Terminale Spécialité / Limites de suites et raisonnement par récurrence 34 exercices corrigés

a
1. Raisonnement par récurrences E.3642 Restitution organisée de con-naissances. On supposera connus les résultats suivants : Proposition: e 0 = 1 . Pour tous réels x et y : e x × e y = e x + y . 1 Démontrer que pour tout réel x : e − x = 1 e x . 2 Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier na-turel n : e x n = e nx E.3494 Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n non-nul, on a: x n − 1 = x − 1 1 + x + x 2 + · · · + x n − 1 2. Formule explicite d’une suite E.4223 La suite u n est définie par u 0 =13 et pour tout entier naturel n , on a: u n +1 = 1 5 · u n + 4 5 1 Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel : u n = 1 + 12 5 n 2 En déduire la limite de la suite u n . E.3660 On considère la suite ( u n ) n ∈ N définie par : u 0 = 5 ; u n = 1 + 2 n u n − 1 + 6 n pour tout n ∈ N ∗ 1 Calculer u 1 , u 2 , u 3 . 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , on a: u n =4 n 2 +12 n +5 3 On considère la suite ( d n ) n ∈ R définie par : d n = u n +1 − u n Déterminer la nature de la suite (on précisera son pre-mier terme et sa raison) . 3. Formule explicite, comparaison et variations E.6713 Soit u n la suite définie par u 0 =2 et, pour tout entier naturel n , par : u n +1 = 2 · u n + 2 · n 2 − n 1 Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que les termes de la suite u n sont strictement positifs. 2 Démontrer que la suite u n est strictement croissante sur N . On considère également la suite v n définie, pour tout entier naturel n , par : v n = u n + 2 · n 2 + 3 · n + 5 3 Établir que la suite v n est une suite géométrique de raison 2 . 4 En déduire une expression des termes de la suite u n . E.3640 Soit u n une suite définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 1 3 u n + n − 2 pour tout n ∈ N 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel n 4 : u n 0 . 2 On définit la suite v n n ∈ N par : v n = − 2 u n + 3 n − 21 2 pour tout n ∈ N a Démontrer que la suite v n n ∈ N est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme. b En déduire que pour tout n ∈ N , on a: u n = 25 4 · 1 3 n + 3 2 · n − 21 4 4. Somme des termes d’une suite E.6097 On considère la suite u n définie par : u 0 = 0 ; u n +1 = u n + 2 · n + 2 pour tout n ∈ N . On définit, pour tout entier naturel n , la suite v n : v n = u n +1 − u n 1 a Exprimer v n en fonction de l’entier naturel n . b Justifier que la suite v n est une suite arithmétique de raison 2 et dont on précisera le premier terme. 2 On définit la suite S n par : S n = n k =0 v k = v 0 + v 1 + · · · + v n pour tout n ∈ N . Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que : S n = ( n + 1)( n + 2) pour tout n ∈ N . https://chingmath.fr chapExoCorrec/3642 sacados/3642 Liban Juin 2010 chapExoCorrec/3494 sacados/3494 chapExoCorrec/4223 sacados/4223 Extrait d'Antilles-Guyane Septembre 2008 chapExoCorrec/3660 sacados/3660 La reunion Juin 2008 chapExoCorrec/6713 sacados/6713 chapExoCorrec/3640 sacados/3640 chapExoCorrec/6097 sacados/6097
5. Convergences de suites monotones E.6910 On considère la suite u n définie par : u 0 = 5 ; u n +1 = 1 3 · u n + 4 pour tout n ∈ N 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que la suite u n est majorée par 7 . 2 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que la suite u n est croissante. 3 En déduire que la suite u n est convergente. E.3418 On considère la suite u n n ∈ N ∗ définie par : u 1 = 2 5 ; u n +1 = 1 5 · u n + 2 5 pour tout n 1 1 Démontrer que la suite u n est majorée par 1 . 2 Démontrer que la suite u n est croissante. 