2 − – − 0 ; 24 = 0 En déduire les suites t n appartenant à l’ensemble ( E ) . On admet que ( E ) est l’ensemble des suites u n définies sur N par une relation de la forme : u n = ¸ · (1 ; 2) n + ˛ · ( − 0 ; 2) n ¸ et ˛ sont des réels. 2 On considère une suite u n de l’ensemble ( E ) . Déterminer les valeurs de ¸ et ˛ telles que : u 0 = 6 et u 1 = 6 ; 6 . En déduire que, pour tout entier naturel n : u n = 39 7 · (1 ; 2) n + 3 7 · ( − 0 ; 2) n . 3 Déterminer : lim n ↦→ + ∞ u n . 11. Limites de suites définies explicitement E.2558 Déterminer les limites des suites u n définies ci-dessous : a n 3 × 5 n b n − 2 7 n c 1 3 n − 3 2 n d 8 n − 3 n e 5 n − 2 n 3 n + 2 n f 31 7 n · 2 8 n E.3104 Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite u n dont le terme général en fonction de n est donné ci-dessous : a n 5 × 3 n 2 3 b 5 n − 8 n c 2 3 n · 4 3 n +2 d 3 n − 2 n 5 n − 4 n 12. Théorèmes des gendarmes https://chingmath.fr chapExoCorrec/3285 sacados/3285 chapExoCorrec/3518 sacados/3518 chapExoCorrec/3515 sacados/3515 chapExoCorrec/3421 sacados/3421 chapExoCorrec/2558 sacados/2558 chapExoCorrec/3104 sacados/3104
E.2554 On considère la suite u n n ∈ N définie, pour tout entier naturel n , par la relation explicite: u n = 3 n +( − 1) n 2 n − 1 1 Déterminer les trois premiers termes de la suite u n . 2 Établir l’encadrement suivant : Pour tout n ∈ N ∗ : 3 n − 1 2 n − 1 u n 3 n +1 2 n − 1 3 En déduire la valeur de convergence de u n . E.2567 Soit u n n ∈ N définie par la formule ex-plicite de son terme de rang n : u n = 2 · n + 1 − 2 · n 1 Montrer l’égalité suivante pour tout n ∈ N : u n = 1 2 · n + 1 + 2 · n 2 Pour tout entier naturel n non-nul, établir l’encadrement suivant : 0 <u n < 1 2 · √ 2 · n 3 En déduire la limite de la suite u n . E.3441 On considère la suite u n n ∈ N ∗ dont le terme de rang n est définie par la relation: u n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + · · · + 1 n + n 1 Établir l’encadrement suivant pour tout entier naturel n non-nul : n n + n u n n n + 1 2 En déduire la convergence de la suite u n ; on précisera la valeur de la limite. E.2587 On considère la suite u n n ∈ N ∗ est définie explicitement par la formule : u n = 3 4 n 2 + 1 + 3 4 n 2 + 2 + · · · + 3 4 n 2 + n 1 Comparer les deux termes suivants : 3 4 n 2 + 1 et 3 4 n 2 + n . 2 Établir que la suite u n converge vers 3 2 . 13. Cours - Suites E.5741 Soit ‘ un nombre réel. On considère une suite u n qui converge vers ‘ alors le réel ‘ vers lequel converge la suite u n est unique. E.3281 Prérequis : définition d’une suite tendant vers + ∞ . ˇUne suite tend vers + ∞ si, pour tout réel A , tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A ı Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non ma-jorée tend vers + ∞ E.5496 On considère les deux suites u n et v n vérifiant : Il existe n 0 tel qu’à partir de n 0 , les termes des deux suites : n n 0 = ⇒ v n u n lim n ↦→ + ∞ u n = + ∞ Établir que : lim n ↦→ + ∞ v n = + ∞ E.5497 On considère une suite u n croissante. Si la suite u n converge vers une limite ‘ finie alors tous les termes de la suite u n sont inférieurs ou égaux à ‘ . 