3 Justifier que la suite u n est convergente (on ne de-mande pas la valeur de la limite) . E.3656 On considère la suite u n définie par : u 1 = 2 5 ; u n +1 = 1 5 · u n + 2 5 pour tout n 1 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que la suite ( u n ) est majorée par 1 . 2 Démontrer que ( u n ) est croissante. 3 Justifier que la suite ( u n ) est convergente. E.3649 La suite u n est définie par : u 0 =2 ; u n +1 = 1 3 · u n + 23 27 pour tout n ∈ N 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier naturel n , on a: u n 23 18 2 Étudier la monotonie de la suite u n . 3 Établir la convergence de la suite u n . E.5732 On considère la suite u n définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 2 u n pour tout entier naturel n . 1 Démontrer que, pour tout entier naturel n : 0 <u n 2 . 2 Déterminer le sens de variation de la suite u n . 3 Démontrer que la suite u n est convergente. On ne de-mande pas la valeur de sa limite. E.5080 Soit u n la suite définie pour tout entier naturel n non nul par : u 1 = 1 2 ; u n +1 = n + 1 2 · n · u n pour tout n ∈ N 1 Calculer u 2 , u 3 et u 4 . 2 a Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n est strictement positif. b Démontrer que la suite u n est décroissante. c Que peut-on en déduire pour la suite u n ? 3 Pour tout entier naturel n non nul, on pose : v n = u n n a Démontrer que la suite v n est géométrique. On pré-cisera sa raison et son premier terme v 1 . b En déduire que, pour tout entier naturel n non nul : u n = n 2 n E.6102 Soit la suite numérique u n définie sur l’ensemble des entiers naturels N par : u 0 = 2 ; u n +1 = 1 5 · u n + 3 × 0 ; 5 n pour tout n ∈ N . 1 a Déterminer la valeur du terme u 1 . b Démontrer, par récurrence, que pour tout entier na-turel non-nul n , on a: u n 15 4 × 0 ; 5 n 2 En déduire que, pour tout entier naturel n non nul : u n +1 − u n 0 3 Démontrer que la suite u n est convergente. 6. Divergence de suites monotones E.3473 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 1 ; u n +1 = 1 3 · u n + n − 2 pour tout n ∈ N . 1 Calculer u 1 , u 2 et u 3 . 2 a Démonter que pour tout entier naturel n 4 : u n 0 . b En déduire que pour tout entier naturel n 5 : u n n − 3 c En déduire la limite de la suite u n n ∈ N . E.3442 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = 2 u n +1 = u n + 2 n + 2 pour tout n ∈ N 1 Étudier la monotonie de la suite u n . 2 a Établir, par un raisonnement par récurrence, l’inégalité suivante pour tout entier naturel n : u n > n 2 b En déduire la limite de la suite u n . https://chingmath.fr chapExoCorrec/6910 sacados/6910 chapExoCorrec/3418 sacados/3418 Extrait de Asie Juin 2008 chapExoCorrec/3656 sacados/3656 Asie Juin 2008 chapExoCorrec/3649 sacados/3649 Metropoles et Reunion Septembre 2007 chapExoCorrec/5732 sacados/5732 chapExoCorrec/5080 sacados/5080 Extrait Antilles-Guyanes Juin 2012 chapExoCorrec/6102 sacados/6102 chapExoCorrec/3473 sacados/3473 chapExoCorrec/3442 sacados/3442
7. Suites et variations de fonctions E.4234 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 1 2 · x + 2 x On admet que la fonction f admet le tableau de variations suivant : Soit la suite u n définie pour tout entier naturel n par : u 0 = 1 2 ; u n +1 = 1 2 · u n + 2 u n 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a: u n 2 2 Montrer que pour tout x 2 : f ( x ) x . 3 En déduire que la suite u n est décroissante à partir du rang 1 . 4 Prouver que la suite u n converge. E.4224 On considère la fonction f définie sur 0 ; + ∞ par : f ( x ) = ln x +1 + 1 2 · x 2 1 Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; + ∞ . 