14. Exercices non-classés E.6906 Les suites définies par : u n +1 = 9 10 · u n + 4 10 · v n v n +1 = 1 10 · u n + 4 10 · v n Apparemment la suite u n serait croissante sur les premiers termes puis décroissante à partir du rang 4 quelque soit les premiers termes ... E.5570 On considère la suite numérique v n définie pour tout entier naturel n par : v 0 = 1 ; v n +1 = 9 6 − v n pour tout entier n ∈ N On considère la suite w n définie par : w n = 1 v n − 3 pour tout entier naturel n . 1 Démontrer que w n est une suite arithmétique de raison − 1 3 et de premier terme − 1 2 2 a Déterminer l’expression des termes de la suite w n en fonction du rang n . b En déduire l’expression des termes de la suite v n en fonction du rang n . (on ne simplifiera pas l’expression de v n ) . https://chingmath.fr chapExoCorrec/2554 sacados/2554 chapExoCorrec/2567 sacados/2567 chapExoCorrec/3441 sacados/3441 chapExoCorrec/2587 sacados/2587 chapExoCorrec/5741 sacados/5741 chapExoCorrec/3281 sacados/3281 chapExoCorrec/5496 sacados/5496 chapExoCorrec/5497 sacados/5497 sacados/6906 chapExoCorrec/5570 sacados/5570 Extrait Liban 2013
3 Déterminer la limite de la suite v n . E.4012 On considère la suite de nombres réels u n définie sur N par : u 0 = − 1 ; u 1 = 1 2 ; u n +2 = u n +1 − 1 4 · u n pour tout n ∈ N 1 Calculer u 2 et en déduire que la suite u n n’est ni arith-métique ni géométrique. 2 On définit la suite v n en posant : v n = u n +1 − 1 2 · u n pour tout n ∈ N a Calculer v 0 . b Établir que v n est géométrique de raison 1 2 . c Exprimer v n en fonction de n . E.4225 Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la prob-abilité qu’il gagne la suivante est 0 ; 7 . Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0 ; 8 . Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les événements : G n : ˇ Pierre gagne la n -ième partie. ı P n : ˇ Pierre perd la n -ième partie. ı On pose : p n = P ( G n ) ; q n = P ( P n ) Recherche d’une relation de récurrence : 1 Déterminer p 1 puis les probabilités conditionnelles : P G 1 ( G 2 ) ; P P 1 ( G 2 ) . 2 Justifier l’égalité: p n + q n =1 . 3 Démontrer que pour tout entier naturel n non nul : p n +1 = 0 ; 5 · p n + 0 ; 2 . E.2555 Déterminer les limites des suites u n n ∈ N ci-dessous définies explicitement : a u n = 2 n 2 − 3 n + 1 n + 1 b u n = n − 3 n 2 + 1 c u n = 2 n + 1 n + 1 d u n = 1 + n − 2 n 2 + 3 n 3 E.6176 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim n ↦→ + ∞ n 2 + 2 b lim n ↦→ + ∞ 2 + 1 n c lim n ↦→ + ∞ n 3 + n + 2 d lim n ↦→ + ∞ n − 1 n e lim n ↦→ + ∞ n · n − 10 f lim n ↦→ + ∞ 1 + 1 n n + 1 E.6177 Déterminer la valeur des limites suiv-antes : a lim n ↦→ + ∞ n 2 − n b lim n ↦→ + ∞ n 2 + n + 1 n c lim n ↦→ + ∞ 1 n 2 + 1 n d lim n ↦→ + ∞ n n 2 + n + 1 e lim n ↦→ + ∞ 2 n 2 + n + 1 n − 2 f lim n ↦→ + ∞ n 2 − 1 n https://chingmath.fr chapExoCorrec/4012 sacados/4012 Extrait Antilles-Guyane Septembre 2010 chapExoCorrec/4225 sacados/4225 Extrait d'Asie Juin 2006 chapExoCorrec/2555 sacados/2555 chapExoCorrec/6176 sacados/6176 chapExoCorrec/6177 sacados/6177