2 On considère la suite u n définie sur N par : u 0 = 1 ; u n +1 = f u n pour tout n ∈ N Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n : u n 1 . E.3645 Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + ∞ par : f ( x ) = 6 − 5 x + 1 On admet que la fonction f est strictement croissante sur 0 ; + ∞ . On note ¸ l’unique nombre réel positif vérifiant : f ( ¸ ) = ¸ où ¸ = 5+ 29 2 On considère la suite u n définie par : u 0 =0 ; u n +1 = f ( u n )=6 − 5 u n +1 pour tout n ∈ N 1 Montrer que si x appartient à l’intervalle 0 ; ¸ , alors f ( x ) appartient à l’intervalle 0 ; ¸ . 2 Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a: 0 u n u n +1 ¸ 3 Établir que la suite u n est convergente. E.10388 On considère la fonction f définie sur R ∗ + par : f ( x ) = ln( x ) + 2 On considère la suite u n n ∈ N définie par : u 0 = e ; u n +1 = f u n 1 Établir que pour tout entier n ∈ N , on a: u n u n +1 2 a Établir que pour tout entier n ∈ N , on a: u n 5 b Établir que la suite u n est convergente. 8. Théorème des gendarmes E.3446 On considère la suite u n n ∈ N vérifiant la relation: u 0 = 4 u n +1 = 1 2 · u n + 5 u n pour tout entier naturel n ∈ N 1 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n , on a: u n > 0 2 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir que pour tout entier naturel n , on a: u n − 5 0 3 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir pour tout entier naturel n non-nul l’inégalité suivante : u n − 5 1 2 n 4 Déduire des questions précédentes la convergence de la suite u n et sa limite. E.5034 On considère la suite u n définie sur N par la relation: u 0 = 2 ; u n +1 = 1 2 · u n + 2 u n pour tout n ∈ N 1 a Établir l’égalité suivante pour tout entier naturel n : u n +1 − 2 = u n − 2 2 2 · u n b En déduire, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n , on a: u n 2 2 a Déduire des questions précédentes l’encadrement : 0 u n +1 − 2 u n − 2 2 b À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir l’encadrement ci-dessous pour tout entier naturel n : 0 u n − 2 u 0 − 2 (2 n ) 3 a Donner la valeur de ⏐ ⏐ u 0 − 2 ⏐ ⏐ , arrondie au millième près. https://chingmath.fr chapExoCorrec/4234 sacados/4234 0√2∞∞√2∞xVariationdef chapExoCorrec/4224 sacados/4224 Extrait de Liban Juin 2008 chapExoCorrec/3645 sacados/3645 sacados/10388 chapExoCorrec/3446 sacados/3446 chapExoCorrec/5034 sacados/5034
b En déduire la limite de la suite u n . E.5569 On considère la suite v n définie pour tout entier naturel n par : v 0 = 1 ; v n +1 = 9 6 − v n pour tout n ∈ N 1 Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ N : 0 <v n < 3 2 a Démontrer que, pour tout entier naturel n : v n +1 − v n = (3 − v n ) 2 6 − v n b En déduire que la suite v n est croissante. 3 Démontrer que la suite v n est convergente. 9. Récurrence forte E.5814 On considère la suite définie par les relations : u 0 =3 ; u 1 =8 ; u n +1 =5 · u n − 6 · u n − 1 pour tout n ∈ N ∗ 1 Déterminer les valeurs des termes u 2 et u 3 . 2 À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel n non-nul, on a: u n = 2 n + 2 × 3 n 3 Déterminer la limite de la suite u n . 10. Un peu plus loin dans la récurrence E.3650 1 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 . Démontrer que : n +1 k =2 1 10 k = 1 90 · 1 − 1 10 n C’est-à-dire que : 1 10 2 + 1 10 3 + · · · + 1 10 n +1 = 1 90 · 1 − 1 10 n 2 La suite v n est définie par : v n =1 ; 2777 ··· 7 avec n décimales consécutives égales à 7 . Ainsi : v 0 =1 ; 2 ; v 1 =1 ; 27 ; v 2 =1 ; 277 . En utilisant le a , démontrer que la limite de la suite v n est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux entiers) . . E.5815 On considère la suite u n définie par u 0 = 1 2 et telle que pour tout entier naturel n : u n +1 = 3 · u n 1+2 · u n 1 a Calculer u 1 et u 2 . b Démontrer, par récurrence, que pour tout entier na-turel n : 0 <u n . 2 On admet que pour tout entier naturel n : u n < 1 . a Démontrer que la suite u n est croissante. b Démontrer que la suite u n converge. (on ne demande pas la valeur de la limite) . E.10610 On définie la suite u n par : u 0 = ; u n +1 = u n + 2 n pour tout entier n ∈ N Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, l’identité suivante pour tout n ∈ N et pour tout k ∈{ 0 ; 1; ::: ; n } : u n +1 = u n − k + 2 n − k · 2 k +1 − 1 11. Cours E.5498 1 Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence, la propriété P n pour tout entier naturel n : P n : ˇpour tout nombre réel x tel que x> 0 : (1 + x ) n 1 + n · x ı Cette relation s’appelle l’inégalité de Bernoulli 2 Montrer que pour tout nombre réel q tel que q ∈ 1 ; + ∞ , on a la limite: lim n ↦→ + ∞ q n = + ∞ 12. Exercices non-classés E.3431 On considère les trois suites a n n ∈ N , b n n ∈ N , c n n ∈ N définie par : a 0 = 1 ; b 0 = c 0 = 0 a n +1 = 1 2 · b n pour tout n ∈ N b n +1 = 1 3 · a n pour tout n ∈ N a n + b n + c n = 1 pour tout n ∈ N https://chingmath.fr chapExoCorrec/5569 sacados/5569 Extrait Liban 2013 chapExoCorrec/5814 sacados/5814 chapExoCorrec/3650 sacados/3650 Extrait Metropole et Reunion Septembre 2007 chapExoCorrec/5815 sacados/5815 chapExoCorrec/10610 sacados/10610 chapExoCorrec/5498 sacados/5498 chapExoCorrec/3431 sacados/3431
1 Montrer que, pour tout entier naturel n : a n +2 = 1 6 · a n . 2 En déduire que, pour tout entier naturel p : a 2 p = 1 6 p et a 2 p +1 = 0 b 2 p = 0 et b 2 p +1 = 1 3 · 1 6 p 3 Montrer que : lim n ↦→ + ∞ a n =0 . On admet que lim n ↦→ + ∞ b n =0 . Quelle est la limite de c n lorsque n tend vers + ∞ ? E.10611 On considère la suite u n définie par : u 0 = 5 ; u n +1 = u n + 2 n pour tout n ∈ N Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence : u n = 2 n + 4 pour tout n ∈ N E.5524 On considère la suite u n définie par : u 1 = 0 ; 1 ; u n +1 = 1 5 u n + 3 5 pour tout n ∈ N ∗ 1 Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, on a: u n = 3 4 − 13 4 · 1 5 n 2 Déterminer la limite de la suite u n quand n tend vers + ∞ . 3 Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3 4 − u n < 10 − 7 E.5306 Les suites u n n ∈ N et v n n ∈ N à termes réels sont définies par : u 0 =5 ; u 1 =31 ; u n +2 =12 · u n +1 − 35 · u n pour tout n ∈ N v 0 = − 1 ; v 1 = − 11 ; v n +2 =12 · v n +1 − 35 · v n pour tout n ∈ N On définit les suites x n n ∈ N et y n n ∈ N par : x n = u n + v n ; y n = u n − v n pour tout n ∈ N 1 Calculer x 0 et x 1 . En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que la suite x n est une suite géométrique de raison 5 . 2 Montrer de même que la suite y n est une suite géométrique. 3 Calculer x n et y n en fonction de n ; en déduire le calcul de u n et v n en fonction de n . E.10543 On souhaite étudier la suite ( u n ) de premier terme u 0 =5 définie par la relation de récurrence suivante : u n +1 = 1 3 u n + 4 pour tout n ∈ N 1 Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout n ∈ N , on a: u n = 6 − 1 3 n 2 En déduire la convergence de la suite u n et sa limite. 3 Déterminer à partir de quelle valeur de n , les termes de la suite u n vérifient : u n 5 ; 9 E.10616 Établir, à l’aide d’un raisonnement par récurrence et pour tout n ∈ N ∗ , l’identité: 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 = n n + 1 2 n + 1 6 https://chingmath.fr chapExoCorrec/10611 sacados/10611 chapExoCorrec/5524 sacados/5524 chapExoCorrec/5306 sacados/5306 Extrait du Bac C - Amiens-Rouen Juin 1983 sacados/10543 chapExoCorrec/10616 sacados/10616